（应用数学专业论文）uv分解在一类具有锥约束的lowerc2规划中的应用.pdf

摘要 在非光滑优化中，函数的二阶性质与展开的理论与应用方面的研究是倍受关注的课 题2 0 0 0 年l e m a r 6 c h a l ，m i f f l i n ，等提出的w 一分解理论，给出了非光滑凸函数厂在不 可微点的二阶性质的新方法w 一分解理论的基本思想是将尺“分解为两个正交的子空 间u 和y 的直和，使得原函数在【，空间上的一阶逼近是线性的，其不光滑特征集中于y 空间中，借助于中间函数( u l a g r a n g e 函数) ，得到函数在切于的某个光滑轨道上的二 阶展式 拟可微函数类是有着广泛应用背景的一类非光滑函数d c 函数( 可以表示为两 个凸函数之差的函数) 作为一类特殊的拟可微函数，因其形式简单，广泛应用而越来越 引起人们的关注但是d c 规划的最优性条件及其算法的研究并不令人满意我们试图 利用w 一分解理论作为工具，对一类特殊形式的d c 函数的二阶性质进行研究对于非 凸函数，次微分的概念已不再适用，本文利用函数的正则次微分的概念，并使用罚函数 的方法，定义了该罚函数函数的u v 空间分解，给出了这一类函数的u l a g r a n g e 函数 的表达式，并得到该罚函数在光滑轨道上的一阶，二阶性质及其展开式 关键词：非光滑，锥约束，u v 空间分解 a bs t r a c t i nn o n s m o o t ho p t i m i z a t i o n ，t h es t u d yc o n c e r n i n gt h et h e o r ya n da p p li c a t i o n o fs e c o n d o r d e ra n a ly siso fn o n s m o o t h f u n c tio nh a sb e e n p a id m u c h a t t e n i o n l e m a r e c h a l ，m i f f li n ，s a g a s t i z a b a la n do u s t r y ( 2 0 0 0 ) i n t r o d u c e dt h e u v d e c o m p o s i t i o nt h e o r y ，w h i c ho p e n saw a yt od e f i n i n ga s u i t a b l er e s t r i c t e d s e c o n d o r d e rd e r i v a t i v eo fac o n v e xf u n c t i o nfa tan o n d i f f e r e n t i a b l ep o i n t t h eb a s i si d e ai st od e c o m p o s er ”i n t ot w oo r t h o g o n a ls u b s p a c e su a n dv s o t h a tt h ef i r s ta p p r o x i m a t i o no f i nui s1i n e a r ，1 j sn o n s m o o t h n e s sn e a rt h e p o i n ti sc o n c e n t r a t e de s s e n t i a l l yi nv ，a n do b t a i ns e c o n d o r d e re x p a n s i o n s s e c o n d o r d e re x p a n sio n s q u a s i d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o nt ob eaw i d e l yu s e di st h ec o n t e x to fac l a s s o fn o n s m o o t hf u n c t i o n d cf u n c t i o n ( c a nb ee x p r e s s e da st h ed i f f e r e n c eb e t w e e n t h et w oc o n v e xf u n c t i o no ff u n c t i o n ) a sas p e c i a lk i n do fq u a s i d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n ，w h i c hi ss i m p l ea n dw i d e l yu s e d ，h a sc a u s e dm o r ea n dm o r ea t t e n t l o n b u tt h ed cc o n d i t i o n sf o ro p t i m a lp l a n n i n go ft h es t u d ya n di t sa l g o r t h mi sn o t s a t i s f a c t o r y w ea r et r y i n gt ou s eu v d e c o m p o s i t i o nt h e o r ya sat o o lf o r ac l a s s o fs p e c i a lf o r mo fd cf u n c t i o n f o rn o n c o n v e xf u n c t i o n ，t h ec o n c e p to fs u b d i f f e r e n t i a la r en ol o n g e ra p p li c a b l e ，t h i sa r t i c l ei s t h eu s eo fp e n a l t yf u n c t i o na p p r o a c h ，a n dd i s c u s s e st h ed e f i n i t i o no ft h eu v d e c o m p o s i t i o no ft h e p e n a l t yf u n c t i o n ，a n da l s od i s c u s s e st h ef i r s t o r d e ra n ds e c o n d o r d e re x p a n l s l o n so ft h ep e n a l t yf u n c t i o n k e yw o r d s ：n o n s m o o t h ，c o n ec o n s t r a i n e d ，w d e c o m p o s i t i o n i n r 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 指导教师签名： 互 7 签名日期：年月日 1 5 1 引言 u v 分解在一类具有锥约束的l o w e r - cz 规划中的应用 1 1 历史概述及研究背景 在科学技术，管理科学和经济等理论与实际应用的研究中，非光滑现象不可避免且 经常出现因此，非光滑分析与最优化理论一直是极受关注的重要课题由于非光滑函数 本身的特征较为复杂，使得在传统光滑假设下所进行的大量的最优化和分析下不能直接 应用与非光滑的情况中，需要有一种新的理论体系( 非光滑分析) 来很好地处理这类问 题 此时，对于非光滑函数的研究主要存在两个问题； 1 一般说来，此微分( 或c l a r k e 意义下的广义梯度) 较大且难以确定，其运算多以 包含形式来刻划，换言之，广义方向导数较大，即 厂o ( z ，d ) ，( x ；印 对一阶近似的余项结构或性态不能清楚地表达出来； 2 另一个问题是关于函数的二阶近似，即二阶展开，它关系到算法的二阶收敛问题 并涉及到集值映射的微分学或近似这一问题成为自八十年代以来非光滑分析与最优化 研究中的一个核心课题本文正是针对这一问题进行了研究 非光滑函数的二阶近似与二阶展开是某些与实际应用有着密切关系的领域中的算 法研究的基础，如数值代数，优化，控制及对策等，一直是学者们关注的课题之一由 于计算机技术的不断进步，非光滑函数在实际问题中的广泛出现，需要设计具有高阶收 敛性的算法，对非光滑函数的二阶近似结构及性态的研究显得尤为重要，正因为如此， 众多的优化专家不断地研究这一专题试图攻克非光滑函数的二阶近似的理论，并以非光 滑凸函数为主攻方向，其主要方法包括构造一个二阶导数的公式来逼近凸函数的二阶近 似，定义一种集值映射的近似以代替次微分的近似，利用双方向定义二阶方向导数以用 于逼近凸函数的二阶近似，以及利用函数的上图得出上图二阶近似等这些研究工作为以 后的非光滑分析与优化，无论在理论研究还是在应用问题探讨方面都打下了良好的基 础 2 0 0 0 年c l e m a r e c h a l ，e o u s t r y , 和c s a g a s t i z a b a l 关于分解理论的奠基性文章“，r h e u 1 a n g n g i a no f ac o n v e xf u n c t i o n ”【1 发表，文章以【1 2 ， 1 3 】的研究成果为基础，给出了凸 函数厂相对于某一点的i 的沙分解的三种等价形式的u l a g r a n g e 函数的基本形式， 并对其基本性质进行了研究得出的主要结果有： 在某些条件下，点i 附近的厂在u 上的限制与u l a g r a n g e 函数直到二阶一致，可 u v 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 以借助于u l a g r a n g e 函数的展开式得到函数厂在切于u 空间的某个轨道上的二阶展 开式； w 分解理论在非线性规划及一类半定规划上的简单应用； 应用w 分解理论设计了一种概念型的超线性收敛的最小化算法 但由于u l a g r a n g e 函数和其对应的最优解集的特征及其性质对于函数的二阶性和算 法设计起着重要的作用，我们需要对其进行更深入地研究，这正是我们研究工作的切入 点 拟可微函数类是有着广泛应用背景的一类非光滑函数，其定义是早在六十年代末由 p s h e n i c h n y i ( 1 9 6 9 ) 研究以最大值函数为背景的极值问题的最优性条件时提出的，即一个 函数在一点处的方向导数可以表达为非空凸紧集( 次微分) 的支撑函数，它可用于描述 处理非凸问题但这类函数并不能构成一个线性空间，原因在于其关于减法不封闭以及 不具有半连续性七十年代末八十年代初，d e m y a n o v , p o l y a k o v a ( 1 9 7 9 1 9 8 0 ) 推广了 p s h e n i c h n y i 的定义，将方向导数的次可加性推广到拟线性而引入了新的定义，其作用保 证了代数的封闭性，而相应的微分运算可以建立等价关系，也可以明确地描述这类函数 的一阶近似但由于拟可微函数的拟微分的复杂性，其二阶近似以及相应的优化问题最 优性条件等一直是研究者们关注的课题d e m y a n o 和s h a p i r o 给出了拟可微优化的必要 性条件的几何形式x i a ( 1 9 8 6 ) 研究了拟可微函数的一种二阶展开表达式d c 函数( 可 以表示为两个凸函数之差的函数) 作为一类特殊的拟可微函数，因其形式简单，广泛应 用而越来越引起人们的关注但是d c 规划的最优性条件及其算法的研究并不令人满意 我们试图利用w - 分解理论作为工具，对一类特殊形式的d c 函数一具有锥约束的 l o w e r c 2 函数的二阶性质进行研究 1 2 本文的研究工作 本文的工作主要是围绕如下几个问题展开研究的： 1 w 一空间分解及其u l a g r a n g e 函数 对于非凸函数，次微分的概念已不再适用本文利用函数的正则次微分的概念，定 义了一类具有锥约束的l o w e r c 2 函数的w 空间分解，并给出了这一类函数的 u l a g r a n g e 函数的表达式，证明了相关的性质这些结果说明，我们可以借助新的 工具，将凸函数的w 空间分解理论用于更为广泛的非光滑函数及其优化问题 2 u l a g r a n g e 函数最优解集的性质 在w 一空间分解及其u - l a g r a n g e 函数的基本理论下，研究了u l a g r a n g e 函数 的最优解集的性质，包括最优解集的特征这些结果的建立可以使我们在利用w 空间 分解理论处理具体函数的优化问题时，对其所需要的光滑轨道及二阶近似有比较清楚的 2 i v 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 了解 3 具有锥约束的i o w e r c 2 函数的一阶，二阶性质 由于u l a g r a n g e 函数和其对应的最优解集的特征及其性质对于函数的二阶性态和 算法起着重要的作用，我们需要对其进行更深入地研究，这正是我们研究工作的切入点， 我们可以借助于u l a g r a n g e 函数的展开式得到函数厂在切于u 空间的某个轨道上的 二阶展开式 2 预备知识 2 1u p 一空间分解 2 1 1u p 一空间分解 设是定义在r ”上的有限值凸函数，在点x r ”的次微分集合记为影( x ) 给定 点i x r ”，使得i n t 矽( ；) = f 2 j 但是r i 矽( - ) o ，j t g e 矽( ；) 定义空间尺”在点i z 处 的w 一分解为r ”= 【厂o y ，其中，正交子空间u ，v 可以通过三种方式来定义 定义2 1 【1 】 ( i ) 设u ，是使得方向导数厂7 ( ；) 为线性函数的子空间，巧- u 产因为厂( j ；) 是次线 性的，所以，有：= “r “：厂7 ( ；“= - f 7 ( - ；一z ，) ) ； ( i i ) 设是平行于矽( - ) 所生成的仿射包的子空间，：= 时即圪= l i n ( 矽( ；) 一；) ， 其中，g e 矽( ) 是任意的； ( i i i ) 设坫和巧分别是矽( ；) 在点g 。r i 矽( ；) 的法锥和切锥，其中g 。是任意的。此时， 和巧必为子空间 注：f i n m 表示由m 生成的线性空间 上面不同方式定义的空间分解，其结果是等价的 命题2 2 1 1 1 定义2 1 中， ( i ) 当g 。r i 矽( - ) 时，乩= d r ”：g - g 。，d ) = o ，v g 矽( ；) 】= 矽( ；) g 。) ，且与g 。的 选取无关； ，( i i ) u 1 = = 职= ：【，； ( i i i ) 一般地，聂j 一g e 矽( _ ) ，有uc ( ；) 3 u v 分壁垒二鲞墨查竺竺查竺! ! 竖：二! ：垫型竺生璺 2 1 2u l a g r a n g e 函数 为 给定次梯度否矽( ；) ，其y 一分量为；，则厂相对于i g ，的【，一l a g r a n g e 函数定义 ug u 一乞( “) ；i 吨矿 币+ “。v ) 一( 如) ，) ( 2 1 1 ) 伴随于矿一空间的最优点集为 ( “) - - - a r g n = l i i l v ；v 厂( ；+ 甜。v ) 一( ；) ，】 ( 2 1 2 ) 引理2 3 【t 1 设；r i 矽( ；) ，则存在充分小的刀 0 ，使得对任意的o ，矿有 否们而垌 特别地，对任意的( 谚呶矿，有 ( ；+ “。v ) 2 厂( j ) + 辱) 。+ 信，d ，+ , 7 l l q l ， ( 2 1 3 ) 关于u l a g r a n g e 函数我们有下列性质 定理2 4 1 1 】有如下的主要性质： 1 乞是处处有限的凸函数 2 ( 2 i 2 ) 中的点w r e ( “) 当且仅当存在g 矽( ；+ “。w ) 使得g v = g ， 3 特别地，o 形( o ) ，乞( 0 ) = ( 工) 4 当否r i 矽( - ) 时，对任意的“u 有ir e ( u ) 囝，且形( o ) = o 】 定理2 5 1 1 l ( i ) 乞在“的次微分可表示为 吆( “) = 邑：。；，矽( ；+ “。w ) 】， ( 2 1 4 ) 其中w er e ( u ) o 是任意的 ( i i ) 特别地，乞在0 点可微，并且吩( o ) = i 邑，即所有g 矽( _ ) 的相同“一分量 推论2 6 i 1 1 如果否r i 矽( ；) ，则有 v 0 ，q 6 0 ：0 甜i i 。万j 0 叫l ，0 甜0 。，v w r e ( z ，) 即：矽( “) = 。( 0 “0 。) 4 u v 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 2 1 3u l a g r a n g e 函数的高阶胜质 定义2 7 【2 】称厂在点；有一个径向l i p s c h i t z 次微分，如果存在d 02 趸8 0 ，满足 矽( ；+ d ) c 矽( ；) + b ( o ，o l l d l l ) ，v d b ( o ，万) ( 2 1 5 1 ) 或等价地，存在c 0 及 0 ，满足 厂( ；+ d ) ( ；) + f 7 ( ；d ) + 吉c 1 1 n 2 , v d 8 ( 0 ，) ( 2 1 6 ) 考虑a 在材= o 附近的性质，我们有 定理2 8 【2 1 设对充分小的“有形( 甜) o ，r ( 2 1 5 ) 及( 2 1 6 ) 成立则有 ( i ) 存在万 o ，使得对所有的“鼠( o ，万) ，有吃( 甜) c g 。+ 鼠( o , 2 c l l 甜 ( 即 ：。；，矽( - + 甜。w ) ) c ；。+ 鼠( o ，z c l l 甜虬) ，这里w 形( “) 是任意的) ； ( i i ) 存在夕 o 及d o ，使得对所有的甜统( o ，尸) ，乞( “) 乞( o ) + ( 否。，甜) + 专d 叫e 2 2 广义海赛阵 关于非光滑凸函数，c l a r k e ( 1 9 7 7 ) 和r o c k a f e l l a “1 9 7 6 ) 均给出过广义h e s s e 阵的定 义我们借助于这一概念，可以得到f 在某局部上的二阶展开式 称凸函数妒在点具有广义h e s s e 阵h q ，( x o ) ，( 见【3 】) ，如果 i 梯度v 缈( 而) 存在； i i 存在对称半正定算子日矿( 而) 满足 q , ( x o + d ) = 妒( 而) + ( v 缈( z 。) ，d ) + 专( h 缈( ) d ，d ) + 。( i | j l l 2 ) ， 或等价地a 缈( 而+ d ) cv 矽( ) + 日缈( k ) d + 曰( o ，d ( 0 d i i ) ) 定义2 9 1 1j 设厂是r 4 上的有限值凸函数如果岛在点“= 0 有一个广义h e s s e 阵 心( o ) ，则称厂在点x 有一个u h e s s e 阵，记为鼠( x ) ：= 心( o ) 2 3 l o w e r c 2 函数 考虑r ”上的l o w e r c 2 函数，；r “，厂在；的邻域b 有如下形式： 厂( x ) = m a xf , ( x ) = 办( x ) 一去p 忙1 1 2 ( 2 3 1 ) 坨r 二 5 u v 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 其中，h 为有限值凸函数，且z ( x ) ，w ( x ) 和v 2 z ( x ) y 毛f x eb 和( ，x ) t b 都是连 续t 是一个紧空间 命题2 3 1 【1 】若厂是r ”上的l o w e r c 2 函数，则下面结论成立： ( i ) f 在r ”上是正则的 ( i i ) 当在；有形式( 2 1 ) 时，有矽( ；) = 抛。( ；) 一正 3w 分解在一类具有锥约束的l o w e r c 2 规划中的应用 对于无约束的可以局部转化为一类d c 函数的1 0 w e r - c 2 函数，我们已经知道了该函 数的w - 空间分解结构和u - l a g r a n g e 函数的形式与特征【1 】在此基础上，本文将w 一 分解理论应用于锥约束的l o w e r c 2 规划中，研究此类非凸函数的一阶二阶展开问题 我们考虑如下锥约束优化问题： f r a i nf ( x ) i s , t g ( x ) 后 这里，厂是r ”上的l o w e r c 2 函数，g ：r ”一r ”，g 是连续的， k 是闭凸锥 3 1u v 空间分解 原问题转化为求函数 f ( x ) = 厂( x ) + 厶( g ( x ) ) ( 3 1 1 )的最小值问题 其中 獭的= 仁说 - i 己g f ( i ) = 占厂( i ) + 置( g ( i ) ) ( 3 1 2 ) 定理3 1 1 若扫( ；) 具有上式( 3 1 2 ) 的形式，则下述结论成立： ( i ) 扣( j ) 是f ( 工) 在；的正则次微分 ( i i ) 扫( ；) ( d ) = s u p ( g d ) i g 缸( ；) 】 证明： ( i ) 在；邻域召内任取x ， f ( x ) 一，( ；) = 厂( x ) + 厶( g ( x ) ) 一厂( ；) 一( g ( ；) ) 6 i v 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 ( 蜀，x 一- ) + 。( 卜习i ) + ( 蹈x 一- ) = ( 蜀+ ，x i ) + 仆一硎) 其中抄( ；) ，9 2 m ( g ( ；) ) 记g = g l k 9 2 3 f ( x ) 则有： f ( x ) 一，( ；) ( g ，x 一；) + 。i l x 一习i ， 所以扣( ；) 是f ( z ) 在；的正则次微分 ( i i ) 矗f ( ；) ( d ) ：骁毋二掣 记x = x + 2 d e b ，3 9a ，( 工) ，满足： ，( x ) ，( ；) + 名( g ，d ) + o ( 1 l m ) 对每个d ，及允0 ，都有： 生竽盟蛔) + 掣 a p7 力 当见、l0 时，该命题成立 定义3 1 2 设，f 扣( ；) 囝，i n t 3 f ( x ) = 定y u v - 分解如下： ( i ) u = d er 一：订g ) ( d ) = 一妒g ：) 卜d ) ) ，k 上u 。 ； ( i i ) 是平行于缸( ；) 的仿射包的子空间，即对任意的虿缸( ；) ， 吒枷( 扣( ；) 一；) ； ( i i i ) 虬，巧分别是护( - ) 在g 。r i 5 f ( x ) 处的法锥和切锥 定理3 1 3 下列结果成立： ( i ) u = d 砌瓦( g ( ；) ) ：锄。( ；) ( j ) = 一砌。( ；) ( 一d ) 】： ( i i ) - d r ”：g - g 。，d ) = 0 ，v g 扫( ；) 】： ( i i i ) u = = 乩 注：锥忌的最大线性子空间被称为其线空间，记为l i n ( k ) 由切锥定义，有 砌( 瓦( g ( - ) ) ) = d ：( d ，g ) = o ) ，其中g 心( g ( ；) ) 证明： ( i ) 根据命题2 2 知识( - ) ( d ) = m a x i ，j ) i g 扣( ；) 】= m a x ( g 。一厉+ g ：，d ) 】 i j v 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 其中a h 。( ；) ，g ：m ( g ( ；) ) 由于孤。( ；) ，m ( g ( ；) ) 是闭凸集 4 ，故： 卵( m a 驯x ( g l ；, ) d ) 一( 厉一+ 研m w a 、删x ( 9 2 , d )g l e a ( j ) 5 2 置”1 4 j 7 其中 m a x ，( g ：，d ) = j o d 砭 g ( ；) ) ( 3 1 4 ) 舯勃踊) ( g ”力= 仁d 仨涮； 。1 4 为研究卵( ；) ( d ) 为有限值情况，取d 砭( g ( ；) ) ，, 贝l j d f ( x ) ( d ) = d h 。( ；) ( j ) 一p ( d ，；) ， g d 砭( g ( ；) ) 同理，a r ( ；x - , o = d h 。g x d ) 一以一d ，x - 3 日_ 一d ( g ( ；) ) 故卵( ；) ( j ) = 一d f ( x ) ( - d ) 砌。( ；) ( d ) = 一砌。( ；) ( 一d ) 且j l i n t k ( g ( x ) ) ( i i ) 取g 。一扣( ；) ，记：= d 尺”：g - g 。，d ) = o ，v g 5 f ( ；) 】根据法锥的定义 ( ；) ( g 。) - 只须证2 ( ；) g 。) 取d ( ；) ( g 。) ，即证( g g 。，d ) o 假设g - 9 0 。，取怍尚o 存在例，使得g o + 秒缸( ；) ，因此有 。g o + r l v - g o , 力= 一南( g - g 。, d ) c ) 妒) ( i i i ) 令d u ，满足砌。( ；) ( d ) = 一d k 。( ；) ( 一d ) 且d 砌砭( g ( ；) ) 则对于任意的 v = ，乃( 毋一否) 吃，其中g ，1 9 扫( j ) ，存在瓯，1 9 。a h 。( ；) ，；：虬( g ( ：) ) ， 使得：g ，= 乳一厉+ 既，一g = 一9 1 + 1 9 2 一正，故： ( d ，v ) = ，乃( ( ，d ) 一( 云，d ) ) + ，乃( ( g 五，4 - ( g ：，d ) ) ，由 3 定理2 2 知 ，乃( ( g ，d ) 一佰。，d ) ) = o ；又根据定理3 1 3 注释知，乃( ( 乳，d ) 一信：，d ) ) = o uc 以 - 一 令d ，对于任意的g 扣( ；) ，都有( g ，d ) = ( 否，d ) ( g ，d ) = ( g 。，d ) 。d e 虬u 2 u 3 令d ，对于任意的蜀，g ：缸( ；) ，都有( g 。，d ) = ( g ：，d ) ，由于g 。，g ：的任意性 m a x ( 9 7 石+ ；，d ) = m i n9 7 一正+ 否，d ) m a x ( 9 7 + 否，d ) = i i l i n ( g + ；，d ) ， 8 i v 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 其中：9 7 孤( ；) ，否m ( g ( ；) ) 由于孤。( ；) ，m ( g ( ；) ) 是闭凸集 4 ， 故等价于： m a x ( g ，d ) + m a x ( 虿，d ) = 一m a x ( g ，一d ) 一m a x ( 否，一d ) ， 为研究有限值情况，由( 3 1 4 ) 式知： m a x ( 否，d ) = o 且d 瓦( g ( ；) ) ；m a x 乞( 甜) + ( “，甜一“) + d ( ”一甜眈 y ( ；“。v ) 一( ( 否。+ 诅，v ) ，一三户2 制睁p ( x 删t y ( ；+ 甜。w ) 一( ( 虿。+ 诅，w ) ，一三p 2 + i i 删一p ( ；以+ ( “，甜一甜) + 。( ”甜吣 y ( j “。v ) y ( ；+ 甜。w ) + ( ( 正。+ 霄) 。( ( 否。+ 矾) ，( 甜7 一材) 。( v w ) ) + d ( 0 ( “7 一z ，) o ( y w ) 1 1 ) ( 正。+ p u “) 。( ( ；。+ 砚) 知( ；+ z ，。w ) = 跏( ；+ z ，。w ) + m ( g ( ；+ z ，。w ) ) 第一个结论成立特别地：当o w ( o ) 时，有： 毽( o ) = 材+ 厉。) 。( ( 弓。+ 矾) 甜办( ；+ o 。o ) + m ( g ( ；+ o 。o ) ) = 肿+ 。( ( 否。+ 诅一正v ) b h 。( ；) + m ( g ( ；) ) 一正】 1 0 i 、r 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 = 。( ( ；。+ 矾一正，) 扣( ；) 】 ( 3 2 4 ) 由推论3 1 4 知：；：m ( g ( ；) ) cy ，即( ；：) 。= o ，故由上式( 3 2 4 ) 知，赴( o ) 是单元 集，且v 乞( o ) = ；。= ( 否。一p x + g ：) 。= ( ；。一正) 。 下面我们给出函数，( z ) 的一阶二阶展开式 定理3 2 4 设f ( x ) 有( 3 1 2 ) 形式，；，i 5 f ( x ) ，对于充分小的甜，有： ，( - + 材。w ) = f ( - ) + ( 否，甜。w ) + d ( 忱。卅i ) ，其中i w e 形o ) 证明：二次函数丢肛1 1 2 可表示为 l l l x + u 。卅1 2 = 扣1 1 1 2 + ( 训。”+ 嘶。叫| ) ( 3 2 5 ) 根据定理3 2 3 和( 3 2 5 ) 式可知： 乞( “) = 乞( o ) + ( v 乞( o ) ，甜) 。+ 。( m i 。) 即 y ( ；+ “。w ) 一吉p f + 材。卅2 = f ( ；) + ( ；。一p x + 一g ：加d + 咖。圳) 即有，( ；+ z ，。w ) = f ( ；) + ( 虿，甜。w ) + 。( 陋。叫1 ) ，其中一g = 一g 。一正+ 否2 e r i 5 f ( x ) 定理3 2 5 设矽0 ) a ，对于“u ，x uew ( u ) 函数f 有如下的二阶展开： f ( ；+ x ) = f ( ；) + ( 列+ 三( 吼f ( ；) 删u - t - 0 ( ：) ( 3 2 6 ) 其中：g ，- f 护【z ) ，并且矾f ( x ) = 哦一p x ，( 以1 疋嘲, 姒与1 ( 材) 在。点的广义h e s s e n 阵) 证明：根据乞的定义及在点0 的展开式，对于所有的z ，及w 形0 ) ： 乞( 甜) = y ( ；+ 甜。w ) 一( ( 云+ 矶，w ) ，一纠 p ( ；以一扣材i l ： = y ( ；+ “。w ) 一三p 忏+ “。枷2 + p ( - z ，。砖+ 。( i i 甜。叫| ) 一( ( ；。+ 虿：) ，d ，一p c “，甜) 。 = 乞( o ) + ( v 乞( o ) ，z ，) 。+ 三2 ( 见f ( ；) 删) 。+ 如哟 故f ( ；+ 甜。w ) 一( ( ；。+ ；：一厉v ) ，w ) ，+ 唯* w 1 1 ) = f ( - ) + ( ( ；。一厉“) 。，甜) 。+ 圭( 以f ( ；) 甜，甜) 。又因为( 否：) 。= o ，故： f ( ；+ 甜。w ) = ，( ；) + ( ；，“。p + 三( 也，( ；) 甜，甜+ 。( ：) 其中：一g = 一g 。一正+ 一g ： i n r 分解在一类具有锥约束的l o w e r c2 规划中的应用 4 总结与展望 本章我们对本文所论及的工作进行简短的概括总结，并对与之相关的问题进行进一 步的分析，作为对今后的工作的展望与导引 研究更广泛的函数类的u v - 空间分解问题以及u - l a g r a n g e 函数的性质，是为了应用 u v 一分解理论解决更多的非光滑最优化问题我们给出了一类具有锥约束的 o w e t - - c 2 函 数的u v - 空间分解结构与u - l a g r a n g e 函数的形式与特征，其方法与凸函数有所不同，采 用的微分概念也是不同的，作为非凸函数的近似的u - l a g r a n g e