（运筹学与控制论专业论文）求解非线性半无限规划的序列二次规划方法.pdf

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( 2 ) 记d 为点集亍到t 的距离d ( _ ) 2 学学肥一- | | ，当用一个点集列己来逼 近t 且d ( 已，t ) _ o ，礼一o 。时，是否有p ( 瓦) 的解集的聚点是( p ) 的解 一3 一 求解非线性半无限规划的序列二次规划方法 一般来说，上面两个问题的答案是否定的，【5 】中给出了一个否定的例子但在 一定条件下，当( s i p ) 为线性的或凸的时候，b o r w e i n 在f 1 2 】中证明上面两个问题是 肯定的 1 3 2 交换集法 交换集法也是求解半无限规划的一类常见方法，其主要思想是确定一个有限 集 正一1ct ，然后通过某种规则，将互一1 中的某些约束换出，再换入新的约束经过若 干次变换后，我们可以得到原问题的一个解，或得到收敛于原问题的解的点列其 基本步骤如下： 算法1 1 ： 步1 ：给定正一1ct ， 正一1i o ，使得xc z z | | sp ) ，在每一步迭代过程 中，问题的解集为非空，在一定的交换集原则下，算法1 或有限步终止于问题( 1 2 ) 的解，或者产生一个迭代点列收敛于问题( 1 2 ) 的解。 交换集法一般产生的精度低，为了提高精度，只有利用更为复杂的交换集，由 于其低收敛性，所以用交换集法来求解高精度的半无限规划一般是不明智的 1 3 3 局部下降算法 局部下降法也是求解半无限规划的一种常见方法，其一般算法如下： 算法1 2 ：( 概念性算法) 步l ：给定点z t ( 不必可行) 步2 ：确定子问题( 0 ( 瓤) ) 的近似解t 1 ，t n 一4 一 硕士学位论文 其中，p ( z ) = m a x 夕( z ，t ) ，o ) ， o 为一特殊的罚参数，特别地，当= o 时， 只和恳一致相对b 而言，只的一个优点是，对于某些具体的问题，可取得比较 小时，可以克服在p 3 中由于罚因子过大而溢出的情形 国内学者周广路等在文献【4 4 】中针对如下的一般形式的半无限规划 m i n m a x 扩( z ，! ，) ， s t m a x ( 。，秒) o ，j = 1 ，2 ，1 结合文献【4 2 】，【4 3 】的极大熵函数法，给出了一个罚函数 仰“z ) = 滓c z ) + ：妻厶e 扛胁锄 王长钰等在文献【4 5 】中证明了它的收敛性和稳定性，上述问题的一个特殊情况即 为( 1 2 ) 问题并且上述算法对于任意的初始点都是收敛的 2 2 q p 子问题及其对偶化 在这一章我们考虑问题( 1 2 ) 中t = 【o ，6 j ( n ，6 为常数且q 6 ) 的情形，即 删 竺鲰删 1 ， 我们采用l o 。罚函数的修正形式 咖( z ) = ，( z ) + rm a x 9 ( z ，屯( z ) ) ，t ，( z ) ；o ) ， 作为线性搜索的效益函数问题( 2 1 ) 的拉格朗日函数可以写成 ，6 l ( z ，a ) = ，( z ) + 夕( z ，亡) d a ( 亡) ， ，口 其中a ( t ) 为定义在【o ，6 】上的有界测度 给定( 2 1 ) 的一个近似解z 七形，新的近似由迭代 z 尼+ r = z 磨十一( 豫噍， 产生，其中a 七是由对( z ) 在z 詹处的某种线性搜索得到的步长，而也是搜索方向，它 是某种二次子问题的解，如原问题( 2 1 ) 的一个局部二次规划逼近形式 一7 一 动q 叼陋 五 0 仉咻艇 + w 州妒椰 = 巩 回“酗眠 m 挺岛 求解非线性半无限规划的序列二次规划方法 其中尥为相应问题的拉格朗日函数的h e s s i a n 矩阵，v ，( 茁) ，v 夕( z ，t ) 分别为目标函 数和约束函数关于变量z 的梯度由于尥的计算量较大，我们不妨用对称正定矩 阵风来近似慨，从而上面的问题转化为如下的二次规划问题 瓣相= 矿玩d + v 弛奄) t 矗 s ，v z 夕( z 蠡，t ) t d + 夕( z 七，) o ，t 【口，6 】 ( 2 3 ) 上面的子问题为二次半无限规划问题，有许多研究工作者研究了其求解，但其 过程仍然是复杂的，在这里我们通过其对偶问题来求解。问题( 2 3 ) 的拉格朗日函 数为 加 l ( d ，a ) = v ，( z 七) t d + l 2 矿凰d + b ( z 知，t ) + 矿v z 9 ( z 七，) 】d a ( t ) ， - ，n 其对偶问题为 m 晔m ；n 三( d ，a ) ， d 、 s ，t 人0 ( 2 4 ) 在通常的s l a t e r 条件下，由对偶性质，当日k 正定时，( 2 3 ) 的唯一解以也是( 2 4 ) 的 解，所以毗满足 v d l ( d ，a ) = o ， 即 一 圾西七+ v ，( z 七) + 7v 。夕( z 七，t ) d a ( t ) = o ， ，d 从而 也= 一靠1 v ，( ) + v 。夕( z 七，亡) 】趴( 亡) ， ( 2 5 ) - ，口 这里a ( t ) 为积分测度为计算巩，我们构造【o ，6 】上连续的分段线性函数来近似a ( ) 我们首先在【口，6 】内插入p 个点 o = t o t 1 t 2 o ， 令七= 0 ： 步2 选取适当的测度，由( 2 5 ) 计算搜索方向以； 步3 若i i 比i l ，停止，否则转步4 ； 步4 计算步长q 南的值，其中口奄 p ，夕2 ，夕3 ，) 为满足下式的最小者z 0 ， ( 钆+ q 七巩，r ) 妒( z 奄，r ) + 盯良( z 七) ，田( z 知) = 1 2 d 蚕凰出+ v ，( z k ) r 毗一r ( z 七) 并 且令z 知+ 1 = z 七+ 口七也； 步5 产生新的对称且正定矩阵风+ 1 ，并令七：= 七+ 1 ，转步1 ； 注：在计算以时，通常要求矾是对称的，而且在算法的全局收敛分析中，风要 求的是一致正定的，但这种要求在任何计算竭：的技术中都是很难被满足的在下 面我们提出一个生成风的拟牛顿技术，利用这种技术，我们可以证明算法2 1 在没 有对三k 作任何要求的情形下是全局收敛的 设 耻p 孤攥潞护 ) 若知= 0 ，则z 七必为原规划的最优解，否则如果七0 时，我们设 ：卜一癸+ 鹾，如黝融独怫s “ i 风， 否则。 其中 s 七+ 1 = z 七+ 1 一z 七，3 肫+ 1 = v 霉l ( z 七+ 1 ，a ) 一v 。工( z ，a ) ， 这里为给定的正常数。 很容易看出，当岛0 时，凰+ l 与风有相同的正定性 2 。4全局收敛性分析 ( 2 7 ) 为分析算法2 1 的全局收敛性，我们首先做如下的假设： 如果| i 七i i 叶o ，那么z 奄_ k k t 点否则存在r o ，有i i 奄l i 7 o ，七= 1 ，2 ，有露秽s 善乳 假设2 1 9 一 硕士学位论文 证明：如果引理2 2 中的条件成立，则有 可舌s 七e 倪恢| | 2 另一方面，由假设2 1 ，我们有 秒吾弧 ：v ，( z 七+ 。) 一v ，( z 七) + z 6 【v 夕( z 七+ 。，t ) 一v 夕( z 奄，t ) 】d a ( t ) 1 1 2 ，口 i i v ，( z 七+ 1 ) 一v ，( z 七) i i + l | 【v 夕( z 七+ 1 ，t ) 一v 夕( z 七，t ) 】d a ) ) | 1 ) 2 ，口 【( 1 + 嚣筠喇) 硎s 七1 1 2 这里我们不妨假定m i n a ( 亡) m 1 ，m 。为常数所以，我们得到 t l 口，d l 可蚕弧【( 1 + m ，) 翻2i l s 七旷，可五弧s 【l l 十m 1 ) l 】。s 七， 前面的分析我们已经证明了 可蚕玑m 可舌s 七，靠s 七m 恢| 1 2 成立，这里m m o 为某些常数由文献 2 4 】定理2 1 知存在常数c 2 c 1 o ， 使得对无穷多七，c 1i i s 知1 1 2 s 暑讯s 七c 2i k | 1 2 成立 口 为了说明算法的收敛性，我们应用来自文献【4 8 】的结果，这一结果指出了问 题( 2 1 ) 的最优性条件 定理2 3 在假设2 1 下，如果函数夕( z ，亡) 关于变量t 连续，那么z + 是( 2 1 ) 最优解 当且仅当z + 是可行解，且存在一个测度”( ) ，使得 iv ，( 矿) + r v 。夕( 矿，亡) d ”( t ) = o ， r 9 ( 矿，t ) d ”( 亡) = o ， ( 2 1 0 ) la ) o ，t 【口，6 j 为方便起见，我们用鲍表示所有满足引理2 2 中不等式的指标后的集合由定 理2 3 知，下面的定理中的结论表明算法2 1 的全局收敛性 定理2 4 在假设2 1 下，如果对所有七，以0 ，那么有 1 i mi n f 七i i = o ， 詹 o 。 证明：我们采用反证法，假设定理的结论不成立，即存在正常数饱 0 ，使得 愚7 2 ，v 七， 那么由引理2 2 知，集合硷是一无限集 一1 1 一 求解非线性半无限规划的序列二次规划方法 另一方面，由引理2 1 知，对任意的七鲍，我们得到 醵( z 七) = v ，( z 知) t 如+ 丢玩以一r ( z 七) = 一丢霹矾以一r ( ) s 一号i i 毗1 1 2 用文献【4 8 】中的引理3 和引理4 的类似证明方法，我们有 毗_ 0 ，风以_ 0 ，当七一，后鲍， 然后进一步由( 2 8 ) ，我们得到 南i | _ 0 ，当七一，后， 这与假设矛盾，从而定理的结论成立 口 定理2 5 对于任意的初始点z o ，算法2 1 产生的点列 z 七) 或者终止于原问题 的k k t 点，或者存在其聚点是原问题的k k t 点 证明：由引理1 知，我们仅需考虑所有七，巩0 的情形在这种情形下，定理2 4 的结论表明存在序列 z 七) 的聚点z + 满足( 2 1 0 ) ，即聚点z 4 是问题( 2 1 ) 的k k t 点 结合精确罚函数的s q p 算法是求解非线性半线性规划问题的常用方法，其困 难在于夕( z ，) 关于t 的极大值函数勉( z ) ，i ，( z ) 的确定，而且指标集合( z ) 随z 变化 本文提出的方法中，子问题( 2 3 ) 的求解也是不容易的，但利用对偶策略却简化了求 解过程，而且本文利用拟牛顿校正方法生成风，使得所提出的方法与文献 4 8 】相比 在更弱的条件下建立了算法的全局收敛性结果 一1 2 求解非线性半无限规划的序列二次规划方法 3 3 凰的计算 原问题的拉格朗日函数可以写成 其中入是拉格朗日乘子 l ( z ，a ) = ，( z )+ a i 九 ( z ) ， j ( z ) ( 3 1 1 ) 设( 毗，颤) 是问题( 3 1 0 ) 的解，由于其为严格凸二次规划问题，那么必定存在拉 格朗日乘子( k ，) 满足下列的k k t 条件： v ，( z 七) + 月k 呶+( a 七) i v 夕( z 七，( z 七) ) j ( z 詹) + ( 入七) j v 。9 ( z 知，( z 知+ ) ) = o ， j s k 9 ( z 七，( z 知) ) + v z 夕( z 七，( z 七) ) t 也& ，i ，( z 七) ， 夕( z 七，( z 知+ ) ) + v 。9 ( z 七，t o ( z 七十) ) t 也靠，歹鼠， ( a 七) t ( 9 ( z 七，( z 七) ) + v 。夕( z 七，( z 七) ) r d 七一& ) = o ，i ，( z 七) ， ( k ) j ( 夕( z 七，( + ) ) + v z 夕( z 七，( z 七+ 函) ) t 以一& ) = o ，歹鼠， 靠0 ，h o ，0 ，= 0 ， r 一( a 七) 一( a 七) j 一魄= o ， ( 3 1 2 ) 利用上述k k t 条件并且结合文献 2 3 】提出的求解无约束问题的c b f g s 方法， 我们提出一个关于风的拟牛顿修正准则给定e k ，令 这里 s 七= o 知+ 1 一z 七，! 版= v 。三( z 七+ 1 ，入七) 一v z 三( z 知，a 七) ， v 喾三( z ，a ) = v ，( z ) + 九v 勉( z ) ， j ( ) 则新的矩阵风+ ，由下列的修正公式产生： 叫竺，一警 + 警笋璺，如果秽吾s k 圣k 纸s 七 。 这里为给定的正常数，且圣七的定义为 否则 恢1 1 2 ( 3 1 3 ) 垂奄= l i v ，( z 七) + ( a 七) t v 9 ( ( z k ) ) i | + ( 碱b ( z 七，( z 七) ) 】+ ， t j ( z ) t j ( z 上) 其中【】+ = m a x ，o ) 显然由上述公式产生的巩+ 1 保持风的正定性否则西七= o ， 此时z k 已经是原问题的k k t 点利用公式( 3 1 3 ) ，我们来证明算法3 2 在比文 献【2 1 】更弱的条件下的全局收敛性 一1 6 求解非线性半无限规划的序列二次规划方法 我们有 矽知t 瓠= | i v 。，( z 七+ 1 ) 一v 。，( z 七) +( a 七) l ( v 善g ( z 七+ 1 ，( z 知+ 1 ) ) 一v 夕( z 南，( z 奄) ) 1 1 2 i j ( z 七) ( li i z 七+ l z 知i i +( a 七) lf | z 七+ 1 一z 知i j ) 2 t j ( z 知) = 己2 ( 1 + ( k ) ；) 2 慨1 1 2 j ( z 七) mi k i l 2 由k k t 条件( 3 1 2 ) 知入七是有界的，因此，由 l 2 ( 1 + ( 碱) 2 ) m ， t ，( 筇七) 可以推出上述的第二个不等式，这里m 是某一个正常数，从而 弧t 鲰m e 一1 百1 旅s 知，秒吾s 七e 7 3l | s 七1 1 2 v 后 然后由文献【2 4 】的定理2 1 知，这一引理的结论成立 口 为方便起见，我们用k 表示所有满足引理3 1 的结论的指标k 的集合由引理3 1 ， 我们来证明下列的关于算法3 2 的全局收敛性结果 定理3 2 设 z 七) 由算法3 2 产生，则有 ( i ) l i mi n f 九= 0 ；或者 ( i i ) 存在序列 z 七) 的一个聚点z 。o 满足( 1 2 ) 的一阶最优性条件，即： p 7 ( z ；s ) 0 ，v s 肝， 其中9 7 ；s ) 是口在z 于方向s 的方向导数即： ( 3 1 6 ) ( z ；s ) = 3 i 罂纽鼍# 必 ( 3 1 7 ) 、7 七_ n 、， 证明：如果定理中的结论( i ) 不成立，则必存在常数舶 o 和正整数后3 ，使得圣南 讹，v 七b 成立，从而引理3 1 的结论成立，然后我们来证明结论( i i ) 必成立首先 证p 7 的存在性：因为函数9 是二次连续可微的，由文献【2 5 】的定理1 4 5 1 的证明，我 们需要考虑两种情形：( 1 ) 服 0 情形( 1 ) ，假设亿是收敛于。的正序列，s 是p 在z 一的下降方向，恻j = 1 ，口，( z 。；s ) ：a i 9 ( z ，屯) ，如正， ，= 1 ，2 如) ，如为其离散点的个数 我们还是利用前两章所用到的拟牛顿型修正来得到z k + 。，其修正公式如下： ：卜一笔警+ 糕如嬲钆 e 矾s 融， ( 4 - 2 5 ) 【风， 否则 其中 s 七+ 1 = z 七十1 一z 七，3 膳+ l = v z l ( z 七+ 1 ，a 知) 一v z l ( z 七，入七) ， 砜= m 训+ 若删j l + j f 若岫 ，| | ， 砜= 忖( z 七) + ( 九) t v 夕( 如) i l + i i ( a 七) t 9 ( 屯) l f ， | it j j ii | t ，| | 这里为给定的正常数 易知由上述拟牛顿修正能保持巩的正定性，否则刃七= 0 ，此时z 七已是原离散 问题的k k t 点，利用公式( 4 2 5 ) ，我们来证明算法4 1 在比文献 4 6 】更弱条件下全局 收敛性 4 4全局收敛性和收敛速度 当| | 刃七i i _ o 时，那么z 七_ k k t 点，否则存在叼 o 及正整数，有| l 刃七i | 叩 o ，v 七，有y 吾s 七e 叼s 丢s 七， 假设4 1 ( a ) ( s l a t e r 条件) 对所有z 詹，至少存在一个向量刃研满足 v 9 ( z 七，t ) t 刃+ 夕( z 七，t ) 0 ，使得z ，可研，t 正，有 i i v 厂( z ) 一v ，( y ) l i li i z 一可0 ， 一2 4 硕士学藿磊更一寒薹萎篓蓁装掣蓁薹垂囊鏊 ；耋奏i 蒡再! 萋霉；拍孽曩囊：囊妻l ! 重量主要霉囊；一i 鬟蓁妻j k 量耋_ 萎l i ；羹薹i 落拿喜垂罄嚣! 三辜；霎塑耋；囊翟曼；i 雪圣； 鼋，萋嚏l 。蕃翟重印l ，辇争电i 。薹囊l l 蠢。；冀鋈毒茎； 薹! 莲害詈；童霎霍 i 季蓁! 善差罪董t 薹= 喜萋结差i 霸主差雾羹= 霎蓁耆蚕i 九；薹耄差毫鼍i 、i 冀蠢季萋嗣爹峥奏! 主丛至；一i 萝! ! 夔| 垂薹辇e 雏毒童j 妻茹i 垂翼 鬈薹莲蓬；苇，霉霉。羹酽 j 誊! 羹碧j ；塞薹，董霪蓁羹；囊事；雾霎爹| | l 霎 | 蓁茎l 羹塞i i 薹霉萋= 冀霉垂辇毛；黾翱霎善；垂董 妻 ；毒五曩冀融星云! x 委| 丢垂差i 囊霍差霎j i | i 鱼是是蓊奏_ 羹震 霎，蘑萋f ；霪主；l 萱q 3 喜妻囊a 币主毛茎1 萋蜜枣至塞鏊i 弓砸哩i 莲袁薹。聋 萝雾蓬囊| j 蜀霜塞毒；曼妻主茎；茎妻孝f 萋妻 ；霎塞i 薹i ；重量& ；匹萎妻耋藿薹垂垂霄薹：；i 毒l 三章j 萄蠢墓u 至萋嚣嘉； 妻万0 鱼萎；l l 翟喜丢i ；疆药1 7 薹美 季_ 塞 i 汗璧i 蔓二二誓手。叠零：塞萋 ! l 羹；爹；i 萋萋嗣i 窭妻；霉霉式i 引薹委鬟氍i i 嚏e 蠹国蕃k l - 蓁霎譬量! 笔；一主ji 焉享i 蠢； 冷鎏n 冗r 学霎薹委】! ! 萎妻孝萎；雾主ii 雪霞l 塑霪凼 ；毫萋l 雾主耋i 霉i i 羹霪囊嘉鳝塞垂靴；季耋壬童篓董辜歹霹亳；耋羹l 萤旦_ o 章；冀囊薯耋蓬匿霎量羹爹善萋耄薹i ! 耋三耋三i 耄基雾薹薹霉兰二i ；塞 冀萋叁! 翼；宣蓁1 7 霉耋耄铰耋薹i 耋j 誊，羹董；i 毒三萎薹) ) l 季丛芋委嚣i p 冀；薹亏_ ：莹! 耋薹l 雾羹 l 蓁；l 篓l 蓍墓“i 交】薹霪一莹妻季囊| | 萋重l 霉f 鬟薹鼋枣霪星； 工1 喜 童医辱毛萤掣雾堑霉曼主；至囊冀登薹。星毒蠡薹蜜雾i 舅舅主； 主差霪；蓁霎i 耄耋一唾辇 l 篓! 沼兴揣。娑薹嚣褂纠e 隰蔫哩堰翟裂羹蓁蓁勃淞。浅轩鞠塾：量爹霪i i 譬蓄i j 藿l ； 妻i 霉妻一雾曩零童 l g 蓁l 髦雾塑二蓁聋璧琢蠹驺鞋嚣缓菰葡。萋薹酬氍；! 主藿l ；差! | 毒毒毒。；毳蠢鬈 ! 垂錾霾馕：得疆篓藜甾叁一薹翥蓼霪囊茅悬篡馨j ；霎薹主；爹蠡l 薹i ，三一雩 i 差露；篓螫塑嚣譬霞z 嫠霪简釜；爱蓁塞霸蚕。雾雾蛩墅；耋霎囊萋；手譬i 窨l ；! 霪霪一耋 萋 ! 妻垂i 莺翳冀；强覃鐾雾鑫嚣薹囊鬟膏薹鬟黧警垦雾篓；擎堕案矗笺羹薹蕞重雾 蠹 蓊；蠹矍薹鬟翼萋卫塑囊葭些蠢趔藕誊篓叼雾：耋氢氢薹。垂誉，薯塾 i 兰墨i 箭萋蓁；鎏驻滔；茧缕囊萋藿耋 x 硕士学位论文 结论 本论文主要研究了非线性半无限规划问题的s q p 算法，并证明了在较弱条件 下算法的全局收敛性 第二章给出了一个结合罚函数的对偶s q p 方法，我们不需要求其二次子问题 的解，直接求解其对偶问题获得搜索方向，并且用拟牛顿方法来修正凰，这样就得 到了在较若条件下算法的全局收敛性 第三章给出了一种结合信赖域法来求解非线性半无限规划问题的s q p 算法， 在这一章中，我们设法给出了原问题的二次近似形式，通过求解二次近似问题，我 们得到了原问题的一个近似解，并证明了在较弱条件下算法的全局收敛性 第四章给出了求解离散非线性半无限优化问题的拟牛顿s q p 方法，通过求解 离散问题来近似得到原问题的解在算法中我们通过截断b f g s 方法来修正风，这 样就使得只要风对称正定，那么就一定有风+ 1 正定并证明了在适当的假设条件 下算法的全局收敛性和收敛速度 随着高新技术的发展和社会经济的深刻变化，半无限规划问题在经济均衡，最 优控制，信息技术以及计算机网络系统等领域有着广泛而直接的应用 本文中的参数集t 为紧集然而现实情况很多半无限规划问题并不能保证紧 集这个性质，因此当t 为非紧集时，所用的相关方法值得进一步研究 本文中的紧集t 维数我们默认为不超过2 的，但同样的，在现实中有很多维数 超过2 的情形，因此当t 的维数大于2 时，这样的非线性半无限规划的算法值得进一 步探讨 一2 9 求解非线性半无限规划的序列二次规划方法 参考文献 【1 】h a r ra u b e rl i n e a ru n g l e i c h u n g e n a c t am a t h s z g e d ，1 9 2 4 ，2 ：1 1 4 【2 1 g l 勰h o f fk ，g u s t a f s o nsa e i n f u h r u n gi nd i el i n e a r e0 p t i m i e r u n g w i s s e n s c h a f t l i d l e b u c h g e s e l l s c h a f t ，d a r m s t a d t ，1 9 7 8 【3 】g l a s h o f fk ，g u s t a f s o nsa l i n e a ro p t m i z a t i o