（理论物理专业论文）两模激发纠缠相干态及其纠缠特性研究.pdf

摘要 量子信息和量子计算是近十多年来迅速发展起来的，量子力学 与信息科学相结合的产物，其重要特点是以量子态为信息载体，利 用量子态的相干性以崭新的方式进行信息的存储、转换、传递和处 理量子纠缠作为一种基本的量子通信资源，在量子信息学中是最 为重要也是最为奇特的一个课题在量子信息学中，量子信息的处 理过程离不开量子态及其演化，而量子纠缠态是量子态中的最重要 的一种因此研究纠缠态的制备以及纠缠态的纠缠品质与数量显得 非常必要 本文主要研究连续变量两模激发纠缠相干态的纠缠特性及其制 备第二章在对量子纠缠的基本概念作出简单介绍之后，引进几种 量子纠缠的度量方式第三章讲述了光场相干态的基本理论包括 量子光场的相干态和它的基本性质、光场态矢量按相干态的展开、 相干态全纯表象以及光场的量子统计描述 第四章我们基于两模纠缠相干态通过两模光子激发提出了两种 两模激发纠缠相干态i 皿士( n ，m ，n ) ) ( m 0 ，n 0 ) 利用腔q e d 方法 和量子测量技术提出了一种制备两模激发纠缠相干态的方案具体 为，首先通过单模光场的激发算符作用在纠缠相干态制备出来的单 模激发纠缠相干态，然后再在单模激发纠缠相干态的基础上，通过 其与原子继续作用，进而制备出了两模激发纠缠相干态 第五章我们研究了两模激发纠缠相干态的纠缠特性和光子激发 对量子纠缠的影响发现光子激发数相同的情况下，两模激发纠缠 相干态的纠缠量一般大于单模激发纠缠相干态的纠缠量我们计算 了光子激发情况下两模激发纠缠相干态i 皿士( 口，m ，n ) ) 的纠缠量，发现 这两种态两模激发纠缠相干态展示了截然不同的纠缠特征尤其， 对i 皿+ ( q ，m ，n ) ) 来说，在弱场区，两模光子激发严重影响了量子纠缠 的特征，其纠缠量随着光子数的增加而减少然而，i 皿一( o t ，m ，n ) ) 却 一直都是一个最大纠缠态，两模光子激发不影响其纠缠量。通过对 两模激发纠缠相干态l 皿+ ( q ，m ，m ) ) 的纠缠特性研究，发现在强场低 激发区，当强场强度增大时，其纠缠量减少，当光子激发数增大时， 其纠缠量增大但是，在强场高激发区，当强场强度增大时，其纠缠 量增大；当光子激发数增大时，其纠缠量减少这表明在强场低激 发区，光子激发增加纠缠量，在强场高激发区，光子激发减少纠缠 量 第六章我们对本文的工作进行了简要的总结，并对激发纠缠相 干态的应用与发展作了简要的展望 关键词：量子纠缠；纠缠相干态；腔量子电动力学；光子激发 a b s t r a c t i i i a si ti sw e l lk n o w nt h a tq u a n t u me n t a n g l e m e n th a sb e e nv i e w e da sa l le s - s e n t i a lr e s o u r c ef o rq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，a n dc r e a t i n ga n dm a n i p - u l a t i n go fe n t a n g l e ds t a t e sa r ee s s e n t i a lf o rq u a n t u mi n f o r m a t i o na p p l i c a t i o n s a m o n gt h e s ea p p l i c a t i o n sa r eq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ， a n dq u a n t u mc r y p t o g r a p h y i nr e c e n ty e a r s ，m u c ha t t e n t i o nh a sb e e np a i dt oc o n t i n u o u sv a r i a b l e q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gi nw h i c hc o n t i n u o u s - v a r i a b l e - t y p ee n t a n g l e d p u r es t a t e sp l a yak e yr o l e f o ri n s t a n c e ，t w o - s t a t ee n t a n g l e dc o h e r e n ts t a t e s a r eu s e dt or e a l i z ee f f i c i e n tq u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mt c l e p o r t a , - t i o n t w o - m o d es q u e e z e dv a c u u ms t a t e sh a v eb e e na p p l i e dt oq u a n t u md e n s e c o d i n g t h e r e f o r e ，i ti sa ni n t e r e s t i n gt o p i ct oc r e a t ea n da p p l yc o n t i n u o u s - v a r i a b l e - t y p ee n t a n g l e dp u r es t a t e s i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s et h ec o n c e p to ft w o - m o d ee x c i t e de n t a n g l e dc o - h e r e n ts t a t e sa n ds t u d yt h e i re n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e s i nt h es e c o n dc h a p t e r ， w ep r e s e n tab r i e fr e v i e wa b o u tb a s i cc o n c e p t so fq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n d e n t a n g l e m e n tm e a s u r e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w er e v i e wt h eb a s i ct h e o r ya b o u t o p t i c a lc o h e r e n ts t a t e s i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft w o - m o d ee x c i t e de n - t a n g l e dc o h e r e n ts t a t e s ( t m e e c s s ) i 皿士( q ，m ) ) ( 仇0 ) t h r o u g ha c t i n gt w o c r e a t i o no p e r a t o r so fat w o - m o d eo p t i c a lf i e l do nt h et w o - m o d ee n t a n g l e dc o - h e r e n ts t a t e s ( e c s s ) w eo b t a i nt h ec o h e r e n t - s t a t er e p r e s e n t a t i o na n dt h e n u m b e r - s t a t er e p r e s e n t a t i o no ft h et m e e c s s 。r e s p e c t i v e l y w ep r o p o s ea p o s s i b l es c h e m et op r o d u c et h e mf r o mt h et w om o d ee c s st h r o u g ha ni n t e r - a c t i o nb e t w e e nat w o - l e v e la t o mw i t hac a v i t yf i e l da n dq u a n t u mm e a s u r e m e n t t e c h n o l o g y i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t ee n t a n g l e m e n tc h a r a c t e r i s t i c so ft h e t m e e c s si 雯士( q ，m ，仃) ) ( m ，佗o ) a n dd i s c u s st h ei n f l u e n c eo fp h o t o ne x c i - t a t i o n so nq u a n t u me n t a n g l e m e n t i ti sf o u n dt h a tt h ee n t a n g l e m e n ta m o u n t i v o ft h et m e e c s si sg e n e r a l l yl a r g e rt h a tt h a to ft h es i n g l e - m o d ee x c i t e de l l - t a n g l e dc o h e r e n ts t a t e s ( s m e e c s s ) f o rt h es a l t l ep h o t o ne x c i t a t i o nn o m b e r i t i si n d i c a t e dt h a tt h et m e e c si 皿+ ( q ，m ，死) ) h a sq u i t ed i f f e r e n te n t a n g l e m e n t c h a r a c t e r sf r o mt h et m e e c sl 皿一( a ，m ，孔) ) i nt h ew e a k - f i e l dr e g i m e ，p h o t o n e x c i t a t i o n sa f f e c ts e r i o u s l ye n t a n g l e m e n to ft h et m e e c si 皿十( q ，m ，n ) ) w h i l e t h et m e e c si 皿一( a ，_ m ，几) ) i sa l w a y sam a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t e w ea l s o f i n dt h a ti nt h er e g i m eo ft h es t r o n gf i e l da n dt h el o w e re x c i t a t i o n ，t h ee n t a n - g l e m e n ta m o u n to ft h et m e e c sj 皿+ ( q ，m ，n ) ) e n h a n c e sw i t ht h ei n c r e a s eo f t h ep h o t o ne x c i t a t i o n s ，a n dd e c r e a s e sw i t ht h ef i e l ds t r e n g t h h o w e v e r ，i nt h e r e g i m eo ft h es t r o n gf i e l da n dt h eh i g h e re x c i t a t i o n ，t h ee n t a n g l e m e n ta m o u n t o ft h et m e e c sf 皿+ ( q ，m ，佗) ) d e c r e a s ew i t ht h ei n c r e a s eo ft h ep h o t o ne x c i - t a t i o n s ，a n de n h a n c e sw i t ht h ef i e l ds t r e n g t h k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；e n t a n g l e dc o h e r e n ts t a t e s ；c a v i t y q e d ；p h o t o n - e x c i t e d 两模激发相干态及其纠缠特性的研究 5 5 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：防 冬林 劢艿年6 月多日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上碘方框内打q 力) 作者签名：族降抓日期：溅莎月jf i 导师签名。函溜日期洳纡6 影日 两模激发纠缠相干态及其纠缠特性研究 第一章绪论 早在上世纪3 0 年代，爱因斯坦【1 l 就发现了量子纠缠现象；但 从数学上提出纠缠态的概念【2 1 是在上世纪8 0 年代末期。量子纠缠 态的应用有可能率先在通讯技术上实现，由目前的脉冲通讯上升到 量子纠缠态编码，是人类通讯技术的一个大的飞跃 量子纠缠现象是量子力学不同于经典物理学的最奇特的、最不 可思议的特性，它首先被e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n 【1 】所注意到 量子态的叠加和纠缠被用作非经典方式来存储信息量子纠缠的一 个至关重要的特性是可以对系统进行局部测量以鉴别无论相隔多远 的量子态最近十年，量子纠缠已经成了量子力学中许多基础工作 的中心，特别是与量子不可分性、b e l l 不等式的违背、e p r 佯谬等 相关问题的研究密不可分除了这些基础方面，激发和操纵纠缠态 对量子信息应用非常重要同时，在量子信息学中，纠缠态占据非 常重要的地位，纠缠态的特殊的物理性质，使量子信息具有经典信 息所没有的许多新特征，此外，纠缠态也为信息传输和信息处理提 供了新的物理资源纠缠态的产生和操作是量子信息应用的基本问 题，如在量子计算【3 ，4 】、量子隐形传输【5 ，6 j 、量子密集编码【7 ，8 1 、 量子克隆【9 】、量子时钟同步【1o 】中，量子纠缠被认为最重要的量子 信息源 近年来，连续变量纠缠纯态在连续变量量子信息上的进展【1 1 2 7 1 越来越值得关注例如，两态纠缠相干态( e c s ) 能在量子计算【1 2 】和 量子隐形传输f 1 3 】中发挥作用，以及两模压缩真空态在量子密集编 码【1 4 】上的应用特别是，根据文献【1 5 】中的理论，连续变量隐形传 态在被用来通过亚极限参数振荡器进行参数下转换制备纠缠的两模 压缩真空态的光场中用相干态实现了【16 】因此，激发和应用连续变 量纠缠态成为了一个有意思的研究课题一方面，纠缠态是一种最 接近经典光场并存在光子数泊松分布的最简单的连续变量态相干 态定义的幅度和相位满足海森堡测不准原理中的最小测不准关系 在相干态的基础上，两种连续变量态，光子增加相干态【2 8 】和纠缠 相干态【2 9 1 在量子物理【3 0 】和量子信息学进展【1 2 ，1 3 ，2 7 ，3 1 】中的广泛 应用被介绍出来。同时，人们提出了许多利用分束器制备各种连续 变量的纠缠态的方案例如：p a r i s 提出了利用m z 干涉仪制备一个 类似两模真空压缩态的纠缠态【3 2 l ；s a n d e r s 利用一个非线性m z 干 硕士学位论文 涉仪制备了纠缠相干态【2 9 】；z h o u 和k u a n g 提出了利用光学方法制 备纠缠压缩真空态的方案【2 1 】各种纠缠态的制备在不同的物理系 统中还有不同的实现方法 所谓量子纠缠态是指两个或多个量子系统处于该态时，不管它 们在空间分开多远，都不能被看作相互独立的，形式上不能表示成 直积形式，处于该态的两个或多个量子系统之间存在非定域性、非 经典性的强关联，其性质对量子力学及量子信息科学都具有重要意 义本文主要研究连续变量两模激发纠缠相干态的纠缠特性及其制 备： 第二章在对量子纠缠的基本概念作出简单介绍之后，引进几种 量子纠缠的度量方式 第三章讲述了光场相干态的基本理论包括量子光场的相干态 和它的基本性质、光场态矢量按相干态的展开、相干态全纯表象以 及光场的量子统计描述 第四章我们基于两模纠缠相干态通过两模光子激发提出了两种 两模激发纠缠相干态l 皿士( q ，m ，n ) ) ( m 0 ，礼0 ) 利用腔q e d 方法和 量子测量技术提出了一种制备两模激发纠缠相干态的方案。 第五章我们研究了两模激发纠缠相干态的纠缠特性和光子激发 对量子纠缠的影响并与单模激发纠缠相干态的纠缠特性进行了比较 第六章我们对本文的工作进行了简要的总结，并对激发纠缠相 干态的应用与发展作了简要的展望。 两模激发纠缠相干态及其纠缠特性研究 第二章量子纠缠 2 1 引言 量子纠缠现象是量子力学不同于经典物理学的，存在于多体量 子系统中的一种最奇特的，最不可思议的特性，指的是各个子系统 的量子状态之间是相关且是不可分离的情况，即对一个子系统的测 量结果无法独立于对其他子系统的测量参数，这种由相关且是不可 分离的两个或多个子系统的量子状态所构成的系统的状态称之为量 子纠缠态应当强调指出，量子纠缠并不是一个完全依赖于态的表 达方式的纯形式的东西：在某种表达方式下存在，而在另一种表达 方式下不存在事实上，它是一种物理的存在，它与态叠加原理以 及量子态和测量的非定域性密切相关【3 3 】 在量子信息学的许多应用中，如量子隐形传态、量子密钥分配、 量子密集编码、量子远程计算等等，量子纠缠扮演着极为重要的角 色，仔细观察我们会发现，量子信息不同于经典信息的新功能主要 都体现在量子纠缠的应用，1 9 8 5 年量子图灵机的提出，1 9 9 1 年第一 个基于量子纠缠的量子密匙方案的提出，1 9 9 4 年分解大数质因子量 子算法的提出等都与量子纠缠在量子信息中的应用有关随着实验 技术的迅猛发展，量子信息的技术革命必将不可阻挡现在，量子纠 缠在量子信息科学中所占的比重越来越突出量子纠缠态已被看作 是一个处理和传送量子信息的源，它形成了许多奇妙应用的基础 当两地共享了一定量的纠缠态的时候，纠缠态的所有者们可以通过 对纠缠态做局域操作并辅以经典通信的手段来行使量子通信、量子 计算的功能量子通信是量子信息学中很重要的组成部分，有着广 泛的应用前景通过运用量子力学特有的纠缠性和叠加性，量子通 信可以完成经典的通信手段不可能完成的任务可以说，量子信息 研究的主要目的在某种意义上就是开发和利用量子纠缠这一新的且 富有生机的物理资源因此，对量子纠缠的深入研究无论是对于量子 信息的基本理论还是对未来潜在的实际应用都将产生深远的影响 2 2 量子纠缠基本理论 近些年来，随着量子信息这一新兴领域的蓬勃发展，量子纠缠成 硕士学位论文 为人们的热门话题这个热门话题实际上也是个老话题 “纠缠” 这一名词的出现可以追溯到量子力学诞生之初从历史上讲，纠缠 态的概念最早是在“薛定谔猫态”一文中提出来的f 2 】2 ，薛定谔在文 中所研究的关于猫态的假想实验中给出的波函数就是一个纠缠态， 而爱因斯坦在e p r 佯谬【3 4 】一文中给出的二粒子体系的波函数也是 一个纠缠态它们表现出不能用定域实在论解释的量子特性 e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n ( e p r ) 提出的e p r 态是最早的纠缠 态，是他们在考虑量子力学的完备性的时候引进的e p r 认为，( 1 ) 量子力学对于。物理实在”的描述是不完备的这主要针对波函数 的统计诠释他们相信，应该存在可对物理实在给出更完备描述的 理论，这就是所谓“隐变量”概念( 2 ) 量子力学理论是不自洽的 这个问题的实质是涉及多粒子体系( 或多自由度体系) 的纠缠态概念 的澄清，而在坐标表象中就体现为量子力学中的“非定域性”量子 力学中，对于两个不对易的算符，如果能精确得到其中一个算符所 表示物理量的值，那么就不能得到另一个算符所表示的值这说明 要么波函数所表示的实在性是不完备的，要么这两个物理量不能同 时具备实在性在证明其观点时，e p r 用了如下的波函数 e p r ) = 歪d 丌p i p ，一p ) = f d q l 口，一口) ，( 2 1 ) 上面的波函数描述了一个两粒子a 和b 系统的纠缠态，我们可以通过 测量一个粒子的坐标( 或动量) 而肯定地知道另一个粒子的坐标( 或 动量) ，而同时由相对论我们知道，当两粒子类空分离时，对一个粒 子的测量应该不影响另一个粒子的状态，这就是著名的e p r 佯谬 e p r 佯谬显示了量子力学和定域实在论观念上的深刻矛盾，它把两 个极为奇妙的现象一量子纠缠和非定域性一引进到量子力学中来 与爱因斯坦一样，作为量子力学创始人之一，薛定谔对量子力 学的“哥本哈根解释”经常提出质疑1 9 3 5 年，薛定愕对量子力学 哥本哈根学派提出了又一次挑战他设想一种理想实验：誓一只猫 关在一个钢盒内，盒中有下述极残忍的装置( 必须保证此装置不受猫 的直接干扰) ：在盖革计数器中有一小块辐射物质，它非常小，或许 在1 小时内只有一个原子衰变在相同的几率下或许没有一个原子 衰变如果发生衰变，计数管便放电，并通过继电器释放一锤，击 碎一个小的氢氰酸瓶如果人们使这整个系统自己存在1 个小时， 两模激发相干态及其纠缠特性的研究 那么人们会说，如果在期间没有原子衰变，这猫就是活的而第一 次原子衰变必定会毒杀了猫”根据量子力学，盒内整个系统处于两 种态的叠加 i 妒) = q l e ) l 死猫) + d i g ) 活猫) ， i q l 2 + 俐2 = 1 ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) 之中，其中第一分量意味着死猫与原子激发态i e ) 的关联；第二分量 意味着活猫与原子稳态1 9 ) 的关联( 如图1 ) 这样的关联态就是所谓 的量子纠缠态根据量子测量的哥本哈根解释，衅表示原子处于 激发态而猫是死的概率，i ，1 2 表示原子处于基态而猫是活的概率换 言之，猫是处于不死不活的状态，而在宏观世界中，猫非死即活，两 者必居其一关上笼子后，经过一秒的时间，猫有1 2 的几率活着， 也有1 2 的几率死了。在没有打开盒子之前，猫处于。半死半活”的 状态一旦我们打开笼子，相当于对猫的死活进行“测量”，我们只 能看到一种状态，猫要么死了，要么活着，这相当于猫的两种不同 的。本征态”处在这种怪态上，猫的生死不依赖打开笼子前的“客 观存在”，而是依赖于打开盒子后的。观察”因此，量子力学的统 计解释有悖日常生活经验，是难以接受的“薛定愕猫”的物理本质 是：微观世界满足量子态迭加原理，既然世界是量子的，那么宏观 ( 经典) 世界是否存在可以区分的量子态迭加? 近年量子光学的发展 不仅在理论上预示了许多这类猫态的产生，而且美国学者于1 9 9 6 年 在实验上证实了“猫态”的存在这个问题的进一步推广就是宏观 量子现象，如超导、超流、玻色一爱因斯坦凝聚等关于量子光学 中“猫态”的制备，有量子非破坏性测量和反作用逃逸过程产生的 “猫态”和非线性过程产生的“猫态”以及量子开关制备的。猫态力 等等 如果要对量子纠缠进行分类，按照不同的情况有种分类方法例 如，按照纠缠体的数目来分，可以分为两体纠缠和多体纠缠。对于 两体纠缠态，其唯一一种基本方式为e p r 态；对于多体纠缠态，其 中一种基本的纠缠方式为m 体g h z 态按照量子力学变量类型可分 为离散变量纠缠态和连续变量纠缠态两种类型离散变量的媒介多 为单粒子，它们可以通过非线性过程产生，或者利用强源衰减到可 以认为是单粒子的强度，离散变量纠缠态的量子性质很明显，纠缠 性质好，容易测量和处理，但是它的产生对源的要求很高，而且很 硕士学位论文 容易受到环境的影响而发生消相干而连续变量主要的媒介是相干 光场和压缩光场，它们的非经典性能够体现量子力学中的纠缠和非 局域性因此，尽管最初些量子计算和量子信息的处理方案都是 针对离散变量的量子体系提出来的，例如在b e l l 不等式的实验检验 中，人们大多数使用那些具有离散变量的量子系统，但是近几年， 连续变量的量子信息处理方案引起了广泛的兴趣例如，连续变量 隐形传态f 3 5 】、纠缠交换f 3 6 】、量子克隆 3 7 j 、量子计算f 3 8 】、量子纠 错【3 9 】、纠缠纯化f 4 0 】等都被相继提出来此外，按照量子态的类型 还可以分成纯态纠缠和混合态纠缠，纯态在量子力学中是指可以用 单一波函数来描述的量子态，混合态则只能用密度矩阵描述因为 两体纯态的研究已经比较透彻，且本论文着重研究两体纯态的纠缠 度，所以这里以两体纠缠纯态为例进行简单介绍 对于两体纯态的量子纠缠通常有两个定义【4 1 】： 定义1 考虑体系a 和b 组成的二体系统，设a 的一组力学量 完全集的共同本征态记为i f ) ，f i ) 代表一组完备量子数，b 的一组 力学量完全集的共同本征态记为1 9 ) ，i j ) 代表一组完备量子数，则 i i ) aob ) b 可以作为复合体系a + b 的一个完备基，复合体系的任意量 子态i 妒) b 可以表示为它们的线性叠加 妒) = c ：i j m 跏 臼 ( 2 4 ) 若描述此复合体系的量子纯态不可以写成两个子系统的量子纯 态的直积形式，则描述此复合系统的量子纯态为两体纠缠纯态，满 足如下条件 i 妒) i q ) 圆i p ) 且， ( 2 5 ) 这里，a 和b 量子纠缠的标志和结果就是，它们各自都不处于确定 的纯态例如，两个费米子系统组成的符合反对称性要求的态 - 击2 ( 1 。) a 1 1 ) b 1 1 ) l 。) b ) ， ( 2 。6 ) 显然，这正是二体纠缠纯态，它不能写成直积形式，这个纠缠态说 明，两个电子的自旋方向相反，却不能确定哪个电子的自旋处于哪个 两模激发相干态及其纠缠特性的研究 方向，它们处于纠缠之中应当指出，由子系统a 和b 组成的量子系 统的绝大部分纯态是纠缠的，准确的说，纠缠态在态空间h = h a 圆h 且 态空间中是稠密的以上讨论可以推广到多体系或者是多自由度体 系对于一个由n 个子系统构成的复合系统，如果系统的密度矩阵 不能写成各个子系统的密度矩阵的直积的线性和的形式，则这个复 合系统就是纠缠的实际上，多体系的量子态最普遍的情况就是纠 缠态，而能够表示成直积形式的非纠缠态只是一种特殊情况对于 一个多自由度的体系，对应于不同的自由度的力学量( 彼此对易) 的 本征态的直积，也称为多自由度体系的一个非纠缠态，而体系的一 般状态则是这种直积形式的量子态的线性叠加，这就构成纠缠态， 用以描述不同自由度的量子态之间的纠缠 定义2 如前所述，对于两体量子系统的任一纯态i 妒) 8 ，可以 为它指定一个正整数一s c h m i d t 数，它是p a ( 或p b ) 中非零本征值的个 数，也是l 妒) b 的s c h m i d t 分解中的项数由此，可以给出纠缠态的 另一个定义：。如果一个两体量子系统的纯态l 秭a b 的s c h m i d t 数大 于1 ，它便是纠缠的，否则便是可分离的( 或未纠缠的) 一 2 3 量子纠缠的度量 纠缠描述处于同一系统的几个子系的态之间的非局域特性设 一个大系统由几个子系构成，复合系统的密度矩阵为p ，e ( p ) 描述 态p 的纠缠度由于物理上相互作用的两部分联合的幺正演化可以 产生纠缠，而局域操作和经典通讯只能产生经典相关，不可能产生 量子纠缠，因此一个合适的纠缠度量须满足三个基本条件【4 2 】： ( 1 ) 对分离态，纠缠度为零 ( 2 ) 各个部分的局域幺正转换不改变总系统的纠缠度，在局域 操作和经典通讯( l o c c ) 下，总系统的平均纠缠度不增加 ( 3 ) 若两个态是由多部分构成的复合系统态，纠缠度对这两个 态张量积应该是可加的 由于多体的复杂性，且本文后面所研究的是两体的情况，因此 下面讨论的主要是关于两体的几种纠缠度它们分别是v o nn e u m a n n 熵、形成纠缠度、可提纯纠缠度、相对熵纠缠度【4 3 1 硕士学位论文 一、v o nn e u m a n n 熵【4 4 1 当两体量子态处于纯态i 砂) a b 时，a 和b 之间的纠缠度可定义为 这个态约化密度算子的v o nn e u m a n n 熵( 又称部分熵) ，即 e ( i 妒) b ) = s ( p a ) = 一t r ( p a l n p a ) ， 其中p a 为纯态i 砂) b 下a 子系统的约化密度矩阵 p a = t r b ( k b ) a b ( 1 p d ( 2 7 ) ( 2 8 ) 因为a 和b 总系统处于纯态，有s ( p a ) = s ( p b ) ，所以纠缠度可定义为 任何一个子系统的y o nn e u m a n n 熵b e n n e t t 证明【4 5 】，通过对非最大 纠缠对的n 个拷贝进行局域操作和经典通信，可以浓缩它们的纠缠 到数目较少的最大纠缠对上这里的最大纠缠对定义为当两子系统 处于纯态i 妒) 时，若各子系统均处于密度矩阵为单位矩阵的倍数描述 的态时，i 妒) 称为这两个子系的最大纠缠态对于两体两维系统，最 大纠缠度为1 若每个非最大纠缠对的纠缠度为e ，当n 足够大时， 可以得到最大纠缠对的数目渐进于n e ，这称为纠缠浓缩( e n t a n g l e m e n t c o n c e n t r a t i o n ) 相反的，从起始的n 个最大纠缠对出发，通过局域操 作和经典通信，可以制备出数目更多的非最大纠缠对，在n o c 的 极限情况下，可以保持总的纠缠度( 部分熵) 不变，这称为纠缠稀释 ( e n t a n g l e m e n td i l u t i o n ) 因此从这种意义上说，纠缠浓缩和纠缠稀释 是可逆的；y o nn e u m a n n 熵对于两体纯态而言是一个好的纠缠度量， 因为它很自然地满足上面指出的纠缠度量的几个基本条件，并且在 上述可逆操作下，保持守恒 二、形成纠缠度( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 【4 6 ，4 7 假设由a l i c e 和b o b 分享的两个部分共处在混合态p a b 态p a b 有无穷多种制备方法，假设其中一种是由纯态炒) 以几率p t 混合而 成，我们把这种制备方式记为5 ， 以b = 鼽( 矾肌= 1 ， ( 2 9 ) ti 上式也称为混和态p 日的一种分解定义态p a b 的形成纠缠是对所 有分解e 中，纯态纠缠的统计平均的最小值： e f ( p a b ) = m i n 肌s ( 厶) ， ( 2 1 0 ) i 两模激发相干态及其纠缠特性的研究 其中以= t r 以，s ( 以) 是态以的y o nn e u m a n n 熵。可使平均纠缠 达到最小值的分解被称为最小分解形成纠缠的物理思想是纠缠稀 释，从k 个最大纠缠单态，仅通过局域操作和经典通信可以制备出 纠缠混合态以8 的形成纠缠即 e f ( p a b ) = 熙尝， ( 2 1 1 ) 这是基于嘏售的最小分解是单个态最小分解。p t i ) ( 们的简单直积 的假设下成立的，如果不是，那么应该有如下的关系式存在： e i ( p a 口) ：曼巴娄：l i m 墨望璺盟 ， ( 2 1 2 ) n _ n 1 1 - - o o n 可以看出 e f ( 以b ) se f ( p a s ) ( 2 1 3 ) 形成纠缠有下列性质： ( 1 ) 纯态的形成纠缠就为v o i in e u m a n n 熵 ( 2 ) 分离态的形成纠缠为零 ( 3 ) 形成纠缠在局域操作和经典通信下不增加 由于计算形成纠缠需要找出待求混合态的最小分解，这不是一件 容易的事情对于两体两维系统，形成纠缠可以直接计算出来【4 7 】 设p a b 是两体两维系统中的一个混合态，定义另一个态面 万= 唧 a v p a y 圆唧， 这里 q = c：) 算子万的本征值记为a ；( 因为此算子为半正定矩阵) ，则硐仍) = a ；协) ， 且有a 1 a 2 a 3 k 0 其中i 协) 是茚的本征矢，定义p a b 的并发 c o n c u r r e n c e ) 为 c ( p a s ) = m a x ( o ，a l a 2 一入3 一k ) ， 硕士学位论文 那么p a b 的形成纠缠度为 跏加日( 孕) ， 其中 日( p ) = - p l 0 9 2 p 一( 1 一v ) z 0 9 2 ( 1 一p ) ， ( 2 1 8 ) 从上面的两个式子可以看出耶是c ( 舶日) 的单调函数，即所( p t ) = 毋( 戊) 当且仅当c ( p 1 ) = c ( p 2 ) 下面我们介绍一个计算两体纯态的并 发的定理【4 8 】对于由a ，b 系统组成的纯态i 毋) = 口1 0 0 ) + 6 1 0 1 ) + c 1 1 0 ) + d 1 1 1 ) ， 它的密度矩阵为p = l 妨( 咖l ，则直积矩阵可以写为 茚= l 咖) ( 毋1 0 i 妒) ( 妒l 勺。勺， ( 2 1 9 ) 其中万由( 2 1 4 ) 给出我们可以直接看出， 1 1 0 ) = i 咖) 是茚的一个 本征态，本征值为俐o 勺俐2 我们总可以找到另外三个态i 砖) ， k ：1 ，2 ，3 ，这三个态线性独立，并且都与i 咖) 正交因此，这三个态可 以写为) = 唧圆i 砖) ，k = 1 ，2 ，3 ，本征值为零这样，从( 2 1 6 ) 我们 得到并发为 c = i ( l 唧 唧i 咖) l = 2 l a d 一6 c i ( 2 2 0 ) 因此对于一个纯态，并发可以定义为算符唧。勺的平均值的绝对 值通过对一个子系统求迹，并解出它的本征值，这些本征值是i 咖) s c h m i d t 系数c i 的平方 4 9 ，即碍= 入并发也可以用s c h m i d t 系数表 示例如，a 系统的约化密度矩阵为， 以= 1 c 1 2 + i d 2 ”c a * + + d 1 6 b i * ： ( 2 2 1 ) p a 的两个本征值为 h 2 = 去士三万词砾阿丽矿i 万五丽 ( 2 2 2 ) 这样我们也可以得到并发的计算公式 c = 2 瓜= 2 i n d 一吼( 2 2 3 ) 两模激发相干态及其纠缠特性的研究 三、可提纯纠缠度( e n t a n g l e m e n to fd i s t i l l a t i o n ) 【4 6 ，5 0 1 假设p a 日是被a l i c e 和b o b 分享的混和态，而且他们已制备了这 个态的n 个拷贝，并假设当n o o 时，a l i c e 和b o b 可以从这n 个拷 贝中通过局域操作和经典通信提取出m 个最大纠缠对，定义态p a b 的可提纯纠缠度为 e p ( p a b ) = 熙罢 ( 2 2 4 ) 对于两部分纯态，可提纯纠缠仍然等于v o l ln e u m a n n 熵对于一 般的两体混合态，这个度量与最有效的提取方案有关，但是如何找 到最有效的提取方案还是一个问题 可提纯纠缠和量子纠错有着密切的联系【5 6 】假设a l i c e 想通过 量子通道e 传送给b o b 量子信息不失一般性，我们假设通道是一 个量子位的退偏通道 e ( p ) = 即+ 宇( o i p a + 0 2 , 0 0 2 + 0 3 , 0 0 3 ) ， ( 2 2 5 ) 其中口1 ，0 2 ，c r 3 是p a u l i 矩阵，定义为 一( ：) ，眈= c ：) ，c r s = g 二) ， 仁2 6 ， 这个退偏通道是独立作用在n 个量子位上的a l i c e 可通过这种办法 传输量子信息：a l i c e 制备m 对b e l l 态，并把每个b e l l 对中的一个量 子位通过这个退偏通道送给b o b ，这时b e l l 态转换成了混合态p ，因 此a l i c e 和b o b 分享了m 对p 现在a l i c e 和b o b 实现纠缠提取，产生 m 毋( j d ) 个b e l l 态使用这些b e l l 态，利用隐形传态方案，a l i c e 就能 传输m e ，( p ) 个量子位未知态给b o b 因此纠缠提取方案可以以这种 方式用于两部分之间量子通道的纠错上，使得a l i c e 可以可靠的传输 m e ，( p ) 个量子位信息到b o b 最值得一提的是，在传统的量子纠错方法无能为力的情况下， 这种使用纠缠提取来通信的方法仍能发挥作用例如：在上面例子 中，当p = 3 4 时，传统的量子纠错码不能纠正退偏通道产生的错 误【4 3 】，因此不能使量子信息通过这个通道传输但是纠缠提取方案 可以产生非0 的传输率e d ( p ) 这是因为纠缠提取方案允许经典信息 的传输，而传统的量子纠错方案没有经典通信的参与 1 2 硕士学位论文 四、相对熵纠缠度( r e l a t i v ee n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) 【5 1 】 如果把纠缠浓缩和稀释的局域操作和经典通信看成是把纠缠态 从非纠缠态区分出来的“测量过程”，纠缠度就和在执行一定次数的 测量后，仍不能区分纠缠态和非纠缠态的概率有关v v e d r a 首先受 经典概率论中区分二个不同的态所需测量的次数这一问题的启发， 把纠缠态和非纠缠态看成二类不同的态，用通过局域操作和经典通 信区分它们的难易程度或它们之间的“距离”来度量纠缠，引入相 对熵纠缠来度量纠缠混合态 对于两个量子态p a 口，相对熵纠缠定义为 e a b ( p a b ) = m i n ，、s ( p a b i a a b ) ， o a b e 上j 其中 s ( p a b i a a b ) 兰t r ( p a b i 0 9 2 p a b p a b i o y 2 p a b ) ， ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 是量子相对熵。d 是所有的两体分离态，即t y a b = ；鼽以圆以的集 合d 集合中可使量子相对熵达到极小值的分离态称为量子态p a b 的最近分离态 2 4 小结， - ，一 在这一章，我们在对量子纠缠的基本概念作出简单介绍之后， 引进几种量子纠缠的度量方式量子纠缠的重要性使得对它的定量 描述显得尤为重要，是量子信息理论研究的热点问题，对量子纠缠 的定量描述是指如何用一个具体的量来描述纠缠程度的大小所谓 纠缠度，就是指所研究的纠缠态携带的纠缠量的多少，纠缠度的提 出，为不同的纠缠态之间建立了可比关系，但是目前，除了对两体 和在体系统的纠缠度取得了一些肯定的结论之外，对多体系统的纠 缠度的量度的研究还处于起步阶段，还没有一个确定的普遍可以接 受的标准，还有待进一步的探讨 两模激发纠缠相干态及其纠缠特性研究 第三章光场相干态的基本理论 3 1 引言 在过去的一二十年里，人们在相干态及其应用领域取得了突破 性的进展然而在还没有制备出一个量子系统的相干态之前，人们 就已经提出了很多关于这方面的想法事实上，早在1 9 2 6 年，薛定 谔首先提出了现在称之为“相干态”的概念，是与经典相干场的量 子场状态紧密相联的所以可以说量子力学一产生人们就发明了相 干态。然而在1 9 2 6 年与1 9 6 3 年之间，该领域的活动处于休眠状态 一直到3 5 年后g l a u b e r 和s u d a r s h a n 制备了第一个关于相干态的具体 的应用，并且发起了对该领域来说非常重要非常有意义的研究在 他的两个基本著作中，。相干态”这个词被第一次造出，为了研究 电磁关联函数，g l a u b e r 构造了谐振子的湮灭算符的本征态，该本征 态在量子光学中是极为重要的量子相干态在光学中有着重要的地 位工作在远离阈值以上的激光器所生成的光场( 激光) 就近似为 相位缓慢扩散的量子相干态相干态表象作为一种数学工具也在广 泛的物理领域( 如粒子物理，统计物理) 的理论中获得了应用我 们知道，体系的状态有纯态和混合态两种类型对于量子体系，纯 态由态矢量表示，而统计混合态常采用状态密度算符来表示前者 对应于经典理论中的力学态，后者对应于经典