（应用数学专业论文）非均匀耦合非线性薛定谔方程组的协变延拓结构理论.pdf

摘要 通常的w - e 延拓结构是处理可积的非线性演化方程的强有力工 具，但它是一种非协变性理论。本文将协变延拓结构理论首次应用于 非均匀两分量耦合非线性薛定谔方程组。根据协变延拓结构理论的基 本方程构造出了两种情况的可积方程组的具体形式，同时用这一理论 分别求出这两种方程组的l a x 表示以及相应的r i c c a t i 方程，还讨论了它 们各自的b 洳k l u n d 变换，最后给出了各自的单孤子解。 关键词：w 撕i q u i 啦e s t a b r o o k 延拓结构，协变延拓结构，非均匀耦合 非线性薛定谔方程组，单孤子解。 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ew - e sp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r ei sa p o w e r f u l m e t h o dt od e a lw i t hal o to fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s b u ti t s e q u a t i o n sa r en o - c o v a r i a n t i nt h i sp a p e r ，f o rt h ef i r s tt i m e ，t h ec o v a r i a n tp r o l o n g a t i o ns t r u c - t u r et h e o r yi sa p p l i e dt oc o u p l e di n h o m o g e n e o n sn o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o n s b ym e a n so ft h ef u n d a m e n t a le q u a t i o n sb a s e do nt h ec o - v a r i a n tp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r et h e o r y , w ec o n s t r u c tt h ef o r m so ft h e i n t e g r a b l ee q u a t i o n si nt w oc a s e s a tt h es a m et i m e ，w ef i n do u tt h e c o r r e s p o n d i n gl a xr e p r e s e n t a t i o n sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gr i c c a t ie q u a - t i o n so ft h o s ee q u a t i o n sb yu s i n gt h i st h e o r y f u r t h e r m o r e ，t h eb i c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n so fi n t e g r a b l ee q u a t i o n sa r ea l s od i s c u s s e d f i n a l l y , t h e i r o n e - s o l i t o ns o l u t i o n sa r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ： w a h l q u i s t e s t a b r o o k sp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e ，c o v a r i a n tp r o l o n g a t i o n ， c o u p l e di n h o m o g e n e o u sn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s ，o n e - s o l i t o n s o l u t i o n 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：又p 厨同 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版，保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名：邓明 日期：z p 僻6 月加目 l 引言 非线性偏微分方程在物理、化学、生物等领域有着重要应用。例 如流体力学中用于描述浅水波运动的k d v 方程，一维原子链模型中 的s i n e - g o r d o n 方程，非线性光学中描写光纤中光孤子运动以及生物物 理学中达维多夫模型中所涉及到的非线性薛定谔方程( 组) ，固体物理 学中的户田( m t o d a ) 模型中的非线性晶格方程，表述二维流体运动 的k p 方程，等等。 随着深入的研究，人们发现上述几类具有孤子解的非线性方 程( 组) 具有一些共同的特性，其中之一就是它们都具有l a x 对， 并有相应的l a x 表示。一旦求得了它们的l 觚表示，就可以通过所 谓b i c l d u n d 变换，较容易地求得它们的孤子解。当然，这只是求解可积 问题方法之一，还有其它方法。 通常，人们是通过所谓( 外) 延拓结构来求得给出的非线性偏微分 方程( 组) 的l a x 对的。( 外) 延拓结构的概念最初是由w o h l q u i s t 和 e s t a b r o o k 于1 9 7 5 年提出来的1 1 ，称为w - e 延拓结构理论。它是一种 比较有效的几何方法、适用于许多非线性演化方程。它们最早被用 于k d v 方程，并在【2 1 中运用于非线性s c h r s d i n g e r 方程。他们的做法 是把一个给定的( 1 + 1 ) 维孤子方程用一组构成闭理想的2 形式表 达出来，然后引入原方程的延拓变量以及它们的1 形式，将原 来的闭理想扩展成一个包舭i 的新的闭理想。他们并不直接研究 原方程，而是研究相应于扩展的闭理想的矢量丛的代数结构，这 一代数称为原方程的延拓代数。用这种方法可获得许多有趣的 结果，诸如：反散射方程，b i c k l u n d 变换以及孤子构造技术等。随 后，m o r r s ，c o r o u e s ，g i b b o n 等人又分别讨论了引力作用下的浅水 波方程，h i r o t a 方程，非线性s c h r s d i n g e r 方程组，高阶k d v 方程，自对 偶y a n g - m i l l s 方程的延拓结构( 见【3 1 ，【4 】， 5 1 ， 6 1 ， 7 1 ， 8 1 ，【9 ， , o l ， 1 1 1 ， 1 2 】) 。 延拓结构理论的建立和成功促进了用微分几何和群论研究 非线性演化方程的许多研究工作。h e r m a n n 1 3 提出了一个具体 的c a r t a n - e h r e s m a n n 联络：u = d y - bt d o + w l y + w 2 y 2 ，来解释文 献中给出的k d v 方程的s l ( 2 r ) 延拓结构。c r a m p i n 乘l 其他人【1 4 】已指 出t a k n s 1 5 方程与s l ( 2 r ) 矢量丛上的联络之间的关系。c h e r n 1 6 ， c h i n 和p e n g 1 7 ，s a s a k i 等人【18 】，【1 9 】，【2 0 】，c r a m p i n 2 1 及其他入分 别用s l ( 2 r ) 群的结构方程，伪球面几何以及s l ( 2 r ) 主丛上的平联络获 得了一系列重要结果。 然雨，w - e 延拓结构的理论体系不是协变的，上世纪8 0 年代初，中 科院理论物理所的郭汉英，吴可等几位研究人员在中科院数学所陆启 铿研究员等所作的有关纤维丛上的非线性联络理论的研究结果f 2 2 1 的 基础上，运用现代微分几何的纤维丛及其联络理论，建立了一套协变 延拓结构理论。他们证明了构造给定非线性演化方程实际上就是确立 与给定的非线性演化方程相应的纤维丛及其联络，并对延拓变量取协 变微分，使得纤维和丛的结构群恰好分别是延拓空间和延拓代数的相 应的李群。用这种方法，他们得出了一套延拓结构所满足的协变基本 方程，而不是w o h l q u i s t g l e s t a b r o o k 原来的基本方程【1 1 。根据这足协便 方程，可以很自然地得出结论：相应于非线性演化方程的联络总是平 联络，而另一方面，延拓空间上的联络的挠率却不为零。而且协变延拓 结构理论可能提供一条将一维形式延拓结构理论推广到高维形式延拓 结构理论的有益途径f 2 3 1 。 本文研究的是变系数非均匀两分量耦合非线性薛定谔方程组。对 多分量耦合非线性薛定谔方程组，已有多种文献从多方面进行了研究。 如文献 1 0 1 中，用w e 延拓结构理论研究a k n s 系统，讨论了两分量耦 合非线性薛定谔方程的延拓结构，并将结果推广到多分量耦合非线性 薛定谔方程。再如文献 2 4 】用双线性方法对( i ) 常系数两分量耦合非线性 薛定谔方程，( i i ) 常系数三分量耦合非线性薛定谔方程，( i i i ) 常系数高阶 两分量耦合非线性薛定谔方程的可积性条件进行了研究，并用这种方 法给出了( i ) ，( i i i ) 两组方程的孤子解。又如文献【2 9 1 ，通过一个变换，并 用a k n s 形式研究了一种非均匀两分量耦合非线性薛定谔方程组，得 出其l a x 表示，再由此通过b s z k l u n d 变换求得了其孤子解。最后将结果 推广到了菲均匀多分量耦合非线性薛定谔方程组， 2 当然，本文不是用w - e 延拓结构理论而是用协变延拓结构理论来 研究。本文将协变延拓结构理论首次应用到变系数非均匀两分量耦 合非线性薛定谔方程组，内容是介绍如何具体应用协变延拓结构理 论，构造出两种情况下的非均匀两分量耦合非线性薛定谔方程组及 其l a x 表示，接着再用这一理论求出它们各自对应的r i c c a t i 方程，并 在此基础上求得它们相应的b 洳k l u n d 变换，最终得出这两种情况下的 方程组的孤子解。其中，第二种情况下的方程组的l a x 表示、r i c c a t i 方 程、b 犯k l u n d 变换以及孤子解尚未见诸于其他文献报道。 本文的主体内容按如下顺序安排：除了第一部分的引言之外，接 着在第二部分中介绍一些在本文中要涉及到的基本概念以及相关的基 本理论，主要是w - e 延拓结构理论以及协变延拓结构理论。最后在第 三部分中将详细介绍如何利用协变延拓结构理论研究非均匀多分量耦 合非线性薛定谔方程组的情况。 3 2基本概念及基本理论 2 1非线性薛定谔方程 薛定谔方程最初是由奥地利著名物理学家薛定谔在研究微观粒子 的波粒二象性时提出的，它是描写微观粒子波动性的一个波动方程， 它是量子力学中的基本方程，其地位相当于牛顿方程在经典力学中的 地位。在最简单的情况下其形式为： i 争( ft ) = ( 一篆v 2 + y ( 力) 妒( 最t ) 在一维情况时它简化为： t 爰蝴) - ( 一篆昙州洲训) 它们实际上都是线性偏微分方程，与我们所要讨论的方程是不同的， 只是它们的线性部分相同而已。我们这里所讨论的是非线性的薛定谔 方程( 组) ，它们在物理学，生物学等领域都有应用。 例如在非线性光学中，当强激光在光纤中传播时，光纤介质将会 发生非线性极化，相关的一些物理量如极化矢量、介质折射率等将 与入射光的电场强度高次方有关，即将与非线性项相关，在作了适当 的近似后，可得出此情形下光场强妒( z ，t ) 所满足的非线性薛定谔方程 为 2 5 】： 虽+ 卢礤0 2 她一啪( 叫炉此一= o ， ( 2 1 1 ) 其中：o t ，p 为常数。 再如在生物物理学中，有一个著名的达维多夫模型【2 6 1 ，用以描述 信息或能量在生物体中的传播。按其最简化的模型可得到如下一个非 线性薛定谔方程： 伽爰一a + t ，昙+ g | 螂炉归o ， ( 2 1 2 ) 其中：壳，a ，l ，g 均为常数。 4 与薛定谔方程( 线性) 相比，除了有相同的线性向部分外，非线性 薛定谔方程( 组) 一般都有相应的非线性项，即待求函数的高次方项。 上述非线性薛定谔方程( 组) 是最简单、标准的情况，而本文研究 的是如下形式的变系数的并添加了线性项的非均匀两分量耦合非线性 薛定谔方程组： t 隧纛薹 z ，t ) l q z ，t ) l q z ，t ) 1 2 + ，2 ( 。，t z ，t ) 1 2 + ，4 ( z ，t l p ( z ，t ) 1 2 】 i p ( x ，t ) 1 2 2 2 孤子解 在本文的引言中已经提到，有若干类非线性偏微分方程( 组) 是可 积的，并且它们有着一种特殊性质的严格解孤子解。其特点是：某 些孤子解本身代表着波动，一般是波形保持不变的行波。但当两个或 多个孤子波相遇时，它们能很好地分开来各自继续前进，而各自原来 的波形并不发生很大的变化，犹如几个物质粒子之间的碰撞，即孤子 解具有很好的稳定性。 例如，对于上面所提到的非线性光学中的非线性薛定谔方 程( 2 1 1 ) ，我们可以求得其一个严格精确解如下 2 5 】： 纵叫) = 士 若面赤丽酬啦铲“” 其中：。，p ，后= 丽v o ，7 = u 一荔均为常数。通过改变其参数，计算随 时间变化的演化规律，并作图，即可发现该解具有上述特点，它就是一 个孤子解。 目前，在数学上把具有下列性质的非线性偏微分方程( 组) 的解定 义为孤子解 2 5 】： 向单方向传播的行波； 分布在空间的一个小区域中； 波动形状不随时间演变而发生变化； 孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。 从物理本质上讲，孤子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形 状上稳定的准粒子，其稳定性是由色散性扩散与非线性会聚两种效应 相平衡所造成的。 2 3 w a h l q u i s t e s t a b r o o k 延拓结构 这里主要根据文献 2 3 介绍一下、n s 延拓结构理论。 给定一个非线性演化方程，为方便起见，它可被表达为： f ( x ，t ，u t ，乱。t ，) = 0 ，( 2 3 1 ) 此处：。，t ，为独立变量，乱。为u 关于z 的偏微分，等等。 考虑方程中所有独立变量以及它们的偏微商所组成的空间n ，其中 任意点x n , - 表为 x p ) = z ，t ，“，“。，u t ，u 确) 。引入一组定义 在n j ：的2 一形式i = o ) 如下： 1 n 2 = 啬吒，拟p a d x ”，i = 1 ，m ( 2 3 2 ) 使它们满足如下条件： ( 1 ) 关于外微分的闭条件： 如。ci ：d a 。= 0 ，r o o do t 4 ( 2 3 3 ) ( 2 ) 在给定方程( 2 3 2 ) 的解流形sc 上，2 - 形式截面为零， ( 3 2 i s = 0 ，( 2 3 4 ) 6 而得到原方程( 2 3 2 ) 。i 称为原方程的闭微分理想。 随后引入延拓变量y 及相应的延拓1 一形式： u 2 = d y 。+ f z ( x ，剪) 如+ g 。( x ，y ) d t ，( 2 3 5 ) 并要求o 和w i 构成一个满足下列附加条件的延拓闭理想，= ，) ( 3 ) 延拓闭理想条件： d w c ， ( 2 3 6 ) ( 4 ) 适当选取延拓变量，则： i s = 0 ，( 2 3 7 ) 给出了原方程的l a x 表示。其中要涉及到某些谱参数。 闭条件( 2 3 4 ) 即为： d w 。= 乃+ 噶， ( 2 3 8 ) 其中：嘭为1 形式而鬈为肛形式。 把( 2 3 5 ) 代入( 2 3 8 ) ，可得到如下方程： d p a d x + d g 2 a d t = 乃+ 嘭， ( 2 3 9 ) 方程( 2 3 9 ) 的一组解( 矿，f i ，g i ) 即对应于原方程( 2 3 2 ) 的一组解。 进一步，人们还能得到相应于条件( 4 ) 的一般的l a x 表示。 最后，由求出的，再作一定的数学变换即可得到相应 的r i c c a t i 方程，b 孙k l u n d 变换以及原方程( 组) 的孤子解。 2 4 协变延拓结构理论 这里我们主要是根据文献 2 7 】，简述( 1 + 1 ) 维的协变延拓结构理 论。有关其详情可参阅文献【2 8 】， 2 3 。 7 给定一个( 1 + 1 ) 维的非线性演化方程( 组) ，我们能给出一组等价 的一阶偏微分方程组，其独立变量为( 茁，t ，u 1 ) ，l = 1 ，2 ，n 。接着定 义一组2 - 形式 ，这些 形式构成一个闭理想，并且在这些2 - 形式为 零时，我们又能得到原来的非线性演化方程( 组) 。 现在考虑一个主丛p ( ，g ) 和一个与p 相联系的) a e ( n ，y ，g ，p ) ， 其中n 为底空间，g 为延拓代数相应的结构群，而y 是标准纤维。 然后在丛e 上定义一个截面盯：n e ，其协变微分为： = d y 。+ 咒( x ，y ) d x p ，( 2 4 1 ) 其中： 屹( x ，掣) = r ：伍) 咒( 可) ， ( 2 4 2 ) 这里咒) 是主丛p 上的联络系数，而a ：( 可) 是延拓代数生成元的系数。 下面我( f i l l 入一个由非线性联络1 一形式诱导出的联络： 三l = l d x p = 【a 豢+ a - p b ( z ) 矩( 可) a 】出p ，( 2 4 3 ) 用群g 作用在纤维y 上便诱导出y 中的一个坐标变换，在该坐标变换下， 上述诱导联络l ：是线性的。 利用诱导联络三：。就能定义如下的协变外微分： d + = 幽+ 弓 = 寻a ：如p d x ”+ ；嘭 ，( 2 4 4 ) d + 玛= d 巧+ l 骘= ；玛p ，d x p d x ”， ( 2 4 5 ) 其中的和蟛分别是主丛p 上的曲率系数和纤维空间中的挠率系 数。它们和k 乳，可表达成如下形式： ：雾一筹+ c c b a r 咖b p c , ， ( 2 - x u 4 p ”l 吕切”1 9 z p 。扫1 肛1 ” 、一 咏= 碍豢叫嚣， ( 2 4 7 ) 霹p ，：面o l ) v 一警+ i 坳1 一i 。l p ( 2 镪) 如果我们把底空间n 上的闭理想i 延拓成为丛e 上的闭理想，= ， 就有：d + c ，。 利用( 2 4 4 ) 以及闭理想条件，我们可得到下列用于决定延拓结构 的协变得基本方程： ；晖a ，i 如p 如”= 易。卢， ；峨i 。k w l = 讲刖， ( 2 4 9 ) ( 2 4 1 0 ) 这里的霸和叼；分别是底空间n 上的肚形式和1 - 形式。 最后要指出：在求出上述基本方程的一组解以后，即得出一组主 丛上的联络系数咒( x ) 以后，我们就可以完全决定给定非线性系统的 延拓结构。 下面就是具体运用协变延拓结构理论，即求解一组联络系数e 以 决定给定的非线性偏微分方程组的延拓结构。这正是本文的主要内 容。 9 3 协变延拓结构理论在非均匀耦合非线性薛定谔方程 中的应用 3 1对一般的方程组的处理 本文对于非均匀耦合非线性薛定谔方程组： 啦i q tq + - r l q x x 。 + 。| - 2 ( f lj q 2 。+ + f 2 1 p 1 2 。) ) q p + + f g p q = r 2 p z2 ( f 3 1 q f 4 1 p l ：。0 ： ( 3 1 1 ) i 啦+ z +2 +2 ) p + g p = 、 7 其中：g ，p ，r l ，r 2 ， ，2 ，3 ，4 ，e g 均为x ，t ) 的函数。 的可积性问题进行研究。 这里我们打算用协变延拓结构理论确定出r l ， 2 ， ，2 ，3 ， ，只g 而 构造出可积方程组，并求出其l a x 表示。 为了方便起见，将上述方程组及其共轭方程组变形为如下等价形 式： f q t i r l 。一2 i ( f l l q l 2 + ，21 p f 2 ) 口一i f 口= 0 ， pt西-一ir2打pizz。-一2i(f3lq2+2+f4龙1p12lp)p2)-矿igp=+0qxz 2 i ( f ：l q l i fq 。 = 0 ，( 3 1 2 ) l 一西一打i 一2 + 龙l p 2 ) 矿一 + + = ， ”7 【一p ；一z r 2 p ；。一2 i ( f ；l q l 2 + 片i p l 2 ) 矿一i g + p + = 0 接着我们可以写出一组1 0 维空间x = z 1 ，。2 ，x 3 ，z 4 ，。5 ，z 6 ，。7 ，z 8 ，z 9 ，x 1 0 l = z ，t ，p ，g ，p z ，矿，矿，虻，鹾) 上的2 一形式如下： q 1 = d p d t p z d x a d t ，( 3 1 3 ) o t 2 = d x a d p i r 2 d p x a d t 一 2 i ( f a l q l 2 + a l p l 2 ) p + v p l d xad t ，( 3 1 4 ) o t 3 = d 口a d t q z d x a d t ， ( 3 1 5 ) 0 4 = 如ad q 一饥d q z a d t 一 2 i ( f d q l 2 + f 2 1 p 1 2 ) g + i f p d xad t ，( 3 1 6 ) 1 0 o 5 = d p * a d t 一砖d x a d t ， a 6 = 一d xad p + 一i 呓蟛ad t 一【2 i ( 劈i q l 2 + 趱l p l 2 ) p + + i g + p + 】如ad t a 7 = d q + a d t 一如a d t ， 0 8 = 一d x a d q + 一i r ：d a d t ( 3 1 7 ) ， ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 一 2 i ( f f l qj 2 + ；l p l 2 ) 矿+ i f 4 q + 如ad t ，( 3 1 1 0 ) 可以验证j = n 1 ，口2 ，a 3 ，n 4 ，0 1 5 ，q 6 ，o l 7 , 口8 ) 为一闭理想。显然，当这一 闭理想被限制在解流形 x 7 = z ，t ，p ( z ，t ) ，g ( z ，t ) ，p 。( z ，t ) ，口譬( z ，) ，p + ( 军，t ) ，q + ( z ，t ) ，瑶( 。，) ，( z ，t ) 上时，即有l x ，= 0 ，就得到了原方程组( 3 1 2 ) 。 按照协变延拓结构理论，引入一组下列1 一形式： u 4 = d y 4 + 1 1 ：( x ，y ) d x p = d y 4 + r ：( x ) a ：( 秒) 如p 使得，= 0 1 ，0 2 ，0 3 ，o l 4 , a 5 ，0 6 ，a 7 ，0 1 8 , ) 成为一个扩展的闭理想。其 中的y 为延拓变量，而整数i 取决于延拓代数的表示空间的维数。 由，7 的闭条件，用协变延拓结构理论可导得下列基本方程 2 8 】， 2 3 ： 瑶，d x p a d x ”= ，5 扩，( p ) ( 3 1 1 2 ) j 比处：p ，= 1 ，2 ，1 0 ，p = 1 ，2 ，8 将2 一形式( 3 1 3 ) ( 3 1 1 0 ) 代入上述基本方程可以得到： 碍2 + 碍3 2 i p ( a l q l 2 + f 4 l p l 2 ) + i p 纠- i - 西 2 i q ( f l l q l 2 + ，2 l p l 2 ) + i f q 一碍7 ( 2 却广( ，；i q l 2 + f g l p l 2 ) + i g + p + 】一硝 2 妒( 片i q l 2 - i - 龙例2 ) + i f + q + 】 一p z 砀一q z 吆一虻霞7 一菘氇= 0 ，( 3 1 1 3 ) f 2 2 5 一西2 耳3 = 0 ，用6 一i r l 昆= 0 ， 巧9 + 咙巧7 = 0 ，舅1 0 + i r 礁= 0 ，( 3 1 1 4 ) 矸5 = = 码= 日1 0 = 0 ，( 3 1 1 5 ) 冗，= 0 ，( p ，= 3 ，4 ，l o )( 3 1 1 6 ) 1 1 利用( 3 1 1 6 ) 并根据公式： 巧，= a ：= ( 器一嚣+ 吃啪c a 。i 其中g 篙是所取的延拓代数的结构常数 我们可解得 瑶= 珊= 聪= 瑶= 巧= 瑶= 瑶= r ? 0 = 0 并将( 3 1 1 3 ) 一( 3 1 1 5 ) 化简为： 筹一筹+ r 2 巧嗫+ 丽a r l 【2 i p ( f 3 1 口i 。+ 胁j 2 ) + i g 纠 + 器陋砒1 2 + 槲f g 】一磐阿( 尉卯g 】 一面a r l 【z w , ( e l 铲+ 跏1 2 ) + 纠一m 器一啦等 一缱雾一醛筹= 0 ( 3 ) 菘引仡苟面刮n 奇， 器一蚵雾，器一昕器， c 3 工- 8 ， 筹：筹：筹：箬：o t ，o o 一1 1n 、。1 8 p z8 8 磁8 畦 、 同时，( 3 1 1 1 ) 也变成： u = 匆4 + r 2 ( x ) a ：( 兰，) 如+ r 2 a 、n ， 。i ( y ) 出( 3 1 2 0 ) 我们下面的任务就是要求出, b 是s l ( 3 ，r ) xr ( a ) 上的联络系 数r z 和磁，( n = 1 ，2 ，8 ) ，使它们满足方程组( 3 1 1 7 ) 一( 3 1 1 9 ) 经过较为繁琐的计算，我们从方程组( 3 1 1 7 ) 一( 3 1 1 9 ) 中求得q ，e 有y g , l n 种情况的解，并同时解得相应的f ，g 的形式。它们对应于两种 不同的非均匀耦合非线性薛定谔方程组，下面就分别讨论。 3 2两种情况下的方程组及其结果 情况( 1 ) ： = 0 ，崞= n = r = ，= 办= 疗，( i = 1 ，2 ；j = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 3 2 1 ) k = 0 ，九= - ；k a ，f + = f = g = g + = k a x + 妒， ( 3 2 2 ) r = 2 a ( t ) ，r ；= 一q ，f i = 一矿，砰= q ， r 2 = 一i a ( t ) ，f 2 = 0 ，f i = p ，f 2 = 0 ， ( 3 2 3 ) r 5 = 一r ( | q 1 2 + l p l 2 ) + 6 a 2 r 一；七a z 一；妒，r ；= i r + q x + 一3 a r + q + ， f 2 = i r + 虻一3 a t + p + ，f ；= i r q z + 3 a r q ， r 2 = t r i p l 2 3 t a 2 r + i 七a z + ；妒，r 2 = - - i r p + q ， r ；= i r p z + 3 a r p ，f 8 _ 一i r p q + ( 3 2 4 ) 其中：k = k ( t ) ，妒= 妒( t ) ，a = a ( t ) 为含时谱参数。 至此，在情况( 1 ) 下原方程( 3 1 1 ) 化为下列可积方程组： 缅+ + 2 r ( 1 q 1 2 。+ i v ( 2 。) q + ( 七扣+ 妒) q 2 o ， ( 3 2 5 ) l 饿+ q k 。+ 2 r ( i q l 2 + 旧1 2 ) p + ( k a x + 妒) p = 0 ”1 其中：吼p 均为( x ，t ) 的函数而r ，k ，蛾a 均为t 的函数， 为了求出该方程组的l a x 表示，我们取延拓空间 可1 ，y 2y 3 ) 作为 延拓代骜s l ( 3 ，冗) r ( a ( ) ) 的3 维表示空间。s t ( 3 ，冗) 的8 个生成元= a ：( 可) 赤，( 。= l ，2 ，8 ) 。的线性表示如下： fx 1 = i 国1 b l 一可2 6 2 ) ，恐= 一y 1 6 2 ， 恐xa：=彳-y162b3+,x4=，-凰y2b：l,y353 彳6 3 ， ( 3 2 6 ) l 恐= 一可2 6 2 + ，凰= 一耖2 6 3 ， 1 【* = 一可3 6 1 ，弱= 一矿6 2 ， 其中玩= 蒜，o = 1 ，2 ，3 ) 。利用( 3 2 6 ) ，我们可以计算延拓代 数“( 3 ，r ) 的对易关系： 阢，矧= 一x c ，( a ，b ，c = 1 川2 一，8 ) ， ( 3 2 7 ) 从中可以求得各个结构常数c 矗如下： 晓= 一= 一2 i ，= 一岛= 一i ，= 一2 2 i ， 瓯= 一唱= i ，= 一= i ，魄= 一2 一i ， 嚷= 一= 1 ，曝一一铭= 1 ，锡2 一镌。- 1 ， 嚷= 一魄= - 1 ，强= 一璐= 一1 ，嘞2 一砚2 ，( 3 2 8 ) 岛= 一= 1 ，强= 一魄= 1 ，强= 一皑。一1 ， = 一= 一l ，镶= 一c 3 5 = 2 ，谒= 一= 一1 ， 曝= 一e ；5 = - 2 ，= 一c 6 = 1 ，魄= 一c i 6 2 1 ， c 易= 一= i ， 还可从( 3 2 6 ) 中求出各生成元的相应系数a ：( 可) 如下： ( 3 2 9 ) 利用这些系数a ：( ) ，将( 3 1 2 0 ) 限制在解流形上，即令：l = 0 ， ( 萎) 。= - m ( 萎) ，( 象) 。= ( i ) 2 。， 其中：m ，n 即为情况( 1 ) 中的方程组的l a x 表示，具体如下： ，一i r m = i r i l r i 口 p 、 弧0i ，( 3 ，2 1 1 ) o 弧j ， ：( 葛5i r 童r ；曼；) = n n n 1 z n , a ) - c 3 2 ，2 ， c ii叭圹o 赡。= 一 = ，34=38“心牾擒 一0 ，产 l l l l 一。善已 0驴、，一 l l 一加o 芝薯 址0 砖 =。矿0壮玑卅划 o ，i l 建碍 ，!， k r i i i 碍 碍建o，n 叭叭彳 砖砖砖碣 罨| 寸书 ，。一 i i 、， ，a l q 砰t 砰 蹯+ 磴 1 1 订 其中：1 1 ：打( 2 + l p | 2 ) + 警七蛔+ 鬈i p 一6 i a 2 r ，1 2 ：i r q x + 3 a 加， 1 3 = i 啦+ 3 a r p ， n 2 1 ：j r * q * 一3 a t + 矿，n 2 2 ：一i r l q 2 一：七a z + 3 i a 2 r 一；妒， n 2 3 = 一订p q + ， n 3 1 = i r + 砖一3 a r + p + ，n 3 2 = - - i r p * q ， 曲：一i r p 1 2 一；七a z + 3 i 入2 r 一；妒 接着仍用协变延拓结构理论来求得相应1 拘r i c c a t i 方程。为此，可作 变换u ：篓，t ，= 筹，将延拓代数s i ( 3 ，冗) 在3 维延拓空间 暑，l ，y 2 ，圹) 中 。 ” 。 的一个表示变换为在2 维延拓空间缸，口 中的一个表示。其8 个生成元 为： 叉- = 讥未一妇嘉，殇= 一钍嘉， x 3 ：u 2 未u + 钍u 嘉，- 4 = 一口瓦0 ， 叉s = 一一2 丽0 ，- 6 = 伽未+ 口2 嘉， 节 a 五72 一瓦， 节 a a 85 一瓦，( 3 2 1 3 ) 容易验证这些生成元仍满足对易关系式( 3 2 7 ) 。 在2 维延拓空间 “，u ) 中将( 3 1 2 0 ) 限制在解流形上，即令l x ，= 0 ， 再m ( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) f 1 1 ( 3 2 1 3 ) ，立即可得到与( 3 2 5 ) 相应的r i c c a t i 方 程： 仳z = 一3 i a u + q v + p + 矿“2 = - - q + + p + u v ， ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) 毗= i r ( i q l 2 + 2 f p l 2 ) + i k a x 一9 i a 2 r + i l ，o u + ( i r q x + 3 a r q ) v + 打m + 3 a r p 一( i r + p z 一3 a r p + ) 钍2 + i r p + q u v ， ( 3 2 1 6 ) 饥= ( 打+ 畦一3 a t + q + u + 打( 1 p 1 2 一l q 【2 ) u i r p q + 一( i r + 一3 a r * p + ) 仳秒+ i r p * q v 2 ，( 3 2 1 7 ) 1 5 现在根据上述r i c c a t i 方程可求得与方程组( 3 2 5 ) 相应的b 茜c k l u n d 变换【2 9 】为： ， 3 i ( 入一a + 1 u p 叩。一再商耳评 ， 3 i ( a a + ) u v q q 2 一再啊嘶， ( 3 2 1 8 ) ( 3 2 1 9 ) 最后，记a = a o + 钾，其中知，7 为含时实函数。由上述r i c c a t i 方 程和b 茜c k l u n d 变换，可求出方程组( 3 2 5 ) 的单孤子解 2 9 如下： 即唧卜- i ( 3 a o x + ，( 9 ( a 3 7 2 ) r 一妒) 疵) 】 夺08u37眷泺筘髯一，)】(32203瞄7e x p - i ( 3 a o xv ) d t ) + ，。( 9 ( a 3 一，y 2 ) r 一) 】 c 6c o s h ( 研。+ 1 8f a 0 7 r 矗t 7 ) 印f 2 = 1 + f d o l 2 ， r l2 - - r 22 一r2f2 ，12 一，22 一矗= ，4 ，r = r ，r x = 0 ( 3 2 2 1 ) 1 k = 0 ，a t = 一言七a ，f + = f = g = g + = 七a z + 妒，( 3 2 2 2 ) r = 2 a ( t ) ，r = q + ，r 一p ，r = q ， r 5 _ 一认( d ，r 2 = 0 ，r j = 矿，r i = o ， ( 3 2 2 3 ) f 5 = r ( i q l 2 一i p l 2 ) + 6 a 2 r 一；七a 。一；妒，r ；= 一打- 4 q x + + 3 a r + q + ， r ；= i r p x 一3 ) r p ，r ；= i r q x + 3 a r q ， r 2 = 打l p l 2 3 i a 2 r + ；七a 。+ ；妒，r 2 = 一i r p q ， r ；= i r + 虻+ 3 ) w 4 矿，f 2 = i r * p q ( 3 2 2 4 ) 其中：k = k ( t ) ，妒= 妒( ) ，a = a ( t ) 为含时谱参数。 至此，情况( 2 ) 下原方程( 3 1 1 ) 可化为下列可积方程组： ：篆：搿二黧p l 二浅揪v ) v 三。0i 2 街，i 锄一慨+ 2 7 ( 1 q 1 2 一i2 ) p 一( 七a z + = _ 。7 其中：口，p 均为( x ，t ) 的函数而r ，七，仍a 均为t 的函数， = = ： p 口 中 rj【其h2 (况情 ( 至) 。= m ( 萎) ，( 萎) 。= ( 萎) c 3 2 2 6 ， ，一i r m = i r r i r 订 + r i r 2 螺瓣心(nilf i fff n 2 1 = i ；5 + l2 l - i r 2f 2一r l 3 1 p 、 0 i ，( 3 2 2 7 ) t ) 其中：1 1 ：一打“q 1 2 一i p l 2 ) + i 2 i 后a z + i 2 i 妒一6 i a 2 r ，n 1 2 ：i r q x + 3 a r 口， n 1 3 = i r + 虻+ 3 a r * p + ， 2 1 = 一i r 4 q x + 3 a r + q + ，n 2 2 = i r l q l 2 一；七a z + 3 i a 2 r 一言妒， n 2 3 = i r + p + q + 9 3 1 = i r p x 一3 a r p ，n 3 2 = 一i r p q ， n 3 3 = 一打旧1 2 一；七a z + 3 i a 2 r 一；妒 接着仍用协变延拓结构理论来求得相应的r i c c a t i 方程。用与情 况( 1 ) 相同的方法，作变换u = 器，口= y z ，将延拓代数s 1 ( 3 ，r ) 在3 维 延拓空间 可1 ，y 2 , y 3 ，中的一个表示变换为在2 维延拓空间 札，口) 中的一 个表示，当然仍是得到( 3 2 1 3 ) 。 还是在2 维延拓空间 “，t ， 中将( 3 1 2 0 ) 限制在解流形上，即令i = 0 ，与情况( 1 ) 不同的是，此处用( 3 2 2 3 ) ，( 3 2 2 4 ) 及( 3 2 1 3 ) ，而得到与 1 7 口後0 罨i 矿呻 ，j一 = 、ll 珥磴q 勰2 、 坛m 飓 方程组f 3 2 2 5 ) 相应的r i c c a t i g 馏 = 一3 i a u + q v + p + + p u 2 ，( 3 2 2 9 ) = 矿札+ p u v ，( 3 2 3 0 ) 毗= 【一i r ( i q l 2 2 1 p 1 2 ) + i k a x 一9 i a 2 r + 纠乱+ ( i r q x + 3 a r q ) v + i r + p z + 3 a r + 矿一( i r p x 一3 a r p ) u 2 + i r p q u v ，( 3 2 3 1 ) 仇= ( 一i r 幸畦+ 3 a r + q + u + i r ( i p l 2 + l q l 2 ) 秽 - j r + p * q + 一( i r p x 一3 a r p ) u v + i r p q v 2 ，( 3 2 3 2 ) 同情况( 1 ) 一样，可根据上述r i c c a t i 方程可求得与方程组( 3 2 2 5 ) 相 应的b 犰l 【l u n d 变换 2 9 1 为： ， 3 i ( a a + 1 “+ p 叫2 一再雨e 评 ， 3 i ( a 一 1 “矿 q 叫2 再下商 ( 3 2 3 3 ) ( 3 2 3 4 ) ：二兰i：coclo；s；hi(3i7ix；糍4-18 a o t r d t ，出，。3 2 3 5 ， j 。f 。 7 )，口r ) lg 一塑繁蒜篙铲一“ 1 8 参考文献 【1 】h d w a h l q u i s ta n df b e s t a b r o o k ，j m a t h p h y s 1 6 ( 1 9 7 5 ) 1 【2 】f b e s t a b r o o k ，h d w a h l q u i s t ，j m a t h p h y s 1 7 ( 1 9 7 6 ) 1 2 9 3 3 】hc m o r r i s ，j m a t h p h y s 1 7 ( 1 9 7 6 ) 1 8 6 7 ( 4 】c o r o n e s ，j m a t h p h y s 1 7 ( 1 9 7 6 ) 7 5 6 【5 】c o r o n e s ，j m a t h p h y s 1 8 ( 1 9 7 7 ) 1 6 3 6 】a ，r o y , c h o w d h o w g ，j m a t h p h y s 2 1 ( 1 9 8 0 ) 1 4 1 7 吲h c