（概率论与数理统计专业论文）重尾分布下带投资的风险模型.pdf

硕士学位论文 摘要 本文考虑一个带投资的风险模型：允许保险公司在资本市场上进 行投资。资本市场存在无风险投资( 如债券) 和风险投资( 如股票) ， 假定无风险投资的利率为常数r ，风险投资由几何布朗运动描述，选 择适当的投资策略可以使破产概率达到最小，为此，我们得到一个积 分微分方程( b e l l m a n 方程) ，首先我们证明了方程的解的存在性， 然后，根据方程我们可以得到一个最优投资策略，最后，给出了索赔 额为重尾分布时投资额函数彳及破产概率沙的一些结论：当索赔额分 布f 的尾分布以指数p 一l 正则变化时，破产概率矽也以指数p 一1 正则变化，并且得出了索赔额分布为亚指数分布时，投资额函数a 及 破产概率妙的渐近表达式。 关键词破产概率，b e l l m a n 方程，正则变化，亚指数分布，渐 近性。 里堂堡茎 塑茎 a b s t r a c t w ec o n s i d e rr i s km o d e l ，w h e r et h ec o m p a n yi sa l l o w e dt oi n v e s t t h e i rm o n e yi nr i s km a r k e t t h em a r k e tc o n t a i n sb o t hr i s k l e s si n v e s t m e n t ( e g b o n d ) ) a n dr i s ki n v e s t m e n t ( e g s t o c k ) s u p p o s et h a tt h e r i s k l e s si n v e s t m e n tm t ei sac o n s t a n t ，a n dt h er i s k i n v e s t m e n ti s d e s c r i b e db y g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，t h er u i n p r o b a b i l i t y i s m i n i m i z e db yt h ec h o i c eo fs u i t a b l ei n v e s t m e n ts t r a t e g y w es t a r tf r o ma l l i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b e l l m a ne q u a t i o n ) f o rt h em a x i m a ls u r v i v a l p r o b a b i l i t y f i r s t ，w ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fas m o o t hs o l u t i o n ，t h e n ， f r o mt h ee q u a t i o nw ec a l lg e ta no p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g y , a tl a s t ，w e g a i ns o m ec o n c l u s i o n sw h e nt h ec l a i ms i z ei sh e a v y - t a i l e d ：i f1 fi s r e g u l a r l yv a r y i n gw i t hi n d e xp - 1 ，t h e nt h er u i np r o b a b i l i t y i sa l s o r e g u l a r l yv a r y i n gw i t hi n d e xp 0 其中帮是初始资本，c 是保险公司单位时间内征收的保险费率，五 k 2 1 ) 表 示第k 次索赔，( f ) 是到时刻t 为止发生的索赔次数。在三个基本假设( 独立性 假设，相对安全负载0 的假设，调节系数r 的存在唯一性假设) 成立时，有以下 结论； “2 南 ( 2 ) l u n d b e r g 不等式： ) s e “ ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m c r 近似：存在常数c 使得 v u ) c e 一，却寸扒t i p l i m l f = l 0 ) 表示初始资产为1 _ 的破产概率，c r a m e r 在其( c o l l e c t i v er i s kt h e o r y ) 一书 中给出了以上结论的证明，但分析的方法比较繁琐，f e l l e r 在其书a ni n t r o d u c t i o n t om a t h e m a t i c a la n di t sa p p l i c a t i o n ) 运用了更新理论，而g e r b e r 在 m a r t i n g a l ei n m s k t h e o r y ) 一书中运用了鞅方法，他们都给出了更简洁的证明。在此不予详细 说明 硕士学位论文第章绪论 1 1 2g e r b e r 及其合作者 g e r b e r 不仅将鞅方法引入到风险理论中，而且深化了经典风险模型的研究内 容，他1 9 7 9 年所著的( a ni n t r o d u c t i o nt om a t h e m a t i c a lr i s kt h e o r y ) ) 成为当今研 究这一领域的经典著作。 1 索赔额过程的推广 经典风险模型的索赔额过程 s ( f ) ) 为复合泊松过程，g e r b e r 在保持( s ( f ) ) 的齐 次增量性的前提下，对经典风险模型进行了推广，主要有以下两方面： ( 1 ) 广义复合泊松过程 s ( f ，功：f o ) ：即索赔计数过程n ( t ，z ) 是以 a ( 卜f ( 功) 为参数的泊松过程。当x 一0 时，即为复合泊松过程。 当然，j g r a n d e l l 的专著( a s p e c t so f r i s kt h e o r y ) ) 也对索赔额过程进行了推 广，讨论了索赔计数过程为更新过程和c o x 过程( 即双随机泊松过程) 。不过， 研究的难度要比g e r b e r 的大。 ( 2 ) 带扰动项的复合泊松过程。此时盈余过程为 u ( ，) = 甜+ c t - s ( t ) + r r ( t ) w ( t ) 为布朗运动，且w ( t ) 与s ( t ) 相互独立。 2 经典模型研究内容的扩张与深入 前面是对模型的推广，本部分是维持经典风险模型不变，但以多种视角对其 作深入的探讨。主要也有两个方面； ( 1 ) 对破产前瞬时盈余 厂( t - ) 和破产时赤字p ( r ) i ( 或一u ( 乃) 进行研究， 丁为破产时刻。 ( 2 ) b e e k m a n 卷积公式 胁- 删= 善南( 爿”啪，梏1 1 ”o h 。 ) 是分布函数日( 甜) = f ：l ( 1 一f ( z ) ) 沈的疗重卷积，这一公式可以估计破产概 率的上下界。 1 2 当代有代表性的研究方向 除了上述l u n d b e r g - c r a m e r 的经典风险模型及f e l l e r 和g e r b e r 的研究工作之 外，还有一些其他主要的有代表性的研究方向，先简单介绍如下 1 完全离散的经典风险。 经典风险模型大部分都是连续的，近期也有一些作者对完全离散的经典风 2 硕士学位论文第一章绪论 险模型展开了研究，其盈余过程为 ，( h ) ( ，( 丹) = 甜+ 栉一置，撑o i = l 原则上说几乎可以平行的得到和连续模型相应的全部结果，区别于连续时间模型 的是，对任意初始盈余“和任意个体索赔额分布，均可得到刻画保险公司风险的 诸概率规律的显式解。 2 重尾分布的风险模型 经典风险模型研究的是关于“小索赔”情形的破产论，一个很强的约束是要 求调节系数存在，如果调节系数不存在，则更新理论和鞅方法都无法凑效，这样， 对于。大索赔”情形的破产论，更确切的说，是对于重尾分布的破产论研究就必 须启用新的数学工具。如亚指数分布。这样的研究适用于火险，风暴险与洪水险 等灾难性保险。p a u l e m b r e c h t s 与c l a u d i ak l u p p e l b e r g 分别在( m o d e l i n g e x t r e m a l e v e n t sf o ri i l s u r a n c 悬a n df i n a n c e ) ) 和( s u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 一书中在这方 面开展了系统的研究 3 具有复合资产的风险模型 迄今为止，绝大部分的研究不计利率；保费收入一成不变，即不随瞬时盈余 的多寡而有所调整；同时也不涉及投资收益。直至最近，对具有投资收益的破产 论的研究工作还不多，这方面的工作主要需要随机分析的知识，难度较大，且不 易得到经典风险模型那样漂亮的结果，因此目前还未成为保险数学研究中的主流 方向，但在应用概率的领域研究中还颇受关注，j p a u l s e n 在这方面做了很多工作。 4 保险数学与数学金融的交叉。 g e r b e r 及其合作者几乎把经典破产论的研究做到极致，而要从事现代破产论 的研究，有需要较深的概率论方面的知识( 如随机分析，点过程等) ，这已远远 超过了大多数从事精算理论研究人员的数学背景。这样，从1 9 9 4 年起，g e r b e r 的兴趣开始转向精算数学和数学金融的交叉研究，他和s h i u 合作，利用传统的 精算数学工具，讨论了未定权益( c o n t i n g e n tc l a i m ) 和永久性期权的定价。他发 表7 一系列引起广泛反响的重要研究文章，从而为经典破产论的研究注入了新的 活力：反过来，他们的研究成果也引起了从事数学金融研究人员的关注。他们的 研究成果主要体现在以下三个方面：( 1 ) 风险资产的样本轨道具有跳跃点。( 2 ) 利用e s s c h e r 变换构造风险中性测度。( 3 ) 不涉及艰深的数学理论，容易为精算界 所接受。 硕士学位论文第一章绪论 1 3 本文的主要内容与结果 1 内容 本文的研究对象就是从以上的第二与第三个研究方向出发，进而得出了带 投资的风险模型，在第三章，我们由分折的方法，利用全概率公式，得出了b e l l m a n 方程，证明了方程的解的存在性，并且证明了满足方程的解的生存概率函数具有 最优性，第四章对第三章的模型进行了进一步的研究，给出了重尾分布下投资额 函数，破产概率及生存概率的一些性质，得到了其渐近表达式。 2 结果 在第三章里，首先得出了b e l l m a n 方程： 2 s u p ：t 琊( s y ) 一( s ) 】+ ( s x c + a 口+ ( s 一彳) r ) + 三- 矿( 曲a 2 ) = o a二 然后证明了满足方程的解在 ) 具有最优性，得出了解的存在性结论。在第四章 里，首先得出了当分布函数f ( x ) 的尾分布t t ( x ) 以指数p 0 都是正的，甚至不要求函数厂o ) 对所有的x 0 都有意义。若f ( x ) 以指数p 正则变化，那么l f ( ) 以指数- p 正则变化。 令乙( x ) = r y z o ，) 砂，z ，( 砷= f y z o , ) a y ，则有以下定理： 定理2 1 ( 矗) 如果z 以指数p 正则变化，z 。+ 存在，那么 f ，+ 1 z ( f ) 。， z 。( f ) 其中五= - 0 + p + 1 ) o 。 反之，如果上式对于五0 成立。那么z 和z ，+ 分别以指数p = 一工一p l 和 一卫正则变化，如果上式对于a = 0 成立，那么z 。+ 是缓慢变化的( 但是对于z 得 不到任何结论) ( b ) 如果z 以指数p 正则变化，且p - p 1 那么 t r “z ( t ) 啼五 z 。( f ) 其中置= 尹+ p + i 。 反之如果上式对于a 0 成立，那么z 和z 。分别以指数a p l 和旯正则 变化，如果上式对于a = 0 成立，那么z 。是缓慢变化的。 引理2 2 若( r ) 在无穷远处是缓慢变化的，那么任意的占 0 及充分大的工有 x - t o 有而( s ) = 0 0 ， 则称f ( 是重尾分布函数。对数正态分布，p a r e t o 分布及w e i b u l l 分布都是重尾 分布。重尾分布一般用来描述保险事务中的重大事故，例如。精算师认为，对数 正态分布适于汽车险，而p a r e t o 分布适于火灾险。 令绵：l i r a s u p ! 丛堕，m ( 曲= 一l o g 乒( 功。 定理2 6 若口，= 0 ，则f ( x ) 是重尾分布。 证明：若口f ：0 ，贝j j l i m 业：0 ，因此对任意的s 0 ，存在k o ，当x 黾时， # + r 有m ( 0 使得p ( x ) c e 4 成立。故 ，- 忡 一 l p “f ( 功出= 0 0 对所有的j 占成立。由于占是任意的，所以上式对所有的j 0 成立。故f ( 曲是 6 硕士学位论文 第二章预备知识 重尾分布。 定理1 7 若f ( 习s ，则，( r ) 是重尾分布的。 证明：由定理2 6 知，只要证明口。= 0 即可。对引理2 3 的第一个结论两边取自 然对数有 墼( 1 0 9 , r ( x - - x ) 一l o g f ( x ) ) 2 慨( x ) 一肘( x x ) ) = 0 对所有的一o 成立。所以对任意的s o ，存在 0 。当x 时有 m 【x 、一m “- 1 ) ( 8 所以 ，( 功 m ( x - i ) + 8 m 一2 ) + 2 6 m 一砷+ r 8 其中以满足k x - n 五“。另外，我们假 设资本市场存在一种无风险的债券x o ( t ) 和一个市场指数( 例如股票指数) x ( f ) ， 它由类似于b l a c k - s c h o l e s 模型的几何布朗运动来描述： 识( f ) = x o ( f ) r d t ，k ( o ) = o d x ( f ) = x ( t ) ( a d t + b d b ( t ) ) ，x ( o ) = x 这里口 ，2 0 ，b 0 为常参数，r 是银行利率，曰( f ) 是几何的布朗运动。 9 硬士学位论文第三章带投资的风险模型 h i p p & p l u m ( 2 0 0 0 ) 考虑的模型为： d t ( t ) = d r ( t ) + o ( t ( t 一) ) d r ( f ) ，r ( 0 ) = j o ( t ( t 一) ) 表示在时刻t 保险公司持有的股票数，本文研究的模型在此基础上考虑 了无风险投资： d t ( t ) = 艘( f ) + 口( 2 沁一) ) 锻( f ) + ( 联o - o ( t ( t - ) ) x ( o ) r d t ，( o ) = s ( 3 1 ) 我们的目的就是找出适当的曰( f ) 使破产概率 ( s ) = p ( 3 t 0 ，使f ( f ) o i r ( o ) = $ ( 3 2 ) 达到最小。 记哦) 为投资到无风险市场的份额，那么( 岛( ) ，曰( ) ) 为一个证券组合，我 们称证券组合纸( ) ，移( ) ) 是自融资的，如果它满足： 五 ) o o ) + x ) 臼 ) 一( x o o ) 岛( v ) + x ( v ) 臼o ) ) = i ( 0 0 ( ：矗0 ) + 臼0 ) d r ( ：) ) 两边对摊求微分，可得： 凰似) d o o ( u ) + x ( u ) d o ( u ) = 0 敌对任意的) 总存在： o o ( t ) = o o ( o ) 一j ：辫 又因为：皖( o ) x o + p ( 0 如= s ，故上式可写为： o o ( 垆半一f 势0 d。、o ， 若借贷和存款利率相同，则投资债券与存银行的收益相同，所以我们更加重视投 资市场的份额8 ( t ) ，而对任意的可容许的投资策略8 ( ) ，总可以找到鼠( ) ，使得 ( 皖( ) ，0 ( 9 ) 是自融资的。 3 2b e l l m a n 方程及其解的最优性 3 2 1b e l l m a n 方程 b e l l m a n 方程是计算最佳投资策略的基础，设保险公司在某时刻持有的股票 指数为日，个体索赔量y 服从f 分布，考虑一个很短的时间区间 o ，明，在这段 时间区阃内发生索赔的概率为五 ，若j ，s j 。则公司未来的生存概率为鼬一y ) ， 其中烈印= i i 矿；若无索赔发生，则公司未来的生存概率为 o ( s + c h + o r ( a h + b b d + 0 一o x ) r h ) ，这种情况发生的概率为l - 舶，则由全概率 公式有 矿( s ) = i f 婶吣s d 十( 1 一a h ) ( s + c h + o x ( a h + b b h ) + 0 一目功，矗) ，即： 1 0 硕士学位论文 第三章带投资的风险模型 鼬) = t j 坂$ - y ) + ( i 一舳从d + o x a + ( s - o x ) r ) h + o x b b h ) 两边取期望，再利用肋公式有： 烈s ) = ( 1 一肋) ( 矿( s ) + ( s ) 【c + 占】+ ( s o x ) r 矗+ 去妒( s ) 口2 ，6 2 埘 + a h e ( s - r ) 所以； ( 印= 妒( 回一1 声( s ) + ( s ) 【c + o x a + ( s - o x ) r l i l + 去声( 曲0 2 x 2 b 2 h + 刎螂 - r ) + d ( 1 1 ) = 烈j ) + ( a e 【口昭一j ，) 一烈s ) 】+ 矿，( s ) 【c + 加+ ( s a ) r 】 + ：- 矿( 回彳2 + d ( | i i ) 其中：a = 口x ，最大化上述等式，就可以得到b e l l m a n 方程： s u p 橱烈s l ，) 一( s ) 】+ ( s c + 爿口+ ( s 一彳) ，) + 冬。( s ) 彳2 = o ( 3 3 ) 根据和上述相类似的方法。我们可以得到b e l l m a n 方程的另一种表示形式( 用破 产函数l f ，表示) ： n f 肛【叭s 一，) 一y 】+ 缈如c + a 口+ o 一彳) ，) + 矿私) 爿2 ) = 0 ( 3 4 ) 若妒。( 曲 0 ，令z = i n f t o ：即) a + b t 。 则p ( z o ，p ( 3 t o 曰( f ) 0 ；s 0 有西o ) 0 ，若曰o ) 是任意一 个适应的投资策略，定义在0 0 ，彝( ) = 0 知磷拽) s 0 ，从而有 研氟( 一r ) 一西( s ) 】0 这与西瓴- y ) 缸( ) 对所有的0 o 。 记t ( s ，0 ，t ) 为初始资产为s ，投资策略为口p ) 的风险过程，s 是任意小的常数， 令f 与f 分别是t ( s + e ，见，t ) 与r ( s ，0 ，t ) 的首次破产时刻，定义新的适应的投资策 略q ( ，) = 曰( ) + 翥石，相应的l 为r o + 占，q ，f ) 的首次破产时刻，萌o + s ) 为此过 程的生存概率，记： a t ( t ) = t ( s + 8 ，q ，t ) 一r ( s ，0 ，f ) 由( 3 1 ) 式知 d t ( s + 8 ，q ，f ) = c d t 一嘏( f ) + ( 臼( f ) z ( f ) + s 2 x a d t + 6 扭( f ”+ 【t ( s + s ，日，f ) 一( 曰( f ) z o ) + 占2 ) r d t 所以 d a t ( t ) = a t ( t ) r d t + q 一，) 占2 破+ 如2 d b ( t ) 两边积分可得 h f ) = s + ( 口一r ) 6 2 + 6 言2 占( f ) + f ：a t ( s ) r d s 由常微分方程的理论知，如果存在s 【o ，归使得a t ( s ) o ，则存在【o s 】使得 s + 一，弦2 + 醣2 b ( t ) 0 成立，那么 p ( r t r ) = p ( 3 t ，a t ( t ) 0 ) p ( 3 t , ，s + ( 口一r ) e 2 + 蛞2 b ( t ) 0 ；在( o m ) 上， 硕士学位论文第三章带投资的风险模型 “，( s ) ，则存在一个严格凹的b e l l m a n 方 程的解矿c 2 ( o ，) n c l o ) ，且 烈j ) 。i + 。一焘n 。0 2 ) ，s - + o 进一步，若日在【o a d ) 上有限可积，则在【o 。) 上有界。 3 3 2 定理的证明 ( a ) 首先我们证明在【o , z 2 】存在满足以上性质的解，令o ( s ) = “( s 2 ) ， u ( s ) 研u 】聊= u ( s ) 2 ，u ( 0 ) = 1 ，其中： 州蜘_ 2 拈：t u ( s t ) h ( s ：( 1 。) 冲+ c 盟堡坐塑 对占 0 ，u c 1 【o 占】定义。 q 。【u 1 ：s u p 三l u ，( s ) - u ( o ) i r ：= p c 1 【o 占】：q ) o u ， o ) 上的 解，满足： ( s ) 衍”】( s ) = 一a c o y ) h ( y ) d y + 甜( s x c + 船) 一吐，( s ) o ( 3 8 ) 则“可以唯一延拓到【o 棚上，满足( 3 7 ) ，且对s = 仍成立。 因为( 3 7 ) ( 3 8 ) 式表明：在( 0 ，h ) 上0 ) 0 ，于是甜( | 1 1 ) = l i m “( s ) 存在， 且o 0 ，且在【0 ，h ) 上，“ 0 ，故只能h = 0 ，这与在【o | i ，) 上日 0 矛盾l 所以u ( h ) 0 再设诃】) = o ，由( 3 7 ) ( 3 8 ) 式知l i 珥甜，( 曲= 一o 。，因为f 具有局部有 界密度。这就暗含了 娩出】o ) = 磐 a r q y ) d h ( y ) + 2 “( o 珂伪) 一日( o 伪) 扣( 厅+ 砌) + 朋( _ 1 1 ) 一胡q ) 这与( 3 8 ) 和咖】伪) = o 矛盾l ( c ) 以下证明：在【o 明上每一个满足方程( 3 7 ) 的解c 1 【o ) n q o ，h 】， 都可以唯一延拓到【o ，i ，+ 们上，而且在【o ， + 棚上( 3 8 ) 仍成立。这个证明也是 利用了b a n a c h 空间的不动点定理，此时我们将b a n a c h 空间变为( c 【 ， + 们，* i l ) ， 闭子集为 b ，# u c t h , h + 们：l j ) = 打 ) ，9 0 - - q ) k 印 定义算子： 删班删h + j ：舞鼢，u 哦 h , h + r 】 其中 4 ；【v 1 ( s ) # 一a j ：却( x ) 日。一x ) 出+ j ：“功日q 一功出 + 。( s x c + r s ) 一c h ( s ) 硕士学位论文 第三章带投资的风险模型 通过运算知，如果玎足够小，p 足够大，则7 从珥。，映射到自身是一个压缩算 子，由b a n a c h 空间的不动点定理知，存在唯一的“满足给定的性质。 ( d ) 其次证明解在 0 ，叫上的存在性。设o 为 o s 2 】上由第一步得到的解， 由( 3 7 ) 和( “( ( 回y o 知：在【o ，占2 】满足( 3 8 ) ，记矿为所有满足( 3 7 ) 和 ( 3 8 ) 条件的向的最大值，唯一性保证了= 1 1 0 加，对9 2 办再 - 2 k - c 矛盾! 故有k = 0 。 因为： o 0 有 m a x h ( t ) lj c 2 c ，有 r ( p o x ) 一1 ) 甜( x ) 出= ( q o x ) 一1 ) z f ( x ) 出+ ( p p - x ) 一l 弘( x ) d x x 因3 0 x c o _ x c ，l ，i ，m 。p ( s x ) = 1 ( 引理4 2 的( i ) ) ，故当s 一时，上式右 边的第一个积分趋于零，第二个积分可化为 ( p o x ) 一l 弦( x ) 出( a + 1 ) e ( x ) 出 ( a + l 弦 所以l i r a 盱o x ) - 0 u ( x ) a x = o 。 j u 把分解的第三个积分记为l o ) ，只要证明烛刍= 。，即可证明蛾厶( s ) = 。 器：甓j o 静出需未f 坼逑 日( s )日o ) ( 岛 一 日( j ) 日( 兰) 。 、 关窆是有界的，由于日是正则变化的，则由引理( 4 1 ) 知l i m - “ 厶2 ：。，且积 斋是有界的由邗舡则变化的则由引烈4 d 知a - o 且积 分是有界的，因此熟刍罴= o ，所以熙厶( s ) = 。 最后有日+ “( 曲t t ( s ) e o “o ) d x - h ( s ) y 。z f ( x ) 出成立a 4 1 2 以d 的正则性与彳( 曲渐近表达式 定理4 4 若日r ( p ) ，且p - 1 ，是最小破产概率，则少月) 。 其中尺( 力：= ，：f 寸r + ，且，以指数p 正则变化) 证明：首先注意到若，g ，且f e r ( 力，则g r ( p ) 。( 3 7 ) 式可化为 一鬻= 2 h 吣刊川咖叫圳瑚 = 2 j 硝h ( s y 如( y ) d y u ( s x c + r s ) + c h ( s ) j 2 0 硕士学位论文 第四章 重尾分布下r o ) 与4 ( 曲的渐近性质 2 m - ( s ) r 珂o ，) 咖- - u ( s x c + r s ) + c h ( s ) = 刖 2 町甜o ，渺也嚣棚也r 器 故由引理4 1 与命题2 4 知 一架尺p ) ( s ) ” 因为( g = 专。由正则变化函数的性质知：( 丢) ，r ( 一p ) 。 ” 因为志= e 少( 划砂则由定舭t c a ，知 三r ( _ p + 1 ) 同理，因为妒( 功= f 儿0 ，) 砂，侧由定理2 1 ( b ) 知 ( 功尺( p ) 推论4 5 若戚p ) ，且p 0 ，以及充分大的s ，有s ” z 成立，则由( 4 3 ) 式知 g o ) a 2 1 万一c + 五j ：兰紫咖 + c 。 因为f ( x ) ，由定义知，上式积分部分是有界的又因为l i r a ，o ) = o ，故上式 硕士学位论文 第四章 重尾分布- p 妒( s ) 与爿o ) 的渐近性质 左边趋于负无穷矛盾l 故g o ) 是有界的。则 攀( “) “j 卜出 ”“7 g u l 也是有界的。 又假定g ( o 不收敛，则存在一列( 使得g ( 矗) j 耍o ) o ，且g 毽) = o ， 但这与( 4 4 ) 是有界的矛盾故g o ) 收敛。且可以证明l i m g ( s ) = 0 。 j 在方程( 4 2 ) 两边同除以- w ( s ) - j 得 一三鲥国硝帮h ( y ) a y + 鬲c = 。 因为嫩盍2 栅j 融1 i m 4 = 佃 4 2 2 4 ( d 与( s ) 的渐近表达式 f 面研冗4 ( s ) 与叭s ) 的渐近表达式。 锄曲= 等甥铲f = 等 定理4 7 f ( x ) e s ，且，l i m 如) = o 则 删瓤罴出 证明从定理4 6 的证明知。l i r ag ( 印= 0 。( 4 3 ) 的积分部分可写为 ( g o 一力+ g o ) ) 里三丢：! 竽盟方 又因为对任意的占 o ，存在，使得当s 时，有g o ) f 则 f 烈，一力旦皆砂 占f 皇铲砂 慨胁一力警删 同理，我们有 丝堕掣砂有界) 日0 ) 。 如，警归后警砂 因为 觋f 删紫砂= r g ( y ) h ( y ) d y 坝士字倪论文 第四章 重尾分布下妒( s ) 与月( 订的渐近性质 所以 烛胁刊紫匆= f g ( y ) 4 c v ) a 少= o ，陟训。) 由方程( 4 3 ) 知 w l i r a 筹俐 ! s 删) 2 , = 堡6 2 ( 五妒( o ) 卅= 等( 堋o ) ) ：等= r 故 l i m ，( 5 ) 2 1 对( 剖= 器= 蒜 对上式两边积分有 一志一赤+ 丢j ：磐= l ( a + s o r ( z 。) 严 “s ， 其中口= 一万裔，( o ) o 因为积分部分是无界的，由l h 唧i t a l 法则有 叫b 卜奔 r 志出 所以盼芬鬻一紊嬲嚣= 焉器吾r 器如 注意：由推论4 5 知，当，= o 时有一( s ) 昙s ，又由定理2 5 知，若是正 痧1 一口 则变化的那么h s ( s + ) ，所以我们有： 斛2 b 2 1 - p 乒j ：鬻应 定理4 3 设f o ) ，则l 帅) 誓r i 卡。y l j 。丽出 证明：假定l ，i m ，q ) = 0 ，对( 4 5 ) 式两边积分有 甜f l 磕1 尸 令歹= 靴p 。y ( z ) ，因为，q ) 是连续的且收敛到l ，