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四川大学硕士学位论文 用机械求积和正则化方法解弱奇性的 第一类v o l t e r r a 积分方程 计算数学专业 研究生：李于锋指导教师：吕涛 摘要 在积分方程的数值处理中，有很大一部分方程是第一类的v o i t c n a 积分方 程，而且在实际的物理背景下，很多是带有弱奇性核的。众所周知，由于第一 类弱奇异v o l t e r r a 积分方程存在不适定性，核奇异性，在解法上有一定的困难。 本文在现有文献的基础上提出关于此类问题的数值方法，特别是针对带有对数 奇性核的第一类v 0 l t e m 积分方程的研究。由于这类方程不能用常规方法化为 第二类v o i t e r r a 积分方程，我们应用正则化方法解决第一类问题的不适定性， 结合带有奇异点的机械求积公式，给出弱奇性的第一类v o n e r r a 积分方程的离 散计算格式。 本文还讨论了第一类a b e l 积分方程的数值反演问题，主要是利用正则化的 方法进行数值微分，进而利用特殊的求积公式或者插值逼近理论获得问题的近 似解，得到了很好的效果。 对文中提到的方法，数值结果表明，计算精度与稳定性都很令人满意，从 而具有重要的理论的和实际意义。 关键词：第一类v o i t e r r a 积分方程，正则化方法，机械求积法，弱奇 性核 四川大学硕士学位论文 a p p l i c a t i o n o fq u a d r a t u r em e t h o d sa n dr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d st o t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ff i r s tk i n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n s w i t hw e a k l ys i n g u l a rk e r n e l s m a j o r ：c o m p w a t i o n a lm a t h g r a d u a t e , l iy u - f e n g a b s t r a c t f i r s tk i n dv o r e r r ai n t e g r a le q u a t i o n sa r eu s u a l l ym e ti nt h en u m e r i c a l t r e a t m e n to fi n t e g r a le q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yt h ee q u t a i o u sw i t hw e a k l ys i n g u l a r k e m e l si nt h ep h y s i c a la e r a s a sw ea l lk n o w ，i ti sh a r dt od e a lw i t ht h ef i r s tk i n d v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n sw i t hw e a k l ys i n g u l a rk e r n e l sb e c a u s eo ft h e i rs i n g u l a r i t y a n di l l p o s e d n e s s b a s e do nt h ek n o w l e d g ew eh a v e ，t h i sp a p e rs u g g e s t ss o m e n u m e r i c a lm e t h o d st os o l v et h e s ep r o b l e m s ，p a r t i c u l a r l yf o rt h o s ei n t e g r a le q u a t i o n s w i t l ll o g a r i t h m i cs i n g u l a rk e r n e l s w h i c hc o u l dn o tb et r a n s f o r m e di n t ot h es e c o n d k i n de q u a t i o n si nn o r m a lm e t h o d s a p p l y i n gt h et i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s t ot r e a tt h ei l l - p o s e d n e s so ft h ef i r s tk i n di n t e g r a le q u a t i o n s ，b ym e a n so ft h e q u a d r a t u r e m e t h o d sf o r i n t e g r a l w i t hp o l a rs i n g u l a r i t y , w e g i v e t h ed i s c r e t e c o m p u t a t i o n a ls c h e m e sf o rs o l v o i n gt h ef i r s tk i n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n sw i t h w e a k l ys i n g u l a rk e m e l s t h ec o m p u t a t i o no ft h ei n v e r s i o nf o r m u l a ro fa b e li n t e 铲a le q u a t i o n si sa l s o d i s c u s s e di nt h i sp a p e r b a s e do nt h er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s ，w eg e tt h en u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o ns t a b l y u s i n gs p e c i a lq u a d r a t u r em e t h o d so ri n t e r p o l a t i o nt h e o r yw eg e t t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nw i t hg o o de f f e c t i t 四川大学硕士学位论文 t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a t0 1 1 1 m e t h o d sa n da l g o r i t h m sp o s s e s s h i g h a c c u r a c y a n db e t t e rn u m e r i c a ls t a b i l i t y s ot h e ya r eo ft h e o r e t i ca n dp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e k e y w o r d s ：f i r s t k i n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n s ；q u a d r a t u r em e t h o d s ； r e g u l a r i z a f i o nm e t h o d s ；w e a k l ys i n g u l a rk e r n e l s 1 1 1 四川大学硕士学位论文 声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成 果归四j i 【大学所有。特此声明。 指导教师( 签名) 善滔 瀣荆芍 四川大学硬士学位论文 1 导论 1 1 积分方程的数值处理概述 微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点。一般 说来场的问题用微分方程来处理较好，源汇等问题用积分方程更加方便。积分 方程这一数学工具由于可以降低求解问题的维数，减少所用节点的个数正同益 受到重视。 积分方程的求解在静电学，电动力学，弹性力学，流体力学，电磁场理论， 辐射学，地球物理勘探，信号重构，图像恢复，超声诊断，系统识别，设备更 新等方面都有着重要而广泛的应用。而实际物理中积分方程的精确解一般无法 得到，常用的数值方法可以分为两类：投影法和机械求积法。投影法主要是待 定系数法的思想，例如配置法，g a t e r k i n 法，最小二乘法都属于这一类。因为 它们的离散矩阵是一个投影算子，因而可以用投影算子的理论来讨论近似解的 存在性，收敛性和稳定性，这样就带来了很大的方便。但投影法存在两点不足： 一是计算量大，积分方程的离散化后一般出现满秩的矩阵，必须计算矩阵元素 的每一个积分。二是近似解的精度不是很高，特别是奇异核的问题，一直没有 很好的解法。而机械求积法直接使用数值积分公式离散化，不用计算大量的积 分，只需要直接赋值即可，这样节省了大量的工作，但是这样一来，也就不能 用投影算子的理论框架来讨论近似解的唯一性，收敛性和稳定性。当积分方程 的解和核充分光滑时，可借助e u l e r - m a c l a u r i n 展开式来讨论近似解的收敛性， 并利用外推法提高精度，但是，大多数实际问题都是用带有弱奇异核的积分方 程来表示的，目前解弱奇异积分方程的方法主要有：配置法，乘积积分法，修 正积分法，g a l e r k i n 法，线性多步法，分数微积分等，用这些方法解具有光滑 解的第二类弱奇异积分方程在数学理论核数值处理上比较完善，但应用到第一 类弱奇异积分方程会出现精度低，甚至不稳定的情况出现【1 1 。 四川大学硕士学位论文 1 2 本文的主要工作 本文讨论的重点是第一类弱奇异的v o l t e r r a 积分方程，这类方程的的特点 是，第一类问题的不适定性和核的奇异性。数值学家的高精度计算一般是针对 光滑解的，比如线性多步法，而对粗糙解的研究，精度比较低。2 0 0 4 年， b a r a t e l l a & o r s i ( 2 1 提出在第二类v o l t e r r a 积分方程中做光滑变换，将具有粗糙解 的方程转化为具有光滑解的方程，使得求解第二类v o l t e r r a 积分方程的数值精 度有了迸一步的提高。第一类a b e l 积分方程的处理已经由刘亚平 1 将其转化 为第二类的方程，进而用机械求积法和其外推组合算法得到了很好的效果，但 对于有对数奇性核的方程并不能用常规方法转为第二类的方程。第一类方程的 不适定性就是说解的存在性，唯一性和稳定性三者中至少有一个不满足，对于 实际的物理问题而言，首先我们期望解是存在唯一的，更重要的是，实际获取 的数据资料是近似的，我们实际处理的数据是近似的数据而不是精确的数据， 如果原始数据的小误差将导致解的很大偏离，则计算的结果便没有什么意义， 所以说稳定性是很重要的。处理不适定的问题的方法有1 3 1 ：1 拓广或缩小解空 间的范围，当解不存在时，可考虑所谓的最佳逼近解或最t b - - 乘解，当解不唯 一时，可对欲求解附加一些必要和可能的限制，例如按某种度量取最小以建立 解的单值性。2 适当限制算子的定义域和值域，使其在新的空间偶上成为适定 的，这就是t i l ( 1 l o n o v 早期提出的选择法的基本思想。3 将第一类算子方程转化 为与之等价的第二类算子方程，因为第二类算子方程一般来说是适定的，但采 用常规的方法一般是不能奏效的。4 更普遍的框架是采用正则化策略，即：用 一簇和原问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的真解，这方面的开创 性工作要归功于t i k h o n o v 于1 9 6 3 年提出的正则化方法，这一方法为处理不适 定问题奠定了广泛而坚实的基础。本文也采用这种方法来处理第一类v o l t e r r a 积分方程。 本文主要基于带有奇异点的机械求积公式，在正则化的基础上，得到弱奇 异第一类v o l t e r r a 的离散计算格式，并且数值例子和理论上均表明，我们的方 法是稳定有效的。本文最后还讨论了a b e l l 积分方程的反演问题，针对原始数 据的误差，经过正则化方法，我们得到稳定的近似解。 2 四川大学硕士学位论文 2v o l t e r r a 积分方程数值方法简介 本章介绍v o l t e r r a 积分方程的发展历史、分类。着重介绍了v o l t e r r a 积分方 程的几种常用数值方法：机械求积法、投影法、r u n g e k u t m 法、线性多步法、 分数微积分法、外推法与组合算法等。第一节主要参考文献【4 】，第三节主要参 考文献 1 】 2 1v o l t e r r a 积分方程的发展历史 积分方程的一般理论是在二十世纪逐步成熟和发展起来的，不过积分方程 的研究早在十九世纪就已经开始，十九世纪以来，由于科学技术的发展，从一 些实际问题提出了许多有关积分方程的问题，数学物理中关于积分 g 妒忑1 e ，( f ) 出 ( 2 1 1 ) 的反演问题也许是与积分方程联系最早的问题之一，1 8 1 1 年f o u r i e r 解决了上 述问题，指出 厂( f ) 2 面1 p “g ( s ) 出 ( 2 1 2 ) 是上述问题的解。此后不久a b e l 在研究质点力学时得到一类特殊的成为a b e l 方程 r 静2 厨、，一o 1 8 2 3 年，a b e l 在他的关于“t a u t o c h r o n e ”问题的研究中， 方程 g ( s ) = r i ；望；扔 。 口 ，g ( 。) = 。 并得到方程的解为 m ：s i n ，r a df 掣，。 似) 一万西i 舻。 ( 2 1 3 ) 导出更一般的a b e l ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 婴型查兰堡主主垡丝塞 1 8 9 6 年，v o l t e r r a 的工作是线性积分方程的重要转折点，他研究的v o l t e r r a 方程形式为 x ( j ) 一ai 七( j ，t ) x ( t ) d t = ，( f ) 口s b ( 2 1 6 ) 其中k ( s ，f ) 称作积分方程的核，f ( t ) 称作自由项( 右端项) 。他证明，如果 k ( s ，t ) 在正方形a j ，t 茎b 上连续，f ( t ) 在口t b 上连续，则对任意一a ，方 程都有且仅有一个连续解。而且这一解可用逐次逼近法求得。 对于积分方程的研究来说，较为困难的是f r e d h o l m 积分方程 工( s ) 一旯ik ( s ，t ) x ( t ) d t = ，( f ) a j b ( 2 1 7 ) 1 9 0 0 年，f r e d h o l m 在假定区间 口，6 】有限，自由项为连续的条件下，使方 程的解得以完全解决。他的指导思想是把积分方程与有穷的代数方程组作类比， 直接利用行列式求解，并把方程的解表示成两式的商。 2 0 世纪初，f r e d h o l m 又提出了积分方程组和具有弱奇异核的积分方程，从 那以后，积分方程无论从光度和深度都有了很大的发展。其主要方面基本上沿 以下几个方向进行的。 1 ) 揭示新的积分方程类，其成立线性代数方程组的基本定理，及f r e d h o l m 关于特征值的分布定理。 2 ) 与正交分解和对称核理论相关。 3 ) 研究与经典的f r e d h o l m 定理不成立的线性积分方程，主要包括c a u e h y 奇异积分方程和w i e n e r - - h o p f 方程。 4 ) 研究非线性积分方程，其中典型而又重要的是所谓的c h a n d r a s e k h a rh 积分方程和h a m m e r s t e i n 方程。 5 ) 研究随即积分方程。这是介于概率论和积分方程边缘的科学，最早研 究始于2 0 世纪5 0 年代，历史比较短。 6 ) 研究各类积分方程的数值解。 7 ) 研究各类积分一微分方程。 2 2v o l t e r r a 积分方程的分类 未知函数出现在积分号下的方程称为积分方程。未知函数仅出现在积分号 璺业奎兰塑主竺竺鎏苎 下的方程称为第一类的；如果未知函数不仅出现在积分号下，而且还出现在方 程的其他地方，则称为第二类的。也可将积分方程分为线性的和非线性的，视 积分号下关于未知函数是线性还是非线性而定。 两类v o l t e r r a 积分方程如下： j ：七( s ，t ) x ( t ) d t = 厂( j ) ( 2 2 ，1 ) z ( j ) 一j ：七o ，t ) x ( t ) d t = ，( j ) ( 2 2 2 ) 如果方程中的核具有如下形式： 脚) = 等o a l 或者颤疋r ) 乩卜f i h ( s , r ) 其中h ( s ，r ) 是有界函数，则称方程为弱奇异的线性积分方程，当口= 1 的时候， 称为奇异积分方程。 若核具有如下形式： k ( s ，f ) = q ( s ) 瓦丽 ( 2 2 3 ) 其中a j ( s ) ，6 j ( s ) j = 1 ，2 ，n c 芷_ a s j b 上是平方可积函数 退化核( 有限秩核) 的积分方程。 而下面的方程称为积分一微分方程： 工( j ) = p ( s ，工( s ) ，v x ( s ) ) tx ( o ) = x o 其中地o ) = r 七( j ，x ( r ) ) 础 2 3v o l t e r r a 积分方程的常用数值方法 则称方程是有 ( 22 4 ) 在实际的应用中，大多积分方程的精确解很难求出，一般只能寻求其近似 解，积分方程的近似解法，大致可以分为两类：类是化为便于计算的其他类 型的问题，例如核用退化核代替，用数值求积公式近似代替积分，把积分方程 化为变分问题，待定系数法等；一类是对各种解析方法作近似计算。比如逐次 逼近法。 v o l t e r r a 在1 9 世纪初提出有限维空间中第二类v o l t e r r a 积分方程的数值逼 婴旦查兰堡主兰垡堡苎 近概念( 参见b r u n n e r 5 1 6 1 ) ，1 9 3 9 年h u b e r 7 1 首次将数值逼近的概念应用到第一 类积分方程。2 0 世纪6 0 年代，一些学者开始着眼于将传统的数值积分技巧应 用到求第一类v o l t e r r a 积分方程的近似解。 2 3 1 机械求积法 近似求积公式的一般形式为 r 触出= 喜锁t ) ( 2 3 1 ) 其中暑，i = i 2 埘为区间中的坐标，4 为求积系数，与厂的形状无关。 常见的求积公式有： 矩形公式 五= 口，x 2 = a + h ， 矗= 口+ ( 玎一1 ) h 4 刊：= 小鬼拈等 中矩形公式 五= a + h 2 ，恐= a + h + h 2 ，- a + ( n - l 2 ) h 4 = 4 = 牛见拈等 梯形公式 一= a ，x 2 = 口+ 厅， 矗= 口+ ( 竹一1 ) h = 6 4 = 以= 尝，4 = 仁钆地矗= 箸 s i m p s o n 公式 五= a ，而= a + h ，x 2 + 1 = a + 2 m h = b 4 ：4 。：昙，4 ：4 ：4 。：i 4 h jj 4 = 红一钆= 了2 h ， = 等。 熔第一类v o lt e r r a 积分方程 婴业查竺堕主兰竺笙兰 f 地j ) “o ) a s = 邝) t e o ，明( 2 3 2 ) 中的积分用数值积分表示得到在【o ，t 】中有限多个点处成立的方程。例如用矩形 公式代替后得到求近似解的e u l e r 方法 h e 后( ，t , ) u j = 厂“) j = 0 ( 2 3 3 ) 其中“，是甜( ，) 的近似，等价的，若定义 厂”= ( 厂( ) ，f ( t 2 ) ，厂( 0 ) ) 7 ，n ”= ( ，吨，删) 7 ( 2 3 4 ) 我们得到矩阵形式为 a n u ”= 厂( 2 3 5 ) 其中a ”是一个下三角矩阵，其元素由步长和核来决定。 定理2 1 s l( e u l e r 方法) 设“是方程的解，方程中女，f ，“都充分光滑， 设“”= ( u o ，n i ，一。) 7 是利用准确右端函数得到的近似解，则 o m a x 一1 l “( t ) 一“一一0 ， 矗一o( 2 3 6 ) 具有一阶精度，也就是说 盟x lf “) 一坼i o ，h o( 2 3 9 ) 具有二阶精度。 四川大学硕士学位论文 2 3 2 投影法 投影法也称为待定系数法，展开法。基本思想是将方程的解用区间 o ，r 上 r 1 个线性无关的函数的和式 u n ( f ) = a k u 。( f ) ( 2 3 1 0 ) 来逼近。只要确定了系数吼，就可以得到方程的近似解，按照求系数的方法的 不同，可以分为配置法，g a l e r k i n 法，最小二乘法等 配置法给定区阈q = ( 0 ，】，i = 2 , 3 ，捍，吼= 【，o ，矗】我们在分段多项式 空间瓯i ( 力中来找近似解 s ：l ( n ) = “：甜i ，= 万。一1 ， i = 1 ，2 ，月 ( 2 3 1 1 ) 而矾表示不超过k 阶的实多项式的空间。例如我们如果选择分段常数空间 蜀1 ( h ) ，此时，对于i = 2 3 埘，z 是q 上的示性函数 z ( r ) = 1 ，t o t ，石( f ) = o , t 仨q 则配置解u ”为 “”( f ) = 珥石，t o ，刀 ( 2 3 1 2 ) 其中系数琏满足 善n 叶耻, s ) d s 叫) ，3 ，片( 2 3 1 3 ) 这形成一个代数方程组。可以证明矿( f ) 以d ( 妨致收敛于方程的真解。 g a l e r k i n 法设“。( r ) ，k = l 2 是2 【o ，t 】内完备的函数系。将近似解 h “( r ) = 吼( f ) 代入方程得 = j 砉吼胁魄凼钡 o 刀( 2 3 1 4 ) 上式两端与u a t ) 作内积得到 四川大学硕士学位论文 nq ( f 尼( f ，j ) 坼( s ) 凼，( f ) ) = ( 厂( f ) ，( f ) ) m = 1 ，2 甩( 2 3 1 5 ) 其中( ，) 表示厶【0 ，t 】内积。 t + - - 乘法设( f ) ，k = 1 2 一是岛【o ，明内完备的函数系，最小二乘法选 取序数满足 瞻吼胁眺出卅圳2 出 ( 2 3 1 6 ) 取最小值，由此可知系数虬应满足下面得方程组 a a a u , ，4 m ) = ( ，彳坼) i - - 1 2 一( 2 3 1 7 ) 式中4 “= f 七( f ，s ) “o ) d s 以上几种投影法都是采用相同的试探函数，只是选择了不同的检验函数， 得到的矩阵一般为满秩的，需要计算一重或二重积分a 2 3 3r u n g e - - k u t t a 法 r u n g e - - k u t t a 法最初是用来解常微分方程的初值问题的。对形如 石。( f ) = f q ，x ( f ) ) x ( a ) = x o p 阶r u n g e - - k u t t a 法的计算过程为 + i = t + 爿砖 其中 l = 厂( 口+ i h ，t ) 1 样= 厂( 口+ ( f + p ) ，一+ 矗z 2 0 a ，) r = 1 ，2 ，p 一1 且 ：小仔7 嚣”矿1 ( 2 3 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) ( 2 3 2 0 ) ( 2 3 2 1 ) 四川大学硕士学位论文 经典的四阶r u n g e - - k u t t a 法的参数为 o o = 0 ，岛= 0 2 = 1 1 2 ，0 3 = 14 0 = 1 2 ，4 0 = o ，4 l = 1 2 4 0 = 4 i = o ，4 2 = 14 0 = 4 3 = 1 6 ，4 l = 以2 = 1 3 将此法推广到求解第二类非线性v o l t e r r a 积分方程 x ( s ) = y ( j ) + e 后( s ，t ，x ( t ) ) d t a t b ( 2 3 2 2 ) 令s cs ，奄 x ( s ) = ) ，( 丑) + r 七( 口+ i h x ( f ) ) 西 毗，+ 蓑r 七c a + i h , t , x 雠川名栉亿3 2 3 且x ( 丑) 的近似值t 满足 t = y ( 鼻) + | j ( 口+ i h ，口+ ( + 岛) ，_ + 毛) ( 2 3 2 4 ) 当j ( 墨，鼻+ 1 ) 时 耶一嘻即蹦删m 驷 删出( 2 3 2 5 ) 令s = j + 见而，上式最后一个积分可写为 r 七( 删研z 6 荟v - i 一。七 + _ + 既而 氏) ( 2 3 2 6 ) 于是解v o l t e r r a 积分方程的r u n g e - - k u t t a 法为 而+ 见：y ( 墨+ 见 ) + 厅1 - 1 p - i j i ( + o v h , s j + o m h ，_ + 艮) 1 = 0 m = 0 v l + a 。七( 丑+ 鼠矗，+ o m h ，+ 吒) 且有x ( a ) = y ( a ) 2 3 4 线性多步法 b a k e r 州用p 阶线性多步法考虑了第二类v o l t e r r a 积分方程 ( 2 3 2 7 ) 塑望查兰堡主兰堡堡苎 “( x ) 一jf ( x ，y ，u ( y ) ) a y = 占( 力 o s z s 上 ( 2 3 ，2 8 ) 令厅。毒毛2 砌川。1 ，2 ，对于给定的初值2 “o ) ，近似解 应满足如下的方程组 r a pl m + l l p 一o j f ( ，- ，“) 一w ：，f ( 矗，一，u t ) = g ( ) ( 2 3 2 9 ) 其中巩，一满足妒 珂( 肌+ 1 ) p ，m = 0 12 n 一1 ，一般来说，加权系数， 是s i m p s o n 求积公式的系数，w ：，j 则须有插值公式确定。当f 和“充分光滑时， 二阶线性多步法是可行的。另外p l a t o 用p 阶分数线性多步法考虑了第一类弱 奇异v o l t e r r a 积分方程 ( ( 加丽1r 赤地，咖( y ) 砂= 弛) 。x 乳( 2 3 3 0 ) 运用修正的卷积求积法得到求解上述方程的求解过程。令矗= 专，= 玎矗， n = l 2 一对于给定的初值m “( 0 ) ，近似解u i “：，u ，满足如下的方程组 矿一j 尼( ，x j ) u 2 + 矿后瓯，一) “= 厂( _ ) ( 2 3 3 i ) 其中加权系数满足方程 霎，屹，9 = i ： ! ； ：斋。+ 口一喜w 。一，9 g = 。，2 ，p 一( 2 3 3 2 ， 一，是幂级数w ( 掌) = r 的系数，有以掌) = ( 1 一孝) 1 i ( f ) ，而且；( f ) 在 蜀+ 。= 掌c ：l 亭i 1 + s ) 上是全纯函数，且善且+ 。时石( f ) 譬0 。 2 3 5 分数微积分法 这里主要介绍一类和二类a b e l 积分方程的分数微积分理论。 四川大学磺士学位论文 ( 1 ) 对于第一类a b e l 积分方程 而1f f 嘶) 打= 邝) o a l ( 2 3 3 3 ) 其中，( f ) 是给定的函数，这个方程用分数微积分表示为 j 4 “( f ) = ，( r )( 2 3 3 4 ) 从而用分数导数得到解 z f ( f ) = d 。厂( f ) 其中们= 而1 石啦r ，= j ( 2 3 3 5 ) 用l a p l a c e 燹挟冉及须得剑 吖= 志丢f 等如志f 等虮篇 g r u n w a l d l e t n i k o v 差分逼近 以f ) - ( 霹厂) ( f ) ：矿 1 l h + a l ” 2 嘲矗)( 2 3 6 h - ( - dt + ( o r 2 33 6 ) 圹( f ) = ( 霹厂) ( f ) = 1 l ? 一) 矗) ( 2 当，( f ) 充分光滑，_ g t 0 时，厂( f ) = o 精度为o ( h 2 ) ，否则为d ( ) 。 ( 2 ) 对于第二类a b e l 积分方程 以) + 南f 高产心) 出叫f ) 0 似l ，艇c ( 2 3 3 7 ) 可表示为 从而解为 ( 1 + a 厂4 ) “( ，) = f ( f ) ( 2 3 3 8 ) 拓口) = ( 1 + a t ，。) 。1 ，) = ( 1 + ( 一a ) ”，。“) ，8 ) ( 2 3 3 9 ) 分数微积分的不足在于只能求解分数积分方程，在解和右端项不光滑时的 差分逼近精度不是很高。 四川大学硕士学位论文 2 3 6 第一类a b e l 积分方程的机械求积解法 运一节王晏介缁刘业半提出的弟一荚a b e l 积分万程的数值解怯。考虑如f a b e l 方程 由f ( h z ( 一x , y ) f ( ，y ) 砂= 删( o - x - l , o a 1 ) ( 2 3 4 0 ) 我们可将其转化为第二类积分方程来处理，为此，将上式x 替换为s ，两边同 乘以 一j ) ，再对s 积分，方程( 2 3 4 0 ) 可以转化为 r 工( x ，y ) f ( y ) d y = g ( x ) ( 2 3 4 1 ) 其中 工( 墨y ) = f i i 二焉静= f ! ! ：；! 轳r ， ，= r 高净科f 器办。 因为l ( x ，z ) = h ( x ，x ) z s i n ( z a ) 0 ，g ( o ) = 0 ，所以微分( 2 3 4 1 ) 得 ，( x ) + 【l ( x ，y ) f ( y ) d y = v ( x ) ( 2 3 4 2 ) 其中 l ( x ，y ) = t ( x ，y ) l ( x ，x ) ，v ( x ) = g ( x ) l ( x ，工) 。 我们可以看出核三力与右端项v ( x ) 均是由弱奇异积分表示的，可以借助 端点有奇性的求积公式来计算。因为解函数可能在原点处无界或者其导数无界， 于是还可作变换x = r ( t ) = ，- ，q 是一个待定的正常数。然后可以利用修诈的梯 形公式或中矩形公式可得到很好的计算精度，并且得到误差的渐进展开，进而 组合得到高精度的算法，具体可参考 1 。 2 3 7 第二类弱奇异v o l t e r r a 积分方程的机械求积解法 这一节的主要内容来自吕涛和黄勇1 ，他们借助带有端点奇性的求积公 1 3 塑盟查兰堡主兰竺堡苎 式给出了第二类弱奇异的v o l t e r r a 积分方程的机械求积法和其外推与组合算法。 考虑积分 ，( g ) = r g o ) d x = f ( 6 一x ) “( 1 n l b - - x i ) 9 9 ) a x ( 2 3 4 3 ) 其中一1 口 0 ，= o ，l ，g ( x ) 在【口，b 】上充分光滑。 修正的梯形公式 l n - i q 芦( g ) = 昙g ( 而) + g ( 而) 一【一j ( 一a ) + ( ( - a ) ( 1 1 1 h ) 4 】g ( 6 ) 厅“4 ( 2 3 4 4 ) 当口= 0 时，也就是仅具有代数奇性时，还有 修正的中矩形公式 彩( g ) = g ( x j “2 ) 一( 2 1 - 1 ) ( ( - a ) g ( b ) h “。 ( 2 3 4 5 ) 对于弱奇性第二类非线性v o l t e r r a 积分方程 “( r ) = y o ) + f ( t - j ) 。( h a l t s 1 ) a k ( t ，s ，“( j ) ) 幽， 口s ，6 ( 2 3 4 6 ) 其中一l 口 0 ，p = o ，1 ，k ( t ，s ，“( 5 ) ) 关于t ，s ，u 连续，并关于u 是l i p s c h i t z 连续 的。离散化后利用修正的梯形公式可以得到 梯形求积法：求u l , i = o ，1 2 一n 满足 u 0 = y ( t o ) 。y ( ) + 宝( 一岛) 8 ( 1 l l i 一f oi ) 4 k ( t , , t o , u o ) ( 2 3 4 7 ) + 厅：( 一f j ) 4 ( h alt , 一t ji ) p 七( ，t y , u j ) 一【一f 。( 一a ) + ( ( - c o ( i n h ) 4 】后( f ，t ，珥) “。 定理2 3 若k ( t ，s ，“( s ) ) 关于t ，s ，“连续，并关于“是l i p s c h i t z 连续的，则 当h 充分小时，存在与h 无关的常数c 使得 擘憋l “( ) 一“，喀c h “8 ( h a ) + ( 2 3 4 8 ) ，v 对于只有代数奇性的上述方程的求解，也可以用修正的中矩形公式来计算， 如果满足上述定理的条件，可得离散点的最大误差估计为o ( h 2 ”) 。而且可以导 出两种格式的渐进展开式，可以作外推和组合算法，具体参见 1 0 。 1 4 四川大学硕士学位论文 3 不适定问题和正则化方法 数学物理反问题在实际生活中越来越重要，而这类问题很多是不适定的， 解决这类问题一个传统的办法就是正则化策略。 3 1 不适定问题简介 定义3 1x 和y 是赋范空间，a 是z 专】，的算子， 并且其逆算子a - 1 ：y _ 彳是连续的，则称方程 a x = y 是适定的，反之称为不适定的。 如果算子a 是双射， ( 3 1 1 ) 根据定义，可以将不适定问题分为三类： 1 ，解的不存在性，即a 不满射，存在y 使方程无解。 2 ，解的不唯一性，即a 不单射，存在y ，使得有两个及以上的解。 3 ，解的不稳定性，即4 - 1 存在但不连续，解不连续依赖右端项 由此看出，解的存在性和难一性依赖于空间x ，y 和算子的代数特征，而解 的稳定性则取决于空间的拓扑性质。因而，问题的适定与否，不仅与算子有关， 还和空间以及它们的度量有关。 下面给出一个不适定问题的判别定理 定理3 1 设x 和y 是赋范空间，a 是全连续( 紧) 算子，如果x 不是有 限维的，则第一类算子方程a x = y 是不适定的。 考察下述的第一类f r e d h o l m 方程 七 a z = “，a z = ik ( t ，s ) z ( s ) d s ，t k d 】 ( 3 1 2 ) 不妨设k ( t ，s ) 是二元连续函数，则不管解的存在唯一性如何，这个求解问 题对连续函数z ( s ) 而言，无论在连续函数空间c a ，b 还是在平方可积空间r 来 求解，都是不适定的。 事实上，设毛( j ) 是对应于右端项“，的个解：a z 。= ，而 毛( s ) = 毛( s ) + n s i n ( w s ) 是对应于右端“2 ( f ) = u i ( f ) + i ：k ( t ，s ) s i n ( w s ) d s 的解，其 四川大学硕士学位论文 中n 为一个常数，由r i e m a n n - - l e b e s g u e 引理可知，当w 充分大，可使 i i n l - - 1 2 i i p = i f 【r ? ( f ，s ) s i n ( w s ) 出】2 出 “2 ( 3 1 3 ) 充分的小，但是，无论| i 五一z 2i l 。还是忆一z ：峙都不可能任意小，因为 i i z l - - z 2 i i c = 州m a x l l 毛( 5 ) - z 2 ( 。) h i ( 3 1 - 4 ) 肾矾=4饩fi-lsinw(b-a)cosw(b+a) ( 3 3 2 正则化方法 通常，我们把求解数学物理反问题的稳定近似解的方法称之为f 则化方法 或策略( r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s t r a t e g y ) 。这些方法是由t i k h o n o v 和p h i l l i p s 于 2 0 世纪6 0 年代初分别独立提出的，如今，它们可由变分法或者谱分析等角度 引入，这里，主要介绍t i k h o n o v 在一般度量空间用变分法引入的正则化方法。 3 2 1 选择法和拟解法 关于用第一类算子方程 a z = ，甜u ，三f( 3 2 ，1 ) 描述的不适定问题，已提出过种种不同的解法；作为现在广为采用的相当有效 的t i k h o n o v 正则化的先导，我们首先介绍两个具有启发性的早期算法。 设( f ，所) 与( u ，n ，) 是两个度量空间，a 是由f 到u 上的连续算子，且具 有单值的逆算子a ，但彳。1 不连续，这相当于解存在唯一，但是不稳定。人们 自然会想，可否把解的空间f 缩4 , n 它的一个子集m 上，使得a “在a m 上连 续。t i k h o n o v 于1 9 4 3 年给出逆算子连续定理回答这个问题。 定理3 2 ( 逆算子连续定理) 若a ：d ( a ) 一u 是一个连续的，一对一的算 子，且m d ( a ) 为紧集，则逆算子( a l 膨) “在a m 上是连续的。 在此基础上，我们来讨论反问题的求解过程，设z ，是当“= 矾a m 时方 1 6 婴奎兰塑主兰丝堡塞 程的准确解，m 是已经选好的空间f 的一个紧子集，且是“的近似： 岛( ，吁) 占a 于是若a m ，则取方程a z = 的准确解乃作为刁的近似 是合理的。 选择法的实质是，选择空间f 中包含准确解z ，的一个紧子集，把相对于空 间偶( f ，u ) 的不适定问题转化为新的空间偶( m ，a m ) 上的适定问题，进而定义 这个新问题的近似解及其问题的求解方法。 例如a b e l 问题的求解问题 止：“，a z ：f 筹，羽) ：o ，o 0 ，使算子r ( u ，口) 对于所有的口 0 和满足条件 屏，( “，如) 占4 的u u 都有定义； 婴型查塑圭兰篁望苎 2 ) 存在这样的万的函数口= o f ( 8 ) ，对于任给的占 0 ，存在艿 ) 0 都有定义的关于u 连续的算子。若有 t i n 棼r c a z ，口) = z ， v z f ( 3 2 1 0 ) “ 则算子豆( ”，岱) 就是方程( 3 2 1 ) 的正则算子。 显然，每个这样的正则算子r ( 吆，口( 6 ) ) ，连同决定正则参数的不同原则和方法， 都定义了构造原问题的近似解的一个稳定算法。于是，寻求原问题的稳定近似 解的过程可归结为： ( 1 ) 构造正则算子r ( u ，口) ； ( 2 ) 选择正则参数口= o f ( 8 ) ，使之与原始数据的误差水平艿相匹配。 t i k h o n o v 通过引入所谓的展平泛函( s m o o t h i n gf u n c t i o n ) 来构造正则算 子，设方程存在精确解z t ( 当经典解不存在时，可用按某种度量为最小的拟解) 来代替) 。对于任何口 0 ，称下述具有单参数岱的泛函： 彳4 z ，“】= 尸! ( a z ，“) + i e e q 【z 】，“u ，z e f ( 3 2 1 1 ) 为展平泛函；其中，f 是f 中的稠密子集，o z 】是定义在e 上的非负连续泛函， 称之为稳定泛函，它满足下述条件： 1 ) a z 】定义于f 中的稠密子集e 上； 2 ) 待求的z r e ； 3 ) v d o ，集合m = z 最1 q z 】s d ) 在e 中紧- 走理3 6设爿是由度量空间f 到度量空间u 上的连续算子， 和任意“e u ，j 乇f ，使得泛函( 3 2 1 1 ) 在乇达到其下确界，即 m 。【乇，“ = i m 。 z ，“】 徒， 根据这个定理，可以定义一个u 一，的算子g ( u ，甜) 9 则v 口 0 r 3 2 1 2 ) 四川大学硬士学位论文 z 。= r ( u ，口) ，“u ，f 自然，这样的算子满足正则算子定义的第一个条件。 r ( u ，口) 不一定是单值的，