（概率论与数理统计专业论文）重尾相依随机变量加权和的若干结果.pdf

。 妒骼7 黧s ( 在口划“4 )， 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士论文重尾相依 随机变量加权和的若干结果，是本人在导师指导下，在曲阜师范大 学攻读博士口 硕士酶位期间独立进行研究工作所取得的成果。论 文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的 研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注 明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：毒娘风 日期：刎。年轵弋b 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 重尾相依随机变量加权和的若干结果系本人在曲阜师范大学攻读 博士口硕士乜学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士曾学位 论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不 得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使 用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和 电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采 用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内 容。 作者签名： 导师签名： 日期：f 嘞同- 1 日 日期：阳f 。年峒 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 这篇论文主要研究了dnc 分布族相依随机变量随机加权和的大偏差问题及5 ( 7 ) 类 中相依随机变量的闭性质的问题，共分四章 在第一章中我们首先给出了一些基本定义( 第1 1 节) 随后简要讨论了一些性质( 第 1 2 节) 第一章的主要目的是介绍我们要研究的问题的基本定义和它们的一些性质 在第二章中，令 咒，i 1 ) 为同分布的上尾独立的取自口nc 类的随机变量序列， 0 i ，i 1 ) 为非负随机变量序列，其与 x t ，i 1 ) 相互独立并且满足一定的矩和分布条 件，我们主要研究了随机加权和：】吼x i 及其最大值的大偏差的一致估计及其应用另 外，我们还可以假定 吼，i 1 ) 并不需要任何的相依结构的假设其中第2 1 节对该问题 进行了简要总结并给出了研究的现状第2 2 节给出研究该问题所要应用的引理第2 3 阐述了本章所要研究的主要结论及其证明过程，在第2 4 节给出了主要结果的应用 第三章，在假设个体净损失为dnc 类中的逐段上尾独立同分布的随机变量的条件 下，我们研究了非常数利率下离散时间相依风险模型中有限和最终破产概率的一些渐近 结果，还得到了最终破产概率的界的估计其中第3 1 节给出了该问题的研究现状第3 2 节阐述了本章的主要结论以及第3 3 节讨论了主要结论的证明过程 在第四章中，令x 和】厂为s ( 7 ) 类中的两个相依随机变量，我们证明了在一定的条 件下，x 和y 的最小值m i n ( x ，y ) 也属于s ( ，y ) 特别的，当，y = 0 时，在独立的条件 下，对于次指数类结论也是成立的，见【1 】另外，我们还得到了对几个相依随机变量时， 结论也是成立的第4 1 节给出了该问题的研究现状，第4 2 节给出了证明该定理的预备 知识并且在第4 3 节阐述了本章的主要结论以及主要结论的证明过程 关键词：一致估计；随机加权和； 产概率；离散时间风险模型；s ( ，y ) 类； 上尾相依；d n c 类；非常数利率；破 c o p u l a 函数；相依；最小值；次指数性 t h i st h e s i sd e a l sw i t he s t i m a t i o n sf o rl a r g ed e v i a t i o n so fr a n d o m l yw e i g h t e ds l l n l 8 ：l 吼咒，w h e r e o i ，i 1 ) i sas e q u e n c eo fn o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e s ，a n d 【五，i 1 ) i sas e q u e n c eo fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sf r o mc l a s sd nc ；a n da l s os t u d ys o m e c l o s u r ep r o p e r t i e sf o rd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sf r o mc l a s s5 ( ，y ) w eh a v ef o u rc h a p t e r s ： i nc h a p t e ro n e ，w ef i r s tg i v es o m eb a s i cd e f i n i t i o n s ( s e c t i o n1 1 ) t h e nw eb r i e f l y d i s c u s ss o m ep r o p e r t i e s ( s e c t i o n1 2 ) c h a p t e r1m a i n l ys e r v e st h ep u r p o s eo fi n t r o d u c i n g d e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e s ，w h i c hr e l a t i v et oo u rp r o b l e m s i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h eu n i f o r me s t i m a t ea n da p p l i c a t i o n sf o rl a r g ed e v i - a t i o n so fr a n d o m l yw e i g h t e ds u m s ：1o i x ia n dt h e i rm a x i m a ，w h e r e 五，i 1 ) i sa s e q u e n c eo fi d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da n du p p e r - t a i l e di n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sf r o m c l a s sdn ，a n d o i ，i 1 ) i sas e q u e n c eo fn o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e s ，w h i c hi s i n d e p e n d e n to f x ，i 1 ) a n ds a t i s f y i n gc e r t a i nm o m e n ta n dd i s t r i b u t e dc o n d i t i o n s m o r e o v e r ，w ea s s u m e o i ，i 1 ) d o e sn o tn e e da n ya d d i t i o n a la s s u m p t i o no nt h ed e p e n - d e n ts t r u c t u r e i ns e c t i o n2 1 w eg i v eb r i e f l yi n t r o d u c t i o n sf o rt h ep r o b l e mi nt h ep r e s e n t r e s e a r c h s o m el e m m a sf o rt h ep r o b l e ms t u d ya r eg i v e ni ns e c t i o n2 2 i ns e c t i o n2 3 ， w es h o wo u rm a i nr e s u l t sa n dt h e i rp r o o f s f i n a l l y , w ep r e s e n ta p p l i c a t i o n sf o ro u rm a i n r e s u l t s c h a p t e rt h r e es t u d i e ss o m ea s y m p t o t i cr e s u l t sf o rb o t hf i n i t ea n du l t i m a t er u i np r o b - a b i l i t i e si nad i s c r e t et i m er i s km o d e lw i t hn o n c o n s t a n ti n t e r e s tr a t e s ，u n d e ra s s u m p t i o n s t h a tt h ei n d i v i d u a ln e tl o s s e sa r ep a i r w i s eu p p e r - t a i li n d e p e n d e n t ，i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d r a n d o mv a r i a b l e si n 刃n cc l a s s a d d i t i o n a l l y , i ta l s oe s t a b f i s h e st w o - s i d eb o u n d sf o r u l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y i ns e c t i o n3 1 ，w eg i v eb r i e f l yi n t r o d u c t i o n sf o rt h ep r o b l e mi n t h ep r e s e n tr e s e a r c h i ns e c t i o n3 2 ，w es t a t eo u rm a i nr e s u l t s ，a n dt h e i rp r o o f sa r eg i v e n i ns e c t i o n3 3 i nc h a p t e rf o u r ，w el e txa n dyb et w od e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw i t hd i s t r i b u - t i o n sb e l o n g i n gt ot h ec l a s ss ( ，y ) i nt h i sn o t ew es h o wt h a tt h ed i s t r i b u t i o no fm i n ( x ，y ) a l s ob e l o n g st ot h ec l a s ss ( ，y ) u n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n s e s p e c i a l l y , w h e n7 = 0 ，t h e r e s u l ti st r u ef o rt h es u b e x p o n e n t i a lc l a s s ，w h i c hw a so b t a i n e di n 【1 】u n d e ri n d e p e n d e n t s e t t i n g i na d d i t i o n w ea l s oo b t a i nt h er e s u l t sf o r 佗d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s i n u k e y w o r d s ：u n i f o r me s t i m a t e ；r a n d o m l yw e i g h t e ds u m s ；u p p e r - t a i l e di n d e p e n d e n t ； c l a s s 口nc ：n o n c o n s t a n ti n t e r e s tr a t e s ；r u i np r o b a b i l i t y ；d i s c r e t et i m er i s km o d e l ；c l a s s s ( ，y ) ；c o p u l af u n c t i o n ；d e p e n d e n c e ；m i n i m u m ；s u b e x p o n e n t i a l i t y 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 1 预备知识( 1 ) 1 1基本定义( 1 ) 1 2 性质( 3 ) 2 随机加权和的大偏差及其应用( 5 ) 2 1 引言( 5 ) 2 2 引理( 6 ) 2 3 主要结论( 1 0 ) 2 4 主要结论的应用( 1 5 ) 3 离散时间风险模型中破产概率的估计( 1 8 ) 3 1引言一( 1 8 ) 3 2 主要结论( 2 0 ) 3 3 主要结论的证明( 2 2 ) 4 相依随机变量的一些闭的性质( 2 7 ) 4 1 引言( 2 7 ) 4 2 预备知识( 2 7 ) 4 3 主要结论( 3 0 ) 参考文献( 3 5 ) ， 致谢( 3 9 ) 1 p r e l i m i n a r i e s ( 1 ) 1 1 b a s i cd e f i n i t i o n s 1 2 s o m ep r o p e r t i e s ( 3 ) 2 l a r g ed e v i a t i o n so fr a n d o m l yw e i g h t e ds u m sa n da p p l i c a t i o n s( 5 ) 2 1i n t r o d u c t i o n ( 5 ) 2 2 l e m m a s ( 6 ) 2 3 m a i nr e s u l t s ( 1 0 ) 2 4a p p l i c a t i o no fm a i nr e s u l t s( 1 5 ) 3 a p p r o x i m a t i o nf o rt h er u i np r o b a b i l i t i e si nad i s c r e t et i m er i s km o d e l( 1 8 ) 3 1i n t r o d u c t i o n ( 1 8 ) 3 2 m a i nr e s u l t ( 2 0 ) 3 3 p r o o fo ft h em a i nr e s u l t ( 2 2 ) 4s o m ec l o s u r ep r o p e r t i e sf o rd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ( 2 7 ) 4 1i n t r o d u c t i o n ( 2 7 ) 4 2p r e l i m i n a r i e s ( 2 7 ) 4 3 m a i nr e s u l t s ( 3 0 ) r e f e r e n c e s ( 3 5 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 s u b m i t t e dp a p e r sd u r i n gp o s t g r a d u a t e( 3 8 ) a c k n o w l e d g e m e n t s ( 3 9 ) c h a p t e r1p r e l i m i n a r i e s 。r h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，l i m i t sa n da s y m p t o t i cr e l a t i o n sa r ea s s u m e dt ob ef o rz 一 u n l e s sm e n t i o n e do t h e r w i s e f o rt w o p o s i t i v ef u n c t i o n s 让( ) a n d 刀( ) ，h e r ea n dh e n c e f o r t h ， w ew r i t eu ( z ) 焉秒( z ) ，i fl i m s u p x 。o o 格s1 ；u ( x ) 乏钞( z ) ，i fl i mi n f x 竺v i 垃 ；x ) 1 钍( z ) “移( z ) ，i fb o t h ，a n du ( z ) x 移( z ) i f0 0 w er e c a l lh e r es o m e i m p o r t a n tc l a s s e so fh e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n s 嬲f o u 噶 d e f i n i t i o n1 1 1 ( 1 ) ad i s t r i b u t i o nf i ss a i dt ob el o n gt a i l e d ，w r i t t e na 8f i ft h er e l a t i o n 熙帮= 1 h o l d sf o rs o m e ( o r ，e q u i v a l e n t l y , f o ra 1 1 ) t 0 ( 1 1 1 ) ( 2 ) ad i s t r i b u t i 。nf 。n ( o ，o o ) i s8 a i dt 。b es u b e x p 。n e n t i a l ( n o t a t i o nf 5 ) i ft h e r e l a t i o n 两( z ) 一n - 芦( z ) h o l d sf o r s o m e ( o r ，e q u i v a l e n t l y , f o ra n ) 佗= 2 ，3 ，w h e r ef 幸nd e n o t 豁t h en - f o l d c o n v o l u t i o no ff ( 3 ) fi ss a i dt ob ed o m i n a t e d l yv a r y i n gt a i l e d ，w r i t t e n 鹄f 矽，i ft h er e l a t i o n l i r a s u p o - o o 塑 f ( x ) h o l d sf o rs o m e ( o r ，e q u i v a l e n t l y , f o ra l l l0 t 1 ( 1 1 2 ) ( 4 ) fi ss a i dt ob ec o n s i s t e n t l yv a r y i n gt a i l e d ，w r i t t e n 鹪f c ，i ft h er e l a t i o n l i m l i r ai 。n ff ( t x 、) t & l f：1，0r，equi试ently，( 霉_ z 1 1 一。1 “。u = 1 ff|jjjiffffijjiiiiiiiijjjjiiiiif 鬻 p 驰啪m 争 h m n h f i ( 5 ) f i ss a i dt ob ee x t e n d e dr e g u l a r l yv a r y i n gt a i l e d ，w r i t t e na sf c t 己v ( 一q ，一p ) f o rs o m e0 q p o o ，s u c ht h a t s 邓s l i m i n f x - 0 0 铬h 罂铬舛 一f 个l 一 f t l f o ra l l8 1 ，o r ，e q u i v a l e n t l y , f o ra l l0 8 0 x n m - - + 0 0 等f ( z 可q ) 口 t h e s ec l a s s e ss a t i s f yt h ef o l l o w i n gi n c l u s i o nr e l a t i o n s 冗一7c 冗y ( 一q ，一卢) cccd nccsc f o rs o m e0 z ) p ( x l z ) 2 = 0 i f x ，i 1 ) a r ei d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，a n d8 a t i 8 匆 规等群 = 0 ，y o ri 歹，i ，歹1 ( 1 1 5 ) w es a y 咒，i 1 ) i sb i v a r i a t eu p p e r - t a i li n d e p e n d e n t ，o rh a sn ob i v a r i a t eu p p e r - t a i l d e p e n d e n c e ，o rh a sz e r oi n d e xo fb i v a r i a t eu p p e r - t a i ld e p e n d e n c e r e m a r k1 1 2 c l e a r l y , i f 五，i 1 ) i sa s e q u e n c eo fi i d r a n d o mv a r i a b l e s ， c o n d i t i o n ( 1 1 5 ) i ss a t i s f i e da u t o m a t i c a l l y a c t u a l l y , i ft h es e q u e n c e x ，i 1 ) a r e n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t ( n q d ) ( s e e 3 】，p 2 0f o rt h ed e f i n i t i o no fn q d s e q u e n c e ) ， t h e nc o n d i t i o n ( 1 1 5 ) c a na l s ob es a t i s f i e d ，s i n c ei nt h i sc a s e 。_ zj z i = 0 ，i j ，i ，j 1 i ti sw o r t hm e n t i o n i n gt h a ts e q u e n c e so fr a n d o mv a r i a b l e so ft h o s en o t i o n ss u c ha s n e g a t i v ed e p e n d e n c e ( n d ) ( s e e 【4 】o r 5 】) ，a n dn e g a t i v ea s s o c i a t i o n ( n a ) ( s e e ( 6 】o r ( 7 】) a l ls a t i s f yc o n d i t i o n ( 1 1 5 ) b yt h e i rr e l a t i o nw i t hn q d 1 2s o m ep r o p e r t i e s f o rad i s t r i b u t i o nf ( z ) ，w es e t 酗= l i z 蒯- - - + o o 铬 一1 个l = n m s u p 鬻巾， a n d 砧：一l i m l o g f ( v ) ，石：一l i m l o g f ( v ) ， u - 4 0 0 1 0 9 口 t ，_ o o l o k 口 a n dw ea l lc a l lt h eq u a n t i t i e s 砧a n d 矗t h e ( u p p e ra n dl o w e r ) m a t u s z e w s k ai n d e xo f n o n n e g a t i v ea n dn o n d e c r e a s i n gf u n c t i o n ，( z ) = ( 万( z ) ) 一1 ，z 0 ( s e ec h a p t e r2 1i n 【8 】) f o rn o t a t i o n a lc o n v e n i e n c e ，w ec a l lt h e 蓐a st h eu p p e r l o w e rm a t u s z e w s k ai n d e x o ff ( z ) c l e a r l y , i ff 7 f o rs o m eq ，0 q 。o ，t h e n 蓐= q ；i ff e t 已v ( 一o t ，一p ) f o r8 0 m eqa n dp ，0 口p 砧( 1 2 3 ) h e n c ee ( x + ) p = o 。f o ra l lp 砧 4 2 1 i n t r o d u c t i o n l e t 五，i 1 ) b eas e q u e n c eo fi d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e db u tn o tn e c e s s a r i l yi n d e - p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw i t hag e n e r i cr a n d o mv a r i a b l ex a n dc o m m o nd f f w h i c h s a t i s f i e s ( z ) 0f o ra l lr e a ln u m b e rz ，a n dl e t o i ，i 1 ) b e a n o t h e rs e q u e n c eo fn o n n e g - a t i v er a n d o mv a r i a b l e si n d e p e n d e n to ft h es e q u e n c e 五，i 1 ) i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s s t h eu n i f o r m l ya s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h et a i lp r o b a b i l i t i e sf o rt h er a n d o m l yw e i g h t e d s u m sb y 畿= 巩x ， ( 2 1 1 ) i = 1 a n dt h e i rm a x i m a 磁= 1 m a x n s k e ，n 1 ( 2 1 2 ) t h es t a n d i n ga s s u m p t i o n so ft h i sp a p e ra r et h a tt h es e q u e n c eo f x ，i 1 ) i sf r o m t h e 力ncc l a s sa n dh a su p p e r - t a i l e di n d e p e n d e n ts t r u c t u r e ( s e ed e f i n i t i o n1 1 2a n d r e m a r k1 1 1f o ri t sa c c u r a t ed e f i n i t i o n ) ，a n dt h er a n d o mw e i g h t s 哦，i 1 ) s a t i s f y c e r t a i nm o m e n ta n dd i s t r i b u t e dc o n d i t i o n s u n d e rt h e s ea s s u m p t i o n s ，t h i sp a p e rs h o w s t h a tt h er e l a t i o n s 竹 p ( 磁 z ) 一p ( 侠五 z ) ( 2 1 3 ) i = 1 p ( 巩耐 z ) n p ( o i x i z ) i = 1i = 1 u n i f o r m l yh o l df o ra l ln = 1 ，2 ，t h e r e f o r e ， w h e r e p ( 峨 z ) 一尸( 巩矸 z ) 一p ( o i x i z ) ， i = 1 蛾2 。m g a z ) a n dp ( 蛾 z ) c a nb eu n d e r s t o o da st h ep r o b a b i l i t i e so fr u i nb yt i m e 礼= 1 ，2 ，a n do fu l t i m a t er u i n ， r e s p e c t i v e l y , w h e r ez 0i st h ei n i t i a ls u r p l u so ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y n e x t ，w es h a l lh a v ear e v i e wo nt h er e l a t e dl i t e r a t u r e t h e r ea r eq u i t ef e wp u b l i - c a t i o n sw h i c ha r ea t t e m p t e dt ot h ea s y m p t o t i cr e s u l t sl i k e ( 2 1 3 ) a n d ( 2 1 4 ) ，s u c ha s 【1 1 】，【1 2 】，【1 3 a n d 【1 4 ，a m o n go t h e r s t h er e s u l t sh e r eg e n e r a l i z e ( o rp a r t i a lg e n e r a l i z e ) c o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nt h ep a p e rm e n t i o n e da b o v e 【11 】o b t a i n st h eu n i f o r me s t i m a t e f o rm 越m u mo fs u n l 8o fi n d e p e n d e n ta n dc o n s i s t e n t l yv a r y i n gt a i l e dr a n d o mv a r i a b l e s w i t hn o n n e g a t i v er a n d o mw e i g h t s ，w h i c hc a nb ea r b i t r a r i l yd e p e n d e n to fe a c ho t h e r 【1 2 】 i n v e s t st h ee s t i m a t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t yo fad i s c r e t et i m er i s km o d e lu n d e rc o n s t a n t i n t e r e s tr a t ea n dd e p e n d e n tr i s k sw h i c ha r ec o n f i n e di nr e g u l a r l yv a r y i n gt a i lc l a s sa n d a s s u m e dt ob eu p p e r - t a i li n d e p e n d e n t 【1 3 】i n v e s t i g a t e st h ep r o b l e mo fa p p r o x i m a t i n g t h et a i lp r o b a b i l i t i e so fm o d e l s ( 2 1 1 ) a n d ( 2 1 2 ) u n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a t 【k ，i 1 ) i si d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da n du p p e r - t a i li n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sf r o m 冗vc l a s s ( s e ef o rd e f i n i t i o n1 1 1 ) 【1 4 】f o c u s e so nt h eu n i f o r me s t i m a t ef o rm a x i m u m o fs u m so f u p p e r - t a i li n d e p e n d e n ta n dc o n s i s t e n t l yv a r y i n gt a i l e dr a n d o mv a r i a b l e sw i t hn o n n e g a - t i v ed e p e n d e n tr a n d o mw e i g h t s w eh e r ec o n s i d e rt h es e q u e n c e 五，i 1 ) i sf r o mt h e dncc l a s s ( s e ed e f i n i t i o n1 1 2 ) w h i c hi sl a r g e rt h a nt h ec l a s s e sm e n t i o n e da b o v e ( s e e t h er e l a t i o n ( 1 1 3 ) ) ，a n df u r t h e rv e r i f yt h eu n i f o r m i t yo fa s y m p t o t i cr e l a t i o n s ( 2 1 3 ) a n d ( 2 1 4 ) w i t hr e s p e c tt o 孔= 1 ，2 ， t h er e m a i n i n gp a r to ft h i sa r t i c l ei so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i ns e c t i o n2 2w ep r e p a r e s o m ep r e l i m i n a r i e s w h e r e a st h em a i nr e s u l ta n di t sp r o o fa r eg i v e ni ns e c t i o n2 3 s e c t i o n 2 4a p p l i e st h em a i nr e s u l tt oa p p r o x i m a t et h ef i n i t ea n di n f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t i e s i nas t o c h a s t i ce c o n o m i cs i t u a t i o n 2 2l e m m a s 6 t 曲阜师范大学硕士学位论文 l e txa n dyb et w oi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s w h e r exi sc o n c e n t r a t e do n ( 一o o ，o o ) w i t ha d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf ，b u tyi ss t r i c t l yp o s i t i v ew i t had i s t r i b u t i o n f u n c t i o ng w ew r i t e z = x v( 2 2 1 ) a n dd e n o t eb yht h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o no fz a s s u m p t i o n s f o rn o t a t i o n a lc o n v e n i e n c e ，w es t a t et h ef o l l o w i n gt w oa s s u m p t i o n s r e g a r d i n gt h es e q u e n c e s 咒，i 1 ) a n d o i ，i 1 ) h 1 t h e r ee x i s t sac o n s t a n tp 砧s u c ht h a te 鳄 o of o ra l li 1 ，a n d _ 五，i 1 ) i si d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da sag e n e r i cc u l m u l a t i v ed i s t