（计算数学专业论文）多层差分格式的理论分析设计与应用.pdf

摘要 有限差分方法是发展最早，也是应用最广泛的一种数值计算方 法似往的研究差分方法的文献绝大多数集中于两层差分格式的 讨论上固然，对于两层差分格式的理论结果已经比较完善，在实 际应用中也取得了很大成效但是，仅仅两层差分格式远不能满足 日益增长的对实际问题的数值模拟的需要。高精度、高效率的多层 差分格式日渐引起研究者与工程人员的重视，本文旨在对多层差分 格式进行系统性的理论分析，并探索其设计方法与实际应用文中 以m p d e 方法为主要理论工具，通过对多层差分格式的余项效应 分析。系统性的得出了格式的稳定性、耗散性、色散性、群速度效 应等内在性质在此基础上。本文提出了赞廷瑟擂值法、叠定系数 蓝、金塑赴垡菱莹等3 种设计多层差分格式的方法。从而有效的获取 高精度、实用的多层差分格式此外，本文还对传统的m p d e 方法 进行了一些推广希望能促进这种理论分析方法的发展与完善 t h et h e o r e t i c a la n a l y s i s ， m 1 1 i t i - l e v e lf i n i t e d e s i g na n da p p l i c a t i o no f d i f f e r e n c es c h e m e s w a n gj i n a b s t r a c t a m o n gv a r i o u sn u m e r i c a lm e t h o d s ，f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sh a v e t h el o n g e s th i s t o r ya n dt h ew i d e s ta p p l i c a t i o n i ti sw e l tk n o w nt h a t m o s to ft h ed o c u m e n t ss t u d y i n gf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sa r ef o c u s e d o nt h e2 - l e v e lf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e s n od o u b tg r e a ts u c c e s sh a s b e e na c h i e v e di nb o t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dt h ep r a c t i c a la p p l i c a - t i o no ft h e2 - l e v e ls c h e m e s h o w e v e r ，w ec a n n o tm e e tt h ee v e r g r o w i n g n e e d so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt op r a c t i c a lp r o b l e m sb yo n l yu s i n g2 一 l e v e ls c h e m e s m o r ea n dm o r er e s e a r c h e r sa n de n g i n e e r sp a ya t t e n t i o n t ot h o s em u l t i l e v e lf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e sw i t hh i g ha c c u r a c ya n dh i g h e f f i c i e n c y t h ep r e s e n tp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h es y s t e m a 上i c “t h e o r e t i c a la n a l y s i s ，d e s i g n i n ga p p r o a c h e sa n da p p l i c a t i o no fm u l t i l e v e lf i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e s w ea p p l yt h em p d ea n a l y s i st h e o r yt oi n v e s t i g a t e t h er e m a i n d e rp r o p e r t i e so ft h em u l t i - l e v e ls c h e m e sa n dc o n s e q u e n t l y ，w e o b t a i nt h es y s t e m a t i c a lr e s u l t so nt h o s ei n h e r e n tc h a r a c t e ml i k es t a b i l i t y ， d i s s i p a t i o n ，d i s p e r s i o na n dg r o u pv e l o c i t ye f f e c to ft h es c h e m e s o nt h e b a s i so ft h em p d e a n a l y s i st h e o r y , w ep r o p o s e3d e s i g n i n ga p p r o a c h e s ， c h a r a c t e r i s t i ci n t e r p o l a t i o nm e t h o d ，u n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n tm e t h o d a n dr e m a i n d e r - c o m p e n s a t i o nm e t h o d ，8 0t h a tw ec a ne f f e c t i v e l yd e s i g n h i g h l ya c c u r a t ea n dp r a c t i c a b l em u l t i l e v e lf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e s i n a d d i t i o n ，w em a k es o m eg e n e r a l i z a t i o n st ot h ec l a s s i c a lm p d et h e o r y i no r d e rt op r o m o t et h ed e v e l o p m e n to ft h i st h e o r y n 1 致谢 在这篇硕士论文完成之际，我衷心的感谢我的导师刘儒勋教 授在这两年多的时间里，刘老师不仅在学业上对我严格要求， 悉心指导，勤加督促。而且在生活上给予了我热情的关怀和无私的 帮助我愿意向他致以我最诚恳的谢意 同时，我要感谢与我同一个研究小组的张梦萍老师，汪继文老 师，以及李宏，王志锋等同学，在与他们的讨论与交流中，我得到了 许多有益的启发我也要感谢科大数学系的冯玉瑜教授，王树禾教 授及其他任课老师，从他们的研究生课程中，我受益非浅此外， 我在研究生阶段的学习和工作中得到了科学计算与计算机图形学 实验室的众多成员的支持和帮助，这里一并表示谢意 最后，我衷心感谢我的父母以及所有关心我的亲人和朋友，正 是他们的亲情、友情和经济上的资助，鼓励着我勤奋学习并顺利完 成硕士学业 王进 2 0 0 0 年4 月 于中国科学技术大学 第一章差分方法的基本概念 本世纪以来，电子计算机技术的飞速发展，促进了计算数学这门学科的产生，发展和 兴盛计算数学是建立在严格的数学理论基础上，利用数字电子计算机作为辅助工具， 用以研究解决与数学相关的各个科学领域内的理论问题与实际问题的一门新兴学科尽 管这门学科才仅仅只有几十年的历史。但它已经显示出了强大的生命力，并得到了广泛 的应用数值计算方法在流体力学，气体力学，航空学，电磁学，生物学，气象学等各个 科学领域正在发挥着越来越重要的作用 在各种数值计算方法中，有限差分方法是发展最早。理论最完善，应用也最广泛的 一种方法1 9 2 8 年，c o u r a n t ，f r i e d r i c h s 和l e w y 在他们著名的论文”论数学物理方程 的偏差分方程”【1 2 】中，第一次提出了差分方法的收敛性问题，并证明了针对双曲型方程 收敛的c f l 条件。这标志着对差分方法的系统性的理论研究的开端此后，对于差分格 式的理论研究与实际应用得到了迅速发展c r a n k n i c o l s o n ( 1 9 4 7 ) 提出算术平均隐格式， v o nn e u m a n n 和r i c h t m y e r ( 1 9 5 0 ) 提出计算激波管问题的人为粘性法，l a x ( 1 9 5 4 ) 提出守 恒型格式，p e a c e m a n 和r a c h f o r d 等( 1 9 5 5 ) 提出交替方向法，h a r l o w 等( 1 9 5 7 ) 提出格子 质点法，等等 2 ，1 3 ，1 4 自5 0 年代起。形成了一套较为完整的f o u r i e r 模式分析方法，建 立起了将差分格式的稳定性与收敛性联系在一起的著名的l a x 等价定理，并提出了严格 的v o nn e u m a n n 稳定性条件 1 3 ，1 8 】6 0 年代初，l a x 等人又提出了弱解理论和能量分析 方法【1 7 】6 0 年代末，h i r t 【1 5 】开创了m p d e 思想的先河，并由w a r m i n g 等人 1 6 】在7 0 年代发展为一整套的差分格式余项分析的m p d e 方法近二三十年来，高分辨率的思想 引入了差分方法中，t v d ，t v b ，e n o ，w e n o ，l e v e l - s e t 等各种新方法新技巧如雨后春笋 般发展起来f 1 9 】；同时。差分方法与其他数值计算方法。如有限元，有限体积，谱方法等 的联系也愈加紧密，各种方法之间往往相互借鉴，相互促进，并在许多实际问题中结合 运用总之，有限差分方法的发展呈现出一副生气勃勃的景象 下面，我们对于有限差分方法的基本概念与基本性质进行一个简要的回顾我们考 察关于未知函数u ( z ，t ) 的个偏微分方程定解问题 窑= 地( 州) q 【o t 】 n ( z ，0 ) = ，( z ) ，。n 三1 训a n= 0 ，t “o ，t 】 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中工，工l 均为空间微分算子上式中( 1 1 ) 称为控制方程( 或源方程) ，( 1 2 ) 称为初值条 件，( 1 3 ) 称为边界条件我们要采用有限差分方法来对以上定解问题进行数值模拟， 就要对它作差分离散化，这包含两方面的内容首先要对其解域进行差分分割。将连续 2 0 0 0 年中一科学技术大学焉4 - 学位论文 第2 页 苎三! 兰坌奎童竺苎圭堡垒 的求解区域化为有限离散点集；然后我们要对控制方程进行离散化，即采用一定的差商 形式来逼近控制方程中的微分形式。构造出一定的差分格式在差分离散化的基础上， 我们代入初值条件与边界条件，通过计算，得出原定解问题在离散点上的近似馋 不失般性，假定问题是一维的。q = k ，6 】，也即解域为a b ，0 t ( 更多的时候， 我们往往只考虑由( 1 1 ) 与( 1 2 ) 所组成的初值定解问题。这时一般取空间解域为全实 轴，即q = ( 一o o ，+ o 。) ) 关于解域的差分分割。最简单最常用的是等步长分割我们取空 问的一个适当小量a z ，称为空间步长。以此将，6 】分割为j 个等份， = a x ，分割点坐 标记为z ，= j z ，j = 0 ，1 ，j 同样的，在时间方向上也取一适当的分割尺度t ，称为 时间步长，其分割点坐标记为t 。= n a t ，n = 0 ，1 ，需要注意的是，a z 与的大小并 不是随意确定的，它们必须由差分格式的内在性质确定，也即它们必须满足起码的相容性 条件与稳定性条件，这一点在我们以后的讨论中将要提及此外，在实际问题的数值模拟 中，还常常用到非等步长的分割，也即一1 = a x j 一1 常数，t 。一t 。一l = 。一1 常数， 从而使得网格是非均匀的这在非线性问题的数值计算中用得十分普遍，因为我们常常 需要在陡变区域或问断区域进行空间网格的加细或重构，同时要随时调节时间步长的大 小以保证格式的稳定性 当解域的分割完成后，过。，t 方向上的格点坐标，t 。分别作平行于t 轴与z 轴的直 线，它们将组成个正交的矩形网格它们的交点( q ，t n ) 篙嚣_ ：。j 构成离散点集合，这 些交点称为格点或节点我们采用差分格式进行计算，就是要得出未知函数u 在这些格 点( q ，t 。) 上的近似取值，通常记为u ? ，用以逼近真实的函数值 下一步。我们需要对控制微分方程( 1 1 ) 也作差分离散化具体的说，就是在取定的 参考点( 。，c 。) ，把在该离散参考点上的控制方程用附近格点函数值的某种组合近似的表 达出来一般的，我们可以有如下表达形式 ，a、 n - 2 ( 警一l u ) ，、= o 一。n + l 一p 棚符，+ r ( 1 4 ) 、一 7 t o j - hj k r a = 0 其中k ，f ，m 是一些整数指标，a 女，风i 为差分离散化系数，r 称为逼近余项或截断误差， r = o ( z t p ，a z q ) 为高阶小量，p ，q 1 在( 1 4 ) 中忽略截断误差月后得到的近似离散形 式就是通常所说的差分格式 n - 2 n - “搿一风肾= 0 ( 1 5 ) m = 0l 上式即为个n ( n 2 ) 层差分格式的一般形式习惯上，我们将n ，1 作为待求的格点 函数值若( 1 5 ) 中的指标k 仅取0 值，则称格式( 1 5 ) 为显式差分格式l 否则称为隐式 差分格式 2 0 0 0 年中一种掌技术大学一士学位论文第3 页 第一章差分方法的基本概念 显然，即使对同一个控制方程( 1 1 ) 而言，在( 1 5 ) 中也可以采用各种各样的离散化 组合方式，相应的得出各种各样的差分格式于是，我们自然会问t 这些不同的差分格 式是否都是可用的? 它们有无性质好坏的差异? 可否事先预见它们的数值计算效果? 明 显的，这些问题对于我们采用差分方法进行数值计算具有重要的意义，因此，我们需要 对差分格式进行理论上的分析，从而探讨它们的内在性质一般说来，我们最关心的是 差分格式的以下几方面的性质t 一相容性 定义1 1 对应于控制方程rj j j 的差分格式rj 5 ，设其截断误差为r 若 t 1 i r a _ r 20 ( 1 6 ) 则称格式rj 砂与控制方程rj 砂相容如果仅当t = o ( z z 7 ) ，r 1 时才有rj 甜成 立，则称rj 纠为条件相容格式 由以上定义可知，相容的差分格式在差分网格无限加密时，它完全收敛于控制方程；而 不相容的差分格式在网格无限加密时，或者是不收敛，或者是收敛于另一个控制方程， 因此不相容的格式是不可用的 二稳定性 我们说一个差分格式是稳定的，是指用它来进行实际计算时，它对任何原因引入某 时间层的误差都有抑制能力。即是说。它能确保引入的各种误差扰动不产生实质的增长 以淹没真解稳定性是差分格式最重要的性质 定义1 , 2 设在某时闻层t = t 。引入的误差为? ，记u ? = u ( x i ，t 。) + ? ，若通过格式rj 5 ) 的计算得到h r l ，其误差? + 1 = u l i l + 1 u ( z i ，t 。+ 1 ) 也不产生总体上的增长，即 崂+ 1 l i k 崂| l( 1 7 ) 则称格式rj 印是稳定的差分格式其中0 表示某种范数。k 为不依赖于n ，j 的正常 数 在实际问题的分析中，我们更常用的是以下的稳定性定义 定义1 3 设通过格式fj 鲫计算所得到的第n 层的函数值记为矿，如果对于某种范数 1 i ，存在不依赖于n ，j 的正常数k ，o ，o ，使得 j l u ”i isk | i u 0 0 ( 1 8 ) 对0 。s k z o ，0 0 ，则差分格式的解 的振幅是随时间而递减的，格式称为正耗散的，并且是稳定的；若p ( ) 0 ，则差分格式 的解的振幅是随时间丽不断增加的，格式称为负耗散的，并且是不稳定的；若芦( ) = o ， 则差分格式的解的振幅随时间而保持不变。格式称为无耗散的在对于具体问题的分析 中，格式的稳定性条件有时也可以从关系式( 2 5 ) 直接得出但须注意的是，以上的稳定 性分析是较为粗略的。若要寻求f o u r i e r 模式下的较为精细的稳定性判别法则，则需要用 到下面的v o nn e u m a n n 条件 ，c 、 j 一 从( 2 7 ) 出发，我们则可以得出差分格式的相速度= = 孚与群速度k = u 下u l q ) 再 与真解的理论传播速度相比较。可进一步得出格式相速度误差与群速度误差，等等【1 3 ，2 4 2 1 2 v o i in e u m a n n 稳定性判别条件 稳定性是差分格式最基本。最重要的性质一个差分格式如果是不稳定的，即使它 其他方面的性质再好，也是没有实用价值的因此，稳定性分析是差分格式的理论分析的 关键部分迄今为止，已经形成了许多种关于稳定性分析的理论，而其中。v o nn e u m a n n 稳定性判别条件恐怕是应用最广的一种方法从实质上讲。v o nn e u m a n n 方法仍是基于 f o u r i e r 模式而展开分析与讨论的。只不过它的所有讨论的着眼点都在于差分格式的”放 大因子”，从中推导出稳定性条件这里。我们对这种方法及其主要结论作一简述 仍考虑控制方程( 2 1 ) 及差分格式( 2 3 ) ，我们将差分格式的离散解( 2 4 ) 改写为如 下形式 u ? 兰u ( z i ，n ) = g ”e i “缸 将( 2 9 ) 代入( 2 3 ) 可得到 a 。g n + le i ( j + m ) 缸= b t g “e 川缸 mj 由此可解出 g = g ( f ，z ，t ) = ( a m e i m a z ) - 1 ( b l e i t t x ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 2 0 0 0 年中科举技术大学礓士学位论文 第1 0 页 第二章乡屡差分格式的余项效应分析2 2 蒸典的m p d e 方法回顾 我们把上式中的g 称为差分格式的”放大因子”以上从( 2 9 ) 到( 2 1 1 ) 的过程正是我 们最常用的求解放大因子的作法g 一般取复数值，它的模i g i 的大小表征了差分格式 的解的振幅以上仅仅是对( 2 1 ) 为标量方程时来讨论的一般情形下，我们也可以用 同样的作法来考察矩量控制方程( 2 1 ) 此时差分格式( 2 3 ) 中的系数a 。，b l 皆为矩阵， 由( 2 1 1 ) 解出的放大因子g 也是矩阵这时候我们需要考察放大因子g 的所有特征值 。， ：， 。我们有如下的著名的v o nn e u m a n n 必要条件 定理2 1 差分格式r2 j j 稳定的必要条件是| g i 的特征值满足 沁is1 + 0 ( t ) ，i = 1 ，2 ，一，s( 2 1 2 ) 对于0 a t r ，0 n a t t 和任意波数f 成立，其中n t 为常数 在实际应用中，我们有如下几个判别稳定性的充分条件一 命题2 2 当矩阵g 是正规矩阵时仰g g h = g h g ) ， o nn e u m a n n 必要条件也是差分格 式稳定的充分条件 命题2 3 当8 = l 时。即差分方程是标量形式时。g g h = g h g 恒成立。所以1 3 0 1 2n e “m a n ， 必要条件也是差分格式稳定的充分条件 命题2 4 如果矩阵g h g 的谱半径p ( g h g ) 满足 p ( c h g ) 1 + o ( a t ) 对0 a t t0 n a t t 一致成立，则差分格式是稳定的 关于v o nn e u m a n n 条件的详尽分析以及相关的各种充分性条件的讨论，请读者参看 1 3 ，1 8 】 2 2 经典的m p d e 方法回顾 我们仍考虑控制微分方程( 2 1 ) 及逼近( 2 1 ) 的一个两层差分格式( 2 3 ) 设未知 函数“是充分光滑的，将( 2 3 ) 在格点( x j ，t n ) 展开为t a y l o r 级数，我们有 a m 击( 现+ m a z 仇) 嵋= b i 击( f z d 。) u ? ( 2 1 3 ) m k = ljk = l 其中d t ，d 。分别表示时间，空间的微分算子然后。我们对( 2 1 3 ) 实施经典的自循环消 元过程【2 ，5 ，2 3 ，3 7 ，也即是说利用( 2 1 3 ) 自身的逐次微分和加减运算，将( 2 1 3 ) 中的 含时间导数的项，札m 地t ，。，；m m ，等等，按阶数从低到高的顺序，全部转化为 仅有空间导数的项u 。，”。u 。等等( 注意t 这一过程中不能迭代原控制方程( 2 1 ) 2 0 0 0 年中科学技术大学礤士学位论文第1 1 页 第二章多层差分格武的余顷效应分析2 2 经典的m p d e 方法回顾 否则以下推导不再成立) 最后，我们得出与原差分格式( 2 3 ) 完全等价的修正偏微分方 程，通常记作m p d e “t = l t + r ， 见呓地，象 为方便计，我们在以上表达式中省略了下标j ，”上式中，r 称为差分格式( 2 3 ) 的余 项，r 。，r ，分别称为格式的耗散余项与色散余项；v 2 1 ，肛z 。+ ，( m ，f = 1 ，2 ，) 分别为耗 散系数与色散系数，它们一般是由 。，b f i z ，a t 等所确定的在z 与数量级相同 时，有v 2 1 = o ( a z 拈1 ) ，p 2 m + 1 = d ( z 2 ”) 当多的尺度很小时，我们可以近似的只考虑m p d e ( 2 1 4 ) 中的最低阶非零偶次余 项v 2 l ；茹与最低阶非零奇次余项芦2 m + l 茜j 赭，它们满足v 2 1 = 0 ，f - 绵关于这一问题，我们在第四章第1 节中还要讨论 2 4 迎风蛙跳格式的余项效应分析 蛙跳格式是我们最熟悉的一个多层差分格式，它是2 阶精度的无耗散格式但是， 它的一个显著的缺点是具有较强的色散效应。在数值模拟计算中骺引入明显的相位误差 与寄生振荡现象为了克服这一缺点，i s e r l e s 【2 0 于1 9 8 6 年提出了一类迎风蛙跳格式， 把将蛙跳格式的优点与迎风思想结合在一起。将格式建立在紧凑的模板之上，使格式具 有无耗散，弱色散，高精度的显著优点在实际计算中，迎风蛙跳格式取得了很好的效 果现在。迎风蛙跳格式已经成为了多层差分格式的典型代表 在以前的文献中 2 0 ，2 1 ，2 2 】，对迎风蛙跳格式的讨论都是建立在f o u r i e r 分析理论的 基础上在本节中。我们将运用余项效应理论对这一类格式进行全面的考察我们将揭 示出迎风蛙跳格式的深层次的性质以及它们之间的内在联系 迎风蛙跳格式共有3 种类型。它们的模板如图2 1 所示值得注意的是，这3 个模板 都具有旋转对称性t 将模板旋转1 8 0 度后，模板不改变因此，从直观上可以看出，这3 种格式都具有时间上的可逆性，从而必然是无耗散的 2 0 0 0 年中一科学技术大学焉士学位论文第1 5 页 第二章乡层差分格式的采项效应分析2 4 迎风蛙豌格式的索项效应分析 下面我们以一维平流模型方程 u + n u 。= 0 为例来考察这3 种迎风蛙跳格式的性质 在模板( a ) 中，用两个时间段的差分平均值来近似u 。，我们有 坚兰掣+ 。乏：。 整理后，我们得出第一类迎风蛙跳格式( 记为u l s 1 ) ( 2 2 9 ) “r 1 = q n 一- h ( 1 2 c ) ( “；一u 工1 ) ( 2 3 0 ) 其中c o u r a n t 常数c = a a t a x 这一格式的稳定性条件是0scs1 利用前述的m p d e 算法，我们立即可得u l s 一1 的m p d e 为 风兰o ，r p = 1 a k f x z ( 2 c 一1 ) ( c 一1 ) + ( 2 3 1 ) 在模板( b ) 中，用两个时间段的差分平均值来近似u 。并用3 个空间段的差分加权平 均值来近似“。，我们有 芝兰掣+ n 卫1 - m 塑n 盟型掣生型：。 其中m 是权值整理后，我们得到 u ? + 1 = “n 一- + ( 1 + c ( 1 3 m ) ) ( u ? 一“孓1 ) 一c ( 1 一m ) ( “并。一“孓2 ) ( 2 3 2 ) 根据同样的算法，我们得出( 2 3 2 ) 的m p d e 为 r 。兰0 r p = a a l 2 x 2 、( 一5 3 c + 2 c 24 - 6 m ) u +( 2 3 3 ) 1 a 葡z 广4 t c 一1 ) ( 一2 4 7 c 一2 7 c 2 + 1 8 c 3 + 6 0 c m ) u 5 + 从( 2 3 3 ) 易知，选取m = ；( 5 + 3 c 一2 c 2 ) 将消除m p d e ( 2 3 3 ) 的3 阶空间导数余项，而 使格式( 2 3 2 ) 取得4 阶精度 哼+ l = “# + ；( c + 1 ) ( c 2 ) ( 2 c - 1 ) ( u ? 一“工。) 一2 c - 1 ) ( c 一1 ) ( t 昏。一u 工：) ( 2 3 4 ) 格式( 2 3 4 ) 正是第二种迎风蛙跳格式( 我们记为u l s 一2 ) ，它在0sc 1 时稳定 2 0 0 0 年中科学技术大拳碍士学位论文 曩1 6 页 兰三! 耋苎苎坌兰查皇叁翼苎塞坌堑 塑；! 兰垒兰苎竺苎竺叁翼苎苎! 塑 在模板( c ) 中，用两个空间段的差分平均来近似u 。，而用4 个时间段的差分平均来 近似u 。，我们有 芏! 竺! ：二! ：! 芏! ! 苎i 二! 兰i ! ! ! 笙二! ：! ! i ! ! 塾! 二：兰塑+ n 生兰n p n - 1 n - - i = 。 其中m 是权值整理后得到 ( 1 一m ) ( u ；+ 1 一q n 一- 1 2 ) = ( 1 一c 一2 m ) ( n ；一u j n 一- l i ) + ( c m ) ( u 1 一u ；。1 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) 的m p d e 为 r j 兰0 r v = ! 乒( c 一1 ) ( 一1 + 5 c 一6 c m ) u 。一面a a x 4 ( c 一1 ) ( 一2 + 2 8 c 一1 1 7 c 2 ( 2 3 6 ) + 1 2 3 c 3 3 0 c m + 2 4 0 c 2 m 一3 0 0 c s m 一1 2 0 c 2 m 2 + i s 0 c 3 m 2 ) u s 。+ 从( 2 3 6 ) 易知，选取m = 去( 5 c 一1 ) 将消除m p d e ( 2 3 6 ) 的3 阶空间导数余项，而使格 式( 2 3 5 ) 取得4 阶精度 n + l ：啄n - 1 2 + 2 ( 1 _ 3 c ) ( “卜u 搿) + 坠掣( 啄nl _ n - - 1 ) ( 2 3 7 ) 格式( 2 3 7 ) 正是第三种迎风蛙跳格式( 我们记为u l s 3 ) ，它在0 cs1 1 2 时稳定 现在，建立在三种迎风蛙跳格式的m p d e 基础上，我们可以将三种格式的余项主项 r 。，砩及相速度误差邰，群速度误差白列表如下 表2 1 兰种迎风蛙跳格式的余项性质 格式见 卸白 u l s l0 1 a z l r x 2 ( 2 c 一1 ) ( c 一1 ) u 。矗( 2 c 一1 ) ( c 一1 ) ( ( z ) 2 3 口 u l s - 20 等( c 一2 ) ( c 一1 ) ( 2 c 一1 ) ( c + 1 ) “5 。i 药ac 一2 ) ( c 1 ) ( 2 c 1 ) ( c + 1 ) ( ( 。) 4 5 岛 u l s 3o ! 龛( c 2 1 ) ( 2 c 一1 ) ( 3 c 一1 ) u 5 。 7 丽a ( c 2 1 ) ( 2 c 一1 ) ( 3 c 1 ) ( ( $ ) 4 5 岛 我们不妨将u l s i 的m p d e 与两个熟知的格式，迎风( u p w i n d ) 格式和蛙跳( 1 e a p f r o g ) 格 式的m p d e 作一对比 ( 2 3 8 ) +抛 0 + 2 o 一 砧 0 n 0 一 一 一 0 0 丝垒。 一 一 = = 砩 + 字仉 = n l r 冗 式式椽格舰蝴 2 0 0 0 年中科学拄术大学硪士学位论文 第1 7 页 第二章多层差分格式的采项效应分析 2 4 迎风蛙髋格式的采项效应分析 我们可以清楚的看到，u l s 1 不仅承袭了蛙跳格式的无耗散性质( r 。三o ) ，而且其色散 效应比迎风格式弱得多( 当0sc 1 时，迎风格式的r ，值小于蛙跳格式的辟值；而 u l s 一1 的r p 值仅为迎风格式的r p 值的一半) 进一步，u l s - 2 的u l s 一3 色散效应就更为 微弱因此。我们说迎风蛙跳格式同时具备了迎风格式与蛙跳格式的优点，而克服了它 们各自的缺点 衡量差分格式性质好坏的一个重要标准是t 为了保证达到一事先给定的精度要求， 在每个波长内最少需要多少个格点? 我们用这一标准来考察以上格式例如，我们要求 达到i e ，i t 蒜n 的精度。又记n = 弓兰为每个波长内所舞的格点数，其中e 为波数 则由表2 1 ，( 2 3 8 ) 再结合初等的求极值方法，我们可计算出如下结果t 蛙跳格式与迎风格 式n 8 2 ，u l s 一1n 5 8 ，u l s 2n 1 9 ，u l s 一3n 8 由此可以看出，从蛙跳格式 到u l s 1 ，u l s 2 ，直至u l s 3 ，格式性质的改善是十分显著的这事实上表明，迎风蛙跳 格式能够用较为稀疏的网格，而达到相同的计算精度在大规模的实际问题的计算中， 这能够节省可观的计算量与存储量，因此迎风蛙跳格式具有重要的实用价值 此外。我们提出以下两点值得注意的地方t 1 关于3 种迎风蛙跳格式的内在联系利用m p d e 分析理论中的余项补偿方法， 我们可以很容易的得知，u l s 2 正是通过空问方向的模板扩展将u l s 一1 改善为4 阶精 度，同时保持其无耗散特性的唯一的一个格式，而u l s 3 正是通过时间方向的模板扩展 将u l s 1 改善为4 阶精度，同时保持其无耗散特性的唯一的一个格式对于这个问题的 详细讨论，请参见第3 章第4 节 2 关于迎风蛙跳格式的推导方法在 2 0 中所提出的原始的推导方法十分繁琐 我们在前面所采用的直接差分离散方案是由在【2 l 】中所阐述的这种方法虽然简洁，直 观。但其缺点在于t 具体采用何种方式的时间与空间的差分离散，以及怎样赋予权值， 在事先都是很难确定的因此，这种直接差分离散方法对于设计较为复杂的多层差分格 式而言，是不可取的对于如何才能有效的设计多层差分格式，请参看第3 章第2 节至 第4 节运用那里所叙述的3 种方法，我们都可以很容易的设计出迎风蛙跳格式 最后，我们用一个数值实验的例子来检验迎风蛙跳格式的性质我们模拟一个对应 于控制方程( 2 2 9 ) 的高频振荡波传播的纯初值问题，其初值条件为 豁蜓1 偿。， 波速为n = 1 我们选取空间网格大小为。= o 0 1 ，时f 回步长为= o 0 0 4 ，从而c o u r a n t 常数c = o 4 应用蛙跳格式与3 种迎风蛙跳格式经过5 0 0 个时间步( t = 2 o ) 后的计算结果 。丌 0 - 4s 2 5o一懈一 ， e 0 ，ii，、_l j i 0 u 2 0 0 0 年中科学技术大学礤士学位论文 第1 8 页 第二幸多层差分格式的采硬效应分析 2 4 迎风蛙雕格式的采项效应分析 如图2 2 一图2 5 所示 众所周知，运用迎风格式或l a x w e n d r o f f 格式等两层格式计算这一问题时，将会导致波 幅的几乎完全衰减从图2 2 可见，蛙眺格式能够保持振幅的幅度，但同时，它却呈现出 明显的相位滞后现象另一方面，3 种迎风蛙跳格式不仅能保持波幅，而且能保证几乎 精确的相位我们可以用群速度效应 2 4 】来解释这一相位误差问题注意波包是以群速 度传播的，因此，振荡波中心在t = 2 0 时的空间坐标为。= 0 5 + 2 v g 利用( 2 3 8 ) 和表2 1 ，我们容易算出蛙跳格式的”。= 1 一勺圭o 3 3 7 ，u l s 一1 的u g 兰1 0 4 6 ，u l s 一2 的 圭o 9 6 6 ，u l s 3 的未1 0 0 0 6 与真实的群速度n = l 相比较。我们清楚的看出以上格 式的性质差异以上理论分析结果与图中的数值实验结果是相符的 第三章多层差分格式的设计与应用 3 1 常用的差分格式设计方法概述 有限差分格式的设计方法是多种多样的，这里我们对常用的几种设计方法作一回顾 所考虑的控制微分方程一般形如 豢一l u ：o ( 3 1 ) m 一 其中l = l ( 鑫) 是空间微分算子岳的一个常系数多项式不妨设我们所做的是等步长的 矩形网格分割，空间步长z ，时间步长t 一直接差分逼近方法 这是最简单，最基本的一种构造差分格式的方法众所周知， l i m 【( ，t n + ) 一“( x j ，t n ) f a t = f ( x j ，t n ) ( 3 2 ) 如果去掉极限号。有 芝，+ 。( a t ) ( 3 3 ) 同理，也有 笋砘h ，+ o ( 酬 ( 3 a ) 与乒一h ) + o ( c ) 兰学毡( x j , t n ) + 。( 酬 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 竖掣： ) + 0 ( f 2 ) ( 3 7 ) 盟挚- - l t x x ( x i , t n ) + o ( 醚) ( 3 8 ) 等等从初等数值分析理论可知，上式左端为差商形式( 3 3 ) ，( 3 4 ) 分别为时间，空间方 向上的一阶向前差分，( 3 5 ) ，( 3 6 ) 分别为时间，空间方向上的一阶向后差分，( 3 7 ) ，( 3 8 ) 1 9 2 0 0 0 点 第三章乡层差分棒式的设计与应用 中科学技术大学硬士学位论文第2 0 页 3 1 常用的差分格式设计方法概逑 分别为时间，空间方向上的二阶中心差分，它们分别以不同的逼近精度可近似代替在参 考点( 。j ，t 。) 上的一阶与二阶导数 类似的，对其他各阶导数沌m 。，u 。等等，都可以采用差分与步长之比一差 商逼近之这样，我们将微分方程( 3 1 ) 的各阶导数项在( 。j ，t 。) 点用不同类型的差商代 替，便可得出各种各样的差分格式 铡3 1 考虑i 简模型方程 “t + a u = 0( 3 9 ) 在参考点( ，。) ，若采用时间向前差分，空间向前差分，立即可得f t f s 格式；若采用时 间向前差分。空间向后差分，便得到f t b s 格式；若采用时间向前差分，空间中心差分， 可得到f t c s 格式；若采用时间中心差分，空间中心差分，又可得到c t c s ( l e a p f r o g ) 格 式这些都是我们所熟知的差分格式 直接差分逼近方法的最大优点是简单，易行并且，其他各种差分格式设计方法都 要直接或间接的用到直接差分逼近的思想，因此这种方法是其他方法的基础 = t a y l o r 展开方法 将欲求格点( ，t n + 1 ) 的未知函数u ? + 1 直接向参考点( ，。) 作t a y l o r 展开，可得 矿n 1 叫n + 龇。( x j , t ) + 譬( x j , t 。) + 等u 。h ，+ ( 3 1 0 ) 根据( 3 1 ) 我们有 舟 u t2 ，u 炉盖( 工u ) ， ( 3 1 1 ) 将上式代入( 3 1 0 ) 得 n + 1 嵋+ f ( 圳；+ 譬( 岳圳? + ( 3 1 2 ) 对( 3 1 2 ) 式各项采用不同差商逼近就有不同的差分离散逼近形式，略去高阶项即得各种 差分格式利用这种方法，能够灵活的设计出各种有限差分格式，甚至是较高阶的差分 格式 例3 2 考虑守恒型双曲方程 u l + ( 伽) ) 。= o ，a ( u ) = 可o f ( f u ) ( a a 3 ) 我们有 m ：一o f f ( u ) 2 0 0 0 年中蛋辩学技术大学碍士学位论文 第2 1 页 第三章多层差分格式的设计与应用3 i 常用的差分格式设计方法概逑 = 一盖笃笋一吴( 笃兽象) = 瓦0 ( n ( “) 丽o f )“2 一孤巧2 一蕊【百f 瓦j - 瓦t o l “j 丽j 从而( 3 1 2 ) 在这里具体化为 矿1 = u ? 拙( 筹) ? + t a t 2 ( 未( n ( “) 掣) ) ? 删f 3 ) ( 3 1 4 ) 如果在上式中全部取中心差分逼近，并略去三次以上高阶项，便得到 u ，n + 1 = u ? 一7 。( y j + ，一仁- ) + 嗡n + 孙。n n 一鬈) 一n 工 ( 口一毋- ) 】 ( 3 1 5 ) 这就是著名的l a x w e n d r o f f 格式。其中7 = 5 脚 7 当f ( u ) = n u ，a = 常数，即撕+ a u 。= 0 ，由( 3 1 5 ) 给出了最常见的l a x w e n d r o f f 格 式 u n + 1 = “n 一；( “知1 一u j n 一1 ) + 了c - ( n + l 一2 “? + “ 1 ) ( 3 1 6 ) 其中c = a a t l a z 三积分控制元离散化方法 在网格上取特定的微元( 在一维问题中是线元。二维是面元，三维则是体元) ，然后对 控制方程和定勰条件在这取定的控制元上积分，并采用某种数值积分逼近，从而得到差 分离散化形式 例3 3 考虑对流一扩散方程伟系数b u r g e r s 方程j 0 uo ua 2 t 面+ o 瓦2 ”丽 ( 3 1 7 ) 在差分网格域内取控制元q ，。= h 一等，。j + 等1 i t 。，t 。+ 。】，对( 3 1 7 ) 在c j ，内积分 得 。 噬c 瓮蛐+ n 噬c 麓姚= 颡“秽0 2 u 如m q 在( 3 1 8 ) 中取不同的积分近似就有不同的离散结果一种最简单的作法是在近似积分的 地方取。= 。，或t = t 。，代入( 3 1 8 ) 后得到 ( q + 1 一t i ? ) z + a ( 嗡一t 皇 ) t = v 【( 塞) 苒一( 爱) 工一t ( 3 1 9 ) 在上式中，用算术平均量代替格子中点值，即 叼i 圭i ( “苒+ 钍 ) ， u 卜n 圭t n + u 工1 ) ( 3 2 0 2 0 0 0 年中一丰牛学技术大学礤士学位论文 第2 2 页 第三章多层差分椿式的设计与应用 3 1 常用的差分格式设计方法概述 将( 3 2 0 ) 代入( 3 1 9 ) ，再用中心差分逼近( 3 1 9 ) 的右边项，从而得到 “r 1 = “? 一；( “髯- 一“j - 1 ) + s ( “并- 一2 “? + u - ) ( 3 2 1 ) 其中c = a a t a z ，s = v a t a z 2 这正是( 3 1 7 ) 的f t c s 格式 当取不同的近似元，或者对控制元上的积分取不同的近似，便可以导出不同的差分 格式，因此这种设计方法具有很大的灵活性尤其值得指出的是其控制元角点无需恰为 整格点。这对于边界值问题就更有实际意义，对变步长网格也更适应此外，若原控制 微分方程是守恒型的，则用积分控制元离散化方法得出的差分格式也具有守恒性，能够 给实际问题的数值计算带来方便 四分裂差分离散化方法 如果方程( 3 1 ) 的微分算予能作”和