新人教八上轴对称讲练习题.doc

学科：数学教学内容：第十四章复习 轴对称本章视点一、课标要求与内容分析1.本章的课标要求是：(1)图形的轴对称：通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计；在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.（2）线段的垂直平分线：了解线段垂直平分线及其性质.（3）等腰三角形：了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.2.本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的.等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用.3.本章内容分为：(1)轴对称；（2）轴对称变换；（3）等腰三角形.第一部分介绍轴对称的意义、轴对称的性质，会画一个轴对称图形的对称轴；第二部分介绍如何画一个轴对称图形，怎样用坐标表示轴对称；第三部分介绍怎样利用轴对称来探索等腰三角形的性质.本章内容的编排，体现了从一般到特殊，再到应用的特点.4.本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.难点是等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.二、学法指导在本章的学习中，要逐步体会轴对称的思想，同时由特殊到一般的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.章末总结知识网络图示基本知识提炼整理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.专题总结及应用一、用轴对称的观点证明有关几何命题例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：在ABC中，C=90，A=30，如图14102所示.求证：BC=AB. 证明：如图14103所示.作出ABC关于AC对称的ABC.AB=AB.又CAB=30，B=B=BAB=60.AB=BB=AB又ACBB，BC=BC=BB=AB.即BC=AB.例2 如图14104所示，已知ACB=90，CD是高，A=30.求证BD=AB.证明：在ABC中，ACB=90，A=30，BC=AB，B=60.又CDBA，BDC=90，BCD=30.BD=BC.BD=AB=AB.即BD=AB.二、有关等腰三角形的内角度数的计算例3 如图14105所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求A的度数.（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.解：AB=AC，BC=BD=ED=EA，ABC=C=BDC，ABD=BED，A=EDA.设A=，则EDA=，ABD=BED=2，ABC=C=BDC=3（根据三角形的外角性质）.在ABC中，A=，ABC=ACB=3，由三角形内角和可得+3+3=180，=，A=.A的度数为.例4 如图14106所示，在ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求BAC的度数.解：AD=BD，AB=AC=CD，B=C=BAD，CAD=CDA.设B=C=BAD=，则CAD=CDA=2，BAC=3.在ABC中，BAC=3，B=C=，3+=180，=36”，3=108，即BAC=108.BAC的度数是108.三、作辅助线解决问题例5 如图14107所示，B=90，AD=AB=BC，DEAC.求证BE=DC.证明：连接AE.EDAC，ADE=90.又B=90，在RtABE和RtADE中，RtABERtADE（HL），BE=ED.AB=BC，BAC=C.又B=90，BAC+C=90.C=45.DEC=45.C=DEC=45.DE=DC，BE=DC.例6 如图14108所示，在ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.证明：过E作EMAC，交BC于点M，EMB=ACB，MEG=F.又AB=AC，B=ACB.B=EMB，EB=EM.又BE=CF，EM=FC.在MEG和CFG中，MEGCFG（AAS）.EG=FG.例7 如图14-109所示，在ABC中，B=60，AB=4，BC=2.求证ABC是直角三角形.（分析）欲证ABC是直角三角形，只需证明BCA=90即可.证明：取AB的中点D，连接CD.BC=2，AB=4，BC=BD=AD=2.BCD=BDC.又B=60，BCD=BDC=60.DC=BD=DA.A=DCA.又BDC是DCA的一个外角，BDC=A+DCA=60.A=30，BCA=180-B-A=180-60-30=90.ABC是直角三角形.本章综合评价一、训练平台1.等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长为( )A.22B.29C.22或29D.172.如图14110所示，图中不是轴对称图形的是( )3.在ABC中，A和B的度数如下，其中能判定ABC是等腰三角形的是( )A.A=50，B=70B.A=70，B=40C.A=30，B=90D.A=80，B=604.如图14-111所示，在ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若BDC=69，则A等于( )A.32B.36C.48D.525.成轴对称的两个图形的对应角 ，对应线段 .6.等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴.7.等腰三角形顶角的 与底边上的 、 重合，称三线合一.8.（1）等腰三角形的一个内角等于130，则其余两个角分别为 ；（2）等腰三角形的一个内角等于70，则其余两个角分别为 .9.如图14112所示，ABC是等边三角形，1=2=3，求BEC的度数.10.如图14113所示，在ABC中，AB=AC，E在CA延长线上，AE=AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.11.如图14114所示，在ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使ENF的周长最小，试说明理由.二、探究平台1.如图14115所示，设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，能表示它们之间关系的是( )2.等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且=2Cm，则腰AC的长为( )A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm3.已知等腰三角形的两边a，b，满足+(2a+3b-13)2=0，则此等腰三角形的周长为( )A.7或8B.6或10C.6或7D.7或104.如图14116所示，A=15，AB=BC=CD=DE=EF，则DEF等于( )A.90B.75C.70D.605.等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 .6.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35，则这个三角形的顶角为 .7.在ABC中，AB=AC，A+B=140，则A= .8.如果等腰三角形的两个角的比是25，那么底角的度数为 .9.如图14117所示，在ABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于点D，CD=3，BD=5，则点D到AB的距离为 .10.如图14118所示，在ABC中，AB=AC，A=60，BEAC于E，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若ABC的周长是24，BE=a，则BDE的周长是 .11.如图14119所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间.12.如图14120所示，在ABC中，ABC=2C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF=FC，为什么？三、交流平台小明、小亮对于等腰三角形都很感兴趣，小明说：“我知道有一种等腰三角形，过它的顶点作一条直线可以将原来的等腰三角形分为两个等腰三角形.”小亮说：“你才知道一种啊！我知道好几种呢！”聪明的你知道几种呢？（要求最少画出两种，标明角度，不要求证明）参考答案一、1.B 2.C 3.B 4.A提示：AB=AC，ABC=C.又BD是ABC的平分线，DBC=ABC=C.又BDC=69，C+C+BDC=180，即C+69=180，C=111=74.A=180-742=180-148=32.A=32.5.相等 相等 6.3 7.平分线 中线 高8.(1)25，25 (2)55，55或70，409.解：ABC是等边三角形，AB=BC=CA，ABC=BCA=CAB=60.又1=2=3，BAC-1=ABC-2=BCA-3，即CAF=ABD=BCE.在ABD和BCE和CAF中，ABDBCECAF（ASA）.AD=BE=CF，BD=CE=AF.AD-AF=BE-BD=CF-CE，即FD=DE=EF.DEF是等边三角形.FED=60.BEC=180-FED=180-60=120，BEC=120.10.解：EF与BC的位置关系是：EFBC.理由如下：AB=AC，ADBC，BAD=BAC.又AE=AF，E=AFE.又BAC=E+AFE=2AFE，AFE=BAC.BAD=AFE.EFAD.又ADBC，EFBC.11.提示：图略.因为欲使ENF的周长最小，即EN+NF+EF最小，而EN为定长，则必有NF+EF最小，又因为点F在AB上，且E，N在AB的同侧，由轴对称的性质，可作点E关于直线AB的对称点E，连接EN与AB的交点即为点F，此时，FE+FN最小，即EFN的周长最小.二、1.A 2.AC提示：BC=8cm是底边，AB=AC.又=2cm，=2cm.AC=10cm或6cm.当AC=10cm时，三角形三边为10cm，10cm，8cm，满足三角形三边关系，同理，当AC=6cm时，也满足三角形三边关系.AC=10cm或6cm. 3.A提示：由绝对值和平方的非负性可知，解得分两种情况讨论：当2为底边时，等腰三角形边为2，3，3，2+33，满足三角形三边关系，此时三角形周长为2+3+3=8；当3为底边时，等腰三角形三边为3，2，2，2+23，满足三角形三边关系，此时，三角形周长为3+2+2=7.这个等腰三角形的周长为7或8.4.D 5.22cm 6.70 7.1008.75或40提示：若设等腰三角形的顶角为2，则底角为5，由三角形的内角和可知，2+5+5=180，=15.5=75；若设等腰三角形的底角为2，则顶角为5，则有2+2+5=180，=20.2=40.等腰三角形的底角度数为75或40 9.3 10.12+2a11.解：BCD=60，BAC=30，BCD=BAC+CBA，60=30+CBA.CBA=30.BAC=CBA.CA=CB.又BCD=BDC=60，BCD是等边三角形.CD=BC.AC=CD=BC.又BC=20海里，AC=CD=20海里.2010=2（时），4010=4（时）.轮船到C处的时间是1130+200=13