（应用数学专业论文）两类延时神经网络的稳定性研究.pdf

摘要 本文主要研究了延时c o h e n g r o s s b e r g 神经网络( c g n n s ) 的稳定性通过巧妙地利用 一些已知的定理和构造适当的l y a p u n o v 函数，我们讨论了延时与无延时c g n n s 模型平衡 点的全局指数稳定性、绝对指数稳定性，及周期解的存在唯一性和全局指数稳定性。同时， 也研究了具有分布延时双向联想记忆( b a m ) 神经网络平衡点的绝对指数稳定性 在第一章第一节中，研究了一类离散c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型，且获得了保证延 时和无延时的离散c g n n s 系统平衡点指数稳定的充分条件。我们没有假设联接权矩阵的对 称性和激活函数的单凋性与可微性而且，所讨论的离散c g n n s 系统保持了连续c g n n s 系统的收敛性；在第二节中，利用m a w h i n 拓扑度的连续定理及l y a p n n o v 方法，讨论了 c g n n s 神经网络周期解的存在唯一性和全局指数稳定性，证明了延时c g n n s 模型周期解 的存在性，且给出了周期解的具体存在区间在第三节中，利用l i p s c h i t z i a n h a d a m a r d 定 理和同胚映射性质，讨论了具有变延时和无界延时c g n n s 模型平衡点的存在唯一性和稳 定性其中激活函数仅仅要求是部分l i p s c h i t z 连续和单调非减的。与已有的文献比较，我们 的结论放宽了对条件的限制，且在许多方面改进和推广了已有文献的结论 在第二章中，基于b r o u w e r 不动点定理，研究了一类分布延时b a m 神经网络平衡点 的存在性。然后通过构造适当的l y a p u n o v 函数，证明了平衡点的绝对指数稳定性这些结 果推广和改进了一些早期文献的结果，且易于在实际中检验 关键词：b y a p u n o v 函数；全局指数稳定；c o h e n g r o s s b e r g 神经网络； b a m 神经网 络；绝对指数稳定；部分l i p s c h i t z 连续；平衡点；同胚 a b s t r a c t i nt i f f sp a p e r ，w of u r t h e rc o n s i d e rt h es t a b i l i t yp r o b l e mf o rc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s ( c g n n s ) w i t hd e l a y sb yu s i n gs o m eg i v e nt h e o r e m sa n dc o n s t r u c t i n gs u i t a h l el y a p u n o vf u n c t i o n s ，w ed i s c u s st h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ，t h ea b s o l u t e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rc g n n sw i t ha n dw i t h o u td e l a y s ，a n dt h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s so f p e li o d i cs o l u t i o na n di t sg l o b a le x p o n e n t i a lu t a b i l i t ym e a n w h i l e ，x , r ea l s os t u d yt h ea b s o l u t e l y e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mf o rac l a s so fb i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o r y ( b a m ) n e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y s h ls e c t i o nlo fc h a p t e r1 w es t u d yt t i ed i s c r e l e 一1 i m ev e l s i o n so f1 pc o n | i n l l o u s t i m e c o h e n c i i r o s s b e r gn e u r a ln e i w o r k sf c g n n s l s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sareo b t a i n e dt oe l l ， s u r et h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ed i s c r e t e t i m es y s l e r n so fc g n n sw i t ha n dw i t h o u t d e l a y s w ed on o ta s s u i n et h es y m m e t r yo ft h ec o n n e c t i o nr n a | r i x a n dm o n o t o n i c i t ya n d h c d i f f e r e n t i a b i l i t yo ft h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n s ，m o r e o v e r ，i nl a r g es e n s e ，t h ec o n v c r b ( 、n c ( 、c h a r a ( 一 t e r i s t i c so ft h ec o n t i n u o u s t i m es y s t e m sa r ep r e s mr e db yt h ed i s c r e t e t i m ev e r s i o n s ；i ns e c t - i o n 2 ，h yu s i n gt h ec o n t i i n t a t i o nt h e o r m no fm a w h i n sc o i n c i d e n c ed e g r e ea n dl y a p u n o vm e t h o d s ， w ed i b c a s st i l ee x i s t e n c e ，u n i q l l e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fp e li o d i cs o l u t i o nt b r d e l a y e dc g n n sf u rt h ec o n s i d e r e dc g n n s ，wp r o v et h ee x i s t e n c eo tp e r i o d i cs o l u t i o n ，a n d g i v eac o n c r e t ee x i s t e n t i a li n t e r v a lo ft h ep e li u d i cs o l u t i o n ；i ns e c t i o n3 ，u s i n gt h el i p s c h i t z i a u h a d a m a r dt h e o r e l na n dap r o p e r t yu fh o m e o m o r p h i s mi n o p p i n g 、w pi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o l c c i i n n sw i t h 、a r i a b l ea n du n b o u n d e d d e l a y s t h ea c t i v a t i o nf u n c t i o nn e e do n l yt ob ep a r t i a l l yl i p s c h i t zc o n t i n u o u sa n dm o n o t o n e n o n d e e r e a s i n gc o m p a r i n gw i t hp r e v i o n sp a p e r s ，o u rr e s u l t sr e d u c et h er e s t r i c t i o no ft h ec o n d i t i o n s ，a n di m p r o v ea n de x t e n dp r e v i o u so n e si nm a n ya s p e c t s i nc h a p t e r2 ，b a s e do i lb r o u w e lf i x e dp o i n tt h e o r e m w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft i l ee q u i - l i b r i u mp o i n to fb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y s ，t h e nb yc o n s t r u c t i n gs u i t a b l e l y a p u n o vf u n c t i o n ，w eg i v e s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ea b s o l u t e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h e e q u i l i b r i u mp o i n t t h eo b t a i n e dr e s u l t si m p r o v ea n de x t e n ds o m ee a r l i e rw o r k sm o r e o v e r o u i c r i t e r i ac a nb ee a s i l yc h e c k e di np r a c t i c e k e y w o r d s ：l y a p u n o vf u n c t i o n s ；g l o b a l l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；c o h e n g r o s s b e r gl l e u l , a n e t w o r k s ；b a mn e u r a ln e t w o r k s ；a b s o l u t e i ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ，p a r t i a ll i p s c h i t zc o n t i n u i t y e q u i l i b r i u mp o i n t ；h o m e o m o r p h i s m 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：日期： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：导师签名：日期： 引言 人工神经网络( a r i t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ，简称ann ) 足在人类对其大脑的组织结构 和工作机理认识理解的基础之上人工模拟其结构和智能行为而建立起来的一种信息处理系 统，是理论化的人脑神经阿络的数学模型它是由大量简单元件相互连接而成的复杂网络， 具有高度的非线性，能够进行复杂的逻辑操作和非线性关系实现，从而引起了大量研究人 员的注意实际上，人类从事人工神经网络研究从2 0 世纪4 0 年代就开始了，至今已有半 个多世纪的历史1 9 4 3 年，心理学家mm c c u l l a c h 和数学家whp i t t s 采用数理模型 的方法首先提出了一种人工神经网络模型，简称m p 模型，迈出了人类研究神经网络的第 一步随后，1 9 5 8 年，fr o s e n b l a t t 提出了第一个智能型的人工神经网络系统，即感知机 ( p e r e e p t r o n ) 模型网络虽然感知机模型比较简单，但已具有神经网络的一般性质，如可学 习性、并行处理、分布式存贮等，这些性质与当时流行的串行，离散符号处理的电子计算机 和人工智能技术完全不同，从而引起了研究人员的极大关注然而，人工智能的创始人之 一mm i n s k y 和sp a r p e r i 于1 9 6 9 年出版的感知机一书中提出了感知机网络的 局限性，从而大大影响了人们对神经网络研究的兴趣，使人工神经网络的研究在7 0 年代处 于低潮但在神经网络研究处于低潮的这一时期，仍有学者不遗余力地致力于神经网络的 研究( 见3 - 8 ，4 8 ) 在1 9 8 2 年，美国加州大学物理学家l - l o p f i e l d 提出了类新的神经网络模型( 见4 ，1 6 1 ) ， 即著名的l l o p f i e l d 神经网络( i i n n s ) ，掀起了神经网络发展的高潮该模型由如下的常微 分方程来描述： g 警一去+ 协“z 乩即，m 1 q j=1 其中k = 饥( u ，) 为连续可微的严格单调递增函数，t = ( r ：，) 为对称矩阵， r ，和a 分别 表示电阻和电容，电压岫为第。个神经元的状态变量，为外部输入这类神经网络足基 于磁场的结构特征而提出来的，很容易被工程技术人员理解，从而使得人工神经网络的研 究复兴起来h o p f i e l d 神经网络在结构、原理和功能上具有明显的动力系统特征，它以其 强大的功能成功地运用于智能控制、信号处理、模式识别等领域。基于h o p s e l d 神经网络 的实用性，文献 3 9 1 通过构造适当的l y a p u n o v 函数，讨论了h n n s 模型平衡点的全局指数 稳定性文献 4 1 也深入地对连续反馈h n n s 的吸引域和收敛率作了较为精确的估计。针 对联接权矩阵的对称性，一些研究者叉讨沧了一些对称神经网络的稳定性和收敛性( 见f l o 、 1 1 ) 1 9 8 8 年，美国伯克莱加利福尼亚大学电子学家工0c h u a 与ly a n g 受h o p 6 e l d 神经 网络的直接影响和细胞自动机的启发，提出了细胞神经网络( c n n s ) ( 见1 7 1 ) 它是一个大 规模非线性计算机仿真系统，具有细胞自动机的动力学特征，克服了h o p f i e l d 神经网络每 个神经元要与其他神经元相连接的弊端细胞神经网络的神经元是局部互连的，而且它可 f 东南大学硕士毕业论文 以实现大规模的并行计算，因此被广泛地应用于图象处理、视频信号处理等在实际运用 中，人们总是期望c n n s 模型的平衡点或周期解是唯一的，且是稳定的，同时由于在实际 中图像的传播速度有限，人们通常考虑神经网络模型中具有延时，因此延时c n n s 的平衡 点或周期解的存在唯一性及稳定性得到了广泛的研究( 见f 2 ，1 3 一1 5 ，2 6 ，3 3 ，5 1 5 2 ) t 9 8 7 年，k o s k o 提出了如下的双向联想记忆神经网络( b a m 神经网络) ( 【4 r 】) ： m 等= 咱( t ) + n o s a t ) ) “ “。 3 - - 1 tn 面d y i = 喝( ) + 啦j s ( x a t ) ) + d 。， j = l 其中i 一1 ，2 ，m ，乩表示当外部输入为时第i 个神经元的记忆潜能，拂表示当外部 输入为以时第i 个神经元的记忆潜能该模型所构造的神经网络是两层网络，在进行联想 时，网络状态在两层神经元之间来回传递，模仿了人脑的异联想思维方式b a m 神经网络 还具有无导师学习能力在文f 2 7 3 0 ，3 7 3 8 ，4 0 ，4 2 ，4 7 - 4 8 ，5 0 5 3 中，通过利用指数二分性定 理、不动点定理、压缩映象原理和l y a p u n o v 等方法，许多学者讨沦了延时与无延时b a m 神经网络的平衡点、闻期解与概周期解的渐近稳定、指数稳定，鲁棒稳定等，且得到了一些 在工程上广泛应用的结果 1 9 8 3 年，c o h e n 和g r o s s b e r g 提出了如下的c o h e n g r o s s b e r g 神经网络( c g n n s ) ( ： 警二一。i ( 斯) 6 ( q ) 一。马( 叻) + ，i = 1 ， ，m ， 一 ，= 1 其中，甄( ) 表示第i 个神经元的状态变量，( ) 为放大函数，6 。( ) 为适当的行为函数，联 接权矩阵t 一( ”) 。描述了神经元在网络中的联接，岛( ) 足神经网络的激活函数， 表示外部输入的第i 个分量显然，c g n n s 模型包含了许多神经网络模型：如h n n s 、 c n n s 等。近些年来，c g n n s 模型已经被广泛的学习和应用( 见 1 ，1 2 ，3 1 ，硝1 ) 在文献 【l ，1 2 ，5 4 】中，作者利用l y a p u n o v 方法得到了延时与无延时的c g n n s 模型平衡点稳定的 一些充分条件文献| 3 1 利用矩阵的一些性质讨论了c g n n s 模型平衡点的绝对稳定性。 总之，近几十年来，神经网络的研究与实现引起了许多国家和各个学科的研究人员的 普遍关注人们致力于研究了神经网络模型的各种稳定性，且将其广泛地运用于智能控制、 信号处理、模式识别等领域，取得了许多有重要意义的成果为了使神经网络有更广泛的 应用，一些研究者又讨论了几类神经网络的绝对指数稳定( 见1 3 4 3 6 ，4 5 ，d 6 1 ) ，它们仅仅 要求激活函数( a c t i v a t i o nf u n c t i o n ) 是部分l i p s c h i t z 连续和单调非减的，从而大大地减少了 以前一些文献的限制，很大程度上改善了以前的一些工作 在本文中，我们进一步讨论c o h e n g r u s s b e r g 神经网络( c g n n s ) 模型主要研究了离 散c g n n s 模型平衡点的稳定性，延时c g n n s 周期解的稳定性和具有分布延时的c g n n s 平衡点的绝对指数稳定性，同时也讨论了b a m 神经网络平衡点的绝对指数稳定性 t t 东南大学硕士毕业论文 在第一章第一节中，考虑了如下泛函微分方程( f u f m t i o n a d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) 描述 的延时与无延时的离散c g n n s 模型( 具体离散过程见 2 】) ： ，l 飘+ 1 ) = ( n ) 一u ，( 飘( n ) ) 瞰岛( r 。) ) 一t i j s 2 ( ：，9 ( n ) ) + ， ( 1 ) ，5 1 。岛( 勺m 其中i = 1 ，z = 卜，一1 ，0 ，l ，) ，z + = 1 ，2 ) ，z j = 0 ，1 ，2 ，) 、n z ，”耐，表示第i 个神经元的状态变量，m ( ) 为放大函数，“( ) 为适当的行为 函数，联接权矩阵1 1 = ( t u ) 。描述了神经元在网络中的联接， s j ( ) 表示神经网络的激 活函数 对函数皿( - ) ，b i ( ) ，s ( ) 做如下的假设： ( h 1 ) ：啦( ) 足有界的和l i p s c b i t z 连续的，且0 0 ( i = 1 ，2 ，n 1 ) ，使 知 虏( ) m 1 上2 ，u r 。i i l i n 。 一c * , 7 ：卜，一m a x m i i t i i 扛一。当 酽) ( e 2 + i t i i ；l 2 ) o 成立，其中l = 。要 厶) ，z 2 】婴譬 i ) ，则对任意输入j = ( 一j z 平衡点是唯一的且全局指数稳定的，此外，系统r 的任意解z ) 满足： n ) 一z ：1 2 ( ) “i x , ( o ) 糸统f j j 的 m ( ) 1 7 ? 东南大学硕士_ 毕业论蔓 这里a 1 为常数，n 甜。 定理f1 3 在( 凰) 一( 矾) 的假设下，若f 跏式成立，且有 l 蕊云墨l 、 邺；一l ，巧吲_ 0 ，i = 1 h 2 一m j - 则对任意输入j 一( j l ，j 2 ，如) 7 ，系统俐的平衡点矿。( z i ，z i 。，z 麓) 7 是唯一的且 是全局指数稳定的，此外，系统俐的任意解z ( 脚= ( z l ( n ) ，m 。( n ) ) 满足： 蚓纠；) n 妻( s l l p ，删) ：；叫t o 】z 这里，e 是常数，且 1 ， i ，其它符号的意义同定理jj 2 在第二节中，考虑了如下具有延时的c g n n s 模型： ! d 塑t = 一“，( m t ( t ) ) z t ( t ) 一喜t ”与( - r ，。) ) 一 j = ：l * ”岛( z ，( 。 其中a i ( ) ，w = ( t o ) ，岛( ) 与系统( 1 ) ，( 2 ) 的符号有相同意义，= ( 七”) m x m 表示联接权矩阵，n ， 0 表示轴突信号传递的延时 我们假设 ( q ) ：( ) 是有界的和l i p s c h i t z 连续的，其l i p s c h i t z 常数为b ”且0 0 j = 1j = 1 c m ulb ：基 + m 问 东南大学硕士毕业论文 则系统“j 存在唯一一个指数稳定的丁一周期解r ( c ) = ( z i ( t ) ，z ；( ) ，；( ) ) 且系统 以j 的任意解。0 ) = ( zz ( ) ，x 2 ( f ) ，。( ) ) 7 满足： 萎m ) 一删e 4 ”，器u 、j 忡h 删 o ， 一 t j t ， 其中“8 是常数且p 0 ，一l 在第三节中，考虑了如下的积分微分方程( i n t c g r o ( 】j 丑j m i o i 训e q u a t i o n ) 描述的具有连 续分布延时( c o n t i n u o u s l y d i s t r i b u t e dd e l a y ) 的c g n n s 模型： 鲁= 吨( 训卜如( q ) 一吣以m ，( 1 ( t ) ) ) 一c i j q ( 一) 乃( o ( s ) j 如+ 喇 ( 5 j ，5 1 j 其中o ，( ) ，h d ) ，a = ( n v ) 。一，b = ( 6 ”) n 。，c = ( q ) n 办( ) ， 的定义与系统 ( 1 ) ，( 2 ) 类似延时( t ) ( i ，= 1 ，2 ，n ) 是有界函数，满足0 曼喝( t ) r 。 【o ，+ 。) 一f 0 ，+ 。) 是连续的，且满足i oe 8 5 k o ( s ) d s = pz 3 ( 8 ) ( z ，j = 1 ，2 ， ，n ) 其中p ”( 口) 是【0 ，6 ) ( 0 5 1 ) 上的连续函数且p i j ( o ) = 1 a + = ( n 矗) 心小其中n 矗= ，当a i i o ： a i i = 0 ，当o ：， o ；“j = l a , j l ( i j ) 对任意i 1 ，2 ，n ) ，若 ：r r 是部分l i p s c h i t z 连续的( 定义见第一章第三节) 和单调非减的，则称函数 属于p c m ( 表示为 pc _ m ) 系统( 5 ) 的初始条件为： z 。( ) = ，( f ) t ( 一o o ，0 】，i = 1 ，2 ， ，n ， 其中机( ) ：( o 。，0 一r 为连续函数，j = ( j - j 2 ， ， ) 7 我们假设： ( d i ) ： 函数o 。( 蜀( f ) ) ( i = 1 ，2 ，n ) 是有界的，且0 g ，q 。( z 。( f ) ) 百， o ，vz ，( t ) r 对系统( 5 ) ，利用l i p s c h i l z i a nh a d a m a r d 定理和同胚映射的性质，我们证明了下面的定 理： 定理j3 3 对任意 p c m 和，r “，若 t = 一( a 4 + f bj + e c - 7 0 ， 则模型r 纠存在唯一的平衡点 定理j 只彳对任意 p c 朋和d r “，若 t = 一( 4 斗i b i + 1 c i ) p o ， v 东南大学硕士毕业论文 则模型r 印是绝对指数稳定的阻b s ，其中符号的定义见第一章第三节。 在第二章中，我们研究了如下的具有分布延时双向联想记忆( b a m ) 神经网络 鲁q 吼( 印+ j = 1 如( 聊( 。一丁j t ) ) 4 善蜥，伊7 味o ) 蹦协( 一s ) ) 如+ ， 鲁= 口j 协( 。) + 6 ， ( ( 。一) ) + 暑奶f k u ( s ) ，t ( 。t ( 我们假设： ( 日) ：延时核马。，k ：j 0 ，。) 一【0 ；o o ) 连续，且满足 ：h i t = ：k 、3 t 乩= 、，。l ：h ，。一s f h t 。1 ：k 、j e u s d s 0 为常数 系统( 6 ) 的初始条件为： ：( t ) = 也( ) ，协( t ) = 叻( ) t ( o o ，o 】， 其中咖。( t ) ，仍( ) ：( 一o 。，o 】_ r 为连续函数，= ( 1 ，2 ，。) 7 ，= ( j ，2 ，m ) 7 对系统( 6 ) ，通过构造适当的l y a p u n o v 函数，我们证明了下面的定理： 定理鲁2 在( 岛) 的假设下，对任意 ，p c 川和外部输入，j ，若 m “( 。辫( 蚤如协眦嚣( 善跏坞c ， 则系统r 甜存在唯一的平衡点，其中符号的定义同定理， 定理22 2 若定理2 2 的条件成立，且有 o ，十蚓b + 蚓b 0 j = 1j = 】 则系统r 剀是a b s t ，其中符号的定义同定理，g 在本文中，我们处理的模型都是变延时或无界延时的神经冈络，而且我们研究的神经 同络模型是更一般的，它包含了一些著名的神经网络，如细胞神经网络、h o p f i e l d 神经网 络另外，本文所得的结果还去掉了后面某些文献中的一些限制条件，所以本文的结果推 广和完善了以前的一些结果 o 0 为整数，且0 = t o r l t k 在实际应用( 如图像处理、模型识别和计算机模拟) 中，我们通常需要将连续的系统离 散化后进行研究，且在离散的过程中，我们总是期望连续系统的动力学特性能够被离散系 统所保持但在文献1 8 ，1 9 j 中，当作者采用一些数字模拟方法( 如e u l e r 方法、r u n g e - k u t t _ a 方法) 对一些连续的神经网络进行模拟时却得到了不同于连续系统的平衡点和渐近稳 定性，这显然不是我们所需要的在本节中，采用文献【2 】中的一种新的离散方法，我们对 系统( 11 ) ，( 13 ) 的离散模型的动力学特征进行丁研究可以看出，我们的结论保持了其连 续系统的动力学特性 系统( 11 ) ，( 13 ) 的离散模型如下( 具体离散过程见( 2 ) ： 。，( 佗+ 1 ) = ( n ) 一吼( 矾( n ) ) 【6 ，( 而( n ) ) 一f 叫岛( ，【n ) ) + ，。t x i ( n + 1 ) = ( n ) 一。：( 孔( n ) ) m ( n ) ) 一t i j s j ( q ( n 一u ) ) + ( 14 ) ( 15 ) 其中i = 1 ，m ，z = ，一1 ，0 ，1 ，) ，z + = 1 ，2 ，) ，甜= ( 0 ，1 ，2 ， ，n 砧，k o z o + 模型( 14 ) 的初始条件为： 模型( 15 ) 的初始条件为 o ：m ) = ( 0 ) ，i = l ，2 ， ，m 西( f ) = 以( f ) ，i = 1 2 一，t e l ，f 一，o 】z 其中女一n a x b ，1 i ，j 兰m ，j = ( j 1 ，3 2 ，厶) 7 ，其它符号的意义与引言中类似 本节的目的是构造适当的l y a p u n o v 函数来讨论系统( 14 ) 及( 15 ) 平衡点的存在唯一 性和全局指数稳定性，并且给出一些相关的手据 1 1 2 平衡点的存在性及全局指数稳定性 令r 表示实数集，且r ”= s 哩vz r ，z 7 表示z 的转置，且定义1 1 2 1 1 2 = 。、，。一 丁r l ( ，z ) 令r “表示所有n 。m 实矩阵的集合，v a r “”“，定义t l a i l 2 = ( m a x ) ， 其中 是a 7 a 的特征值 本节中，我们假设： ( h 1 ) ：a i ( ) 是有界的和l i p s c h i t z 连续的，且o 0 ( i 二l2 ，m ) ，使 “胰( “) h “2 ，豫( 1 】0 j 口 i 骢瞧竹卜l 嚣焉 司z l - i m 。a x 。 c 五7 2j ( e 2 + i i t i t ! l 2 ) o ( 11 1 ) 成立，其中l = l m 。；a 。x m l t ) ，l = l m 。a 。x m l 。) ，则对任意的i 部输入j 系统r 。4 川平衡 点。是唯一的且是全局指数稳定的，此外，系统r j4 ，的解z ( n ) = ( n ( n ) ，z 。( n ) ) 。满 足： 蚓n ) 一z ：1 2 冬( ) “o ) ( 1 1 2 ) 一 + ) r 如 轼 卜” 巧 + + m 叼 嘶 一 如 。芦 毗 一 j | + 一 哼川 驰 沁 一 卜跏 对 * 一 + 0 巧 扣 毗 。一 东南大学硕士毕业论文 其中a 是常数且a 1 ，n 甜 证明：由定理111 ，系统( 14 ) 存在平衡点= ( z j ， ，z 麓) 7 ，且平衡点的唯一性将由不 等式( i i2 ) 保证因此，我们只需证明不等式( il 2 ) 成立，它等价于 其中“( n ) = z ( n ) 一+ 考虑函数f ( ) 为 i l u ( n ) l t ；【l u ( o ) bn z o + ，( 11 3 ) f ( x ) = l j + 2 沁r a m i n 。( 蚧卜，黑 训_ r 舭一m a 。x 。 面2 胗+ i t i i i l 2 ) ) 其中 m 。) 。注意到 州) = 2 l 1 满足 考虑l y a p u n o v 函数v ( n ) ： 1 ，( n ) = a ”i i ( n ) l l ；= “7 ( n 扣( n ) ，n 甜 计算a v ( n ) = y 坼+ 1 ) 一y ( n ) ，有 v ( 礼) = v ( n + 1 ) 一v ( n ) = a u 7 ( n + 1 ) u ( n + 1 ) 一 u 7 ( n ) “( n ) = a “ ( u 7 ( n ) 一( b 7 ( u ) 一g t ( u ) 7 7 ) 月7 ( u ) u ( n ) 一a ( u ) ( 日( u ) 一t j ( u ) ) 一i t t ( n ) “( n ) ) = a ” ( a 一1 ) u ( n ) u ( n ) 一a u 7 ( n ) ( u ) ( b ( u ) 一丁0 ( u ) ) 一 ( b 7 ( u ) 一g t ( u ) 丁7 ) 7 ( “) u ( n ) + a ( b ( u ) 一9 t ( u ) 丁7 ) 且7 ( u ) a ( “) ( b ( u ) 一7 0 ( u ) ) a ” ( 一1 ) 1 1 u l i i e2 , x a f f u i ) & ( u 。) u 。十2 “7 ( ，z ) a ( “) t g ( u ) + a m a 。x 。 e 2 l i b ( u ) 一t g ( u ) 嘲 曼a n ( a 一1 ) 1 1 “i ；一2 a e 盟。u ；+ 2 a i l u l 2 i i a ( u ) l b l i t i i q i g ( “) l2 + 2 a 。燃。( 面2 川b ( u ) 岍i i t i i ：_ i i k u ) f ll4 1 牡 丁 酉 笛邳m垤勺队蓼 一 r m + 瞳酽 茹矾 队 卷 斗 i 1 ，则系统( i4 ) 的平衡点是全局指数稳定的。证毕 对于系统( 15 ) ，我们能得到下面的定理： 定理j f 在( h 1 ) 一( 凰) 的假设下，若条件r j 叫满足，且 面i 1 e j i l ，巧h 则对任意的外部输入j ，系统r j 纠的平衡点z + = ( x ；，z ；，z 麓) 7 是唯一的且是全局指数 稳定的，此外，系统r ，圳的任意解x ( n ) = ( z - ( n ) ，z m ( 几) ) 7 满足： 蚤k “哪一引9 ( 扩乳m s u p l , u l 。眵“d 一引l 蜒矿t = l 、 t = t 【一 z 其中e 是常数且 1 ，e 1 证明：类似于定理1 12 的证明，系统( 1 5 ) 有唯一的平衡点。+ ”= ( z ：，嚅) 则我们 只需证明系统( 19 ) 的任意解”( n ) = ( u - ( n )，u 。( n ) ) 7 满足 娄i “；( n ) l s v ( ；) ”娄( ，；( s u 。p 。j ：| ；( f ) 一z i l ) ，n ez + ， ( 11 5 ) 其中乩f 是常数且 i ， i 考虑函数g ，( ) 为： m g ，( 西= l i + 竺订，手l ，可 o ：i p ，+ 1 ，i = 1 2 ，- m j = 1 其中【1 ，。) 注意到 g ， 1 ) = 堕饥一l ，可圳 0 ，= 1 根据函数g 。在1 ，。) 的连续性，则存在常数 l 满足 m g 。( f ) = l 一+ 蚧e l ；巧t ”眇+ 1 0 ，悼12 ，几 ( t1 6 ) j = 1 东南大学硕士毕业论文 令z i ( n ) = p l u _ f ( n ) l ，i = l ，2 ，m ，n 珞 由系统( 19 ) ，有 五( n + 1 ) ( 岛( q ( n 一。) ) 岛( r 捌i p + 1 f n ) n 。( u ，( n ) ) 屁( m ( n ) ) + k 毗( n ) ) j ( s j ( m m 鱼m ) k ( ”) j + 酉峙j 岛 q m k q ) 其中i = 1 ，2 ，m ，n 布 相应地，构造l y a p u n o v 函数v ( ) 为 y ( n ) ) 弓( 味n z ；， ( i7 ) 计算a v ( n ) = y ( 忆+ 1 ) 一y ( n ) ，有 y ( 几) = y ( n + 1 ) 一y ( n ) m m n = 五+ 1 ) + 酉i t i j i l j 5 乜川z a o 一五( n ) i = 1 j = 1l = n k ”+ l m 堕m 五( n ) + 面i l ，。“1 乙( n ) 一z ，( n ) ) ，2 1 j n，n 一 jf + 逸m 一厶吲f ”眇“ 历( n ) ；= 1 j = l 其中n 对 根据( 1 1 6 ) ，我们有a v ( n ) o ，n z 声，及y ( n ) v ( o )