（运筹学与控制论专业论文）幂期权定价问题研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘摘 要要 本文主要考虑欧式幂期权定价的两个问题：保险精算方法下支付连续红利的两 类欧式幂期权定价问题以及带交易费用的欧式幂期权定价问题。 首先本文的第二部分讨论支付连续红利的欧式幂期权定价问题，我们利用保险 精算方法分别考虑了两类欧式幂期权定价问题，并分别得到它们的定价公式，同时 得到欧式看涨看跌幂期权的平价关系式。 将得到的欧式幂期权定价公式与经典的 b-s 公式进行比较，得出经典的 b-s 公式是欧式幂期权的一种特殊形式。 其次，在第三部分通过考虑交易费用会引起股票价格的波动，对无摩擦市场的 股票波动率进行修正，利用得到的波动率的修正值考虑带有交易费用的欧式幂期权 的定价问题。同样利用保险精算方法得到有交易费用的欧式幂期权的解析解。 关键词：关键词： 期权定价 欧式幂期权 连续红利 交易费用 保险精算 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii abstract in this paper, we mainly discuss the two questions of the european power options: one is considering two kind of power option pricing with continual dividends by using the insurance actuarial method, the other is considering the power option pricing with transaction costs. first of all, we discuss the european power option pricing with continual dividends. which uses the insurance actuarial method. we considering the two kinds of european power option pricing formula separately, simultaneously, we also get the call-put parity of power option formula. then, we compare the power option formula with the classic b-s formula, and found that the classis b-s formula is one of the special form of the power option. secondly, in the third part, we amend the volatility of the stock in the frictionless market by considering the stock with the transaction cost. and then ,we discuss the power option pricing with the transaction cost. according to using the insurance actuarial method, we obtained the power option pricing formula with transaction cost. key words: option pricing, european power option, continual dividends, transaction costs, insurance actuarial method. 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。近我所知，除文中已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集 体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在_年解密后适用本授权数。 本论文属于 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 绪论绪论 1.1 选题背景选题背景 目前随着国际金融市场的发展，金融衍生工具发展迅猛。在世界主要的金融市 场中（如纽约、伦敦、法兰克福、新加坡和香港等） ，金融衍生工具已经成为金融市 场交易中的主要工具。仅在 2008 年，全球各种衍生证券的交易总合就己超过 2800 万亿美元，而截止到 1998 年底，全球各种衍生证券的交易总和也就仅有 3 万亿.金 融衍生工具市场发展如此迅猛以至于对金融衍生工具进行研究具有重要的现实意 义。而期权作为一种最基本的金融衍生工具，对它的研究就有很重要的实际意义 期权定价问题成为期权交易中心的核心问题。其原因在于在期权合约中期权价 格是唯一随市场供求而改变的变量，并且它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况。 1973年fischer.black与myron.scholes1提出了著名的black一seholes期权定价模型。 同年 metron2考虑了支付连续红利率的期权定价问题，同时给出了修正后的 b 一 s 模型，从而使得该模型更符合实际市场中。black、scholes、metron的期权定价理论 开辟了金融学研究的新天地，是现代金融学最杰出的成就之一。近三十多年来，金 融衍生产品定价的发展几乎都是在 b 一 s 模型的基础上进行的。1997 年由于 b-s 模 型以及由此产生的期权定价理论方面的一系列贡献， scholes 和 merton获得了诺贝尔 经济学奖。 现在，由于西方金融市场中资产证券化业务的蓬勃发展，期权发挥着越来越显 著的作用。期权在金融市场中的地位也越来越重要。而仅在 1998 年初，股票期权的 交易市值已达 1480 亿美元。期权由于其损益状态图的非线性和具有特殊性能的时间 价值，通过组合可以构造出具有许多奇异的收益，风险特异的新型金融产品。而且， 在各种金融交易和金融机构的财政活动中，还存在许多隐蔽的期权。期权定价理论 在所有这些方面都提供了重要的理论基础。而现在，它的应用已经进一步引申到实 物资产决策上去。 中国在经济发展和改革开放的过程中，金融市场逐渐发育并于世界接轨。尤其 是自我国加入 wto 以来，金融市场的发展更为迅猛。因此各种新型金融产品的出现 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 和新型金融交易的引入，是势不可避免的。而目前我国也正在筹备推出金融期权， 因此，开展期权定价理论的研究是非常必要的。 1.2 期权定价理论的形成与发展期权定价理论的形成与发展 1.2.1 期权定价理论的形成期权定价理论的形成 最早提出期权定价模型是在 1900 年，法国数学家巴舍利耶（louis bachelier）r 发表了博士学位论文投机交易理论 （theoride de la speculation） 3，这篇论文被公 认为现代金融学的里程碑。在他的这篇论文中，他给出了股票价格运行的随机模型， 即股票价格是随机游走的，即假设股票价格是一个没有漂移和每单位时间具有方差 的绝对 brown运动（也称算术 brown运动） ，并由此出发得到看涨期权的预期价格。 = + 其中 和 是标准的累计正态函数和正态密度函数。 在 louis bachelier 的论文中，有一些不足之处，比如股票价格可能出现负值，期 权与股票风险相同等， 这些显然与实际市场是不相符的。 虽然 louis bachelier 的研究 结果在实际应用中收到限制，但这毕竟代表着金融数学的诞生，还是为后人的研究 指明了方向。 1961 年，sprenkle c.m.4发表了认股权价格是预期和偏好的指示器一文， 在这篇论文中，他假设股票价格是服从对数正态分布，并且方差和均值是固定的， 在这篇文论文中，他修正了 louis bachelier 的不足之处，即股票价格正向漂移，避免 了股价出现负值的情况，同时给出了一个看涨期权的定价公式 = 1 1 2 其中 1= 1 + + 1 2 2 ，2= 1 为股票价格平均增长率，为风险厌恶系数。 1964 年，paul samuleson5在认股权定价的合理理论一文中，对 l.bacherlier 的模型进行修正，他假设期权和股票的预期收益率因风险特性的差异而不一致，这 就克服了 louis bachelier 的模型中假设股票价格和期权的收益率相同的不现实的情 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 况。在 paul samuleson 所提出的新模型的基础上，他进一步研究了看涨期权定价问 题(同时研究此问题的还有 j.baness（1964）6和 c.sprenlde7（1965） 。他们给出的 看涨期权定价公式为： = 1 2 其中 1= + + 1 2 2 2= 1 = 1 2 2 2 此处， s和c分别是期权的价格vt和原生资产的价格st在 = 时刻期望回报值。 在实 际市场下，这个定价公式缺乏应用价值，因为在他们的论文中假设期权和股票价格 的期望收益率是依赖于投资者的个人偏好，而这在现实情形下是不可能的。 1.2.2 black-scholes 期权定价理论期权定价理论 由于期权本身所具有的特点，它能使买方能够避免坏的结果，同时有能从好的 结果中受益。这就达到了投资者所希望的规避风险的目的，因此作为最基本的一种 金融衍生工具，期权的发行受到了广大投资者的青睐，在短短几年的时间里，就得 到了迅速的发展。不仅有场内交易的期权，还出现了场外交易的期权。期权正式发 行是在 1973 年，由芝加哥委员会期权交易所发行股票期权。仅在 1998 年，股票期 权市值就达到 1480 亿元，由此可见其发展之迅速。因此，我们可以看出了解期权定 价具有重要的现实意义，不仅是对于期权本身有很重要的意义，对于其它的金融衍 生工具的定价也具有很重要的意义。 也就是在期权开始正式发行的这一年（即 1973 年） ，出现了金融史上开创性的 经典论文，这篇论文所得到的结果在期权定价史上至今仍占据主导地位，后来所得 出的期权定价公式都是对这一公式的改进。这就是著名经济学家 black 和 scholes1 发表的关于期权定价的开创性的经典论文期权定价及公司债务 ，在这篇文章中， 他们给出了著名的 black-scholes 期权定价公式。这也是的期权定价理论成为了经济 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 学中唯一一个先于实践的理论，同时这个理论也引发了第二次华尔街革命。在这篇 论文中，black 和 scholes 对于模型作了如下假设： (1) 原生资产价格演化遵循几何布朗运动过程，即 = + (2) 原生资产不支付股息； (3) 原生资产不支付交易费用（transaction cost）和税收（tax） ； (4) 不存在无风险的套利机会； 在这篇文章中，假设原生资产价格（可认为是股票价格）的演化服从对数正态 分布，且有固定的均值和方差。在求解过程中建立一个动态对冲组合，从而风险由 于完全的对冲而消除掉，这样就使得所得的方程中不再含有随机项，从而将所有的 投资者置于一个风险中性环境中。因此原生资产的期望收益率就是无风险利率，而 原生资产的价格以无风险利率折现。然后由于市场是无摩擦的，不存在套利，就可 以使用无套利原理，这样他们就得出了如下的随机微分方程： + + 1 2 22 2 2 = 而且知道期权在到期日的价格，对上边的的随机微风方程进行求解，他们就推 导出无红利支付的欧式看涨期权定价公式： = 1 2 其中 1= 1 + + 1 2 2 ,2= 1 与 paul samuleson所得的结果相比较， 这里没有出现和， 取而代之的是无风 险利率 r。 black-scholes 公式的创新之处在于它把所有投资者引向同一个风险中性世 界，在这个风险中性世界中所以投资者所得的投资回报率都是无风险利率。同年， merton 教授又对 b-s 模型加以推广和完善，得到了支付连续股息的欧式看涨期权的 定价公式。由于他们在期权定价理论的一系列贡献，1997 black 和 merton获得了诺 贝尔经济学奖。在 b-s 期权定价模型得到的期权价格中包含原生资产资产价格、敲 定价格、原生资产价格的波动率、无风险利率以及期权到期日等几个变量，因此在 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 b-s 模型出现不久，这个定价公式就被编成计算机程序，交易者只需键入以上变量， 就可以得到期权的价格，而与实际价格相比较，发现用 b-s 定价公式得到的期权价 格与实际价格基本接近，因此，期权定价理论也被认为是经济学中唯一一个先于实 践的理论。 1.21.2.3.3 期权定价理论的近期发展期权定价理论的近期发展 虽然 b-s 公式在经济金融学上具有开创性的意义，但其中的假设条件还是有些 与实际市场不符合，为了得到更符合实际情况的期权定价理论，b-s 模型之后的学者 们试图放宽 blackscholes 模型中的某些假设条件，同时寻求更贴近实际市场情形 的期权定价模型，并对所提出的模型进行实证检验和应用研究。 伴随着金融衍生工具市场的迅猛发展，尤其是期权市场的发展，金融工程师们 利用现实的数据，寻求更贴近实际市场的期权定价模型，并且取得了许多优秀成果， 这在一定程度上极大地丰富和发展了期权定价理论。而最近几十年来对期权定价理 论研究主要集中在对 black-scholes 模型的改进上，如对股票支付红利、无风险利率、 汇率、股票价格波动率、交易费用等的随机性研究。 为了与金融市场实际情况更好地吻合，满足更多投资者的需求，就需要考虑各 种实际情况，比如股票分红。在实际市场中，考虑到期权有效期内股票价格经常需 要支付红利，为了使期权定价理论更贴合实际，对有红利支付的期权定价问题进行 研究很有必要，同时也就有重要的现实意义。1973 年 black 和 scholes 提出 b-s 模型 不久， merton2就对这个模型进行了修改， 在得到的新的模型中考虑了股票分红情况， 其中假设股票支付连续红利率，并且无风险利率、期望收益率、股票价格波动率都 是时间的函数，从而得到了有红利支付的欧式看涨期权定价公式： = () 1 () 2 其中 1= ln s x + r h q h + 1 2 2 dh t t 2 dh 2= 1 2 dh 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 之后又有很多学者致力于支付红利的期权定价理论研究中，1977 年 geske，roll8 考虑了确定红利情况下无防备的美式期权定价公式问题； 1978 年 geske9给出了随机 分红情况下欧式期权定价模型，并给出了解析解；1981 年 whaley10考虑支付红利的 美式看涨期权定价问题；1995 年 kim11提出了一种线性分红策略给出了相应的线性 分红期权定价模型；2002 年 chance12考虑了离散随机分红时的欧式期权定价问题, 他假设股票在某一时刻支付固定红利，给出了离散随机分红时的期权定价模型，并 且利用风险中性测度原理给出了离散分红时的欧式期权定价公式。后来学者又把股 票分红问题考虑到了各种定价模型中，如刘韶跃、杨向群13分数布朗运动中标的资 产有红利支付的欧式期权定价, joad14考虑了定期支付红利的跳跃扩散模型的期权 定价问题等等。 交易费用也是一个不可忽略的因素，它也对期权价格有很重要的影响，为了使 模型更贴近现实情况，最近二十年来，又有很多学者研究带有交易费用的期权定价 模型，对经典的期权定价模型进行修正，得到了更符合实际市场的期权价格。1985 年 leland15将交易费用考虑到期权定价模型中，在他的这篇文章中采用了在离散时 刻修改对冲组合的方法，同时根据股票价格服从几何布朗运动的特性，得到了股票 价格波动率的修正值，从而改进了 b-s 模型，之后又有很多学者都致力于带交易费 用的期权定价理论研究。1991 年 davis 在研究带有交易费用的期权定价模型中，把 带交易费用的模型转化为一个随机控制问题，从而得到带有交易费用的期权定价公 式。1992 年 vorst16等考虑了带有交易费用的 crr 模型，在他的研究中，他利用对 冲原则给出了一种离散算法，从而修正了模型得到了新的期权定价公式。2000 年 stettner17分别考虑了无交易费用、具有比例交易费用和凹交易费用三种情况下的期 权定价模型，然后利用等价鞅测度的方法分别给出这三种情况下的离散时间欧式期 权的买卖价格。2004 年，monoyios18研究了带有交易费用的欧式期权定价模型，在 求解过程中，他利用了马尔可夫链逼近的有效算法得到欧式期权定价公式，这就有 效地避免了以前求解过程中复杂的随机优化问题。2005 年吴永红19等在股票随机分 红的情形下，给出了带有交易成本的欧式期权的定价公式。 为了在竞争中处于主导地位和争取各类客户，金融工程师运用期权的理论和分 析方法设计出各种不同特征的期权新品种。出于金融市场的需要，出于金融市场的 需要，期权的创新种类不胜枚举，它们大都属于奇异期权，诸如彩虹期权、一篮子 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 期权、双币种期权、百慕大期权、关卡期权、亚式期权、回顾型期权、幂期权、多 项式期权等。 目前已有不少人研究幂期权的定价问题，得出了不同形式的定价公式。2006年 stefan macovschi 和 francois quittard-pinon20用在无风险利率、股票预期收益率、 股价波动率都是常数情形下，利用鞅定价的方法讨论了b-s 模型下的第一类幂期权 定价问题，并给出了解析解。在stefan macovschi 和 francois quittard-pinon20的文 章中同时给出了在股票预期收益率、股价波动率都是常数的情形下给出了随机利率 下的幂期权定价模型，并且利用鞅定价方法给出了随机利率下的幂期权定价公式， 他们同时考虑了股价服从纯粹跳跃levy过程下的幂期权定价模型。在国内，在王亚 军、张艳21等的文章中给出了红利率、股票预期收益率、股价波动率都是常数下的 情形下幂期权定价模型，同时利用偏微分方程基本解的方法，得到了非风险中性意 义下的第一类幂函数族期权的定价公式。陈万义22给出了当无风险利率、股价波动 率均为连续函数时的幂期权定价模型。同时利用鞅定价方法，推导出了处于实值状 态时的欧式幂期权定价公式。肖艳清23等给出了当无风险利率、股价波动率以及股 票的预期收益率都是常数的情形下幂型屏障（关卡）期权的定价问题。赵佃立24给 出了当无风险利率、股价波动率、红利率都是连续函数，并且标的资产受多个分数 布朗运动影响情形下的欧式幂期权定价问题，基于风险中性概率测度假设下，给出 了标的资产受多个分数布朗运动影响情形下的两类欧式幂期权定价公式，并分别求 出了涨跌欧式幂期权的平价关系。田存志25给出了支付固定红利的欧式幂期权定价 模型，同时也考虑了股息率变化的情况，利用鞅定价的方法推导出了支付固定红利 的定价公式，在这篇论文中也讨论了相关参数的避险功能。崔立梅26 等在无风险利 率，股票预期收益率以及股票波动率都是连续函数情形下，利用风险中性测度原理 给出了欧式看涨（看跌）幂期权的定价公式及其平价关系式。 1.3 本文的主要研究工作及意义本文的主要研究工作及意义 为了在竞争中处于主导地位和争取各类客户，金融工程师运用期权的理论和分 析方法设计出各种不同特征的期权新品种。出于金融市场的需要，出于金融市场的 需要，期权的创新种类不胜枚举，它们大都属于奇异期权，诸如彩虹期权、一篮子 期权、双币种期权、百慕大期权、关卡期权、亚式期权、回顾型期权、幂期权、多 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 项式期权等。 幂期权作为一种新型的变异期权，其在到期日的价值不是简单的用标的资产价 格与敲定的执行价格相比较，而是用标的资产家的某个指数幂与敲定执行价格相比 较。与传统的标准期权相比，幂期权具有放大期权风险的作用，也有更大的灵活性， 能适应不同风险偏好的投资者要求，而且其价值对标的资产价格变化的敏感性明显 增强。因此，该种期权多见于场外市场，常被那些希望增加风险而获得高额回报的 投机人士所运用。与其他的期权相比，幂期权是一种结构简单且具有较低期权费的 新型期权，在金融市场中已受到广大投资者的青睐。 本文主要考虑了欧式幂期权定价问题，在更符合实际市场情况下建立了支付连 续红利的两类欧式幂期权的定价模型，并利用保险精算方法分别给出了两类欧式幂 期权的定价公式，并在此基础上近一步讨论了带有交易费用的欧式幂期权的定价公 式。 本文的第二章主要讨论支付连续红利的两类欧式幂期权定价问题，我们首先介 绍了不支付红利情形下的欧式幂期权定价模型及得到的定价公式，然后我们建立了 两类欧式幂期权支付红利的期权定价模型并利用保险精算方法给出了欧式幂期权定 价公式及欧式看涨看跌幂期权的平价关系。同时本文还进行了进一步的讨论：首先 将得到的欧式幂期权定价公式与经典的 b-s 公式进行比较，得出经典的 b-s 公式是 欧式幂期权的一种特殊形式；并且根据得到的欧式幂期权的看涨看跌平价公式，可 以得到当 = 1时此平价公式与传统的 b-s 市场下的平价公式是相同的，从而完善了 欧式幂期权定价理论。 在第三章我们考虑到交易费用会引起股票价格的波动从而影响股票价格的波动 率的原理，采用 leland 的方法对无摩擦市场的股票波动率进行修正，给出了有交易 费用的欧式期权的定价公式。然后我们考虑欧式幂期权的定价问题，利用得到的股 票波动率修正值建立了带有交易费用的欧式幂期权的定价模型，同样利用保险精算 方法给出了带有交易费用的欧式看涨（看跌）幂期权的定价公式，并给出了看涨看 跌幂期权平价公式。根据所得到的定价公式，比较可以看出当参数n = 1,l = 0时， 此定价公式即为经典的 b-s 公式，从而再一次扩充了欧式幂期权的定价理论。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 9 2 有连续红利的幂期权有连续红利的幂期权期权定价期权定价 2.1 引言引言 为了在竞争中处于主导地位和争取各类客户，金融工程师运用期权的理论和分 析方法设计出各种不同特征的期权新品种。出于金融市场的需要，出于金融市场的 需要，期权的创新种类不胜枚举，它们大都属于奇异期权，诸如彩虹期权、一篮子 期权、双币种期权、百慕大期权、关卡期权、亚式期权、回顾型期权、幂期权、多 项式期权等。 幂期权作为一种新型的变异期权，其在到期日的价值不是简单的用标的资产价 格与敲定的执行价格相比较，而是用标的资产家的某个指数幂与敲定执行价格相比 较。与传统的标准期权相比，幂期权与其它期权相比，它能够放大风险，而且相对 的也比其它期权有灵活性，因此，能满足不同风险偏好的投资者的要求。与其他的 期权相比，幂期权是一种结构简单且具有较低期权费的新型期权，在金融市场中， 已受到广大投资者的青睐。 幂期权是一种最简单的非线性支付的期权，如在到期日为 t，执行价格为 x 的 n 次幂期权，对于欧式看涨幂期权而言一般有如下两种形式的支付方式42： = , 0, 2.1.1 = , 0, 2.1.2 其对应的看跌欧式幂期权到期支付表示为： = , 0, 2.1.3 = , 0, 2.1.4 我们根据到期日的执行条件不同，把期权 2.1.1 和 2.1.3 称为第一类欧式幂期 权，期权 2.1.2 和 2.1.4 为第二类欧式幂期权。 目前已有不少人研究幂期权的定价问题，通过建立各自的模型得出了不同形式 的定价公式。2006年stefan macovschi 和 francois quittard-pinon20用在无风险利率、 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 股票预期收益率、股价波动率都是常数情形下，利用鞅定价的方法讨论了b-s 模型 下的第一类幂期权定价，得出了一张到期日为t，执行价格为x的欧式第一类看涨的n 次幂期权的价值为 = 1 +1 2 2 2 1 2 其中 1= + + 1 2 2 ,2= 1 在stefan macovschi 和 francois quittard-pinon20的文章中同时给出了在股票预 期收益率、股价波动率都是常数的情形下给出了随机利率下的幂期权定价模型，并 且利用鞅定价方法给出了随机利率下的幂期权定价公式，他们同时考虑了股价服从 纯粹跳跃levy过程下的第一类幂期权定价模型。在国内，在王亚军、张艳21等的文 章中给出了红利率、股票预期收益率、股价波动率都是常数下的情形下幂期权定价 模型，同时利用偏微分方程基本解的方法，得到了非风险中性意义下的第一类欧式 幂期权的定价方程，得到了如下的定价公式 = 1 +1 2 2 2 1 2 其中 1= + + 1 2 2 2= + 1 2 2 陈万义22给出了当无风险利率、股价波动率均为连续函数时的第一类欧式幂期 权定价模型。同时利用鞅定价方法，推导出了处于实值状态时的欧式幂期权定价公 式。肖艳清23等给出了当无风险利率、股价波动率以及股票的预期收益率都是常数 的情形下幂型屏障（关卡）期权的定价问题。赵佃立24给出了当无风险利率、股价 波动率、红利率都是连续函数，并且标的资产受多个分数布朗运动影响情形下的欧 式幂期权定价问题，基于风险中性概率测度假设下，给出了标的资产受多个分数布 朗运动影响情形下的两类欧式幂期权定价公式，并分别求出了涨跌欧式幂期权的平 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 价关系。田存志25给出了支付固定红利的欧式幂期权定价模型，同时也考虑了股息 率变化的情况，利用鞅定价的方法推导出了支付固定红利的定价公式，在这篇论文 中也讨论了相关参数的避险功能。崔立梅26 等在无风险利率，股票预期收益率以及 股票波动率都是连续函数情形下，利用风险中性测度原理给出了欧式看涨（看跌） 幂期权的定价公式及其平价关系式。 为了与金融市场实际情况更好地吻合，满足更多投资者的需求，就需要考虑各 种实际情况，比如股票分红。在实际市场中，考虑到期权有效期内股票价格经常需 要支付红利，为了使期权定价理论更贴合实际，对有红利支付的期权定价问题进行 研究很有必要，同时也就有重要的现实意义。1973 年 black 和 scholes 提出 b-s 模型 不久， merton2就对这个模型进行了修改， 在得到的新的模型中考虑了股票分红情况， 其中假设股票支付连续红利率，并且无风险利率、期望收益率、股票价格波动率都 是时间的函数，从而得到了有红利支付的欧式看涨期权定价公式： = () 1 () 2 其中 1= ln s x + r h q h + 1 2 2 dh t t 2 dh 2= 1 2 dh 之后又有很多学者致力于支付红利的期权定价理论研究中，1977 年 geske，roll8 考虑了确定红利情况下无防备的美式期权定价公式问题； 1978 年 geske9给出了随机 分红情况下欧式期权定价模型，并给出了解析解； 1981 年 whaley10考虑支付红利的 美式看涨期权定价问题；1995 年 kim11提出了一种线性分红策略给出了相应的线性 分红期权定价模型；2002 年 chance12考虑了离散随机分红时的欧式期权定价问题, 他假设股票在某一时刻支付固定红利，给出了离散随机分红时的期权定价模型，并 且利用风险中性测度原理给出了离散分红时的欧式期权定价公式。后来学者又把股 票分红问题考虑到了各种定价模型中，如刘韶跃、杨向群13分数布朗运动中标的资 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 产有红利支付的欧式期权定价, joad14考虑了定期支付红利的跳跃扩散模型的期权 定价问题等等。 本章节我们考虑了连续支付红利的幂期权定价，在预期收益率 、红利率 和波动率 都表示成时间的函数的情形下， 建立了支付连续红利的两类欧式幂期权 定价模型，并利用 mogens bladt 和 tina hviid rydberg7所提出的保险精算方法，给 出了支付连续红利的两类欧式幂期权的定价公式以及看涨看跌期权之间的平价公 式。 2.2 欧式期权的保险精算方法欧式期权的保险精算方法 mogens bladt 和 tina hviid rydberg27在 1998 年最先提出保险精算方法， 这种方 法的实质就是利用公平保费原理将期权定价问题转化成保险问题。即如果投资者购 买了一份期权，那么到期权到期日之前，期权出售者相应地承担一定潜在的风险， 保险问题即是为这一风险加上了保险，而这份保险的保费就是期权的价格，也就是 以期权出售者所承受风险的大小来衡量期权价值的大小。这种方法的基本方法就是 标的资产（即风险资产）以期望收益率折现，无风险资产按以无风险利率折现。 定义 2.2.126 随机过程 ； 0在 ， 区间上产生的期望收益率被定义为 = 其中 为 t 时刻 的连续复利收益率。 定义 2.2.226 欧式期权的保险精算价值为， 当期权被执行时， 股票到期日的折现 值与执行价的现值的差，在股票价格实际分布概率测度下的期望值。资产的折现价 的计算方法是无风险资产（确定的）按无风险利率折现，风险资产（随机的）按期 望收益率折现。 因此对于欧式幂期权而言，其在保险精算方法下的价值被定义为：当期权被执 行时，标的资产到期日的折现值减去执行价格的折现值。因此第一类欧式幂期权在 到期日被执行的充要条件是： 欧式看涨幂期权为： 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 欧式看跌幂期权为： 而第二类欧式幂期权在到期日被执行的充要条件是： 欧式看涨幂期权为： 欧式看跌幂期权为： 我们将将保险精算方法运用到幂期权的定价问题上，因此有如下结果 引理 2.2.126 对于敲定价格为 x，到期日为 t 的欧式幂期权而言，设 ， 和 ， 分别表示欧式看涨和看跌期权的价格，则由保险精算方法得第一类欧式看涨 看跌幂期权的价格分别为： , = 0 0 , = 0 0 将同样的方法应用到第二类欧式幂期权问题上，得到如下结果： 引理 2.2.2 对于敲定价格为 x，到期日为 t 的欧式幂期权而言，设 ， 和 ， 分别表示欧式看涨和看跌期权的价格