（计算数学专业论文）对称次反对称矩阵的反问题.pdf

摘要 本文主要讨论了对称次反对称矩阵特征值反问题，即 i i a x z 1 1 2 + 1 1 y 7 a w 7 4 2 = m i n i i a x b | | = m - n i 陋7 丘r b 1 1 = m i n 的最小二乘解， a x ：z 且y 7 a = w 7 解存在的充分必要条件，分别给出了解的具体表达式，对于给定的矩阵 给出了存在最佳逼近解的充要条件以及最佳逼近解 关键词：对称次反对称矩阵反问题，( 左右) 逆特征值问题最佳逼近解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，e i g e n v a l u eo fs y m m e t r i ca n ds k e wa n t i - s y m m e t r i ci sd i s c u s s e d s u c ha s l e a s t s q n a r e s 。fi 似一z n 爿一矿 1 2 = m i n ，i i a x - b i i = m i n ， 删一b 0 = m i n ， a n dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n st ot h e= zw i t h w h i ly 7 4 = w 7 , t h e e x p r e s s i o no ft h eg e n e r a ls o l u t i o n st ot h i sp r o b l e m s i s g i v e n t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h em a t r i c e sg i v e na r es t u d i e d ，t h eo p t i m a la p p r o x i m a t es o l u t i o ni sp r o v i d e d k e y v o r d ：s y m m e t r i c a n ds k e wa n t i - s y m m e t r i cm a t r i c e st h el e f ta n dr i g h t e i g e n v a l u e i n v e r s ep r o b l e m s o p t i m a la p p r o x i m a t i o n 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产 权归属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论 文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸 质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使 用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名 单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：遵二查导师签名：立圣童望日期 原创性声明 y7 8 1 7 0 5 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下 独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或 未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经 注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个入和集体， 均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：i 多、套日 期：论文作者签名： i 生二：! 日期： ) “j ( | 嚏 1 i 概述 第一章概论 1 矩阵反问题 数学中有各种各样的反问题( 也称逆问题) 例如，计算6 + 5 = l l 是一个求和问题( 也称 正问题) ，它的反问题是求两个数使它们之和等于l l ；求不定积分是求导数的反问题，等 等一般说来，反问题要比上e 问题复杂，而且反问题的解往往带有某种程度的不适定性如 果要求反问题的确定的解，则需要附加一些限制条件例如，上面求和问题的反问题有无 穷多个解，如果限制要求两个正整数之差的绝对值晟小，则上述求和反问题的唯一解为( 6 ， 5 w 由于加法具有交换律，所以可不考虑两个数字的次序) 在数学物理问题中，人们根据给定系统的方程式和解的条件求系统的变化状态称为正 问题；另一类是在给定的方程式下从方程的解或船的某些部分或附加一些其它条件，反 过来求方程的系数、边界条件等，这就是数学物理上的反问题 矩阵反问题的研究从6 0 年代至今已有很大的发展，并在许多领域中有着极为重要的应 用，同时在数学领域的其它分支中也得到了应用和发展。近年来，由于实际问题的需要， 矩阵反问题的研究呈现出非常活跃的趋势。 代数特征值反问题在阉体力学、物理学、量子力学、结构设计、系统参数识别、自动 控制等许多领域都具有重要的应用，而反问题所具有的内在的不适定性给代数特征值反问 题的研究带来了不少困难，但也使它更具有桃战性和吸引力6 0 年代末7 0 年代初以来， 代数特征值反问题的研究日益受到数学界的重视，其研究具有广阔的应用前景 在数值代数中，已知一个矩阵，求其特征值或特征向量，称为矩阵特征值问题，矩阵 反问题就是在一定的限制条件下，求矩阵使其具有预先给定的特征值或特征向量。例如， 在求鳐线性代数方程组a x = b 的一些迭代法收敛研究中，就娶寻找一个非奇异矩阵d ，使 矩阵d 一。a d “的条件数最小这本质上可以作为矩阵反问题t 1 2 反问题研究的几个问题 矩阵反问题大体上可以分为如一f j l 个部份 一、反问题的提法 二、反问题解的存在性 三、反问题解的构造 四、给定矩阵，寻找反问题解的最佳逼近 五、与反问题有关的其它问题 2 要研究的几个问题 定义1 设a 2 ( o f ) r 满足。口2 a 口u = 一a ，+ l p ，( i j = l ，2 ，n ) ，则称矩阵a 为对称 次反对称矩阵，所有i l x r l 阶实对称次反对称矩阵的全体记为b a s r 定义2 设a 气口f ) r “”满足口口2 一口，o 口2 d w “m ( i j 2 l ，2 ，n ) ，则称矩阵a 为反对称次 对称矩阵，所有n x n 阶实反对称次对称矩阵的全体记为a b s r 本文主要讨论如下问题： 问题i 给定j ，z r ，y ，w r 求a 删豫使得 l 删一z l l 2 + i i y 7 彳一7 1 1 2 = m i n 目题i i 已知a r ，求a b a s r ，使 卜二h i n f i a - a l l ， 其中s e 是问题i 的解集合 问题l i i 给定x ，z r ，y ，w r “求a b a s r 使得 i a x = z 1 l r 爿：w 7 问题i v 已知a r “，求a b a s r ，使 卜牛聪4 小o 其中s e 是问题i i i 的解集合 问题v 给定矩阵x ，b r ，求a b a s r 使得 f ( a ) = l i a x - b t l = r a i n 问题v l 给定a r “”，求ae b a s r “”，使 2 卜特i n f 。i a - a l l 其中s e 是问题v 的解集合 问题v i i 给定矩阵x r “9 ，b r 9 ”，求a b a s r 使得 ，( 彳) = 胪a x b l = m i n 问题v i i i 给定a r “，求4 s e 使 卜二h i r 。 i a - 4 ， 其中& 是问题的解集合 3 预备知识 1 矩阵的f r o b e n i u s 范数的定义及有关性质 定义1 1 设矩阵一= ( 嘞) r ，把数| ；i 称为矩阵a 的f r o b e n i u s 范数， r n 、i = = 1 记圳4 0 除非特别指出，本文中矩阵的范数均指f r o b e n i u s 范数 定义1 2 设向量x ：( 而，x ：，b ) r 尺一，称数( n x ? ) 为向量x 的二范数，记 为x0 ： 引理1 1 设向量x = ( j l ，屯，x 。) 7 r ”，u = ( ) o r “”，其中o r “”为正交矩阵 的全体，则 证明由于u 是正交矩阵，故 于是 u x l l 2 刮x l l2 u u = ，。 u x 惦= ( c r ) 7 ( 【胼) = x 7 ( u 7 u ) x = x x = 4 i x 畦 引理1 2 设4 = ( ) r ，u = ( ”) o r “，则 j l 洌l = i i a u i i = i i a i i 证明： 记a = ( 口l ，口2 ，o n ) ，则由引理1 1 ，有 月 6 删| 1 2 = i | ( 妇。，u a ：，u a ) 1 1 2 = y , l lu a 。惦= 慨畦= 怕i i 2 l z li t l 同理可证i i a u l i = l ia i | 证毕 引理t ，若矩阵a = ( i2 ，其中4 ，4 ：，4 ，4 为矩阵a 的分块矩阵，则 0 一i j 2 = i i 。1 1 2 + l l 爿：1 2 + i i 爿， 1 2 + i i 爿0 2 证明：利用定义l _ 1 易证 2 矩阵的奇异值分解 4 定义2 1 设r ：”p 0 ) ，x ”x 的特征值为 兄旯：a ， 旯。一一允。= 0 则称玎，= 石( 滓l ，2 ，m ) 为x 的奇异值， 引理2 1 设x r ：。( r 0 ) ，则存在矩阵u 0 嘘，v o r ，使得 醐 其中= d a i g ( c r l ，仃2 ，仃，) ，而盯，( i = 1 , 2 ，) 为矩阵x 的全部非零奇异值 3 矩阵的广义奇异值分解 矩阵对k 7 ，砭7 j 的广义奇异值分解为 = 三q 七；：；，：= ( 0 2s。2七；：， 女= r a n k x i r , x 2 i j ，p k r “k 陋；) s = r a n k ( x t t ) + r a n k ( x j l ) 1 【， 定义4 1 设矩阵a r ，若矩阵x r ”“满足如下四个方程 a x a = a ，x a x = x ，( a x ) 7 = a x ，。【a ) 7 = x a 则称x 为a 的m o o r e p e n r o s e 逆，记为a + 引理4 1 设矩阵r ：“p 0 ) 的奇异值分解如引理2 1 所示，则 5 对称正交矩阵的结构 x + ：矿_ l0 引理5 1 若a 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵q ，使得 a = q d i a g ( t ，如， ) - q 7 其中 ，如，九是矩阵a 的特征值，且它们都是实数 引理5 2 对n 阶对称正交矩阵p ，存在n 阶正交阵u ，使得 p = u ( 0 1 ：一。 7 l一。j 证明：由p 是实对称矩阵，故其特征值是实数，又由p 是正交阵，故其特征值的绝对值是 1 ，从而p 的特征值是1 或- 1 由引理5 1 即得。 证毕 引理5 3 设p 为对称正交矩阵，记p ，为n 阶单位矩阵l 的第i 列( i - 1 ，2 ，。n ) ， s 。= ( e 。，e ，巳) 当p = - s 。，n = 2 k ( k 为非负整数) 时，有 0 一护，其中u 姒1 ( 足i , 三 ” 当p = s 。，n = 2 k + l ( k 为整数) 时，有 p ：u 卜一 10 6 矩阵方程的最小二乘解 = 击阱0 矩阵方程a x = b 在某一范围内不一定有解，但它的最小二乘解必存在以下引入矩阵方 程的最小二乘解的定义 定义6 1 使得0 a x 一纠i = m i n 的矩阵a 称为矩阵方程a x = b 的最小二乘解 矩阵方程的最小二乘解不一定唯一 7 最佳逼近定理及有关结论 矩阵方程的解或最小二乘解不一定唯一，但其中与给定矩阵的最佳逼近解是唯一的以 下引入晟佳逼近定理及有关知识 6 e 、ij o s u 、，ll t 0 ，一 定义7 1 设e 是内积空间u 的一个子集，如果对任意x ，y e 以及o 口l 的任意实 数口，元素口x + ( 卜口) y e ，则称e 是u 中的凸集如果e 既是凸集又是闭集，则称e 是u 中的闭凸集 定义7 2 设e 是内积空间u 的一个子集，x u 为给定的元素如果e 中存在元素y 使 则称y 是x 在e 中的一个最佳逼近元 卜y i n 。f ，x - z 。 引理7 1 1 1 9 1 ( 晟佳逼近定理) 设e 是完备的内积空间i i 中的非空闭凸集，则1 1 中的 任一个元素x 在e 中存在唯一的晟佳逼近元 引理7 2 给定一= ( “p ) ，b = ( 6 口) r ”，定义 ( 一，b ) = q b f ，2 ( 1 3 - 1 ) 则如上定义的( ) 为空间r “上的内积，且r ”按此内积构成完备的内积空间此外，若 a r ”“令 i i a i l = 而 m , j l l a i i 为矩阵a 的f r o b e n i u s 范数，它是由此内积导出的 ( 1 3 - 2 ) 证明：易于验证，如( 1 3 - 1 ) 定义( ) 的满足内积的全部条件。从而r 按( ) 是一个 内积空间由定义i i 知，如( 1 3 0 ) 定义的恤8 为矩阵a 的f r o b e n i u s 范数，它满足范数定义的 全部条件下证胄“”按如( 1 3 一1 ) 定义的内积导出的范数即f r o b e n i u s 范数。每一个基本点 列都收敛于r “”，从而它是完备的内积空间 设 a 。 cr “”是一基本点列于是对任给的e o ，存在仅与e 有关的正整数n o ，使得 当m i n 时，有i 似。一a i l 譬记一。= 0 ；l 。4 = 0 ：l 。，由定义( 1 3 2 ) 可知 口；一口：l 马1 4 。一a ，l i o ，p = ( 弓，只) e o r “，o = ( q j ，q 2 ) o r 22 d i a g ( a i ，球2 ，盘- ) o u l r “一h 1 ，_ r ”“p l r x ，q i r 舭 = r a n k ( x i ) ，r 2 = r a n k ( x 2 ) 记巾2 ( 办) ，九2 孺1 ( 1 f ，l ，恐) 则0 a x 一占0 = m i n ，a a b s r 的一般解为 t z = 。( ，0 。，言 z ，7 ，r r t n 一 - i 这里 f ：- r 。+ ( u ? 曩暨兰霹鼻) 一m 占；巴 p r u ：b i o - ；1 a 2 2j v a 2 2 砂一一 k ( 一 ) 定理1 给定x ，z r ，y ，w r “令 x l = ( z ，s 。y )b ：心。z ，一w 1 。7 x ，= ( 妻： ，。7 旦= 盖： 其中x i l ，b i i r ”一蛐”+ n ，爿1 2 ，b 1 2 r k 。枷+ 7 并且x l i 和j 1 2 的奇异值分解分别 ：v r = u i z i 帅，。= p f 吉：q r = 稿9 u = ( u l ，u 2 ) o r “。，v = ( k ，匕) o r ( “) 。( “) 1 = d i a g ( 盯l ，c r 2 ，t 3 r 。) o ， p = ( 鼻，b ) o r “，q = ( q 1 ，q 2 ) o r ”+ m ”+ 。 ( 2 i - 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 2 ) 0 ，。l u i l i 中 x 箕 22 d i a g ( a i ，口2 ，口) o u j r ”) x ，i k r “) x ，1 p l r “，q l 胄“。 r t = r a n k ( x 1 ) ，r 2 = r a n k ( x 2 ) ， 记中2 ( 办) 九2 i r 乏万( 1 s s ，1 蔓，r 2 ) 则问题i 的解为： 4 = 瓯。( 一f 0 ，吾 。7 ，旯“4 扯 这里 f ：u f ( u r b i i q ，1 e ：一蜀t 2 鼻) 一i 一稚b 1 p r lu ；b 1 q , z - 2 如j v a 2 2 胄( ”一一1 i 怔一 ) p 。一y = 一只爿 所以 l 阻一z l l 2 + f l y 7 4 一w 7 2 = l l s 。a x s 。z u 2 + f l y 7 s s a 一1 1 2 = 慨删一s 。z 卜陋_ ) r 瓯y 一矿8 2 = 慨a x s z l l 2 + l l 乜a ) s 。y 一( 一矿) 1 1 2 = ll s 。a ( x ，y ) 一( 鼠z ，一形硼2 = l l ( s 。a ) 五一日0 2 令 s 。a = c 由引理2 知c a b s r 显然问题i 转化为求c a b s r 使 i i 倒，一日8 2 = m i n 由引理3 知( 2 1 2 0 ) 的解为 c = 一：，言) 。7 ，f 震“ k ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 - 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) r 2 1 - 2 0 ) ( 2 ，1 2 1 ) 【，f 中+ ( u 曼：一p 二鼻) 一- l 曙磋足 p r lu ；b ”q 1 a ：j 将( 2 i - 2 2 ) 令 3 问题h 的解 当n = 2 k 时 不知。， w 2 2 r ”一。一郴一h ) ；呱酣( 童。 ( 2 i - 2 2 ) ( 2 1 2 3 ) 珏扣s 。酣( 纣a 2 2 = 1 ( i , - s 脚( 皇 当n = 2 k + l 时 互，= 圭仉。一瓯f 。一( 多 互：= 妣p 定理2 已知a r “，其它记号与定理l 一致，则问题i i 的解存在唯一且解 二= 鼠。( 一f 0 ，吾 。7 ，f r 加“船 o ( u i 占蜴e ，一z i k 7 靠e d - 7 - , 畦马i q i y 一- 2 1 ( 2 i - 2 5 ) ( 2 1 2 6 ) ( 2 1 之7 ) 二z 舢：华最 证明：易证s e 是一个闭凸集，而r ”是一个h i l b e r t 空间，因此问题i i 的解存在唯 跸 2()6 _ 2( 解的题问得即 )9 _ 2入代)之2( 4以 ，l =d 4 n s r d ， o 咯 ，l 墨o o 压 、， o 厄o l o 吼 ，。 爿 ， & o o 压 l o ，l l 一2 = 4 、， 0 岱 ，。 4s 、， o 咯 ，。，。， 1 2 、， o 厄o p j br 幢 砸 nk 4 ，。l r l 里 k 这 f 3 因i i a - a l l 2 = 0 4 一s 。d ( 一f 0 ，f 。 t ，t = l l 互。1 1 2 + l i 互：一f l2 + a - n + f t i l 2 十i i 互： 制2 + 卜u p j b n q i z 2 9 - 列2 , i 吖搬) - _ 1 tt 昱 p 4 2 制和p j b 啪n q i e 删2 - e i 曙础) - z 一tt 硎2 = 阱巾础州( u ( b 1 l q i ：也相r ：e ，2 + + i p j 马+ _ i k 7 占：b + i l u ；互：只一u ；丑。q l _ 1 8 2 + | | ，；互：b 一一。9 2 制汁j 蕊川c 呱q l 妒删r 置) 8 2 + 6 u j i b 一一k 7 最0 2 + i i u ；磊只十u ；b ，q - z ：1 1 1 2 + p ；蠢b + _ ：1 1 2 故 l b 一j 9 ：燧怕一4 0 等价于 阻小4 + 雌磊州。卜小凡嬲m h ， 式( 2 1 - 2 9 ) 成立当且仅当 a 2 2 二。：u ；半岛 将( 2 1 3 0 ) 代入( 2 1 1 6 ) ，( 2 1 - 1 7 ) ) 得( 2 1 2 6 ) ( 2 i 一2 7 ) 为问题i i 的解 4 算法设计 1 据式( 2 1 1 2 ) 计算x l ，b i 2 据式( 2 1 1 3 ) 计算x 1 l ，b i i ，x 1 2 ，b 1 2 3 对五l ，x 1 2 进行奇异值分解如式( 2 i 一1 4 ) ( 2 1 - 2 9 ) ( 2 1 - 3 0 ) 4 4 - 据( 2 1 - 1 5 ) 试计算巾= ( 丸) ，九= i 霜1 ( 1 f ，l ，2 ) 5 若月2 2 k ，据( 2 1 2 4 ) 式计算a 1 l ，爿1 2 ，a 2 1 ，a 2 2 否则转6 6 据( 2 1 2 5 ) 试计算a i l a 1 2 ，a 2 l ，a 2 2 7 按( 2 1 - 2 7 ) 式计算f 8 按( 2 1 2 6 ) 试计算a 9 停止 5 2 对称次反对称矩阵左右特征值反问题解存在的条件 本节讨论了对称次反对称矩阵左右特征值反问题解存在的充分必要条件，给出了解的 具体表达式，对于给定的矩阵，给出了存在最佳逼近解的充要条什以及最佳逼近解 1 问题的提出 记a + 表示矩阵a 的m o o r e - p e n r o s ej 、义逆，忙l i 表示矩阵a 的f r o b e n i u s 范数其它 符号同上。 本文主要讨论如下问题 问题i 给定x ，z r ，y ，w r “求爿b a s r 使得 l a x = z i y7 爿= 矽7 22( ” 问题- - 已知a r ”n ，求二s 。使1 l 爿一j 0 = 一i n 。f i a - 爿1 1 其中s e 是问题i 的解集台 2 问题i 解的表达式 引理1 1 2 “矩阵方程p x = u ，x q = v 有解的充要条件是 p p u = u ，v o q = v ，p v = u q 且通解为 x = p + u + 矿q + 一j p + j p y q + + ( ，一p + p ) z ( i q q + ) 其中z 是任意的 定理- 给定x ，b e r ，令。7 x = 囊 ，。7 b = ( 主) 其中x l ，b l r ” 则问题a x = b ，a ea b s r “”有解当且仅当 b 2 x ，+ x ，= b 2 ，b i x ；x 2 = b l ，x ? b 1 。一曰；x 2 且其通解为 一= 啦妒 一 一 一 这里f = 民+ ( ，。一x p x ? ) z ( l x ：；) r = 一爿? + 趔+ b ，_ ；一x ? + x j b x ； 其中z r ( ”一) 。是任意的 ( 22 7 ) 证明：因为爿e b s r ，则一= 。i _ o ，吾 。7 ， c ：各s ， 所以a x = b 转化为 。i _ o ，p 工= 曰 c z z 引 而( 22 9 ) 等价丁 f x 2 = b l ，x j f = 一君；，( 2 ，2 。1 0 ) 由引理1 知( 2 2 - 1 0 ) 式有解当且仅当 矸z j + 醪= 霹，b l x ；x 2 = b l ，x f r = 一b ；x 2( 2 2 一i l ) 而( 2 2 - 1 1 ) 等价于( 2 2 - 6 ) 且( 2 2 1 0 ) 的一般解为 f = 一x j b ：+ b , x x 7 x jb 、x ；+ t jn k x j + x j 、z t i t x2 x i 、 2 氏+ ( ，。一i 一工x ? ) z ( i k x ：彳；) ( 2 2 1 2 ) 其中r = 一x j + b ；+ 层x ；一x y x ? b ，x ；( 2 2 1 3 ) 将( 2 2 1 2 ) 式代入( 2 2 8 ) 式，并注意到( 2 2 1 3 ) 式，得 一= 4 一和，= 州。叫z ( t 书墨) 令 r = 一x j + 霹+ b l x j x ? + i 曰l x ； 其中z r ( ”) “是任意的( 2 2 1 4 ) 定理2 给定x ，z r 1 ，】，w r “ x = 伍，s 。y )b = p 。z ，一w ) d t x托 ，县锻 其中，x i i ，b t le 足”一州”+ n ，x i 2 ，b 1 2 r q ”+ 。 则问题i 有解当且仪当 证毕 f 2 2 - 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 7 b 1 2 x l l + x t = b 。 b 。彳j 彳，2 = b ，x j 曰1 1 = 一碥x 1 2 且其通解为 描。啦护f e r ( - 如k 这里，= f o + ( ，x i + x ：) z u 女一x 1 2 j j ) f o = - x i + b i t + b 。x i x ：i + x i r b l x j 其中z r ”“p 是任意的 证明：因为 慨4 ) 7 ：- s 。a 所以 i i a x z 2 + 0 y 7a w r l l 2 = i l s 。a x s z l l 2 + i i y 7 s 。s 。“一w 70 = i i s 斜一s z l l 2 + i i o ，1 茎i 蔓， y = 弦q p = ( 只，最) o r ，q = ( q 1 ，q 2 ) o r “， f = d i a g ( c c l ，口2 ，口q ) o t j s f 2 则 9 删一z 6 2 + 妒爿一旷! 1 2 = m i n a e r 的通解为 ( 3 1 - 1 ) ( 3 1 - 2 ) ( 3 1 3 ) r 3 1 - 4 ) ( 3 1 5 ) 爿= 尸巾* ( p t z v , z + f q i z v , - i 矽7 u i ) v a 2 2 尺( n - k - 1 _ ) 此处中2 ( 办) ，九= ；霜1 ( 1 f f l ，l ，r 2 ) 定理1 给定x ，b r 令 一= ，咖= ( 纠 其中 墨，蜀r ”j 2 ，b 2 r ， 并且x l 和x ：的奇异值分解分别为 其中 小u r ：v r = u , e 吖 毕p ( 玄妒邶：9 7 u = ( u ，u 2 ) o r ( n - k ) * ( n - k ) ，v = ( k ，v o o r ”。” 1 = d i a g ( 盯i ，吒，盯) o p = ( 鼻，p 2 ) o r “，q = ( q 1 ，q 2 ) o r ”， 2 = d i a g ( a l ，口2 ，口 ) o u i r ”1 ，k r ”1 p 1 r “，g r ” = r a n k ( x 1 ) ，r z = r a n k ( x 2 ) 记巾= ( ”) ，庐f2 ；孑j 1 i 孑l f s _ ，1 s _ ，r 2 ) 则0 凡r 一曰l i = m i n ，a eb a s r “”的一般解为 一= d ( o ，舻，啪 ( 31 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) u 、 u缈 n 西4 一 r 这里 f ：u f 中+ ( u ? b - 呈- ：+ ，k 7 霹一) lu 翘b q ，； v a 2 2 r i 一一1 i , , t k - 2 j 证明： 叫卜0 ，妒 = 忙品f 0 1 f t , & 彳1 1 一( 爰 = i i f x ：一b 川2 + i f t x i - b 2 l j 2 = t r f x ：- b , r 1 2 + l r x ；f 一霹f | 2 因此| | 五r 一口0 = m i n a b a s r 等价丁 i 啤：一圳2 + i i x , 7 1 f b 耶= m i n f e 置卜呲 ( 3 1 1 3 ) 由引理1 知( ，1 - 1 3 ) 的解为 r 昕馏搿7 霹印写警t7 冀p v a 2 2 只 ”一一 郴。，代入彳= 吖； 3 问题i i 的解 设d 同( 2 1 - 3 ) ( 2 1 4 ) 令 爿2 l = 当n = 2 k + l d ，爿d ：f 互。互：1 l 互互：j 知m i ( i , - s k n ( 3 1 - 1 4 ) ( 3 ，1 - 1 5 ) ( 3 1 - 1 6 ) p k、 b 霹： 叩爿 2 - o 串 k 证 一 3(解得即 t 幔 卜 r fd 、lll f o 、；， k ，s ，。 ds u 1 2 时 = 钬 n当 如 、it 艮，l 阻& - iu 一2 时 这里 互。= 批 定理2 已知a r ，其它记号与定理1 一致，则问题i i 的解存在唯一且解 f 1d ， f 砂廿 0 r 巾+ ( u r b , q 。：+ 。k 7 霹置) f = u i iu ；b ，o ；| ( 3 1 1 7 ) ( 3 i 1 8 ) 证明： 易证s e 是一个闭凸集而震“”是一个h i l b c r t 空间，因此问题l i 的解存在唯 因 i a + 一r= 卜。( ；妒 = l l 互。0 2 + 1 l 互：一，0 2 + 1 i 互，一f 7 1 1 2 + l l 互：6 2 = i l 互，+ 互：一u ( 中( 【，j b u i q ；1 马z z g + z l k 曰；鼻) + 1 i 互：1 1 2 + 0 幺1 一u ( 中+ ( u ? b u j q j i 马z 2 9 + z i k 7 口