（概率论与数理统计专业论文）带反射边界的倒向随机微分方程解的收敛性.pdf

山东大学硕士学位论文 带反射边界的倒向随机微分方程解的收敛性 邓伟 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文主要讨论了带有反射边界的倒向随机微分方程，当参数在一定条件 下收敛时，给出并证明了方程解的收敛性结果 1 9 9 0 年，由p a r d o u x 和彭给出了关于非线性倒向随机微分方程( 简称b s d e ) 奠基性的文章f 1 】进而，彭在文献【2 1 2 中引入了倒向随机微分方程关于生成元 上解的概念。为此需要在方程中给定一个左极右连的增过程然后此文给出 了单调极限定理，即若一列左极右连的上解单调收敛，则在一定条件下极限 也是一个上解k a r o u i 等人( 参见【4 】) 则研究了一类带有反射边界的倒向随机 微分方程( 简称r b s d e ) 该类方程事先给定障碍s t ，并在一定条件下证明了方 程三元组解( 玑磁，k ) 的存在唯一性，其中解的一部分为一个增过程k 起到 推动作用，使得解y t 始终保持在障碍上方，同时满足推动作用最小此类方 程的解与普通的倒向随机微分方程的解不同，也与文献【2 】中的上解不同本 文则考虑该类带反射边界的倒向随机微分方程解的收敛性 本文首先在有限区间上考虑了参数为( ，1 ，9 ，s ) 的一族r b s d e ( = 1 ，2 ，3 ，) f 轭= p + j ，t ( s ，以，z ：) d s + 磁一g l f ( 之，d b ) ，0 t t ； 斫& ， o t 2 ； ( 1 ) l 聊为连续增过程，确= o ，并且f ( 斫一& ) d 碰= 0 上述方程在满足一定的条件下，我们得到了反射倒向随机微分方程解的收敛 结果，这也是本文的主要工作： 定理3 1 当i 时，若( ，p ，s ) _ + ( ，f ，s ) ，其中在c 2 中收敛，且一致 有界，v t 【0 ，刁，雾r ，三彤，( t ，妒，2 ) 在州2 中收敛到( t ，蟊= ) ，并且，( t ，0 ，0 ) 在朋2 中关于i 一致有界，则对应于方程的解，有：斫+ y t ( 在妒中) ，同时 存在盈m 2 和增过程k ，0 t t ，使得三元组( 轨，噩) 是下述以( ，6 s ) 为 山东大学硕士学位论文 参数的方程的解； f 玑= f + j _ ，( 禹y 。，磊) d s + g r k t f ( ，d b 。) ，0 t t ； 玑& ，0 s t s 丁； ( 2 ) i 甄为连续增过程，凰= o ，并且f 一最) d 段= 0 ， 其中z t 是之在朋2 中的强极限，对于每个南噩是艇在c ：中的极限 髓后：l e p e l t i e r 等人( 参见【5 1 ) 对无穷区间上带反射边界的倒向随机微分 方程给出了解的存在唯一性结果，并研究了相应的混合最优控制问题，进一 步，在第四节中我们给出了无穷区闻上带反射边界的倒向随机微分方程解的 收敛性质，也即； 定理4 2 当 - + o o 时，若在c 2 ( q ，p ) 中，有如下两个收敛：p - ，v 雪r ，互剧，铲f ( s ，蟊，磊冲_ 铲，( 岛蟊，五) 如，同时，p ，铲，。( 5 ，0 ，0 ) d s 在c 2 中关于i 一致有界，并且vt 【0 ，】，y i 在铲中关于i 一致有界，则对应于方 程的解，有：y t _ 玑( 在妒中) ，同时存在z t 州2 和增过程五，0 t s ，使 得三元组( y t ，五，k ) 是下述以己研为参数的方程的解： iy t = f 4 - j f ，( s 玑，z , ) d s + k o k t 一伊( ，d b 。) ，t 【o ，】； y t 最，t 0 ，1 ( 3 ) i 凰为连续增过程，k o = o ，并且j ( 玑一s t ) d k 。= 0 其中忍是在朋2 中的强极限，对于每个f ，题是媛在c 。中的极限 最后，我们将问题进一步延伸，考虑带有上下两个反射边界的倒向随机微 分方程( 参见【6 】) ，在参数收敛条件下其解的收敛结果，得到了我们的定理5 2 如下所述： 定理5 2 当i o o 时，若( ，i ，f ，阢l ) + 配工) ，其中f 在c 2 中收敛， 且一致有界，vt 【0 ，明，雷r ，乏掣，| ( t ，矾2 ) 在m 2 中收敛到i ( t ，口，2 ) ，并 且，( t ，0 ，o ) 在m 2 中关于i 一致有界另外，v t 【o ，卅，增过程a ；在c 2 中收 敛，且锦关于i 一致有界，则对应于方程的解，有；谚- y t ( 在妒中) ，同 时存在磊y , 4 2 和增过程噩，a 。，使得四元组溆，z t ，k t ，a ；) 是下述以扳 ，s 刃 为系数的方程的艇t i i 山东大学硕士学位论文 0 s t 正 ( 4 ) 其中盈是2 在m 2 中的强极限，对于每个t ，噩，a 。分别是脚，饿在c 2 中的极 隈 关键词： 带反射边界的倒向随机微分方程，一致有界，增过程，障碍 i i i + 一 ，仃o汕g 报引 矗o 籁致 誊一 啪剐 朋镞沪笛鬣 刮 一4 且 普递此我设如我数例硕 t h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo ft h er e f l e c t e d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d e n g w e i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w em a i n l yd i s c u s st h er e f l e c t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i 艉r e n t i a le q u a - t i o n s ，a n dg i v et h ec o n v e r g e n c er e s u l t so ft h es o l u t i o n sw h e nt h ep a r a m e t e r so ft h ee q u a - t i o nc o n v e r g eu n d e rs o m ec o n d i t i o n s i n1 9 9 0 ，e p a r d o u xa n dp e n gg a v et h en o n l i n e a rb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( b s d ei ns h o r t ) w h i c hi st h ef u n d a m e n t a la r t i c l e 【1 】a f t e r w a r dp e u g ( s e e 【2 】) i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fas u p e r s o l u t i o no fb s d ew i t hg e n e r a t o r w h i c hn e e d st os e ta r c l li n c r e a s i n gp r o c e 跖，i n h sp a p e rh eg 副eu ss h em o n o t o n i cl i m i tt h e o r e mo fb s d e ， i ，e ：迂as e q u e n c eo fr c l ls u p e r s o u t i o 皿so fab a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f r e r e n t i a ie q u a t i o n s c o n v e r g e sm o n o t o n i c a l l y , t h e nt h el i m i ti sa l s oas u p e r s o l u t i o nu n d e rs o m ec o n d i t i o n s e l - k a r o u ie ta l ( s e e 【4 】) s t u d i e do n ek i n do ft h er e f l e c t e db s d e 丽t ho n eb a r r i e r t h i s k i n do fe q u a t i o np r e v i o u s l ys e ta n 。o b s t a c l e ”s t t h e yp r o v e dt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h et r i p l es o l u t i o n ( 讥研，甄) o n ep a r to ft h es o l u t i o n si s ai n c r e a s i n g p r o c e s s 砬w h i c hp u s h e st h es o l u t i o n 玑u p w a r d sa n da l s or e q u i r e st h ep u s hp o w e rt ob e m i n i m u m t h i sb n do ft h er e f l e c t e ds o l u t i o n so fb s d e si sd i 肋r e n tf r o mt h es o l u t i o u so f n o r m a lb s d e sa n dt h es u p e r s o l u t i o ni n 【2 】i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ec o n v e r g e n c e p r o p e r t yo f t h er e f l e c t e ds o l u t i o n so fb s d e s f i r s tw ec o n s i d e ras e q u e n c eo ft h er e f l e c t e db s d e sw h i c hp a r a m e t e r sa r e ( ，p ，s ) f o r f i n i t e h o r i z o n 菇；1 ，2 ，3 ) ： 诉= 1 + j _ ，t ( s ，虬i ，b i ) 出+ 一碰一正t l i ，d b ，) ，0 t s t 们s ；，0 t s t ； 雄i br 沁n t i n u o u sa n di n c r e a s i n g ，磁= o ，a n d 譬( 掣i s t ) d 蟛= 0 ( 5 ) w eo b t m nt h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo ft h er e f l e c t e ds d u t i o n so fb s d e sw h e nt h ea b o v e e q u a t i o ns a t i s f i e s $ o p a ec o n d i t i o n s ，t h a ti 暑t h em a i np a r to fo j , l rp a p e r ： t h e o r e m3 1w h e ni o 。，w ea s s u l t l e ( ，9 ，s ) - + ( ，f ，s ) ，w h e r e 乎c o n v e r g e si n 山东大学硕士学位论文 2 ，a n di su n i f o r m l yb o u n d e d f o re a c ht l o ，刁，雪足孑，( t ，雪，j ) c o n v e r g e s t of ( t ，可，习i n 朋2 ，h e r e ，4 ( t ，0 ，0 ) i su n i f o r m l yb o u n d e da b o u tii n 朋2 t h e nf o rt h e s o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ，w eh a v e ：斫+ y t ( i n 妒) ，a tt h es r n l et i m et h e r ee x i s t 施m 2 a n da i n c r e a s i n gp r o c e s sk ，0 tst ，s u c ht h a t ：at r i p l es o l u t i o n ( z t ，垃) i st h e s o l u t i o no ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o nw h i c hp a r a m a t e r sa r e ( ，s ) ： f 轨= f + j - ，( 8 ，仉，磊) d 5 + k r k t j z o ，d b a ) ，0 t s t ； 狮& ，一0 t t ；( 6 ) 【k ti s c o n t i n u o u sa n di n c r e a s i n g ，k o = o ，a n d f 一& ) d 蜀= 0 h e r e 忍i s t h es t r o n g l i m i t o f 霉i n 州2 ，a n d f o re a c h t ，k s i s t h e l i m i to f 砭i n l a t e r ，l e p e l t i e re ta l ( s e e 【5 】) g a v ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t so ft h es o l u t i o n f o ri n 缸i t eh o r i z o nr e f l e c t e db s d e s ，a n da l s os t u d i e dt h er e l a t e dm i x e do p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m f u r t h e r ，w eg i v et h ec o n v e r g e n c yp r o p e r t yo ft h es o l u t i o nf o ri n f i n i t eh o r i z o ni n s e c t i o n4 i e ： t h e o r e m4 2 w h e n - - i o o ，pc o n v e r g e st ofi nc 2 ( q ，p ) ，a n df o re a c ht 【0 ， o 。】，霸r ，牙j 砖j ，( s ，蟊，磊) 幽c o n v e r g e s t oj ( s ，蟊，引如i n c 2 ，芦，p ) a t t h e s a m e t i m e ，9 ，铲，l ( 8 ，o ，o ) d s i su n i f o r m l yb o u n d e da b o u t i i nc 2 ，a n dv t 【0 ，o 。】，蚝i s u n i f o r m l yb o u n d e da b o u tii n 妒t h e nf o rt h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ，w eh a v e ：碰- y t ( i n 妒) ，a tt h es a m et i m et h e r ee x i s t 免 ，1 2a n dai n c r e a s i n gp r o c e s sk t ，0stso 。， s u c ht h a t ：at r i p l es o l u t i o n 锨，z t ，k t ) i st h es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o nw h i c h p a r a m a t e r sa r e ( s ) ： iy t = f + f o o ( 8 ，y a ，z , ) d s + k o 一蜀一j 芦( 毛，d e ) ， t 【o ，o o 】； y t s t ，t 【0 ，o 。】； ( 7 ) 【k ti s c o n t i n u o u sa n di n c r e a s i n g ，k o = 0 ，a n d 铲( 玑一s ) d 噩= 0 h e r e 盈i st h es t r o n gl i m i to f 露i n 4 2 ，a n df o re a c ht ，k ti st h el i m i to f 琏i nc 2 a tt h e1 a s tp a r to fo u l p a p e r w ew i l lf u r t h e re x t e n do u rp r o b l e m w ec o n s i d e rt h e c o n v e r g e n c ep r o p e r t yo fr e f l e c t e db s d e sw i t hu p p e ra n dl o w e rb a r r i e r s ( s e e 【6 】) ，a n d o b t a i no u rt h e o r e m5 2 t h e o r e m5 2w h e ni 一+ ，w ea s s u m e 扩，擘，s , u ) s 功，w h e r e c o n - v e r g e si nc 2 ，a n di su n i f o r m l yb o u n d e d f o re a c ht 【o ，卅，雪r ，乏r a ，( t ，雪，牙) c o n v e r g e st of ( t ，霸= ) i nm 2 ，h e r ef i ( t ，0 ，0 ) i su n i f o r m l yb o u n d e da b o u tii n 朋2 a n d f o re a c ht f 0 ，刃，t h ei n c r e a s i n gp r o c e s sa ic o n v e r g e st oa ti n 2 ，a n d4 i su n i f o r m l y b o u n d e di nc 2 ，t h e nf o rt h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ，w eh a v e ：+ 玑( i ns 2 ) ，a t v 山东大学硬士学位论文 t h es a m et i m et h e r ee x i s tz t 朋2a n di n c r e a s i n gp r o c e s s e sg t ，a t ，0 曼tst ，s u c h t h a t ：aq u a d r u p l es o l u t i o n ( 玑，z t ，蜀，a t ) i st h es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o nw h i c h p a r a m a t e r sa r e ( ，f ，只： f 班= f + j _ 歹0 ，磊) d s + 珞一k 一( 由一a t ) 一j _ ( 磊，d b o ) ，0 t s 丁； 毫姜a 玑t a r e 仉c o ，n t i n u o 。u s sa n d t i n ；c r e a s i n gp r o c e s s e ss a t i s f y i n g ，k o ：a o ：0 ，k r c 。，c s ， l 西， ， = = ， 【a t c 2 ，a n d ( y t _ s t ) d t = f ( u t y t ) d a t = 9 h e r ez t i s t h es t r o n g l i m i to f 乏i n 朋2 ，a n d f o re a c h t ，g t ，a t i s t h e l i m i to f 碰，咎i nc 2 k e y w o r d s ：t h er e f l e c t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，u n i f o r m l y b o u n d e d ，i n c r e a s i n gp r o c e s s ，o b s t a c l e v i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 兰l ! 堑 e t 期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：堡鱼 导师签名； 墟v d 由东大学硕士学位论交 第一节引言 1 9 9 0 年，由p a r d o u x 和彭【l j l 引入了非线性的倒向随机微分方程( 简称 b s d e ) 这是一种新的方程结构，不仅其理论本身具有有趣的数学性质，而且 还在许多领域有着广泛酌应用，这使得关予倒向随机微分方程的理论不断的 发展和完善后来，彭在文献【2 l 中引入了倒向随机微分方程关于生成元上解 的概念，并给出了单调极限定理k a r o u i 等人( 文献【3 】) 给出了一类b s d e 的 比较定理和在随机最优控制及金融中的应用随后，在文献【4 】中，e 1 k a r o u i n 等人研究了带有反射边界的倒向随机微分方程，其实质上仍然是一个倒向方 程，只是设定一个障碍过程。并通过在倒向方程中引入一个增过程，使得方程 的解时刻保持在这个给定的障碍上方他们利用s n e l le n v e l o p e 的方法证明了 反射性倒向随机微分方程的解是一个最优停止问题的值函数，同时也采用了 经典的惩罚方法得到了反射性倒向随机微分方程解的存在唯一性，并对于非 线性抛物型偏微分方程相联系的障碍问题的粘性解给出了概率解释在此之 后，又有许多文章研究倒向随机微分方程的反射解问题例如，l e p e l t i e r 等人 ( 文献i 5 】) 对于无穷区间上蒂反射边界的倒向随机微分方程给盘了解的存在唯 一性结果，并研究了相应的混合最优控制问题在文献【6 】中，j a k s ac v i t a n i c 和i o a n n i sk a r a t z a s 研究了带有两个障碍的倒向随机微分方程的反射解以及和 随机博弈问题的联系 我们知道，对于一般的b s d e ：y t = 拈+ r g ( s ，弛，磊) 幽+ ( 如一九卜，z , d w ， 其中t i o 。t 】，这里a 是左极右连( r c l l ) 的增过程，a o = 0 。e ( 辟) o 。如 果( y ，；) 满足上式，我们称y t 为关于生成元g 的上解，或简称为区间【0 ，t i 上 的g 一上解紧接着彭给出了单调极限定理：如果一列r c l l 的g 上解单调收 敛到y t ，且es u pl y t l 2 o o ，那么y t 也是一个g - 上解 0 5 t s t 受扰定理的启发，本文弱考虑一类带有反射边界的倒向随机微分方程( 简 称r b s d e ) ，通过方程系数序列( ，p ) 在各自相应空间中收敛到( ，f ) ，从而来 考察三元组解( 死，k 1 ) 的收敛性，这里极限解为三元组( 纨，砘，弼) ，并要求y t 时刻保持在障碍上方，即矾s t ，并且满足詹( y t 一& ) d 凰= 0 这个三元组解与 普通的倒向随机微分方程的解不同，也与文献【2 1 中的上解不同对于反射倒 向随机微分方程解的收敛性质在此之前并未傲过相关探讨，本文贝l j 系统讨论 了该类方程解的收敛性质，进一步完善了倒向随机微分方程理论 文章具体安排如下： 山东大学硕士学位论文 第二节，给出预备知识，这里主要介绍一些相关的定义及其命题，同时提 出问题 第三节，我们给出了有限区间上解的收敛结果：定理3 1 并由以下步骤： 首先得到关于解的一些先验估计，接着引入了我们的极限解，最后来验证极 限解满足r b s d e 的限制条件，进而完成定理3 1 的证明 第四节，将问题延伸，得到了无穷区间上反射倒向随机微分方程解的收敛 定理 第五节，进一步，考查带有两个反射边界的倒向随机微分方程解的收敛性 质，此时解为四元组( 玑毛k ，a ) 2 山东大学硕士学位论文 第二节问题的提出及主要假设条件 设( q ，p ) 是完备概率空间，慨) 0 5 t s r 是击维标准布朗运动为讨论方 便，我们假定五是由标准布朗运动产生的自然d r 域，其中矗包含，的所有 零测集， 本文采用如下记号： 妒= 扣( t ) ：t ，( t ) 是五适应过程，使得4 ”( 训刍= 研s u pl v ( t ) 1 2 函， o t t 朋2 = ( ) ：口( t ) 是厅适应过程，使得i i v ( 圳孙= e f 卜( s ) l z 幽l ) ， 2 ( q ，p ) = 侄：f 是昂可测的随机变量，使得e | f 1 2 0 使得对任意的妒( 且毪) 。， ， 芹1e 【( 妒t 1 2 d o 2 】e s u p i i ，1 c ；e 【( i 忱1 2 d o p 2 】 l ，p j ot 2 0 。o，o 3 山东大学硕士学位论文 对于有限区间上的r b s d e 恳 y 酽，z m 2 , k t c 2 ； 鼍乏e ，f ，( 豇l , z o ) d s + 所一甄一( 互，掘) ， o t s 丁；( 9 ) x & ，0 t 置 甄为连续增过程，硒= o ，并且f 似一s t ) d k = 0 则有以下结论成立： 命题2 4 假定f c 2 ，并且( h 2 1 ) ( h 2 3 ) 满足，则上述以( ，f ，s ) 为参数的 r b s d e 存在唯一解乃鹚。 证明参见文献 4 】 下面，我们考虑如下一族r b s d e “= 1 ，2 ，3 ，) ： i 斫= f + r ，( s ，蠢) 玉+ k 一磷一f ( 乏，矗b ，) ，0 s t s ? ； 蛾s ：，0 t s t ； ( 1 0 ) i 琏为连续增过程，硒= o ，并且露( 斫一& ) d 困= 0 对于每个 ，若乎c 2 ，l 和s 满足( h 2 1 ) 一( h 2 3 ) ，特别的，( h 2 2 ) 中的正数 七关于f 是一致的，由命题2 4 知，上述以( ，。，p ，s ) 为参数的方程存在唯一解 ( 番，乏，研) ，其中缓铲，乏州2 ，同时，碎2 4 山东大学硕士学位论文 第三节有限区间上r b s d e 解的收敛结果的证明 下面给出本文的主要结果： 定理3 1 当i + 。时，若( ，p ，s ) - + ( ，s ) ，其中p 在c 2 中收敛，且一致 有界，v t 【o ，刁，雪r ，l ，( t ，玩牙) 在朋2 中收敛到，( t ，口，i ) ，并且，( t ，0 ，0 ) 在v i 2 中关于i 一致有界，则对应于方程的解，有：班- + y t ( 在妒中) ，同时 存在z t 。m 2 和增过程k t ，o t 墨t ，使得三元组( y t ，磊，k t ) 是下述以( ，s ) 为 参数的方程的解： fy t = f + j _ ，( s ，弛，z s ) d s + k r 一致一f y ( z o ，d 玩) ，0 t t ； y t & ，0 t r ； ( 1 1 ) 【k 为连续增过程，t o = o ，并且詹。觚一& ) d 甄= 0 其中z t 是z t 在m 。中的强极限，对于每个t ，虬是硷在c 2 中的极限 此定理即为有限区间上r b s d e 解的收敛性结果，其证明过程，我们通过 以下几个命题来实现 首先我们给出解的先验估计： 命题3 2 vi ，若p 2 ，且e 2 0 ，t 和s 满足( h 2 1 一h 2 3 ) ，特 别的，( h 2 2 ) 中的正数k 关于i 是一致的，而且v t o ，研，( ，0 ，0 ) 在朋2 中 关于i 一致有界，则对应与方程( 1 0 ) 的唯一解( y 。，z ，k 。) ，有如下一致估计： e s u p ( 攻) 2 + l 1 2 d t + ( 磷) 2 】s g ， o s s ? j o 这里c 的选取与i 无关 证明：对( 啦) 2 在区间陆，列上利用i t 5 s 公式 ( 蛾) ：+ r i 力1 2 d s = ( p ) z + 2 f 虻，。( s ，虻，之) d j + 2 f 玩d 巧一2 r 叛i l i ，d 日) ， = ( 9 ) 2 + 2 j _ 虻，( s ，虻，乏) d s + 2j ：r 最d 蟛一2j _ 虻( z ，d b o ) 上式两边取条件期望，从而有 5 山东大学硕士学位论文 = = ：= = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = = = = = = = = = = e ( 啦) 2 + e j _ i z l 。幽= e ( f ) 2 + 2 e j _ f ：，( s ，虻，之) d s + 2 e j _ s ：d 弼， se 【( 9 ) 2 + 2 f y l f ( 毛0 ，o ) d s + 2j 只d 嗣 + 2 k f f ( 1 可i 1 2 + l 鲥蚓) d s 】 墨e 【( p ) 2 + j - ，t ( s ，0 ，o ) 2 d s 2 f s d k ： + g f i 虻l 。d s + ；j i z l 2 d 司， 其中a = 1 + 2 k + 2 k 2 利用g r o n w a l l 引理，得到 e c y $ ) 2 g e 【( p ) 2 + 1 ，( 8 ，o ，o ) 2 d s + 2 & d k ：l ， 从而 一 渊(盱+f，|(so，0)2蝌z工te(jo i z , 1 2 d s ) 只蚓 g e ) 2 + 上，( s ，o ，o ) 4 s + 2 工只d 蜒1 砰一毽：玩一f 一厂，i ( s i 刎s + ，r ( z ，旭) ， 而g o = 0 ，故有 e 俐：a 刚) ：+ o r ，i ( s ，0 ，咖+ 2 f o t 最哟】， 另外， 2 e 厂只d 趔fs u p ( s ) 厂t 2c,e2e d g , lc 4 es u p ( s + ) 2 + 百e ( k ) 2 z 只删【0 翌( 对) 上 。蜓t 2 + 方e ( 玛) 2 因而， e 懈】。g 础) 2 + f o t ，0 1 2 d s + 。s 蜓u p r ( s + ) 2 1 我们注意到：这里白，g ，g ，a ，g 的选取与i 无关 利用b u r k h o l d e r - d a v i s - g u n d y 不等式， 6 e 。s s u 。s p t ( 口；) 2 1 e ( f 。) 2 + 2 e o r i ：，( 以，之) i d 3 山东大学硕士学位论文 从而 + 2 e 对d 留+ 2 es t l pl 以( 之，d _ 玩) i j o o t tj i 。 e ( p ) 2 + 2 e i 玑i k 。i + 后z + ，0 ，0 ，0 ) d s + e ( 磷) 2 + es u p ( 对) 2 + c e 【i 越芯1 2 d s 1 2 e ( f ) 2 + ( 1 + 2 k + k 2 ) e l 虻1 2 d s + e ( 磷) 2 + es u p ( 对) 2 + eo r i f ( s ，0 ，o ) | 2 幽+ j 1 e 【o 翌( 斫) 2 】+ ( 互1 + 2 c 2 ) e z t i z l 2 如 e 【s u p ( 玩) 2 】2 ( 1 + 2 k + 七2 ) e _ t i 虻j 2 出+ ( 1 + 4 c 2 ) et l 之1 2 如】 o s t tj o 。 ，u 。 + 2 e ( 磷) 2 + 2 e 【( f ) 2 + f ( s ，0 ，o ) 2 d s + s u p ( 对) 2 】 j oo ( t t 最后结合我们已经得到的不等式，则有： e 【0 茹玩) 2 + 研d t + g 0 2 】g ，r o t tj 显然，这里c 的选取与i 无关 命题3 3 在定理3 1 的条件下， 孵 ， 露) 分别是妒，m ：中的c a u c h y 列 口 证明：对任意的m ，1 1 , ，假设( 妒，z y ，k ”) 是相应于( ，m ，p ，s ) 的一组唯一 解，( 卯，露，k “) 是相应于【，“，p ，_ s ) 的一组唯一解 在区间i t , 刁上对i 妒一卵i ：应用i t 6 s 公式， e i 矿一聍1 2 + e l 才一露1 2 d s j t r t =e j p p 1 2 + 2 e ( 疗一玑d m d 研) j t f t + 2 e ( 好一谚) ”( s ，卵，霉) 一f ( s ，聍，z ? ) l d s 7 山东大学硕士学位论文 ，r s e l p p 1 2 + 2 e ( 好一订) 【，“( s ，p ，霉) 一，“( 8 ，订，露) 】幽 ，t + 2 e ( 卯一聍) 【尸( s ，订，帮) 一，”( s ，卵，刃) 】d s ，t e 妒一p 1 2 + e l 尸b 秽，才) 一，“( s ，彳) 1 2 d s + c e 厂l 订一卅如+ 虿1 e f f l 才一种d s 事实上这里用到结论e f ( 订一y w 、d k 。t 一懈) 0 ，这是由于 f ( 好一订) d ( k ? 一d k r ) = f ( y r 一只) 一( 聍一s , ) i ( d k y d 砑) = 譬( y 7 一只) d k ? + f ( g ? 一只) d 研 一1 1 ( y y s ，、d k ：一1 1 忱一s ，、d k ? = 一f ( y y 一只) d 耳? 一f ( f ? 一s s ) d k s m 0 对已得到的不等式利用g r o n w a l l 引理，有： e i 舻一聍1 2 + 互1 e z 丁i z ? 一刃1 2 d s s c e 【i p p 1 2 + z t i ，“( s ，好，z y ) 一，“( s ，卵，才) | 2 幽】) 再次利用b u r k h o l d e r - d a v i s - g u n d y 不等式， ，i，t e ( s u pl 妒一聍1 2 + i 刃一露1 2 d s ) c e i c 一, c 1 2 + l f r o ( 8 ，好，z ? ) - - f “( s ，好，z ) 1 2 d s ) 0 t t j oj 0 已知 ，) 墨。在m ：中收敛，停) 嘲o o 在c 2 中收敛，故： e ( s u pi 矿一聍1 2 + i 霉一才j 2 d s ) _ + 0 ，r 0 9 s r ，o 即：慨攉。，怯i ，；0 0 1 分别是空间妒，朋2 中的c a u c h y 列 口 不妨设 j i m 斫= 玑，1 i m 乏= z t ，由妒与a t 2 的完备性知纯铲，z t 朋2 t g - 0 0 并有 8 山东大学硕士学位论文 命题3 4 在定理3 1 的条件下，对应于讲一+ 轨( 在铲中) ，之- + 施( 在 m 2 中) ，有 ，( t ，馥，) d t _ + f ( t ，玑，魂) 班， j o o 在c 2 的意义下成立 证明：利s c h w a m 不等式，结合不等式2 a b 矿+ b 2 ， e ( 露。i ，( t ，以，) 一f ( g ，轨，z t ) l d t ) 2 2 e ( j 丁i f ( t ，城，) 一，( t ，肌，魂) i 出) 2 + 2 e ( f 0 1i ，( t ，y t ，) 一f ( t ，玑，免) i d d 2 c 1 e 。器l 班一y , 1 2 + q e 露。i 乏一盈1 2 d t + 2 e ( j 了i ，( t ，玑，z t ) 一f ( t ，玑，z t ) l d t ) 2 ， 已知e ( 露i f ( t ，犰，) 一f ( t ，轨，z t ) l d t ) 2 t e 叮i f t ( t ，y t ，z t ) 一f ( t ，y t ，z t ) 1 2 d t + 0 ， 而a ，q 为有界常数，故结论成立 下面，我们来完成 定理3 1 的证明： 方程( 1 0 ) 的。正向形式”如下： 谚= 磊一f o ，( s ，班，之) 如一碰+ z ( z ，倔) 极限方程( 1 1 ) 的。正向形式”如下： 讥= 。一 i ，t s , y s , z a 、d 8 一k t + ：咕4 + d b - 、 下证( 1 3 ) 是( 1 2 ) 的极限形式 已知在c 2 ( q ，兀p ) 中，有如下两个收敛：j ： ，( 岛虻，z ) 如- + 名，( 毛仉，z , ) d s ， 层( z ，d b ) _ j ： 阢，d 日) ，0 s t z 将( 1 2 ) 改写为： i tt 碰= 磊一疵一f ，( s ，以，艺) d s + ( 之，d b ) ， 口 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 9 山东大学硕士学位论文 令i + ，上式两边取极限得 碰- + k ：= y o - y t - z ，( s ，弘，气) 如+ z 亿，d 玩) ， 则托是增过程，且甄= 0 ，并由虮的连续性，我们知道匠也是连续的，这样 ( 掣，毛k ) 满足( 1 3 ) 下证f 一s t ) d k , 0 我们已经知道f ( 讲一s , ) d k t = 0 而事实上， 0 f 譬( 玑一s o d k dsf 譬( 玑一) d 魁f + f 膏( ；一s , ) d k , t = l j ：【( 轨一y ；) d k t i + ij ：； ( 螗一& ) d ( 甄一地) i ， 其中，当i - + 0 0 时，我们有 e i f ( 玑一斫) d j k i 【es u pi 玑一诉1 2 】 【e k e - 0 ， u s c s 疗 e i ( 旌一& ) d ( k 一琏) is 旧硒- 一磷1 2 】；陋s u d i l 。is 。