（运筹学与控制论专业论文）求解约束优化问题的两个非线性lagrange函数.pdf

分；叶玉伸麓誊疆“引削弋霉参，0鹩雾纪确 学位论文独创性声明 f i i i ii ii i iii ii iii i i i il y 17 9 4 7 5 9 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论支拓者签名：塞盐拯 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：袅丛搬 指导教师签名： 签名日期： 加f 口年 月易7 日 rlrr-!i l pi i -_11 一!i!；o，j ，。 t ， 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 非线性l a 黟觚g e 函数是经典的l a 鲫1 9 e 函数的修正形式，它关于乘子向量或约束函 数是非线性函数基于非线性l a 鲫g e 函数建立的求解优化问题的对偶方法即为非线 性l a g r 眦g e 方法由于对偶方法对原始变量的可行性没有限制，因此非线性l a 鲫g e 方法在求解约束优化问题中扮演着重要的角色本论文主要讨论了一种求解既有不等 式约束，又有等式约束的非线性优化问题的非线性l a 鲫g e 函数及其对应的对偶算法的 收敛性主要内容可概括如下： 第一章引言介绍了经典的k g r a n g e 函数，并指出了它的优点和缺点，并介绍了在缺点 基础上学者们给出的很多有效的函数来解决非凸问题 第二章介绍了一个既有不等式约束，又有等式约束的非线性优化问题的非线性 l a 鲫g e 函数，首先给出了若干假设条件以保证该非线性l a 鲫g e 算法的收敛性收敛 定理表明：当惩罚参数大于某一阈值时，基于该函数的对偶算法具有局部收敛性质，调节参 数u 和五使之分别趋于u + 和z ，就能得到约束问题的最优解然后，基于该函数，建立了相 应的对偶算法 第三章介绍一个不等式约束的非线性优化问题的非线性l a 舭g e 函数及其对偶算法， 首先给出了若干假设条件以保证该非线性l a 蛐g e 算法的收敛性，这些条件对发展其相 应的对偶理论是必要的收敛定理表明：当惩罚参数大于某一阈值时，基于该函数的对偶 算法具有局部收敛性质，调节参数 使之分别趋于“，就能得到约束问题的最优解给出 了该函数的对偶函数和对偶问题，并证明了其对偶定理和鞍点定理最后给出了该函数的 数值结果，比较了它和一些此类函数的优劣情况，并给出了此函数关于w o n 9 3 问题的算法 程序 关键词：非线性l a 鲫g e 函数；对偶问题；鞍点 - i0 ， 蕾 0 ， j j 求解约束优化问题的两个非线性l a g r a n g e 函数 t h e s o l v i n gc o n s t r a i n t sp r o g r a m m o n go f t w on o n l i n e a rl a g r a n g e 1 一 ru n c n o n s a b s t r a c t n o n l i n e a rl a g r a n g ef u n c t i o n si sac l a s s i cl a g r a n g ef u n c t i o no ft h ea m e n d e df o r m ，i n w h i c ht h em u l t i p l i e rv e c t o r so rc o n s t r a i n tf u n c t i o n sa l ei n v o l v e di nn o n l i n e a rw a y s t h ed u a l m e t h o d sa r ed e v e l o p e df o rs o l v i n go p t i m i z a t i o np r o b l e m sb a s e do nn o n l i n e a rl a g r a n g i a n 8 ， w h i c hi sc a l l e dn o n l i n e a rl a g r a n g em e t h o d s i tp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei ns o l v i n gc o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o np r o b l e m s a st h en o n l i n e a rl a g r a n g i a n s c a nb eu s e dt od e v e l o pd u a la l g o r i t h m s f o rn o n l i n e a rp r o g r a m m i n g , w h i c hr e q u i r en or e s t r i c t i o n so nt h ef e a s i b i l i t yo f p r i m a lv a r i a b l e s t h i sa r t i c l em a i n l yd i s c u s s e sak i n do fl a g r a n g ef u n c t i o nf o rs o l v i n gn o n l i n e a rp r o g r a m m i n g 、) l ，i t hb o t hi n e q u a l i t yc o n s t r a i n t sa n de q u a l i t yc o n s t r a i n t s b a s e do ni t ，d u a la l g o r i t h mi s d e v e l o p e d t h em a i nc o n t e n t si nt h i sd i s s e r t a t i o nm a yb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h ec l a s s i cl a g r a n g ef u n c t i o n ，a n dp o i n t e do u ti t sa d v a n t a g e s a n dd i s a d v a n t a g e s ，a n dd e s c r i b e st h eb a s i so ft h es h o r t c o m i n g s ，m a n ys c h o l a r sh a v eg i v e n f u n c t i o ne f f e c t i v e l yt os o l v en o n - c o n v e xp r o b l e m t h es e c o n dc h a p t e rd e s c r i b e saw e l l - e s t a b l i s h e di n e q u a l i t yc o n s t r a i n t s ，b u ta l s oe q u a l i t y c o n s t r a i n e dn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e mo ft h en o n l i n e a rl a g r a n g ef u n c t i o n , f i s t ，i tg i v ea n u m b e ro fa s s u m p t i o n si no r d e rt og u a r a n t e et h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h mn o n - l i n e a r l a g r a n g e c o n v e r g e n c et h e o r e ms h o w ：w h e nt h ep e n a l t yp a r a m e t e ri sg r e a t e rt h a nac e r t a i n t h r e s h o l dv a l u e ，b a s e do nt h ef u n c t i o no ft h ed u a ln a t u r eo ft h el o c a lc o n v e r g e n c ea l g o r i t h m ， a d j u s t i n gt h ep a r a m e t e r sa n dm a k et h e mb e c o m ea n d ，r e s p e c t i v e l y , c a nb ec o n s t r a i n e do p t i m a l s o l u t i o n t h e n , b a s e do nt h ef u n c t i o n , t h ee s t a b l i s h m e n to ft h ec o r r e s p o n d i n gd u a la l g o r i t h m t h et h i r dc h a p t e ri sd e v o t e dt oa ni n e q u a l i t yc o n s t r a i n e dn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m o fn o n l i n e a rl a g r a n g ef u n c t i o na n di t sd u a la l g o r i t h m ，w ef i r s tg i v ean u m b e ro fa s s u m p t i o n s i no r d e rt og u a r a n t e et h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h mn o n - l i n e a rl a g r a n g e ，t h e s ec o n d i t i o n s o nt h ed e v e l o p m e n to ft h ec o r r e s p o n d i n gd u a lt h e o r yi se s s e n t i a l c o n v e r g e n c et h e o r e mt h a t ： w h e nt h ep e n a l t yp a r a m e t e ri sg r e a t e rt h a nac e r t a i nt h r e s h o l dv a l u e ，b a s e do nt h ef u n c t i o no f t h ed u a ln a t u r eo ft h el o c a lc o n v e r g e n c ea l g o r i t h m ，s ot h a te a c ht e n d st oa d j u s tp a r a m e t e r sc a n b ec o n s t r a i n e do p t i m a ls o l u t i o n t oo u tt h ef u n c t i o no ft h ed u a lf u n c t i o na n dd u a lp r o b l e m ，a n d p r o v et h ed u a l i t ) rt h e o r e ma n dt h es a d d l ep o i n tt h e o r e m f i n a l l y , t h ef u n c t i o no ft h en u m e r i c a l r e s u l t s ，i tc o m p a r e st h em e r i t so fs o m eo ft h e s ef u n c t i o n s ，a n dt og i v et h i sf u n c t i o nw i t h r e s p e c tt ot h ei s s u e o fa l g o r i t h mw o n 9 3p r o c e d u r e s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rl a g r a n g ef u n c t i o n s ；d u a lp r o b l e m ；s a d d l ep o i n t i i 一 ，；eil蘑 。 警 i 鑫 多 ， p j 鼍lj ，t - ， ? 口 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要。i a b s t r a c t ：】 i 第一章引言l 1 1 问题的提出1 1 2 研究现状1 1 3 研究思路论文4 第二章求解一般约束优化问题的一个非线性l a g r a n g e 函数5 2 1 函数的定义5 2 2 非线性l a g r a n g e 函数f ( x , u ，五，k ) 的性质5 2 3 非线性l a g r a n g e 函数f ( x , u ，名，k ) 的收敛分析8 第三章求解不等式约束优化问题的一个非线性l a g r a n g e 函数1 6 3 1 函数的定义1 6 3 。2 非线性l a g r a n g e 函数f ( x ，u ，k ) 的性质。1 6 3 3 非线性l a g r a n g e 函数p ( x ，“，七) 收敛性分析18 3 4 非线性l a g r a n g e 函数f ( x , u ，k ) 的对偶问题2 3 3 5 非线性l a g r a n g e 函数f ( x , u ，k ) 的数值结果：2 8 结论3 0 参考文献31 附录a l 数值结果中问题的介绍3 2 附录a 2w o n 9 3 问题的程序。3 i 4 攻读硕士学位期间发表学术论文情况5 2 致 射5 3 0 j t - i 堆- 掌哇llj 、 p 辽宁师范大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 问题的提出 在众多的实际问题解决中，人们往往采用数学方法，借助于能够充分体现背景问题 的数学模型的求解，得到其近似解但是人们通常希望所得到的解能够力求精确，能够真 实地反映实际问题，因此就会归结为求解不同表现形式的逼近问题，致使逼近理论在不 同学科中时常出现，解决方法也是多种多样的 考虑非线性不等式和等式优化问题 m i n f o b j s t z g ) o ，f 1 = l ，2 ，m ( 1 1 ) z ( 功= 0 , i e = 沏+ l ， 其中x 识8 ，z ( 功：吼“j9 t ，i = 0 ，l ，z 是实值函数问题( 1 1 ) 的经典线性l a g r a n g e 函数 定义为 m j 三( 而“) = f o ( x ) - 约z ( 曲一“，z ( 功 i = ll f m + l 它在对描述问题( 1 1 ) 最优化条件和设计求解算法中起着重要作用对于凸规划，根据经 典l a g r a n g e 函数可以建立鞍点理论，也可以发展基于对于某一“。求解m i n l ( x ，u ) 的对 偶算法对于非凸的非线性规划，l ( x , 1 4 ) 通常是非凸的，即使当“趋于u 及x 在x 的邻 域内，其中0 ，“+ ) 是问题( 1 1 ) 的k k t 点，因而在数值实验上面临着困难 1 2 研究现状 对于凸规划，p o l y a k & t e b o u l l e ( 1 9 9 7 ) 1 2 】讨论了一类具有如下形式的l a 鲫1 9 e 函数 g ( x ，u ，) = 厶( 功一“，沙( 顾( 曲) ， ( 1 2 ) pi = l 其中t 0 是惩罚参数，少是二次连续可微函数他们发t n o n l i n e a rr e s c a l i n g ( n r ) 算法 在适当的假设条件下，证明了由该算法产生的对偶解序列全局收敛到最优乘子，而相应 的原始解序列在e r g o d i c 意义下收敛到近似的原始最优解此外，a u s l e n d e r , c o m i n e t t i 和 h a d d o u ( 19 9 7 ) i x 3 ，以及b e n t a l 和z i b l l l e v s k y ( 19 9 7 ) 研究了一类l a g 锄g e 函数并获得了许 多收敛性结果基于l o 哥s i g m o i d 函数，p o l y a k ( 2 0 0 2 ) t 1 5 】发展n r 算法并建立了收敛速度 并且，在标准的二阶最优性条件下，n r 算法具有铲线性收敛速度 ；1 - _ y 求解约束优化问题的两个非线性l a g r a n g e 函数 对于具有不等式约束的凸规划问题，p o l y a k & g r i v a ( 2 0 0 4 ) 1 6 1 提出了原始一对偶 n o n l i n e a rr e s e a l i n g ( p d n r ) 算法，证明了p d n r 算法具有全局收敛性，并估计了原始解序列 和对偶解序列的误差界在标准的二阶最优性条件下，误差界线性收敛到0 o d v a & p o l y a k 发展了具有动态s c a l i n g 参数更新的原始一对偶n o n l i n e a rr e , s e a l i n g 算法基于函数 ( 1 1 1 ) ，证明了该算法的全局收敛性，并且在标准的二阶最优性条件及h e s s e 阵 v 2 z ( 破i = 0 , 1 ，m 满足l i p s c h i t z 条件下，具有1 5 q _ 超线性收敛速率除了r a p o l y a k 同其合作者的工作外，a u s l e n d e r , c o m i n e t t i 和h a d d o u ( 19 9 7 ) 1 3 】以及b e n - t a l 和 z i b u l e v s k y ( 1 9 9 7 ) t 1 4 】还研究了其他的非线性l a g r a n g e 函数并获得了很好的收敛性结果 对于非凸规划，m a n g a s a r i a n 引入了一类非线性l a g r a n g e 函数来求解具有不等式约 束的优化问题，产生了无约束鞍点问题c h a r a l a m b o u s ( 1 9 7 9 ) t 1 7 】给出了极小p 一函数 b e r t s e k a s ( 1 9 8 2 ) 嘲提出了幂l a g r a n g e 函数： f ( x ，铭，露) = f o ( x ) 一圭蚝【l e x p ( _ 瓴( 功) 】， ( 1 3 ) p o l y a k ( 1 9 9 2 ) 【1 给出了两个修正的障碍函数，修正的f r i s h 函数 r1崩 f ( 工，j i ) ： 兀( 功一妻善以1 n ( 奶o ) + 1 ) 砬q ( 1 4 ) 【+ o o ，x 仨砬q i 和修正的c a r r o l l 函数 r_拼 c ( x , u , k ) ： 兀( 力一妻善姒卜( 奶( 功+ 1 ) - l 】j 缸q t ( 1 5 ) 【+ 0 0 ， 工正i n t f 2 i 其中t o 是惩罚参数，q i = 缸锨”i1 + 奶( x ) o ，i = l ，扰) ， l i ( 1 9 9 5 ) 1 1 】构造了p 一幂l a g r a n g e 函数 l p ( x ，“) = 【兀( 功】p 一“t 【z ( 曲】，一) ， 和部分p 一幂l a g r a n g e 函数 三，( x ，“) = t o ( x ) 一“， z ( 曲】，一鲈) ， 其中p 0 是惩罚参数，假定z ( 力= z ( 功一2 j i 及，：( 功( f = l ，m ) 取正值且 b i o ( i = l ，m ) l i ( 1 9 9 5 ) 证明了，当p 足够大时，所构造的等价问题的扰动函数在b 附 近是局部凸的 、 ： 、 孳 薹 辽宁师范大学硕士学位论文 针对具有等式约束和不等式约束的优化问题，g o l d f a r b ( 1 9 9 9 ) 1 8 】提出了一个修正的 障碍一增广l a g r a n g e 函数法 西( 而z ，a ，c r ) = f o ( x ) 一丑【z ( 功一z ；】一乃z ( 功+ 若- ( f a x ) 一z 力2 + ( 功) t e l teejt e l i e e p o l y a k ( 2 0 0 1 ) 8 】又构造了l o g - s i g m o i d 函数 f ( 毛“，七) = 厶( 功一圭u l 2 1 n 2 2 螂+ e 一斩) 】， ( 1 6 ) 来求解具有不等式约束的最优化问题 贺素香( 2 0 0 4 ) t 9 1 等给出了一个势函数 f 。一土 f ( 训，t ) ：t l ( x ) + 晖堋一z ( 功) i 1 1 】，x e i n t s ， 【+ 0 0 ， 8 1 x 盛i n t s ， 其中t o 为惩罚参数，s = 捌1 - z ( x ) o , i = 1 9m , 9 ，1 ) 此外，在通常的二阶充分性条件下，j e a n p i e r r ed u s s a u l t ( 2 0 0 4 ) t 1 9 】分析了形如( 1 2 ) 的 非线性l a g r a n g e 函数类的渐近性，并获得了超线性收敛结果那些抽象的惩罚函数包含了 由r p o l y a k 引入的所谓修正障碍函数及c o m i n e t t ia n dd u s s a u l t ( 1 9 9 4 ) f 2 0 】等学者提出了指 数惩罚函数 对于无约束极b - 极大优化问题 哗懋z ( 功 c h a r a l a m b o u s ( 1 9 7 9 ) 提出了p 。阶函数，该函数具有一些好的性质，基于该函数的算法具 有有效的收敛性但是p 一阶函数的表达式较复杂，并不利于计算p o l y a k ( 1 9 8 8 ) 1 2 1 】建立了 一个简单的光滑函数 e p ( 五”) = 亡叩鲋神， 其中p 0 是惩罚参数，并且证明了基于该函数的算法具有很好的收敛性 最近，r p o l y a k 提出了n r 法来求解离散的极小一极大问题，利用函数沙将原始的极小 一极大问题转化为一个等价问题，该变换用一个正的s c a l i n g 参数或正的s c a l i n g 参数向量 来衡量对于等价问题，经典的l a g r a n g e 函数是n r 法的主要工具所提出的非线性 l a g r a n g e 函数如下： l ( x ，a ，) = j “丑l f ，( 。1 z ( 石) ) ， 求解约束优化问题的两个非线性l a g r a n g e 函数 其中五氏= 研吸? l 丑- - 1 它避免了病态，与此同时也改善了收敛速率特别地，此 = l 在标准的二阶最优性条件下，当s c a l i n g 参数固定且足够小时，n r 法具有q - 线性收敛速 率 1 3 研究思路论文 由于经典的l a g r a n g e 函数不能解决非凸优化，本论文针对这点给出了二个函数第二 章介绍了一个解决等式和不等式混合规划问题的非线性l a g r a n g e 函数，证明了它的性质 和收敛性，并给出了算法第三章提出了一个解决不等式规划问题的非线性l a g r a n g e 函数， 证明了该函数的性质；做了它的收敛性分析；并给出了它算法；研究了其对偶问题；最后给 出了该函数的数值结果 一4 一 -l雾甜誊_i、，t，暑；-： 、 声 辽宁师范大学硕士学位论文 第二章求解一般约束优化问题的一个非线性l a g r a n g e 函数 2 1 函数的定义 考虑不等式和等式约束问题 m i r i 五 j t z 0 0 o ，f j = 缸，2 ，m z ( 功= o ，f e = 协+ 1 ， ( 2 1 ) 其中z ：吼4 专孵，i = 0 , 1 ，2 ，是连续可微函数， 脚i 三g ，“，五) = 厶一甜，z g ) 一丑z ( 功 i f f i lt f m + l 是问题( 2 1 ) 的经典l a g r a n g e 函数 凸规划的经典l a g r a n g e 函数l g ，“，力) 满足鞍点条件 三( z 。，甜，名) 三 ，“+ ，z ) 三( 五“。，z ) ，v k 吼”，u 孵：，力孵卜脚 而对一般的非线性规划而言，鞍点条件是不成立的 本文对( 2 1 ) 问题将考虑非线性l a g r a n g e 函数 ，g ，“，名，后) = 厶( 力一p ( x ，u ，尼) + q ( 五a ，后) 埘flf 其中p ( x ，“，尼) = j j - 1 “， 1 - e x p ( - a r c t a n 奶( x ) ) ，q ( x ，五，七) = 一以z ( 功+ 等z 2 ( 功的 = 1i f m + !l f f i m + l 性质和收敛性分析此函数的优点是能解决既有等式约束、又有不等式约束的优化问题， 这是其它函数所不具备的 为了叙述的方便引入下列符号： 夥g ) = 慨，既g 矿，颗，) = 慨，b ) ) r ， 颗，一。) g ) = ( 既+ 。g ) ，g ) y ，0 捌= 恻i 。= 毪紧k l ， s ( y ，s ) = 红吼“x e l l o ，i l ( x ) ； ( e ) 鼢( 工。) i f j ( 工) ue j 线性无关； ( f ) ( v 。2 l 、x * ，“，z ) y ，y ) ( y ，y ) ，v y o ，v f , ) r y = o 其中 o 是一常数， i l ( x ) ue ： 。 ( g ) s l a t e r 条件成立，即吼“，使僦( 而) o , i = 1 ，研； 有界性条件成立，且p3 k o 0 ，f o ，满足m a x z 叫x q 知；= 口瓴) sf 在后面的讨论中将用到下面的命题，它是d e b r e u 定理的修正形式 命题2 1 【1 0 】设彳吼蹦4 为对称矩阵，b r 舢，u = d i a g u ，匕l ：吼 专弧五满足： 材= 0 i ，u r ) r o r9 且对满足缈= o 的任何j ，均有( 匆，y ) 名( y ，y ) ，其中五 o 是一常数， 那么存在k o 0 ，满足v o o , 以及励四点g ，“，分) ，下列结论成立： ( 1 ) f g ，“。，z ，七) = 工g ，“，z ) = 厶b ) ( 2 ) v ，f g 。，甜，七) = v 工三g ，“，刀) = 0 ； ( 3 ) v ：f g 。，“。，尼) = v ：如。，”，f ) + 触嘶，) ( x 妙+ ，) g ) r + k v f ( ，- m ) ( x ) i t 一。瓢，粕) ( 石) 其中u = 协倒；丘，1 1 一m 为l - m 阶单位矩阵； ( 4 ) 3 k o o ，o p 0 充分小，0 定理2 1 假设( a ) 一( h ) 成立，这存在万 0 ，以及充分大的 0 对任意 o o ，在o ，“二) ，z ，0 ，o ，功的一个邻域内是连续可微的且 o ，”乙，z ，o , o ，d = 0 v k 0 而且当( 菇，五，) ，互，f ，刃靠近o 。，“厶，z ，0 ，0 ) 时，在“五( ，) 互，f ，后) 处是连续可微的，通过 计算，得到 v ( 工姣，i 旬中( 毛五( ，) ，a ，t ，后) = 一v f ( ，1 ( 功一 一后- 1 o ，叫， 其中d ，( ) = 【姆4 咖研力 1 + ( 奶( 功) 2 】i 厶，么( f ) = d i a g ( k t i + “) 由条件( c ) 及v ，五( z ，o ，后) = o 删，v 也。j j l ( x ，d ，后) = o 嗍有 fv ：三( x ，“+ ，名) 一w ，) ( x ) 一w ( 石) 1 v ( | | ) 2v ( 地，r ，互) m o ，“厶，z ，0 ，o ，= i 一吒) v f , ，) o + ) t k - q , o r ，h l l 吼，_ m ) ( x ) t 0 ，- 朋，k - t i t 一朋 j 其中) = 【砒秽力二 令k 专佃，得 fv ：三( x ，“，) 一，) o ) v 中。= v ( ；砧，互) ( x ，“，z ，0 ，0 ，+ o o ) = f 一吒) 吼，) o 。) t 0 ，x ， l 瓢h ) ( 石+ ) t0 h ， 是非奇异的事实上，v w = ( y ，1 ，z ) 弧m 小“由v 。w = o 肿+ ，- m 可以得到 v ：三( z ，“，z ) y w ，) o p w ，喇) o 弦= 0 ， 吒) 甄，) ( z ) t j ，= o 颗h ) ( x + ) t y = 0 由于( e ) ，所以由( 2 4 ) 可推的w ，) ( x ) t j ，= 0 7 将( 2 3 ) 两端乘以y ，则有 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 疋 力 嘶 脚 棚硝。似k蔓 耋枷蹦 - m蜘州涉 丢键州鬻 、j 0 l i - 、 ，l ) 1 月 刈 嘣h 一 卜 h 卜 瓢啡矿 、i j”o ，r w 气 f r彬研 ( ) 善 i l m 一 户) v t o 力 石斩乒磐 v + 俨 “ 乃扛洳w 力乞 c + 厶o v 帅 删 ，。卜。 心川i l ， 所 l m m啊 求解约束优化问题的两个非线性l a g r a n g e 函数 ( v ：三o 。，材，沙，y ) 一( 默， 。) t y ，d 一( w t - m o ) z ，y ) = o 因此由吼，) ( 石) t y = 0 ，磁，_ 脚) o ) t y = o 可知 ( v ：三( x ，“，x ) y ，y ) = 0 ， 根据条件，必有y = 0 4 这意味着吼，) ( 工) 1 ，+ 吼，肼) ( 石) z = 0 ”，由( d 得到 y = o r , z = 0 h 因此v o 。w = o 肿州喇隐含着w = o 柑，所以v o 。非奇异由矩阵的b a n a c h 扰动引理知：存在 o 以及p o 满足坛 ，矩阵v ( d 是非奇异，且i l v 高1 1 k o ，毛是足够大的数，记k = o 吼一) ，毛】，则由b e r t s e k a s 第二隐函数定理可 知存在氏 0 ，万 o 及定义在 s ( k ，万) = ( o ，k ) i | t f i 万，i = l ，m ，l 屈i 万，k 【k o ，毛】 上的唯一的连续可微函数x ( f ，功，五( ，) ( f ，七) ，互( f ，后) 满足： x ( o ，0 ，后) = x , u ( ，) ( o ，0 ，后) = 甜二) = 伽：，u - ，互( o ，o ，后) = z = ( 五= 件l ，石) ，v j | ，毛】， 衅心肚h i i 雠管刘川卯国咧聃 a p ( x ( t ，七) ，五( ，) ( f ，后) ，t ，七) 暑0 肘h 卜群，v ( t ，k ) s ( k ，万) ( 2 7 ) 其余证明见下( 力中后半部分 ( b ) 由( 2 7 ) 式得 v f o ( x ( t ，七”一五，o ，k ) v f ，( x ( t , f l ，七) ) 一五o ，七) 、够( x o ，后” 一h ( x ( t ，j | )