复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题4.doc

习题四1. 复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定反例: 发散但收敛发散收敛.2. 下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因为发散,所以发散(2)发散 又因为所以发散(3) 发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.(4) 因为所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k时, 级数化为收敛当n=2k+1时, 级数化为也收敛所以原级数条件收敛(5) 其中 发散,收敛所以原级数发散.3.证明:若,且和收敛,则级数绝对收敛.证明:设因为和收敛所以收敛又因为,所以且当n充分大时, 所以收敛而收敛，收敛所以收敛，从而级数绝对收敛.4.讨论级数的敛散性解 因为部分和，所以，不存在.当而时（即），cosn和sinn都没有极限,所以也不收敛.故当和时, 收敛.5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解： 设，则当时，级数收敛，时发散.若在z=0处收敛,则若在z=3处发散, 则显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若的收敛半径为R,求的收敛半径。解： 因为所以 8.证明：若幂级数的 系数满足，则(1)当时, (2) 当时, (3) 当时, 证明：考虑正项级数由于，若，由正项级数的根值判别法知，当，即，收敛。当，即，不能趋于零,级数发散.故收敛半径.当时, ,级数收敛且.若,对当充分大时,必有不能趋于零,级数发散.且9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。(1) (2) (3) (4) 解: ()收敛圆周(2) 所以收敛圆周(3) 记 由比值法,有要级数收敛,则级数绝对收敛,收敛半径为所以收敛圆周(4) 记 所以时绝对收敛,收敛半径收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1) (2) 解: (1)故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：(2) 令：故R=, 由逐项求导性质由此得到即有微分方程故有：，A, B待定。所以 11.设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1证明：因为级数收敛设若的收敛半径为1则现用反证法证明若则，有，即收敛，与条件矛盾。若则，从而在单位圆上等于，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。综上述可知，必有，所以12.若在点处发散，证明级数对于所有满足点都发散.证明：不妨设当时，在处收敛则对，绝对收敛，则在点处收敛所以矛盾,从而在处发散.13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.解:因为奇点为所以又于是，有展开式14.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项)解：为的奇点，所以收敛半径又于是，在处的泰勒级数为 15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.(1) 分别在和处 (2) 在处(3) 在处 (4) 在处 (5) 在处 解 （1）(2) (3) (4) (5)因为从沿负实轴不解析所以,收敛半径为R=116.为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？答：因为当取实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的，而在内，的展开式系数都是实数。所以在内，的幂级数展开式的系数是实数.17.求的以为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解:函数有奇点与,有三个以为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：19.在内将展开成罗朗级数.解:令则而在内展开式为所以,代入可得20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果因为,所以有结果你认为正确吗?为什么?答:不正确,因为要求而要求所以,在不同区域内21.证明: 用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为证明:因为和是的奇点，所以在内，的罗朗级数为其中其中C为内任一条绕原点的简单曲线.22. 是函数的孤立奇点吗?为什么?解: 因为的奇点有所以在的任意去心邻域，总包括奇点，当时，z=0。从而不是的孤立奇点.23.用级数展开法指出函数在处零点的级.解：故z=0为f(z)的15级零点24.判断是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：；解: 是的孤立奇点因为所以是的本性奇点.(2)因为所以是的可去奇点.25. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点： 解: (1)所以是奇点,是二级极点.解: (2) 是奇点,是一级极点,0是二级极点.解: (3) 是的二级零点而是的一级零点, 是的一级零点所以是的二级极点, 是的一级极点.26. 判定下列各函数的什么奇点？ 解: (1)当时, 所以, 是的可去奇点.(2)因为所以, 是的本性奇点.(3) 当时, 所以, 是的可去奇点.27. 函数在处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：.我们得到“又是的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?解: 不对, z=1是f(