（凝聚态物理专业论文）一维晶格系统中量子热传输特性的研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘摘 要要 低维晶格模型的热传导问题作为动力学和统计物理的桥梁，自上个世纪就一直被 人注目， 最近的20年中由于其在微观器件(可以被描述为一维或两维模型)的应用方面取 得的巨大成就再次引起了科学界更狂热的关注，越来越多的数值模拟关注于动力学模 型遵循傅立叶定律的极限条件。 我们运用发展的ford-kac-mazur平均场近似方法对与两个热源相连的一维fpu晶 格链的量子热传输特性进行了研究。该方法对于求解线性系统的精确解具有简洁明了 的特点，同时对非线性系统能有效的进行数值模拟。为了研究晶格体系的热流、热导 与系统大小的依赖关系以及系统的局域能量密度，我们在研究过程中采用了两种不同 的噪声热源。从量子的角度，我们发现了一些新的关于声子热传输的物理现象： 1）我们通过海森堡运动方程和 fkm 方法对体系的方程进行演化，并进行傅立叶 变换将体系从实空间转换到频率空间，从而得到频谱空间中晶格体系的介电原子的特 解，最后通过计算机进行数值求解。我们发现系统的热流和热导率不仅与系统本身的 特征有关，还与所耦合的噪声热源有关，并且热源的选择，接点的状态，以及 fpu 的 非线性项作用对系统的热流、热导的影响都是很重要的。 2）通过选择不同的热源，在整个系统的热流为零的情况下我们研究了确定体积大 小的晶格体系的局域能量密度。我们发现当偶数大小的晶格链系统与 langevin 热源耦 合时，链系统远离边界位置有很好的局域稳态存在，此时我们可以用链系统中间部分 的动能很好的来描述其局域温度特征。但当偶数大小晶格链系统与 landauer 热源耦合 时，相对谐振链情形中间链系统的局域温度存在一定的涨落。并且我们发现由于 fpu 的非线性作用，在链系统的边界位置局域能量密度的涨落较大，此时其较弱的依赖于 噪声源的选择。对于奇数大小的链系统我们发现无论选择哪种热源与之耦合，其局域 能量密度都存在较大的涨落，当我们对称的采用吸引的和排斥的 fpu 相互作用势时， 系统的局域能量密度相对谐振晶格体系情形具有很好的对称性涨落。 关键词：关键词： fkm方法 热导 傅立叶定律 涨落耗散定理 非平衡统计物理 i 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 abstract heat conduction in low-dimensional lattice system is as the connection between dynamics and statistics, having been studied extensively since the early 1900s. much more attention has been paid to this problem in the past decades due to the dramatic achievement in the application of miniaturized devices which can be described by one-dimensional (1d) or 2d models. more and more numerical calculations are focused on the minimal requirements for a dynamical model whether or not fouriers heat conduction law holds. in the thesis, the extended mean-field ford-kac-mazur formalism has been proposed for the study of quantum heat transport through an one-dimensional fermi-pasta-ulam (fpu) dielectric chain connected to two reservoirs. the method is more transparent and direct for linear systems to get exact results. further it is a useful method for nonlinear systems to perform numerical simulation. the size-dependence of system heat current, heat conductivity and the local kinetic energy density have been analyzed numerically. in our study, two different reservoirs are adopted and some new phenomenons have been discovered there in the quantum version. (1) we evolved the system equation through heisenberg equations of motion and fkm equation while the boundary particles 1 and n are coupling to the reservoirs. further, by using fourier transformation, we get the particular solutions of the lattice system in frequency space. at last the numerical simulation has been taken into account. we found the size dependence is not only related to the properties of the system itself, but also affected by the properties of noise reservoirs. therefore, we can say that the effects of reservoirs, the contacts and the fpu nonlinear interactions all have played an important role in quantum thermal transport. (2) by choosing different heat reservoirs and as the whole system heat current vanishes, the local energy density of a definite size chain has been studied. we found when the even-size chain coupled to the langevin heat bath the steady state exist in the central of the chain. then the local energy density of dielectric atoms at the middle of nonlinear chain can be used to describe the local temperature of the chain. but when the even-size chain coupled to the landauer noise reservoirs, in contrast with harmonic lattice system, the local temperature appears some shift in the central. although the large fluctuations of the local ii 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 temperature are sensitive to the fpu interactions near boundaries, weakly dependent on the noise reservoirs. at the end of the thesis, we found the symmetric repulsive and attractive fpu nonlinear interaction results in a good symmetric fluctuations. key words: fkm method, heat conductivity, fourier law, fluctuation-dissipation theorem, nonequilibrium statistical physics. iii 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在 年解密后适用本授权书。 不保密。 本论文属于 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 引引 言言 1.1 问题的提出问题的提出 低维系统中的热传输特性无论是非线性动力学、碳纳米科学还是非平衡统计物理 中都是非常感兴趣的一个问题，近些年已经引起了大量学者的注意1-6。对于非平衡现 象研究的一般宏观方法在很大程度上依赖于结构方程的传输系数的定义。在系统接近 平衡的假设下，通常借助于热动力学量和热流加以实现。 fourier热传导定律7是从大量实验中总结出来的一条普适的定律，最初是傅立叶 1808 年提出用以解释地球内部存在热梯度的，其表达式为： jt= (1-1) 其中j为热流，t是温度的梯度，是热传导系数，它对物质的固、液、气、三 种状态都是成立的。十九世纪末和二十世纪初，随着统计理论的发展，尤其是分子运 动理论的建立，人们开始尝试在动力学的基础上计算物质热传导系数。这种尝试在 气体和液体中取得了很大的成功，基于boltzmann方程和kubo公式，可以很好的用来说 明气体和液体中的热传输特性 8， 并且可以很大程度上用以说明由于气体和液体中粒子 位置的变化和组成不同而引起的一系列输运现象。同时，对于电流的传输也具有相同 的基本形式，并且公式（1）已成为物理学家普遍广泛采用的定律。于是有人提出对固 体的时候傅立叶定律是否成立？ 对于固体的热传导的问题要复杂一些，这首先是因为固体物质形态的多样性，并 且固体中可以通过电子的运动进行热传导，也可以通过晶格振动产生的声子进行热传 导。一般在介电物质中主要是通过晶格来进行热传导的，金属中，由于电子可以自由 移动，从而可以用 boltzmann 的方法进行讨论，在电子的半经典近似成立的情况下， 能得到较好的结果。由于固体中原子，或者分子组成的晶格在空间上是相对固定的， 所以分子运动论的方法不能直接应用到固体晶格的热传导问题上。应用晶格的振动理 论，可以把固体晶格的整体振动用声子准粒子来描述。然后将“声子气体”类比于真 实的气体，从而可以计算晶格对热传导的贡献。由于声子是玻色子，而公式（1）的形 1 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 式意味着能量传播的过程是一个无规过程，这就要求存在声子的散射机制，否则， “声 子气体”将不可能达到统计的局部平衡。 一般认为声子的散射机制是由两种过程来决定的， 一个是声子相互作用的碰撞， 另 外一个是固体的缺陷对声子的散射。晶格之间的非谐耦合使晶格之间存在相互作用， 从而产生声子的相互碰撞。而固体的缺陷包括晶体的不对称性，多界晶面以及杂质等， 可以在晶体的表面和内部产生声子的散射。这种解释是建立在 boltzman 方法有效的基 础上的，即声子气体能达到统计的平衡。但是问题的关键是，在晶格的传热过程中能 不能使“声子气体”达到统计的局部平衡？如果用微扰的观点来看，既然晶格以简谐 势相互作用时，声子之间没有相互作用；声子将自由传播，那么统计的局部平衡就不 能达到，那么，理想的，无缺陷的晶格中，非谐作用势能不能使声子产生足够的散射， 从而达到局域的平衡？这是一个不可预见性的问题。 这造成很大的困扰， 因为 boltzman 方法计算的有效性是通过结果来检验，而不是在计算前就估计出来的。 所以，计算热传导系数的工作一般不建立在 boltzman 方程的基础上，而是直接以 晶格的振动理论为基础，直接数值计算；或者解析计算时采用比 boltzman 方程的成立 条件更弱的一些假设。 同时， 热传导问题近几十年的进展也是和时间不可逆问题是有关系的。 如果把问题 限定在经典的框架下，我们会发现，热传导问题实际上是微观决定性系统的可逆性和 宏观现象不可逆之间的矛盾的具体体现。在经典的框架下，晶格的整体振动是由经典 的动力学方程决定的，是一个决定性的微观可逆系统的行为，而能量的传递是一个不 可逆的过程。热传导现象就是一个典型的能量传递的例子，热量不可能自发的从低温 物体流向高温物体，而不对外界产生任何的影响，这是热力学第二定律的内容。对于 微观决定论系统的可逆性和宏观现象不可逆性的矛盾的讨论，虽然至今仍然没有明确 的定论，但是通过引入微观可逆的多体系统来研究非平衡统计物理已经被看为是一种 相当有力的研究工具9。如果在可逆性之上再加入一个“混沌假设” ，由此而发展起来 的对于严格的双曲型系统的统计行为的预测也被证实是相当成功的10。 另外一方面，人们认识到，在系统的可逆性之上加入的“混沌假设”是一个概率性 的假设，这使得由此而得到的方程并不可能只依赖经典动力学定律得到。虽然容忍这 2 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 种模糊性存在但并不能动摇统计动力学在宏观世界中的正确性，但人们总是试图从微 观出发，建立一个从微观可逆性过渡到宏观不可逆的桥梁。非线性动力学的发展对这 个问题作出了一个说明，但是关于这方面的知识还是不完备的。 从理论的意义上来说， 用非线性动力学的方法对于热传导问题的研究可以使人们获 得对于非平衡系统的性质和不可逆问题的更多的认识，这正是现在热传导问题被广泛 关注的一个重要的动力。 1.2 一维晶格系统中的热传导一维晶格系统中的热传导 目前对于热传导现象的研究，主要集中在对一维晶格的傅立叶热传导定律的研究 中。一方面的原因是，对于一维的晶格体系的数学描述已经很复杂，尤其是当晶格之 间的相互作用是非线性的时候，数学上的处理更具有较大的难度；另外一方面，数值 模拟需要晶格有足够的尺寸以消去边界的影响，这也限制了晶格的维数不能太高。 傅立叶热传导定律指出，对于热传导现象，当温度梯度很小的时候，热流与温度 梯度成正比。热传导系数应该是一个与物质的尺度无关的常量。近 20 年的大量实验 和数据表明这一点并不是都成立，这是一件有意思的事情，本文提到的很多工作和本 人的工作都是从这一点出发的来进行研究和探讨的。 1.2.1 一维晶格的经典模型一维晶格的经典模型 在经典框架下， 一维晶格的模型如图 1.1 所示。 在模型中， 晶格被看成是有质量 的质点， 任意两晶格和 j 之间的平衡距离为。 如果相互作用只考虑最近邻相互作用， 则体系的哈密通量可以写为： l m a 2 1 ()( 2 l lil l l p hu xxv m + =+ )x (1-2) 其中， l p 是每个晶格的动量； l x 是第 个格点的相对平衡位置的位移，是 晶格之间的相互作用势；是每个晶格受到的外场的中心势能，并且它是人为所加 的，并不具有实际的物理内容。加上了外场的一维晶格模型实际上可以理解为是考虑 了晶格的横向相互作用的准二维修正。 l 1 () ll u xx + ( ) l v x 3 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1.2.2 一维晶格中的温度和热流的微观定义 一维晶格中的温度和热流的微观定义 对于一维模型，通常定义晶格链的局域能量密度为： ( , )() l l h x thxx= l (1-3) 其中 2 1 ()( 2 l lll p hv xxu m + =+) l x (1-4) 是每个格点动能和势能的总和。如果进一步假设在晶格链上各个格点的局域统计平衡 存在，即各态历经是成立的（通常我们谈论晶格的温度的时候，实际上已经假定了局 域统计平衡的存在。 ） ，就可以通过局域形式的维里定理来定义各格点的温度11-13： l lll ll hh tpq pq = l (1-5) 其中i是热力学统计平均；是格点离开平衡位置的位移， l q l p 和共轭坐标。 i q 在一维晶格模型中，(1-5)式可以对应的化简为： 2 2 l l l p t m = (1-6) 此时我们可以用(1-6)来描述微观系统的固定格点上的温度。在一维情况下，热流的定 义并不是显而易见14,15。局域热流可写成： ( , )() l l l j x tjxx= (1-7) 我们首先来定义一维系统的局域能量密度为， 2 22 111 441 2( lllllll upmpmxx + =+) (1-8) 运用热流的连续性方程 0utjx + = (1-9) 根据方程(1-7)我们可以得到一维晶格链的热流对应的表达式为： 11 ( lllll jxxx x =?) 2 (1-10) 这样定义的热流即为局域稳态下通过晶格格点上固定位置的微观热流。 4 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1.2.3 几种特殊模型的描述几种特殊模型的描述 因为不同的一维晶格模型其性质具有很大的差别，迄今为止还没有很好的分类， 我们就几种不同的情形进行一定分析讨论。 一维单原子简谐晶体模型是一维晶格模型中最简单的一种16-20，它是目前唯一在 低维晶格系统中可以用解析的方法来严格求解的一个模型。 如图 1.1 所示，n 个格点，每个都通过满足 hooke 定律的弹簧和最近邻的格点相 连形成一个一维的简谐链。第 0 个和第 n+1 个格点认为是固定的，第 1 个格点和第 n 个格点分别和温度为和的热库通过强度为 l t r t 的 fokker-plan 力随机的相互作用。 rieder 等人发现，在离链的两端足够远的地方温度梯度是不存在的，并且链上各格点 的平均温度为( ) lr tt+2，当格点 时， 1n? ( )() lr jctt= (1-11) 其中 ( )c 只是跟弹簧的强度系数和格点的质量以及有关的量，跟晶格链的长度n是 没有关系的。由于通过单原子简谐链的热流只是正比于左右热源的温度差，而不是温 度的梯度，所以此时晶格链有异常的热传导行为，不再遵循傅立叶定律，此时的热传 导系数是发散的。后来的研究表明，所有可积系统都具有相同的热传导行为，其中包 括单原子toda模型，可积系统没有温度梯度形成的原因是能量在链上无损失的自由传 播。均匀简谐模型中，能量的载体是线性波，toda链输送能量的是没有耦合的非线性 模式孤子，它们碰撞的时候没有交换能量，因此没有能量的散射机制，从而不能形 成温度梯度。 上个世纪六、七十年代人们已经熟悉了anderson关于局域化的理论，一些研究者 5 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 想到无序可能会有助于热阻的形成，从而使系统保持正常的输运行为。1970年masuda 和ishii用近似的分析方法并结合数值方法研究了质量无序的一维简谐晶格模型21，则 对于链两端分别是固定边界和自由边界的情形，分别又得到了， 3 2 1 2 (),( (),( lr lr jttnfixed jttnfree ) )d (1-12) 如果根据hatano的结论我们可以定义热传导系数为： lr j n tt = (1-13) 我们发现当n取极限时，两端固定情形下的热传导系数为0；对于两端不固定的情 形，热传导系数是发散的。那么有人提出如果晶格链各格点间的相互作用是非线性相 互作用时，此时的非线性相互作用是否能保证一维链的能量输运符合fourier定律？在 这种思想的指引下很多学者做了大量的工作，结果表明非简谐相互作用并不能保证其 输运性质满足fourier定律。thompson于1963年证明了至少在低级微扰理论的框架下非 简谐的相互作用不能保证正常的能量输运行为22。此外1963年ford、kac和mazur对于 超无序链的研究23；1964年northeote和potls以及helleman在1971年对hardcores谐振链 的研究24都没能找到符合fourier定律的有关证据。有学者对两种效应结合的模型也进 行了研究，zavt等人25在其1993年的工作中细致的研究了无序和非线性分别以及同时 对能量传输的影响，在他们的工作中提到无序单独作用时对能量的传播有削弱的作用， 非线性单独作用时对能量的输运有加强的作用，当它们共同存在的时候两种相互作用 相互抵消，非线性减少局域化，无序破坏孤子的稳定性。 大量的工作证明了当晶格之间的相互作用是非简谐时，我们一般得不到解析的结 果。此时数值模拟就成为了一种有效的手段。运用非线性动力学的结果，casati等人在 1984年找出了一种一维晶格的ding-a-ling模型，如图第一次成功的运用动力学的方法 在一维晶格链的微观模型上实现了正常热传导现象26。ding-a-ling模型是由一系列偶数 格点上的简谐振子和奇数格点上的硬粒子构成的，如图1.2所示，此时系统的 hamiltonian可表示为： 6 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 222 1 1 () 2 n lll l hpqhard point core = =+ (1-14) 其中，当l为偶数时， l =；当 为奇数时，l0 l =。所有晶格格点都认为具有单位质 量。0=时，系统退化成著名的硬点气体，这是一个可积的系统。当从零开始增加 时，系统的行为逐渐转化为近乎k系统的行为。图1.3和图1.4给出了一个谐振子和一 个硬粒子在周期边界条件下，相空间的一个截面随的变化情况。当比较大时，系 统具有k系统的性质27,28， 它的强随机性提供了动力学出发实现满足傅立叶定律的热传 导的可能。casati等人确实观察了当n趋于无穷时和格点数目无关的热传导系数, 如图 1.5所示： 图 1.4 两 粒 子 的 周 期 性 系 统 的 截 面 。 截 面 取 121 (1)20qqq = += 且 121 ()20ppp = (a) 0.2=，(b) 3.0= 1992年prosen等人改进了ding-a-ling模型29，提出了更简单的ding-dong模型，其 实质是ding-a-ling模型中移去了自由粒子， 但允许用胡克弹簧相连的固定粒子间发生弹 性碰撞。其hamiltonian可以写成： 222 1 1 () 2 n lll l hp = =+ q (1-15) 7 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 其中，同时格点的平均距离均为单位长度，质量都取的是单位质量。数值 1 1 l q + + ? i q 图 1.5 ding-a-ling 模型热导率随体系的变化 图 1.6 ding-a-ling 模型格点温度随格点的变化 结果表明该模型同样具有正常的热传导，由于这类系统都具有典型的混沌运动，所以 当时人们普遍认为，混沌运动的存在是导致正常热传导的微观起源。图1.6中给出了 ding-dong模型中温度随格点变化的图形，直观的说明了温度梯度的存在；同时， “ding-dong”模型也得到了有限的，不随格点数目变化的热传导系数。 我们对这两种模型进行比较，可以得出这两者之间的共同的特点： （1）在格点的相互作用势中，存在着只在短距离起作用的相互作用势能，在 ding-a-ling模型中hardcore和其他粒子的相互作用势是硬球势，只有在相互接触的时 候才有相互作用。 （2）格点自身都还有简谐中心势的作用。 这两个模型都成功的从动力学出发，得到了傅立叶热传导定律，虽然这两个模型 可能和物理并没有什么联系。由此而引发了一个问题，即具有什么样特征的系统会得 到有限大小，以及和格点的数目无关的热传导系数呢？或者我们可以反过来问，什么 样的系统就一定不会得到正常的热传导系数呢？casati对这个问题给予的答案是k系 统能够保证正常的热传导系数。 但不久，lepri等学者30-37根据著名的fermi-pasta-ulam(fpu)模型得出的结果对上 面的结论作出了反驳。fpu模型是对单原子简谐晶格模型的最简单的非谐振修正，同 时它也是一个混沌的系统。其模型是在公式(1-2)的基础上将晶格之间的相互作用势 8 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 ( l v xx + ) l 取为： 2 111 ()()( 24 llllll mm v xxxxxx 4 ) + =+ (1-16) 此时取每个晶格受到的外场的中心势能()0 l u x=， 在第一个和第n个格点上加上热库， 保持他们分别处于和的温度下。在这种模型条件下，温度随格点的变化简单的呈 现一种线性关系。在保持能量密度和质量密度的条件下重新标度，当晶格体系大小n 趋于无穷的时候，此时的热流随粒子体系大小n的变化如图1.7所示： l t r t 图 1.7 fpu 模型热传导率随晶格大小 n 的变化 图中所取的参数，152 l t=24 r t=，即此时有热传导率与晶格大小n的关系 1 2 n，是非正常的热传导系数，这个模型的结果说明了在经典的框架下，系统的 混沌性不足以保证正常热传导系数的产生。 9 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 加上中心势的加上中心势的 fpu 模型的研究模型的研究 casati等人的研究最先给出了符合fourier定律的能量输运的微观固体模型。但他 们的模型过于数学处理化了， 对于真实的物理系统没有太多的研究价值， 相比而言lepri 等人研究的fpu模型是普适的物理模型，因此寻找和研究遵行傅立叶定律的更普适的 固体模型是大有必要的。 1998年b. hu等人38对另外的一个常用的微观固体模型fk模型进行了研究，fk模 型可以用来描述晶体表面的错位现象，也可以用来描述一维约瑟芬节链39。其 hamiltonian可以描述为： 2 2 1 2 1 2 ()cos 22(2 ) n ll ll l pxa hxxa mb + = =+ (2-1) 其中，a是相邻晶格的间距；晶格格点的质量和相邻格点相互作用力的力常数归为1； 是每个晶格格点受到的简谐中心势的强度系数。 引入fk模型是用来研究铁电材料中 发现的公度无公度相似以及其他一些凝聚态现象。它的物理意义相当于一个谐振子 链放入周期性调制的外场中。b. hu等人数值结果表明这个微观模型具有正常的热传导 行为，后来他们又研究了另外一种具有中心势的一维振子链模型，即 4 模型，其 hamiltonian可以写为 2 4 11 1 ()( 224 n l llll l pm ) hxxaxxa m + = =+ (2-2) 该模型同样具有正常的热传导行为，同时其它微观模型的热传导行为也被报道了，其 中双原子toda链的研究结果显示了与fpu相同的能量输运行为，toda模型是一个无 中心势的不可积模型。 ding-a-ling、ding-dong、fk、 4 这些都是具有中心势的不可积模型，且都具有正 常的热传导行为。基于这些积累起来的结果，b. hu等人提出了中心势的存在保证了正 常的热传导行为。并且指出在传输过程中由于外势的散射作用从而阻碍了能量的扩散 从而出现了正常的输运过程。具有中心势的均匀不可积系统具有不同的高温行为和低 10 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 温行为。高温下其热传导系数以jn发散，01时刻，粒子(晶格)体系通过海森堡运动方程进行演化后满足一系列的耦合 方程： 3 1 11221 33 1111 3 11 (2)() (2)()( (2)() p lllllllll nnnnnnp m xxxxxx m xxxxxxxx m xxxxxx + = + = + = + ? ? ? ) ) (5-5) 我们将公式(5-5)中的项运用平均场近似改写成 3 1 ( ll xx 2 11 ()() llll xxxx ， 对应的改写成 3 ( ll xx + ) 2 11 ()( lll ) l xxxx + p 。对左边热源应用运动方程可得到： 1 , vv pp xxv xxx = = + ? ? (5-6) 其中 ,v 和 ,p 的意义已经在介绍landauer热源的时候定义过。这是一个线性非齐次 方程组，对应的解, 1 ()( )()( )()( vvvvp )xftxatxdt gttx t =+ ? (5-7) 对应的系数定义为， ( )( )cos() sin() ( )( ) vvss s s vvss s s fttu ut t attu u s = = (5-8) 23 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 方程(5-6)中 p x对应的解为： 1 ( )() ( ) ppp xtdt gtt x t=+ (5-9) 对应的( ) t由下式给出： ( )()( )()( ) pp tftxgtx =+ ? (5-10) 该式中第一项描述的是噪声贡献项，第二项描述的是耗散贡献项。运用频谱表示的方 法我们可以得到： 1 2 22 2 2 ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ()() 2 ppp ps pp s s ps ss s s xax u aib u b + + =+ = = + n x (5-11) 相应的，我们可以写出右边热源的解为 ( )( )( )( ) pp p xa =+ 。通过 傅立叶变换： 1 ()( ), 2 ()( ), 1 ()( ). 2 i t ll i t pppp i t l xdtx t adtgt e dtt e e + + + + = = = (5-12) 我们可以得到粒子体系的特解为： 1 ( )( )( ) i t llmm x td ze + = (5-13) 其中 lmlmlm za= 。其矩阵元 lm 和由下列表达式给出： lm a 2 ,1,1, ()(2 lml ml mll m m) + = + (5-14) 和 24 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 22 ,1 ( )( ) lml mllrl n aaa =+ , (5-15) 函数( ) l 可以表述为， ,1,1 ( )( )( )( )( ) lll nll ff + =+ (5-16) 这里函数项是由非线性效应引起的，其表达式可以由下式给出， ,1l l f + 1 11 ( )( )( ) ()() ()() lll llll fxxdd xxxx + = (5-17) 为了简单起见，我们定义矩阵 z和 对应的行列式分别为和。它们之间存在下 列关系： ,l m y ,l m d 2222 1,1,2,1,12,1 11 11,1,1,11, 1,12,1,2,1 (518) ( ) ( ), ()1 nnnn llnnlnln llll i ydgdgdggd ii zyyzyy iii ddd d + n + =+ = = 粒子体系在t时刻的通解是所有的特解加上对应的齐次方程的一般解，并且其依赖于初 始条件。在稳态平衡状态下，我们一般没有必要考虑它的通解。为了后面我们研究热 源的噪声对体系热流、局域能量密度，以及热导率的影响我们有必要在这对噪声的一 些性质进行说明一下。在我们的研究中所考虑的影响体系的噪声( ) 满足下列涨落耗 散关系72,73： ( ) ()( ) ()i =+ (5-19) 这里( )( ) ( )ifb =，( )f满足玻色分布，其中 1 ( )exp() 1f = 1 t=。因为( ) 和() 是非关联的，所以有( ) ()0 = 。这里耗散项我们 取( )( )( )aaib=对应的( )a和( )b都取实数。 为了计算我们感兴趣的热流、局域温度分布特征、热导率等稳态值，我们定义局 域能量密度为： 25 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 22 2 1 1 1 1 () 442 ll l ll pp ux mm + + + =+ ll x (5-20) 利用连续性方程 0utjx + = (5-21) 我们得到， 11 ( lllll jx xx x =+?) 2 (5-22) 运用方程（5-13）我们可以得到热流的表达式为： 211 ,11,1 211int ,1, ()( )() ( ) ( )() ( ) lll l nlnl jdizzi zzij + = + (5-23) 其中z是倒三角矩阵，由非线性引起的在平均场近似下可以写为： int l j 1 int411 ,1,1, 1 1111 1,2,1,1,1, 111 1,2,2, 2( 1)( ( )( )( )( ( )( )( ()()()( ()()( nl j l lmm n mj l jmjmmm njmjm jmjmjm jidiizz zzdiizz zzz ) ) l mlm + + = + = + + 111 1,2,2, )()()() jmjmjm zzz + (5-24) 当 int 0 l j=时，方程(5-23)可以简化为： 22 2 1, ( ) ( )( ) ( )() l n bb jdf y d jff + + f = = (5-25) 此时公式(5-25)描述的是无序谐振链(dhc)系统中通过的热流。其中 2 22 1, ( )( ) ( )/ n jbb =y (5-26) 从物理意义上我们可以理解为总的热流密度。在hatano等人的工作中已经证明了非谐 振晶格体系之间不存在温度的跳跃，因此我们可以安全的定义热导率为： 26 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 l lr jn tt = (5-27) 其中n是晶格系统的大小， l j为方程(5-25)所定义的热流。又根据平均动能公式 2 (2) lll epm=，我们可以得到单个粒子的局域能量密度的表达式为： 2211 ,1,1 211int , 1 ( )() ( 2 ( )() ( ) llll l nl nl ed mzzi zzie ) + = + (5-28) 由非线性引起的 int l e在平均场近似下可以写为： 1 int4211 ,1, 1 1111 ,1,1, 1111 ,1,1, ( 1)( ( )( )( )( ( )( )( ()() ()( ()()()( nl j l llmm n mj l j mjmmm nj mj m j mjmjmj m ed miiz zzdiizz zzzz ) ) l ml m z + + = + = + + 11 1,1, )()() jmjm zz + (5-29) 如果类似公式(5-25)中一样，我们令 int 0 l e= ，此时系统回归到谐振晶格体系。此时 我们对晶格体系进行研究的时候引入了不同的热源与之相耦合，进而研究不同热源情 形下该体系的量子热力学性质。 5.1 langevin 热源下晶格体系的热力学特征热源下晶格体系的热力学特征 在langevin热源下我们给定其谱函数 ppp p ggi + = (5-30) 结合公式(5-25)至(5-28)我们数值上可以得到下列图形， 27 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 在langevin情形下图5.1中左右热源的温度分别为1.0 l t =和，晶格体系 与热源的接触都假定为理想接触， 取 0.2 r t = 1=。 该图形展示了系统跟langevin噪声热 源接触时对应不同的非线性系数热流随格点变化的情况。很明显的从图中可以看出 在时热流存在一个局域的最大值，之后随着粒子体系的增大呈现递减的态势，同 时随着非线性系数的增大而衰减其幅值。 图5.2中描述的是局域能量密度在晶格体系大 小确定的情形下随格点位置的变化情况。同样从图中我们发现在边界位置，局域能量 存在较大的涨落，非线性链的中间区域存在一个与谐振情形下重合的平台，这说明在 非线性晶格体系中也存在局域平衡热稳态。并且我们从中可以看出谐振晶格情形下边 界条件影响并不明显。 9n? 图5.3我们给出的是从公式(5-27)出发我们数值计算热导率随粒子体系大小变化的 结果，我们可以看出热导率的图形与热流的图形在很大程度上是相似的，这也正好验 证了公式(5-27)中它们之间的关系。图5.4中我们给出的是在我们目前讨论的热源情形 下局域能量密度随左边热源的温度变化的变化特征，在我们的模拟计算中首先假定了 右边热源的温度是固定的，我们发现无论是谐振晶格体系还是非谐振晶格体系 热导率随粒子体系大小的变化都近似成线性变化的，并且从 0.2 r t = 0.5=和0.5= 时的图 形我们可以看出当晶格体系粒子间相互作用势是排斥势时体系的局域能量密度值比晶 格体系粒子间相互作用势