（运筹学与控制论专业论文）高水标条款下的对冲基金期权的定价研究.pdf

摘要 近几年，迅速发展的对冲基金为机构和私人投资者提供了新的投资工具和 资产管理方式。然而由于它的加入门槛( e n t r yl e v e l ) 太高，对一般投资者来说 几乎是可望而不可即，于是促使一些问接投资对冲基金的相关衍生工具的产生 及发展。基于对冲基金的期权是目前最被看好而且有望发展速度最快的，因为 它使普通投资者用有限的资本就可以间接投资于对冲基金。 在对冲基金的费用结构中，付给基金经理人的激励费通常按照高水标条款 的标准( h i g hw a t e rm a r kp r o v i s i o n ) 从基金管理帐户里提取。本文的目的是研 究高水条款对于对冲基金期权( 在不影响理解的情况下，我们通称高水标条款 的期权) 定价的影响。我们首先在基金资产净值( n a v ) 遵循对数正态扩散过程 和波动率为常数的假设前提下，利用无套利理论推出高水标条款的期权的定价 模型，并给出种特殊情况一高水标条款的回望看跌期权的闭式定价公式。通 过比较高水标条款的回望看跌期权和传统的回望看跌期权的价格，我们就高水 条款对期权价格的影响进行了初步分析。 然而，由于在现实世界中大多数对冲基金的实际收益分布都呈现出偏斜和 尖峰等统计特性，远远偏离了( 对数) 正态分布。所以，我们采用h e s t o n 随机波 动率模型来加以修正。通过蒙特卡罗方法模拟对冲基金n a v 和波动率的演化， 并利用风险中性定价公式给出模拟的价格。我们通过改变随机模型的一些重要 参数来考察定价偏差，并指出如何通过改变模型参数来得到个所需要的偏度 和峰度的收益分布。最后，我们指出采用模拟的方法定价高水标条款的回望看 跌期权时产生的离散误差以及缩小误差的方法。 关键词：对冲基金期权，高水标条款，随机波动率 a b s t r a c t a st h er a p i dg r o w t ho fh e d g ef u n di n d u s t r y , m o r ea n dm o r ep r o d u c t sa r e a l s ob e i n gd e v e l o p e dt op r o v i d ea c c e s st ou n d e r l y i n gh e d g ef u n d s ，a n do p t i o n s o nh e d g ef u n da r er e g a r d e dt ob et h em o s tf a s c i n a t i n go n e b e c a u s ei n c e n t i v e f e e sf o rm o n e ym a n a g e r sa r ef r e q u e n t l ya c c o m p a n i e db yh i g hw a t e rm a r k ( f o r s h o r t ，h w m ) p r 洲b i o n b ，o n en a t u r a lq u e s t i o nf o ro p t i o n so nh e d g ef u n d si sh o w s i g n i f i c a n tt h i sh w mp r o v i s i o ni m p a c t so no p t i o np r i c i n g i nt h i st h e s i s ，w ef i r s tw o r ki nac o n t i n u o u s - t i m ef r a m e w o r ka n da s s u m e t h a tt h ef u n dn a 、，f o l l o w sal o g n o r m a ld i f f u s i o np r o c e s s t h e nw ed e v e l o pt h e f r a m e w o r ko ft h eo p t i o np r i c i n gw i t hh w mp r o v i s i o nf o rh e d g ef u n d s t h e c l o s e df o r m so fh w m l o o k - b 8 c 破p u to p t i o na r ed e r i v e dw i t h t a n tv o l a t i l i t y w es h o wt h a th w ml o o k - b a c kp u ti sc h e a p e rt h a nt h et r a d i t i o n a ll o o k b a c kp u t ， a n di n v e s t i g a t et h ee f f e c to fi n c e n t i v ef e ea n di n i t i a lv a l u eo fn a v h w m h o w e v e r ，t h er e a lw o r l dr e t u r nd i s t r i b u t i o n sf o rm a n yo ft h eh e d g ef u n d s t r a t e g i e sd i s p l a yb o t hs k e w n e s sa n dk u r t o s i s t od e a lw i t ht h i sp r o b l e m w e i n t r o d u c es t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ( f o rs h o r t ，s v ) m o d e lw h i c hc o r r e c t st h es i m p l e l o g n o r m a ln o r m a ld i s t r i b u t i o na n dc o n s t a n tv o l a t i l i t ya s s u m p t i o n w ei m p l e 【e n t h e s t o n ss vm o d e lu s i n gm o n t ec a r l os i m u l a t i o n a n di n v e s t i g a t et h ee f f e c t so f t h em o d e lp a r a m e t e r sb yl o o k i n ga tt h ep r i c i n gr e s u l t s e s p e c i a l l y w es h o wt h a 七 c o r r e l a t i o nb e t w e e nv o l a t i l i t ya n df u n dn a 、，i sn e c e s s a r yt og e n e r a t es k e w n e s s h o w e v e r ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t yo n l yc h a n g e st h ek u r t o s i sw i t h o u tt h i sc o r r e l a t i o n k e y w o r d s ：o p t i o n so nh e d g ef u n d s ，h i g hw a t e rm a r k ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y 表格 2 1 两种回望期权定价公式中参数取值 2 2 高水标条款和传统的回望看跌期权随岛日i 变化的价格比较 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 不同对冲基金收益的偏度和峰度 h e s t o ns v 模型下对冲基金n a v 模拟的参数 h e s t o ns v 模型中高水标条款的回望看跌期权的模拟结果 两种模型下高水标条款回望看跌期权随& l h o 变化的价格比较 不同的p ，以及岛对h e s t o ns v 模型高水标条款的回望看跌 期权的模拟价格的影响 m 埔 均拍髂四 札 插图 对冲基金数目估计( 1 9 9 0 - 2 0 0 4 ) ，来源：h f r ， 对冲基金资产估计( 1 9 9 0 - 2 0 0 4 ) ，来源：h f r 激励费k 对期权价格的影响 岛凰对两种回望看跌期权价格的影响 岛日0 变化时两种回望看跌期权的价格差别， h e s t o ns v 模型下对冲基金n a v 和方差的模拟路径 两种模型下高水标条款的回望看跌期权的价格 岛凰对定价偏差的影响 h e s t o ns v 模型参数p 和对定价偏差的影响 相关系数分别为正和负时三个月内对数收益率的频数分布 不同所产生的三个月内对数收益率的频数分布 模拟h w m 时所出现的离散误差 0 0 m 卯驼弘：8 1 2 1 2 3 l 2 3 4 5 6 7 1 l 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 第一章引言 1 1 对冲基金及其发展 对冲基金( h e d g ef u n d ) 又称套利基金或避险基金，起源于5 0 年代初的美 国。其操作的宗旨，在于利用期货、期权等金融衍生产品以及对相关联的不同股 票进行实买空卖、风险对冲的操作技巧，在一定程度上可规避和化解投资风险。 经过几十年的演变，对冲基金已失去其初始的风险对冲的内涵，已成为一种新的 投资模式的代名词，即基于最新的投资理论和复杂的金融市场操作技巧，充分利 用各种金融衍生产品的杠杆效用，承担高风险、追求高收益的投资模式。 对冲基金通常采用私人性质的有限合伙形式，以及以离岸注册为主。因此， 与共同基金相比对冲基金更加自由和灵活，可以规避共同基金必须要面对的 向有关监管部门和公众披露基金状况，它们的资料主要依赖基金经理自愿呈 报，而不是基于公开披露资料。目前全球有三家从事对冲基金资料聚积、整理 的机构：资产管理统计公司( m a n a g e da c c o u n tr e p o r t si n c ，m a r ) 、对冲基 金研究公司( h e d g ef u n d sr e s e a r c h ，h f r ) 和对冲基金顾问公司( v a nh e d g e f u n d sa d v i s o r ，v h f a ) 。从上个世纪的最后十年开始，股票市场的繁荣导致 了财富的增加和金融资产价值的大幅上升，以此为特征的良好金融环境毫无疑 问促进了对冲基金的成长。根据h f r 统计，1 9 9 0 年约有5 0 0 个对冲基金；而截止 至1 2 0 0 4 年这一数目已经达到了7 1 0 0 家左右。随着对冲基金数目的增长，由对冲 基金管理的资产名义价值估计也从1 9 9 0 年的不到5 0 0 亿美元增长到2 0 0 4 年的将 近9 7 2 0 亿美元( 如图1 1 ，1 2 ) 。而据d a n f o r t ht o w n l e y 在2 0 0 5 年私人投资基金 国际会议上的报告，目前对冲基金的资本总额已经接近l 万亿美元，权威机构估 计，对冲基金的投资者队伍将不断扩大，对冲基金未来几年将以每年3 0 以上的 速度发展。这些数据足以说明对冲基金已经成为近年来的投资热点，构成了基金 市场的另道风景线。 虽然对冲基金的迅速发展越来越引起人们的注意，然而由于它的加入门 槛( e n t r yl e v e l ) 太高，一般最低投资额为1 0 0 万美元左右。这对一般投资者来 说几乎是可望而不可即。于是促使一些间接投资对冲基金的相关衍生工具的产 生及发展。一般来说，投资者有四种方法来接触对冲基金： 第一章引言2 直接投资一这个选择目前只有合格投资者( a c c r e d i t e di n v e s t o r ) 和合格购买 者( q u a l i f i e dp u r c h a s e r s ) 才有资格和足够资本投资1 ： 通过一个投资管理公司或独立的金融咨询师投资对冲基金，这对一个财富充 足的投资者来说是一个非常合适的选择； 通过一个第三公司实体来投资于基金的基金； 对冲基金期权可以作为第四种接触对冲基金的投资方法，这种写在标的资产 为对冲基金上的期权使普通投资者用有限的资本就可以间接投资于对冲基金， 能够被更多的投资者所接受。 然而，尽管有很多对冲基金相关的衍生产品迅速产生，据我们资料调查，对 冲基金期权目前在市场上还非常少，鲜有交易。原因在于对冲基金在近几年才 迅速发展，为投资者所熟悉；另一个非常重要的原因是大多数对冲基金不像共 同基金和银行一样需要定期做信息披露，公开财务报表以及其他一些管制要求。 所以对一般的投资者来说，很难获取足够的信息来对对冲基金期权进行套期保 值。但是，随着对冲基金的发展规模越来越大，会有更多加强对对冲基金监管 的报告出台。不久前，美国公布了建议加强对对冲基金监管的报告，这表明美 国政府对对冲基金一贯疏于监管的态度有了极大的变化，从而拟制订措施要求 对冲基金加强信息披露，同时也要求向对冲基金提供贷款的投资银行及其它金 融机构公开它们与对冲基金的交易情况极其面临的风险程度。随着对冲基金市 场愈来愈规范，对冲基金期权会快速发展，并将有更多基于对冲基金的衍生产 品产生。 1 2费用结构和高水标条款 对冲基金的一个非常重要的特征就是付给基金经理人费用结构。除了和共 同基金一样按照契约或章程事先的规定从基金资产中按一固定比率计提管理 费( m a n a g e m e n tf e e ) 付绘基金经理人外，对冲基金通常还采取一种与业绩挂钩 的薪酬激励机制：约定如果对冲基金运作业绩超过某一基准( b e n c h m a r k ) 时， 则另付基金经理一笔激励费( i n c e n t i v ef e e ) 或称业绩报酬( p e r f o r m a ! l c ef e e ) ， 一般是以一定时期内获取利润的一定百分比来表示，我们称这个合约规定为高 水标条款( h i g hw a t e rm a r kp r o v i s i o n ) 。通常最简单的高水标条款规定的高水 1 合格投资者和合格购买者均是指符合美国证券交翕委员会规定的条件的专业人士或投资者t 具体, - l d a 参考h t t p ：w w s c g o v r u l e s p r o p o s e d l 3 3 8 0 4 1 h t m 第一章引言3 标( h i g hw a t e rm a r k ，h w m ) 就是基金净资产值( n e ta s s e tv a l u e ，n a v ) 在 过去有效期内所达到的最高水平，条款规定当基金经理人弥补了先前的损失， 且基金n a v 创新高后，方可以收取业绩报酬；有的对冲基金中的h w m 约定以 某一个基准盈利率如美国国债收益率等调整2 。一般管理费占投资者总投资额 的1 一2 5 ，通常取1 ；而激励费一般占总利润的5 一2 5 ，通常取2 0 。这些费 用通常是每月或每季度或者每年度从基金管理帐户里清算。 通常基金经理将自己部分资金也投资在对冲基金中，由于个人的报酬与 对冲基金业绩挂钩，这种激励费在大多数情况下远远高出管理费，有时可高 达几亿美元，业绩报酬刺激投资经理追求更高的投资回报。假设一基金经理 收取1 的管理费和2 0 的年度业绩报酬，当这位经理人创造了2 0 的年度收益 率时，所取得的总报酬则是整个资产组合价值的5 ! 所以，通常基金经理的 报酬主要来自对冲基金的业绩报酬。为了进一步解释高水标条款，我们下面 考虑通常最简单情况下的h w m 如何影响n a ，。假设当前h w m 为1 0 0 0 万美 元，如果这位经理人创造了5 0 的月度收益率，则净资产值达到1 5 0 0 万，当基金 经理收取2 0 的月度业绩报酬1 0 0 万后，此时的净资产值为1 4 0 0 万，而h w m 变 为1 5 0 0 万。如果下个月净资产值缩减到1 0 0 0 万，则基金经理将得不到业绩报酬 直到净资产值超过1 5 0 0 万。 近几年，很多学者致力于对冲基金的费用结构的研究。g o e t z m a n n ，i n g e r s o l l 和r d s s 【1 0 1 采用一种类似期权定价的方法给出一个计算基金经理收取激励费 的公式，并证明高水标条款影响到基金经理所得的业绩报酬的多少。n m e 和 h s i e h 9 】也对对冲基金的募集和费用结构做了一个综述，并通过研究分析指出 一个成功的基金经理所收取的激励费远远高于固定的管理费。 就对冲基金期权来说，一个非常重要的问题就是高水标条款如何影响期权 定价，我们简称这种期权为高水标条款的期权。在净资产价值连续变化的情况 下，因为基金经理每收取一次激励费，净资产价值相应减少一次，所以显然此 时的高水标条款的期权是路径依赖的。也即对冲基金资产组合每达到一个新的 h w m ，路径改变一次。 l i 和y a uf 1 9 3 对高水标条款的期权进行了研究，并且就最简单情况下的高 2 国内有些关于对冲基金文献的翻译中把前一种称为高水标条款，后一种称为优先收益。我们这里根 据g o e t z m a n n ，i n g e r s o l l 和r o s s 【1o 】统称为高水标条欺。 3 我们在z h el i 和s t e p h e ns - t y a u 的该篇论文的基础上儆了进一步的拓展，非常感谢他们在论文撰 写过程巾提供的建议和指导。 第一章引言 4 水标条款的回望看跌期权( l o o k b a c kp u to p t i o n ) 、俄式期权( r u s s i a no p t i o n ) 以及损失限额期权( s t o p - l o s so p t i o n ) 给出了闭式解析解。a t l a n ，g e m a n 等人 3 1 对h w m 随无风险利率调整的高水标条款的期权进行了研究，并对写在对冲 基金上的欧式标准期权给出一个定价公式，研究了h w m 对此类期权价格的影 响。 然而，他们所考虑的前提都是假设基金n a v 服从对数正态分布和波动率 为常数。事实上，这一假设在对冲基金市场中往往难以满足，几乎所有对冲 基金的实际收益分布呈现出偏斜、尖峰和厚尾等统计特征。而随机波动率模 型( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ) 的一个重要性质就是通过改变模型参数，产生 多种有偏度和尖峰态的分布。本文的一个主要目的就是考虑在随机波动率模型 中高水标条款的期权定价问题。 本章简要介绍了对冲基金及其发展，对冲基金的费用结构以及高水标条款 的期权的相关研究。在接下来的章节中我们安排如下：第二章我们仍然考虑在 基金n a v 服从对数正态分布和波动率为常数的前提下高水标条款的期权定价。 我们利用无套j ! | 理论推出一般高水标条款下的对冲基金期权的定价模型，并利 用偏微分方程方法导出高水标条款的回望看跌期权的闭式解析解；接着讨论该 类期权与传统的回望看跌期权的定价差别，并就高水标条款在期权定价中所起 的作用给予分析。第三章是本篇论文的核心，我们考虑在随机波动率模型中高 水标条款的期权定价。我们首先就实际对冲基金市场的收益分布所呈现出的有 偏和尖峰等特征给出经验实证数据，并引出随即波动率模型；接下来我们采用 风险中性定价方法来给该类期权定价，并通过蒙特卡罗模拟来求解在随机波动 率模型下高水标条款的回望看跌期权的价格；通过改变模裂参数，我们考察了 两种模型下高水标条款期权的价格偏差，以及如何通过改变模型参数来产生所 需要的偏度和峰度的收益分布。第四章总结本文。 第一章引言 5 ”1 ”1 “嚣”“。“3 ”1 “ 1 ：对冲基金数目估计( 1 9 9 0 - 2 0 0 4 ) ，来源：h f r ”洲棚4 ”恻撂“。”绷舢 图1 2 ：对冲基金资产估计( 1 9 9 阻2 0 0 4 ) ，来源：h f r 第二章波动率为常数时高水标条款的期权的定价 2 。l 高水标条款的期权定价模型的框架 期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定 数量的标的资产的选择权。早在1 9 0 0 年法国金融专家l o u i sb a c h e l i e r 就发表了 第一篇关于期权定价的文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但 因种种局限难于得到普遍认同。7 0 年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权 定价理论的研究取得了突破性进展。1 9 7 3 年，美国芝加哥大学学者f b l a c k 与 m s c h o l e s 提出了b 1 a c k - s c h o l e s 期权定价模型( b - s 模型) ，对股票期权的定价 作了详细的讨论。此后，不少学者又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地 推动了期权定价理论的研究；b s 模型在经济学方法论上被公认为研究期权定 价理论的一个分水岭。自从期权市场开辟以来，从标准的欧式期权、美式期权 发展到现在已经有成千上万种期权在市场上交易。研究西方期权定价理论，不 仅有助于深化我们对期权及其他金融创新工具的研究，且对我国实业界在条件 成熟时进入国际期权市场具有一定指导意义。和大多数研究期权理论的学术文 献一样，我们首先也在b l a c k - s c h o l e s 框架下研究对冲基金期权。 我们用几何布朗运动( g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，g b m ) 来刻画标的资 产价格演化的连续模型，也即对冲基金的净资产值服从一个对数正态扩散过程。 设预期回报率为肛，波动率为盯，令g 表示管理费1 ，则对冲基金的净资产值& 满 足随机偏微分方程( s d e ) d s t = 一g ) & d t + j d w t& h t( 2 1 ) 其中叫t 为标准布朗运动( s t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n ) ，g t 为t 时刻对冲基金的高 水标。 在& h t 时，& 的随机变动并不会影响甄。不管高水标( h w m ) 是遵循净 资产值( n a v ) 所达到的最高水平，还是按某一个蒸准盈利率变化调整，这些 都不是局部隧机的，所以凰的演化是局部确定的。根据g o e t z m a n n ，i n g e r s o l l 和 1 和后面的激励费七一样，若无特殊说明均是指按一定比率连续支付。 第二章波动率为常数时高水标条款的期权的定价 7 r o s s 1 0 ，通常假设风的演化满足 d h t = g t 风d t& 皿( 2 2 ) 其中g 。是高水标条款中的一个确定性函数。 g o e t z m a n n ，i n g e r s o l l 和r o s s ( g i r ) 【1 0 根据m e r t o nf 2 1 】和i n g e r s o l l 1 6 ， 采用一种均衡推导( e q u i l i b r i u md e r i v a t i o n ) 的方法给出一种基于对冲基金的普 通权益所满足的定价模型。这里我们假设基金资产可以被购买，而且投资者可 以具备和基金经理一样的技能来复制对冲基金，从而根据b s 模型的无套利理 论得到一个和g i r 类似的偏微分方程( p d e ) 。根据b l a c k 和s c h o l e s 4 1 以及 m e r t o n 【2 0 】的期权定价理论，我们推导定价模型如下。 我们假设f 时刻高水标条款的期权的价格用k = 矿( & ，珥，) 来表示。首先， 根据i t o 定理得出： d k 一( 警+ 譬辞器+ ( p 一日) s 案- ) d t + 盯& 畿妣+ 甏掘( z 3 ) 构造一资产组合n ，它由一份多头期权和数量为的空头对冲基金净资产组成，投 资组合的价值是： = y 一s 考虑到要支付管理费g ，因此 t + 毋= k + 毋一a t & + 出一a t & 9 从而对微分，并代入( 2 3 ) 有 d h t d k 一 d s t 一9 & a d t = ( 警+ 譬辞两0 2 k 蛳- g ) 警咄刊蛐稍f ) 出 巾& 拦埘t 8 t ) d w t + 甏讽 选择t = 畿消除随机项，并代入( 2 + 2 ) 则资产组合的收益是： 掘h 警+ 譬卑裔稍甏硒甄甏皿 第二二章波动率为常数时高水标条款的期权的定价8 如果将投资于无风险资产，假设r 为无风险利率，则在( 幺t + d t ) 时间段内其 收益是r i i 。d t ，在无风险套利条件f ， m 班= ( 警+ 譬簧嚣稍甏+ g t 玩羞) 疵 将i i t = k a t & 以及a t = 畿代入上式，我们从而得出当n a v 低于h w m ，也 即& 鼠时，高水标条款的期权的价格k 满足如下p d e ： 警+ 譬霹器竹叫s 丽o v t 硒鼠孤o v , 州一o & 甄( 2 4 ) 终值条件，也即期权在到期日t = t 时的收益： y ( 曲，坼，t ) = a ( ，h r )( 2 5 ) 其中a ( s t ， b ) 是期权合约中约定的在到期曰时的执行价格( s t r i k ep r i c e ) 的函 数。 对于高水标条款的期权，另一个边界条件就是在s t = 上。假设在t 到t + 时间内n a v 从玩上升到甄+ e ，则在t + a t 时刻h w m 也被调整 到日t + e ，此时基金经理将从即时收益中提取一部分激励费k ，从而使n a v 又 减少至4 皿+ e ( 1 一老) 。然而期权价格在t + & 时亥仍是连续的，即 y ( 皿+ ，甄，t4 - a t ) = y ( h t + ( 1 一忌) e ，口；+ e ，+ t ) 通过t a y l o r 展开，得到 o = y ( 凰+ e ，凰，亡+ t ) 一y ( 风+ ( 1 一忌) ，风+ e , t 4 - 亡) k 簧一6 瓦a v tj 1 l j & ：凰 令越一0 ，一0 ，从而得到边界条件： 瞪一矧i & 诅= 。 皿e ， 因此，在 o s h 。，0 t t ) 上求解方程( 2 4 ) ，( 2 5 ) 以及( 2 6 ) 即可确定高水标条款的期权的价格。 然而正如我们前面所提到的，事实上由于高水标条款的期权是路径依赖的， 所以很难得到一个闭形式的解析解。下面，我们考虑一种特殊的情况一高水标 条款的回望看跌期权，我们将会给出一个该类期权闭形式的解析解。 第二章 波动率为常数时高水标条款的期权的定价9 2 2 一个特例：高水标条款的回望看跌期权 回望期权( l o o k - b a c ko p t i o n s ) 是指持有者可以在期权到期日“回望”期 权的有效期内标的资产价格演化的整个过程，选取最高( 最低) 价格为敲定价 格，购入( 出售) 标的资产。回望期权可以分为多种，最常见的就是具有浮动敲 定价格的和具有固定敲定价格的，这里我们只考虑具有浮动敲定价格的回望期 权。假设标的资产在有效期内所达到的最大价格为s 二。，最低价格为s 。 为到期时的最终价格，则回望看跌( l o o k - b a c kp u to p t i o n s ) 和回望看涨期 权( l o o k - b a c kc a l lo p t i o n s ) 的收益分别为 = ( 。一曲) i 么“= ( s 一s 。伽) 因此人们也经常称该类期权为“买进按低价，卖出按高价”期权( o p t i o n s ：b u y a tt h el o w ，s e l la tt h eh i g h ) 。显然回望期权的收益依赖于标的资产在期权有效 期内价格演化，属于路径依赖期权的一种，路径依赖变量即为标的资产在有效 期内所达到的最大或最小值。g o l d m a n ，s o s i n 和g a t t o 1 1 1 首次全面的研究该 类期权，并给出一个闭形式的解析解。 对于高水标条款的回望看跌新权，显然路径依赖变量郎为h w m ，凰。我们 有， & 日t2 o m r a ( x t s t 为了方便起见，再不引起歧义的情况下我们省掉相关变量的下标t 。我们 假设所有对冲基金遵循最简单的高水标条款，令瓯= 0 ，也即当n a v 没有超 过h w m 时保持h w m 不变。假设高水标条款的回望看跌期权的价格为v k w f ， 由前面的推导我们可以建立高水标条款的回望看跌期权的定价模型，即在区域 ： o s h o o ，0 t t 上求定解问题： 1 0 v h r w 村+ 譬s 2 1 0 2 v u 矿w m + ( r 刊s 等一r v h m = o ( 2 7 ) v h w m ( s ，h ，t ) = m ( 坼一s t ，0 ) ( 2 8 ) 七旦! i 墨兰一o y a x 日w mj 。：碍= o ( 2 9 ) 第二章波动率为常数时高水标条款的期权的定价 注意到高水标条款的回望看跌期权的定价模型和传统的回望看跌期权的定 价模型主要的区别即在边界条件s = h 上。假设传统的回望看跌期权的价格 用坼肋表示，其在s = h 处的边界条件为： 【等弛h = o ( 2 1 0 ) la j i s ： 。 、- 一7 其金融意义为：期权定价在标的资产价格达到极大值的水平t 对极大值的变化 是不敏感的。但是对高水标条款的回望看跌期权来说，由于标的资产价格的极 大值，即h w m 的变化影响到激励费的提取，从而会影响到n a v 的变化。事 实上，传统的网望看跌期权可以看为高水标条款的回望看跌期权的一个特殊情 况，l i 和y a uf 1 9 给出这两种期权的更深层的关系。 在给出高水标条款的回望看跌期权的闭形式的解析解之前，我们先给一个 大家非常熟悉的引理。 引理1 对于如下热传导方程的c a u c h y 问题 堕0 t + 鲎2 警= o如2 ” w l k r = 圣( 。) 其解可以用p o i s s o n 公式表示为： 咖( z ，t ) = 1 1 ( z f ，t ) 垂健) d 其中r ( z e ，t ) 是方程( 2 1 1 ) 的基本解： r ( 。一= 丽1 e 一踽( 。s t t ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 命题1 对于零时刻即期权生效日当天高水标条款的回望看跌期权的价 第二章波动率为常数时高水标条款的期权的定价 值v j l f ( s o ，凰，0 ) 可以表示为： m ( 岛，凰，。) = 一岛湎1 - 0 et _ t 。丽h o ) 1 ( d 1 ) 其中 证明：令 一岛南e 川 + s 0 ( 等一 一s o e 一矿r n ( d 4 ) + h o e - r t n ( d 5 ) ( 孕) 1 ( | ) 0 a + ( 1 一 a + f 1 1 1 ) e - t g 以m + 1 ) 蚓t ( 鼢n ( d s ) 日。是期权生效日当天的h w m 岛是期权生效日当天的n a v ( ) 称为标准正态分布的累计概率分布函数 d l = d 2 = d 3 = d 4 = 型曼堡l ! ：二旦二! ! 望三 盯行 盯行 in。(heso)。-(r-。g+a22)t 口行 川n 多y 娟( 州) 通过直接计算，我们有 a v0 u 代入方 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) o0 z 0 圣( z ) 2 )。z o 从而得到定解在 z r ，0 t 丁 上的c a u c h y 问题： 警+ 壁2 盟o x 2 ：。 ( 2 。4 ) 优。 。 ”7 咖f 扛t = 垂( z )( 2 2 5 ) 选取适当的妒( z ) ，使得上面的c a u c h y 问题的解咖( 蜀t ) 在z = 0 上适合边界条 件( 2 2 3 ) ，也即 面o w + ( a 一口) 朔b = o ( 2 2 6 ) w ( x ，t ) 三影( 。，t )( 茹0 ，0 t t )( 2 2 7 ) 第三章波动率为常数时高水标条款的期权的定价 通过引理1 ，我们可推得 。= 警水叫忉b = 一r ( o ，t ) 妒( o ) + r 健，t ) 【圣幢) + q 垂g ) 】 = 一r ( o ，t ) 妒( o ) + 1 1 ，t ) 妒嬉) + ( 一目) 妒( ) + ( 1 一口) e ( 。一1 m + 一e 。5 卜薄 取妒( z ) 适合以下常微分方程和边界条件： fc ( ) + ( 口一口) 妒恁) = 徊一1 ) e 陋一1 ) f 一口e 。f l 妒( 0 ) = 0 求解得到 出，e e - a ) x ( 南+ 杀各+ 差南e ( 2 a - e - z ) = 一南e ( 2 a - e ) x ) 通过引理1 和( 2 2 7 ) ， ，ur 十 w ( x ，) = r ( z 一，t ) 妒( ) d f + r ( 。一，t ) e ( 1 一曲一e 一】嘶 j 一 j 0 代入妒( ) ，由( 2 2 0 ) ，( 2 1 6 ) ，把w ( x ，t ) 代回原自变量即可得到零时刻高水标条 款的回望看跌期权的价值( 2 1 5 ) 。 2 3 数值算例 下面，我们通过比较高水标条款的回望看跌期权和传统回望看跌期权的 价格差别来考察激励费七和高水标条款对期权定价的影响。首先，我们根据 g o l d m a n ，s o s i n 和g a t t o 1 1 】给出传统回望看跌期权的定价公式 啪= 岛a 。e - r ( t ) n ( b t ) 一x 1 百s m a x ) h ( _ 6 3 ) 卜s o n ( b z ) 一；( 一6 2 ) ( z 2 8 ) 其中 ln(儡)+(一r十盯22妒bl ：! 竺f 坠堡2 量! 芝! 鲨 o q t 6 2 = b 1 一盯、t 6 3 = 坚坐崭型塑 、2 p g ) “2 一 第二章 波动率为常数时高水标条款的期权的定价 1 4 这个定价公式同样可以通过求解方程( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) 得到( s k 。= 凰) 。显然，高水标条款的回望看跌期权定价比传统回望看跌期权定价复杂的 多。 为了考察激励费k 和h w m 的初始值月j 对期权定价的影响，我们这里均不 考虑管理费，即令9 0 。我们取表2 1 中的数据作为实例进行计算。 y o ( s 。) s o r 仃kt 1 0 01 0 05 2 0 2 0 3 i n o n t h 由公式( 2 1 5 ) ，( 2 2 8 ) 我们得到高水标条款的回望看跌期权和传统回望看 跌期权的价格分别为7 4 9 3 7 ，7 5 8 0 5 ，相差8 6 8 个基点，可见两种期权的理论价 格差别不是很大。从图2 1 我们可以看到，激励费用越高，高水标条款的回望看 跌期权越低，其和传统的回望看跌期权的价格差剐也就越大；相反，当激励费收 取趋于零时，高水标条款的回望看跌期权的价格逐渐升高，并趋于回望看跌期 权的价格。 图2 h 激励费k 对期权价格的影响 下面我们考察h w m 的初始值对高水标条款的回望看跌期权定价的影响。 注意到定价公式的特点，我们下面可以通过改变初始净资产值和初始高水标值 第二章波动率为常数时高水标条款的期权的定价1 5 的比值岛凰来考察价格变化。我们仍以表2 1 中的部分相关数据作为实例进 行计算( 即除岛三七之外) ，表2 2 给出了这两种期权的价格随岛上，o 改变而变 化的情况2 。计算结果表明传统的回望看跌期权一般都比高水标条款的回望看 跌期权价格要贵；而且随着s 0 王b 趋于零，两种期权的价格趋予相同( 图2 2 ) 。 显然，岛凰越小，表明初始h w m 越比初始n a v 高，从而使n a v 达到当前 h w m 并超过该h w m 变得异常困难，也就使得激励费收取的机会变得非常 小。当h w m 大到使收取激励费几乎不可能的时候，此时的高水标条款的回望 看跌期权相当于一张传统的回望看跌期权。图2 3 给出当岛凰在0 7 到1 0 变化 时，两种期权的价格差别。可以看到在取表2 1 中的相关参数为依据时，两种期 权的价格在岛上而接近于0 7 时价格差别已经缩小的3 个基点左右；而在岛凰 取9 0 - 9 5 之间的值时价格差别最大。 2 对于传统的回望看跌期权，h o 对应其s _ 。 第二章 波动率为常数时高水标条款的期权的定价 表2 2 ：高水标条款和传统的回望看跌期权随岛王变化的价格比较 岛日oh w m t r d 价格差别 第二章 波动率为常数时高水标条款的期权的定价 1 7 i r , i t l i in a v ，i r m i t h u lh w m 图2 2 ：岛玩对两种回望看跌期权价格的影响 i n i t i a l n a v ，i n l l 日m i h 删 图2 3 ：岛凰变化时两种回望看跌期权的价格差别 第三章随机波动率下高水标条款的期权的定价 3 1 随机波动率模型 3 1 1对冲基金收益率波动的统计特性 对冲基金的收益特征( 波动率，偏度和峰度等) 在对冲基金及其相关衍生品 的定价中是一个非常薰要的因素。上一章，我们在对冲基金的收益分布服从对 数正态分布以及波动率恒定不变的前提下，研究了高水标条款的对冲基金期权 的定价。然而在现实世界中，对冲基金的波动率并非恒定不变，而与对冲基金 的净资产值以及其他很多因素相关。此外，对冲基金通常又被称为“以技能为 基础的投资策略”，这意味着对冲基金的收益在很大程度上依靠经理的技能而 非其标的资产市场价格的变动。s t e f a n ol a v i n i o 1 8 通过研究指出，如果一个对 冲基金经理的技能越高，他们的收益就越不可能服从( 对数) 正态分布。因此， 简单的收益分布服从对数正态分布以及波动率恒定不变的假设有可能使高水标 条款的期权定价公式出现定价偏差。 k a t 和l u 【17 】曾对3 7 6 种个体对冲基金和1 0 3 个基金的基金( f u n d so fh e d g e f u n d s ) 分别从1 9 9 4 年7 月到2 0 0 1 年5 月的月度净收益进行统计研究，他们计算出 所有这些对冲基金的收益的均值，标准差，偏度，峰度以及他们与标的资产 的相关系数。结论之一就是这些对冲基金的平均收益分布都呈现出定的偏 斜和尖峰。p 6 r e zf 2 3 也曾对c s f b t r e m o n th e d g ef u n di n d i c e s 下的2 3 0 0 个 从1 9 9 4 年1 月到2 0 0 3 年的对冲基金进行统计研究，通过计算这些对冲基金1 0 9 个 月的对冲基金的月收益率，得出几种对冲基金策略收益的多种统计特性，我们 把其中的偏度和峰度列于表3 1 。 事实上，大量的实证研究表明其他一些金融资产的真实收益分布，如股票 的收益分布等也是明显偏离正态分布，呈现出偏斜、厚尾和尖峰的特性。对于 标的资产价格服从对数正态分布、波动率为常数的假设，学者们提出多种修正 的方法。比如针对标的资产收益率所呈现的尖峰厚尾等统计特征，提出多种其 他分布函数来取代对数正态分布的假设；对波动率为常数的修正提出确定性波 动率模型和随机波动率模型等。其中，随机波动率模型( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y m o d e l ，s vm o d e l ) 近几年被广泛的研究，得到极大的发展。 第三章 随机波动率下高水标条款的期权的定价1 9 对冲基金类型偏度( s k e w n e s s ) 峰度( k u r t o s i s ) 3 1 2 随机波动率模型介绍 很多实证研究表明，随机波动率模型( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l s v m o d e l ) 不仅可以修正b - s 模型中波动率为常数的假设，能很好的刻画一些金 融资产的真实波动率情况，如波动率微笑( v o l a t i l i t ys m i l e ) 问题，波动率群 聚( c l u s t e r i n ge f f e c t ) 现象等，还可以解决标的资产的收益分布非( 对数) 正态 问题。通过修改随机波动率模型的参数，可以产生多种符合相应资产收益的分 布。因此，s v 模型更能反映真实的金融市场。 不同的s v 模型都是通过指定不同的描述瞬时波动率动态的特定过程来建 立期权定价模型，通常s v 的连续模型都可以用两组s d e 表示为 d = 胁& d t + 吼& d w t( 3 1 ) d k = a ( t ，k ) d r + b ( t ，k ) d 施( 3 2 ) 这里，叫。和魂均为标准布朗运动，相关系数为p ，即d 毗d 魂= 肚；k 是决定波 动率吼的一个标的变量过程，我们可以写为吼= ，( k ) ，其中，是一个取值为正 的函数。根据m 所服从的随机过程的具体形