（应用数学专业论文）menger概率内积空间的基本理论.pdf

摘要 摘要 本文的目的是研究概率内积空间的结构，借助半内积这个工具，建立概率 内积空间上的s c h w a r z 不等式，正交投影定理及r i e s z 表示定理 全文包括三个部分 作为本文的准备，在第一章主要介绍概率内积空间的定义，概率内积空间的 收敛性与完备性概念同时引入半内积这一新的概念，并且研究它的一些简单 的性质 第二章借助于半内积这个工具在一般的分布函数集条件下建立了概率内积 空间中的s c h w a r z 不等式与平行四边形公式然后讨论了半范数与半内积的连 续性利用半范数来刻画概率内积空间点列的收敛与空间的完备性 第三章研究了概率内积空间中元素的正交性，引入了元素的正交分解，正交 投影的概念，建立了极小化向量定理及投影定理最后利用半内积工具得到了 概率内积空间上连续线性泛函的r i e s z 表示定理 关键词：概率内积空间，半内积，正交，s c h w a r z 不等式，r i e s z 表示定理 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st or e s e a r c ht h ep r o b a b i l i s t i ci n n e rp r o d u c ts p a c e s w i t ht h et o o lo fs e m i i n n e rp r o d u c t , s c h w a r zi n e q u a l i t y , o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n t h e o r e ma n dr i e s zr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo fp r o b a b i l i s t i ci n n e rp r o d u c ts p a c e sa r e e s t a b l i s h e d t h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e st h r e ep a r t s ： i nc h a p t e r1 ，t op r e p a r ef o rt h en e x tp a r t ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no f p r o b a b i l i s t i ci n n e rp r o d u c ts p a c e s ，t h ec o m p l e t e n e s sa n dc o n v e r g e n c eo fp r o b a b i l i s t i c i n n e rp r o d u c ts p a c e s t h ed e f i n i t i o no fs e m i - i n n e rp r o d u c ti s g i v e n t h e nt h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h i sk i n do fs e m i i n n e rp r o d u c ta r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r2 ，谢t l lt h et o o lo fs e m i - i n n e rp r o d u c t ，s c h w a r zi n e q u a l i t ya n d p a r a l l e l o g r a mf o r m u l ao fp r o b a b i l i s t i ci n n e rp r o d u c ts p a c e sa r ee s t a b l i s h e di ng e n e r a l d i s t r i b u t i o nf u n c t i o ns e t t h e nt h ec o n t i n u i t yo fs e m i - n o r ma n ds e m i i n n e rp r o d u c ti s d i s c u s s e d w ed e s c r i b ec o n v e r g e n c eb ys e m i - n o r m t h e nt h ec o n v e r g e n c eo ft h e p o i n ts e q u e n c ea n dc o m p l e t e n e s so fp r o b a b i l i s t i ci n n e rp r o d u c ts p a c e sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s s e dt h eo r t h o g o n a l i t yo fe l e m e n t si nt h ep r o b a b i l i s t i c i n n e rp r o d u c ts p a c e s t h ed e f i n i t i o no fo 吡o g o n a ld e c o m p o s i t i o na n do r t h o g o n a l p r o j e c t i o na r ei n t r o d u c e d m i n i m u mv e c t o rt h e o r e ma n dp r o j e c t i o nt h e o r e ma r e e s t a b l i s h e d a tl a s t ，t h er i e s zr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo fp r o b a b i l i s t i ci n n e rp r o d u c t s p a c e si se s t a b l i s h e db ym e a n so fs e m i i n n e rp r o d u c t k e y w o r d ：p r o b a b i l i s t i ci n n e rp r o d u c ts p a c e s ，s e m i i n n e rp r o d u c t ，s c h w a r z i n e q u a l i t y , r i e s zr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m i i 刖舌 、上j _ 日i j吞 1 9 4 2 年，k m e n g e r 引入了概率度量空间( p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e ，简记为p m 空间) 的概念，其基本思想是认为空间中元素之间的距离具有随机性，从而不是用非负实数，而 是用分布数度量之于是，- l - j 泛函分析与概率论的边沿学科就产生了 我国在七十年代后期开始了这个领域的研究工作，我国学者在该领域取得了不少深刻 而独具特色的成果1 9 7 9 1 9 8 7 年左右，游兆永，朱林户，龚怀云，郭铁信，林熙等人 对概率度量空间与概率赋范空间( p r o b a b i l i s t i cn o r m e ds p a c e ，简记为f n 空间) 的基本性 质做了大量研究，诸如拓扑性质、有界性、概率赋范空间上的线性算子、概率内积空间的 定义与性质等 在概率度量空间框架下映射的不动点及随机不动点的理论问题中，林熙，张石生等作 了大量的工作特别是张石生，在他1 9 8 4 年出版的专著不动点理论及其应用中，单独 列出了一章讲述“概率度量空间中的映象的不动点原理”，并系统地介绍了国内外学者的成 果此外，林熙，曾文智，石川，向淑晃等都做了这方面的工作 随着概率内积空间定义的引入，有关概率内积空间的研究逐步展开张石生在这方面 做了一些卓有成效的工作2 0 0 1 年肖建中讨论了m e n g e r 概率内积空间的线性拓扑结构， 建立了空间上较为一般的收敛、勾股定理和正交投影定理 但是以往有关概率内积空间结构的一些定理如投影定理等只是在或这个特殊的分布 函数集下得到的，本文的目的是在一般的分布函数集d 上研究概率内积空间的结构本文 借助半内积这个新的工具，建立概率内积空间内的s c h w a r z 不等式，极小化向量定理，正 交投影定理，得到了连续线性泛函的r i e s z 表示定理 i i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新 的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：豳望是 日 期：) 生壁! 厶! f 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：硇逸 e t期：丝蒸：61 l 第一章基本概念与引理 第一章基本概念与引理 本文中采用文【1 ，2 】的概率内积空间的定义为了行文方便，本章列出这个定义，并同 时列出与此相关的点列的收敛性与空间完备性的概念本章的主要目的是用a 一截集方法 给出半内积这个新的概念并讨论它的一些基本性质 1 1 概率内积空间 本文中，记r = ( 一，+ o 。) ，d 表示一切左连续函数集，d o = f ：f d ，f 一1 ( 1 ) ) 用h ( f ) 表示如下特殊的分布函数： 黔 搬墨 定义1 1 ”】 设映射a ： o ，1 x 0 ，1 】一【o ，1 】a 称为f 一范数，如果对于任意 口，b ，c ，d 【o ，1 】，a 满足下列条件； ( 1 ) a ( a ，1 1 = a ； ( 2 ) a ( a ，b ) = a ( b ，a ) ； ( 3 ) 当c 口，d 6 时，有( c ，d ) a ( a ，b ) ； ( 4 ) a ( a ，a ( b ，c ) ) = ( ( 口，6 ) ，c ) 例如，对任意口，b 【o ，1 ，令( 口，b ) = a b 易见对任意口，b 【o ，1 】，茗g a b 【o ，1 】， 且容易验证a 满足定义1 1 的条件( 1 ) 一( 4 ) ，即它是r 一范数 对任意口，b 【o ，1 】，令( 口，b ) = m i n a ，b ，容易验证此时满足定义1 1 的条件( 1 ) 一( 4 ) 对这样的f 一范数，以下记为a = m i n 定义1 2 1 1 ，2 】设e 为实线性空间，a 为卜范数，映射fjexe 专d ( 记 第一章基本概念与引理 f ( x ，y ) = c ，y ) 满足： ( pi 一1 ) c 。，( 0 ) = 0 ： ( pi 一2 ) v t r ，c ，( t ) = h ( t ) x = 0 ； ( pi 一3 ) c ，y = e ，； ( pi 一4 ) v h r ，吆，( f ) = 叱) ， 日( f ) - 叫以 h 0 h = 0 ， h 0 时， 注意到日( f ) = h ( h t ) ，有 瓦，( f ) = 日( f 一( h x ，y ) ) = 日( 办( 丢一c x ，y ) ) ) 2 第一章基本概念与引理 当h = 0 时，有 = 日( 丢一( x ，y ) ) = 只，y ( 丢) 最，y ( r ) = h ( t ) 当h ( x + y ，z ) 时，有f 一( x + y ，z ) 0 取，乞r ，满足+ t 2 = f ，且f 1 ( x ，z ) ， 乞 ( y ，z ) ，则有 l = h ( t - ( x + y ，z ) ) = e ：( f ) = ( h ( 一( 舻) ) ，h ( t 2 - ( y ，z ) ) ) - - a ( f ，：( f 1 ) ，：( 乞) ) 于是s u p ( 只，：( j ) ，弓，：( ，) ) = 1 = e ：( f ) s + r = 1 j r e r 当f ( x + y ，z ) 时，对任意s ，r ，s + r = f ，s ( x ，z ) 与r ( y ，z ) 必有其一成立， 从而有 c 帆：( f ) = h ( t - ( x + y ，z ) ) = o = s u p ( 日( s 一( 粥) ) ，日( ，一( y ，z ) ) ) $ + r m l s r e r 7 故条件( pi 一5 ) 成立，结论得证 3 第一章基本概念与引理 1 2 收敛与完备性 定义1 3 设( e ，f ，a ) 为概率内积空间，若比，y e ，f ，s 0 ，有 e ，y ( 丛) ( e t 2 ) ，e ，y ( s 2 ) ) 则( e ，f ，a ) 称为m e n g e r 概率内积空间 引理1 1 设( e ，f ，a ) 为概率内积空间，若f 一范数= r a i n ，则( e ，f ，a ) 为 m e n g e r 概率内积空间 证明 令办= 一三，则厅 m i n ( a ，c ) 由e ，yt ) 几乎处处 连续，可证得c ，( 船) ( c ，t 2 ) ，e 。ys ) ) 则( e ，) 为m e n g e r 概率内积空间 定义1 4 设( e ，f ，) 称为m e n g e r 概率内积空间，s u p a ( b ，6 ) = 1 ， 4 第一章基本概念与引理 ( i ) 若v a ( o ，1 】，v s 0 ，3 n z + ，对v 门，有 - - x , x n - - x p 2 ) 1 一a ( 等价地，憋巴- - x , x n - - x ( f ) = 日( f ) ) 则称序列 x 。 ce 收敛于x ，记为1 i m x 。= x n ( i i ) 若v s 0 ，v a ( o ，1 】，3 n e z + ，对v 聊，玎n ，有 一靠，h h0 2 ) 1 一a ( 等价地，点巴一。靠( f ) = 日( f ) ) ，则序列 吒) ce y oc a u c h y 列若么中任一c a u c h y 列收敛于a ，则ace 称为完备的 注：= r a i n 洲f f = s u p a ( b ，b 1 = 1 1 3 半内积及其性质 设a ( o ，1 2 】，集 f ：c ，y ( t ) 1 - a ) 与集 f ：e ，( f ) l - a ) ； ( x ，y ) ：= s u p t ：f ，y ( f ) 1 - a ) = i n f t ：e ，y ( 。+ ) a = i n f - t f ，y ( f + ) a = - s u p t f , ，( f + ) a ) 由e ，y 的定义可知，如果f 为连续点，有e ，( f ) = c ，y ( h ) 这时， ( 噶y ) ：= 一s u p f ：只，y ( f + ) a ) = - s u p t ：f ，y ( f ) a ) = 一( w ) ： 如果r 为间断点，有只，y ( f ) e ，( f + ) 这时令 则有结t a t 2 f 1 = s u p t ：只，y ( f ) a ；乞= s u p f ：e 。，( r + ) t 2 ，由f 1 ，1 2 的定义可知，3 t o ( 乞，岛) 使e ，y ( t o ) a ，取f 3 ( 乞，t o ) ， 有e ，y ( 岛+ ) 只，y ( ) a ，由毛 f ：e ，y ( f + ) l - a ) = a i n f t ：只，y ( f ) l - a ) - 口( x ，y ) ： 同理可得( 甜，少) ：= 口( x ，y ) ： 当a = 0 时， 6 第一章基本概念与引理 当a 1 - a ) = i n f t ：h ( t ) l a ) = o = o ( x ，y ) ：； ( o x , y ) ：= s u p t f o 圳( f ) l a 可知f 0 ，即( x ，x ) ：o 如果x = 0 ，则根据定理1 1 的证明过程可知( 9 ，x ) + = 0 ，自然有( 8 ，p ) + = 0 、 ，a、 ，a 另一方面，如果( x ，x ) ：= 0 ，耳pi n f t ：f ，；( f ) l - a = o ，由此可知，v a ( o ，1 2 】， v 6 o ，只，( s ) 1 一a 由s 的任意性，可得到只，；( f ) = 日( f ) ，臣p x = o 类似地，我们考虑( x ，x ) ：= s u p , ：p x ，：( f ) a ) 的情况由e ，( o ) = o ，零 ( x ，x ) ：= s u p f ：只，t ) o ，有 只，：( + s ) l - a ，e ，：s o + ) l a ，则 c ：( + r o + 2 s ) = s u p m i n ( f x ，：( r o + s ) ，0 ，：s o + 6 ) ) _ m i n ( f x ：( + s ) ，e ，：s 0 + s ) ) l - a 这表明+ + 2 f ：c 饥：( t ) 1 - a ) ，由此得到 由s 的任意性，得 ( x ，z ) ：+ ( y ，z ) ：+ 2 6 = s 。+ r o + 2 6 ( x + y ，z ) ： ( x + y ，z ) ：( x ，z ) ：+ ( y ，z ) ： ( 1 1 ) 另一方面， v s 0 ，有只：( r o s ) 1 一a ，e ，：s o s ) l - a 记 ，+ s = s o + 一2 ， 如果， r o s ，则只，：( r ) l a ，有 m i n ( f ，：( ，) ，：( j ) ) e ，：( 厂) 1 一a 如果，r o 一则一定有s 一s 此时e ，：( 5 ) 1 - a ，有 m i n ( f x ，：( r ) ，c ，：( s ) ) ，：( s ) l - a ，于是 由s 的任意性，得 ( x + y ，z ) ：s 。+ r o - 2 e = ( x ，z ) ：+ ( y ，z ) ：- 2 e ( x + y ，z ) ：芝( x ，z ) ：+ ( y ，z ) ： 将( 1 1 ) 式与( 1 2 ) 式结合起来 ( x + y ，z ) ：= ( x ，z ) ：+ ( y ，z ) ： 以下考虑( x ，j ，) ：= s u p t f ，y ( f ) 0 ，有e ，：( 一s ) a ，c ，：( r o s ) a 取 a 。 a ，当专0 时，a 。- - - a ，并且使c ，：( s o s ) a 。，e ，：( r o 一) m i n ( f ，。：s 。+ ) ，s ，：( + s ) ) a 这表明+ t o + 2 e ( x + y ，z ) ：由s 的任意性，得 结合( 1 3 ) 式- l 5 ( 1 4 ) 式可知 ( x ，z ) ：+ ( y ，z ) ： ( x + y ，z ) ： ( x + y ，z ) ：= ( 舻) ：+ ( y ，z ) ： 9 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 第二章s c h w a r z 不等式与平行四边形公式 第二章s c h w a r z 不等式与平行四边形公式 本章在上一章给出的半内积概念的基础上，引入半范数的概念，进一步建立概率内积 空间中的s c h w a r z 不等式与平行四边形公式接着讨论半范数与半内积的连续性，并利用 半范数来刻画概率内积空间点列的收敛与空间的完备性 2 1s c h w a r z 不等式 定义2 1 设( e ，f ，) 为概率内积空间，g x e e ，v a ( 0 , 1 2 ，l l x l l + = ( x ，x ) ：， 忙i | - = ( x ，x ) ：称为x 的半范数 根据定义可知 ( ：) 2 = ( ) ：= i n f t ：只，( r ) 1 一口) ， ( ：) 2 = ( w ) ：= s u p r ：c ，( r ) o ，叫| - o 根据 第一章定理1 1 ，1 3 及半范数定义有，取实数a ，当九0 时，有 o ( x + 九y ，x + a y ) ： = ( w ) ：+ 2 九( w ) ：+ j 1 2 ( y ，y ) ： ( 2 1 ) o ( x + 允y ，x + x y ) ： = ( x ，x ) ：+ 2 a ( x ，y ) ：+ a 2 ( y ，y ) ： ( 2 2 ) o ( x + 九y ，x + 九_ y ) ： = ( x ，x ) ：+ 2 a ( x ，y ) ：+ a 2 ( y ，y ) ： ( 2 3 ) o ( x + 允y ，x + a y ) ： = ( 砒) ：+ 2 a ( x ，y ) ：+ a 2 ( y ，y ) ： ( 2 4 ) 粕祭川一畿叫2 1 ) 式有 似或一锗似蜣+ ( 黯卜卜噼狐 ( ( x ，y ) ：) 2 ( x ，x ) ：( y ，y ) ： 即( 训) ：o 时，有峙y ) ：l - o 时，有忙y ：l - - i i x l | = | | y i i = 由半范数的定义知v 口( o ，1 2 】，有i i x l i - - - i x 蛙于是得到( x ，y ) ： o 时，有 粕磨呲耻一链叫2 2 ) 捕 似或一错似咙+ 链卜戏却一：一镨狐 即( w ) ：o 时，有k y ：l - o 时，有k y ；i - l x i | = i | y n l ( x ，y ) ：l l i x l l 2i l y ； l - i l x l l = i l y 即s c h w a r z 不等式成立 根据s c h w a r z 不等式，我们还可以得到概率内积空间中元素的半范数的另一个性质 定理2 3 设( e ，f ，a ) 为概率内积空间，a = r a i n ，v x ，y e ，v 口( o ，1 2 】，有 ( 1 ) 0 x + y l ：- o ，3 n ez + ， 对v 刀n ，有_ ( s 2 ) l - a ，即 ( x n - - x , x 一x ) ：= i n f t ：- - x , x n - - x ( f ) 1 - a ) s 2 亦即i l 吒一x i l + i o ，3 n z + ，对v 胛 r ， 刮- x l ： 1 一仅】 1 一a 由定义1 4 知l 。i m 。x , = x 定理2 6 设( e ，f ，) 为概率内积空间，a = r a i n ，贝u v a ( o ，1 ，x 的半范数恻i + ， l - 是连续函数 证明设。l i - + m 。x = x ，根据定理2 3 有 i x i i ：= x n - - x + x ： - ix 一x l | + + x l ： 即| 1 l | 十- l l x l l ：- l l x - x l l ：，或者一i i x ，- x l l ：- o ，3 n = ( s ，a ) ，对v n n ，有l l 吒- x l l ： n ，成( ，) o ，= i n = n ( e ，a ) ， 对v 聊，胛n ，p ( ，x r a ) l - a ) = o ； ( x ，y ) ：= s u p t ：h ( t ) a ) = o 也就是说，x _ l _ y 当且仅当v 口( 0 , 1 2 】，( x ，y ) ：= 0 ；当且仅当v a ( o ，1 2 】， ( x ，y ) ：= 0 定义3 2 设( e ，f ，a ) 是概率内积空间，设x e ，m ce 若x 与m 中每个元素 正交时，称x 与m 正交，记为x 上m 记m 上= x e ，x 上m ) 为m 的正交补 若存在a ( 0 , 1 2 】，使( x ，y ) ：+ ( x ，y ) ：= 0 ，则称x 与y 是a 一正交，记为x 上。y 若 x 与m 中每个元素a 一正交，记为x 上。m 记m k = x e ，x 上。m 为m 的a 一正 交补 根据以上定义，容易得到如下简单性质： ( 1 ) 零元素0 与e 中每个元素x 正交； ( 2 ) 若x 上y ，则y 上x ： ( 3 )x 上ejx = 0 ： 1 8 第三章正交分解理论 ( 4 ) 若mcnce ，则n 上cm 上； ( 5 ) 若矗一x ( 胛寸) - 目x n 上y ，贝, l j x _ l y ； ( 6 ) f f z 意mce ，若臼仨m ，贝 jmnm 上= 彩；若9 m ，r 贝, jm r lm 上= 0 ) 定理3 1 设( e ，f ，a ) 是概率内积空间，a = m i n ，v a ( o ，1 2 ，若x ，y e ，且 x 上y ，则成立勾股公式 证明由定义2 1 可知 ( i l x + y i l + ) 2 = ( 1 i x i i + ) 2 + ( 0 少l l + ) 2 ； ( i l x + y 0 ：) 2 = ( i l x i | - ) 2 + ( 1 i y l l i ) 2 ( 1 l x + y i i + ) 2 - - - - ( x + y ，x + y ) ： = ( x ，x ) ：+ ( y ，y ) ：+ 2 ( x ，y ) ： 又由x 上y 可知( x ，y ) ：2 0 ，则有 ( 1 i x + y i l + ) 2 = x + y ，x + y ) ： = ( x ，x ) ：+ ( y ，y ) ：+ 2 ( x ，y ) ： = ( x ，x ) ：+ ( y ，y ) ： = ( 0 x 蛙) 2 + ( 1 l 少i l + ) 2 同理可得( 忙+ y l | - ) 2 = ( 恻i _ ) 2 + ( 1 l y i | - ) 2 3 2 正交投影与极小化向量定理 定义3 3 设( e ，f ，a ) 是概率内积空间，a = r a i n ，设m 是概率内积空间e 的一个 线性子空间，x e ，若存在m ，z m 上，使x = + z ，则称为x w _ m 上的正 1 9 第三章正交分解理论 交投影设口( o ，1 2 】，x o m ，z m k ，x = x 0 + z ，则称为x 在m 上的a 一 正交投影 定义3 4 设( e ，f ，a ) 是概率内积空间，a = m i n ，m 是e 中非空子集，x e ， 则称p ( x ，m ) = i 熊p ( x ，y ) 为x 到m 的距离；设a ( 0 ，1 2 1 ， 称 v e 肘 、 o 以( x ，m ) = i ，n “f 成( x , y ) 为x 到m 的a 一距离 若存在某x o m ， 使 p ( x ，x o ) = p ( x ，m ) ，则称x o 为x 在m 上的最佳逼近元；若存在某x o m ，使 p a ( x ，x o ) = p 口( x ，m ) ，则称为x 在m 上的a 一最佳逼近元 根据以上的定义可有下面的定理成立 定理3 2 ( 极小化向量定理) 设( e ，f ，) 是概率内积空间，= r a i n ，a ( 0 , 1 2 】， m 是e 中a 一完备线性予空间，则v x e ，x 必在m 上存在a 一最佳逼近元 证明令( ，= 翳( ( 卜圳2 啦训) 2 ) 魂( 叫) ，由下确界定义，存在 em ，使 啷h | | = ) 2 也训) 2 ) 吐 由于m 是线性子空间，易知三1 ( 矗+ x m ) m ，则 ( x - - 圭c + ，l ! 2 + ( i i x 一圭c 吒+ ，l l + 2 d ， 由平行四边形公式，有 ( x n - x + x - x m- x - x + x o ：) 2 = ( 恢一训2 + ( o x - x o l l ：) 2 + l l x n 一2 + ( 卜| | = ) 2 2 0 第三章正交分解理论 ( 1 i 吒一x 。l l - ) 2 = ( i i x 。一x + x x 。l l ：) 2 = ( 恢一圳2 + ( k 一圳2 + ( 卜靠f l = ) 2 + ( 卜i i = ) 2 一l l x n - x - x + x m l ：2 = ( i i 一x 0 ：) 2 + ( 0 矗一x l l + ) 2 + ( 忙一i i - ) 2 + ( 忙一靠0 ：) 2 x 一扣“ 2 ( 恢一町= l l x n x + x 一靠町 综合上面两式得 = ( 卜2 + ( 慨一训2 + ( 卜碱) 2 + ( 卜| i = ) 2 一他一x x + | l = ) 2 = ( 恢一圳2 + ( 恢一训2 + ( | l = ) 2 + ( 卜i i = ) 2 4 ( x 一丢c 吒+ ，i | - 2 ( 卜l i = ) 2 + l l x n x 刚。, 4 - ) 2 2 e l l x n - x l l ：2 = i - ( o x 一i i ：) 2 + ( o 一x o ：) 2 + ( o x 一l i - ) 2 出书训旷( x 一丢( 吒+ )吲 i i x 一l | + ) 2 + ( i i 一x i i ：) 2 + ( i i x 一i l = ) 2 一4 d 2 ，一 4一 第三章正交分解理论 因此，由( 1 | 吒一x 1 l ；) 2 + ( 1 l x n 一靠眨) 2 - - - ) 0 ( m ，玎专o 。) 可知 吒) 为e 的a c a “c 砂 列，由于e 是a 一完备的，故存在x o m ，使成( 吒，x o ) 一o ( ，z 专) ，于是 p 。( 吒，x ) 一成( x o ，x ) ( 胛- - - o o ) ，即 d = 球h l | = ) 2 啦诫) 2 ) = ( i l | i = ) 2 也q ) 2 即x 在m 上存在仅一最佳逼近元 定理3 3 设( e ，f ，a ) 是概率内积空间，= m i n ，m 是e 中完备线性子空间， 则 v x e ，x 在m 上的存在唯一最佳逼近元 证明令j p ( x ，m ) 2 簿p ( w ) = y i n 龇fl i mp , ：( w ) = i n f l i m ( i i x y i i = ) 2 + ( 1 i x y i 仨) 2 ) 由下确界定义，存在 矗) cm ，使 i x - y l ；) 2 + ( 圳2 ) = p ( 删) 由于m 是线性子空间，易知圭( + ) m ，则 娟1 1 c 一 根据定理3 2 证明过程有 2 + (x 一三c + 靠，l l + 2 p c z ，m ， p ( ，) = ! i m ( i l l 矗一l i - ) 2 + ( 1 1 一x 。i e ) 2 ) = 烛2 ( ( ”圳2 邯一圳2 坼川) 2 拈圳：) 2 ) ，、 m h p m h 第三章正交分解理论 4 ( 1 l l x - 圭c 矗+ ，l l - 2 + ( 0 x 一圭c + ，0 1 2 = 2 蛳h | i = ) 2 啦吨) 2 ) + 2 蛳h l | = ) 2 啦州) 2 ) 4 基鳃 ( 0 x 一丢c _ + ，| l i 2 + 0 x 一圭c 吒+ ，l 2 2 舒h i | = ) 2 啦吨) 2 ) + 2 蛳h l l = ) 2 啦“) 2 ) - 4 p ( x ，m ) 一2 p ( x ，m ) + 2 p ( x ，m ) - 4 p ( x ，m 1 = o ( m ，r l 专0 0 1 由p ( 矗，x m ) 专o ( m ，甩一) 可知，点列 矗) 为依距离p 的c a u c h y 列由于m 是 完备的，由定理2 8 知，m 也是依距离p 完备的则存在m ，使 p ( x ，m ) = l i ml i m ( ( 矗一x l i = ) 2 + ( o 矗一x l | + ) 2 = 。t i m ( ( 一x o ：) 2 + ( 1 l 一x o ：) 2 ) = p ( x o ，x ) 即x 在m 上存在最佳逼近元 下证唯一性设y o m 也是x 在m 上的最佳逼近元，根据存在性的证明，有 p ( x o ，y o ) = 一l i m 。p 。x o ，y o ) a u 第三章正交分解理论 = c i o m ( ( i 一蜘i | - ) 2 + ( o 一l l + ) 2 ) = 。1 + i m 。+ 2 ( ( o 一x o ：) 2 + ( o x 一i l ：) 2 + ( i i 一x o ：) 2 + ( o x 一i i - ) 2 ) 4 1 l x 一圭c + ，0 ： 2 + ( 0 x 一丢c + ，i l + ) 2 = 2 蜘h l l = ) 2 也础) 2 ) + 2 鲫确i i = ) 2 邯铽) 2 ) 4 1 粤器 ( 0 x 一圭c _ ，l i - ) 2 + ( 0 x 一圭c 而+ 儿，l | + ) 2 2 p ( x ，m ) + 2 p ( x ，m ) 一4 p ( x ，m ) = 0 另一方面p ( x o ，y o ) 0 ，则有p ( ，) = 0 即x o = y o 唯一性得证 3 3投影定理 定理3 4 ( 投影定理) 设( e ，f ，) 是概率内积空间，= m i n ，m 是e 的a 一完 备线性子空间，对任