（应用数学专业论文）一类具有疾病和扩散的比率依赖的捕食者食饵模型的定性分析.pdf

摘要 本文研究的士要是一类带疾病的比率依赖的捕食者- 食饵反应扩散系统 全文共分为五部分，第一部分是引言，简述了问题产生的背景接下来我们在第二部分研究系统( 1 6 ) 的解当时间趋于无穷大时的性质，当盯 b l 。l 一6 2 一( t m ) 0 时，能够得到解的持久性在第三部分通过 构造适当的v 函数得到半平凡解的全局渐进稳定性；通过特征方程得到唯一正解的局部渐进稳定性在 第四部分通过比较原理和一些引理得到系统( 1 6 ) 相对应的椭圆方程解的有界性在第五部分获得了非平 凡解的不存在性 关键词：比率依赖；捕食者食饵模型；扩散；疾病；稳定性 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sp u r p o r t e dt os t u d yar e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e ma r i s i n gf r o mar a t i o - d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t h d i s e a s e t h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t of i v es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o no u t l i n e st h eb a c k g r o u n d i nt h es e c o n d s e c t i o n ，w es t u d yt h el a r g et i m eb e h a v i o ro ft i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o n sf o r ( 1 6 ) ，i ft h ea s s u m p t i o nk 加，l 一赴一何掰) 0h o l d s ，t h es y s t e mi sp e r m a n e n t s e c t i o ni i l ，w ec a l lo b t a i nt h eg l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t yo fs e m i - t r i v i a ls o l u t i o n sb yc o n s t r u c t i n gs o m es u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n t h e n , b yt h ee i g e n v a l u e f u n c t i o n ，t h el o c a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h eu n i q u ep o s i t i v ec o n s t a n tc a no b t a i n e d s e c t i o ni v , w ec a ng e tt h e b o u n d sf o rp o s i t i v es t e a d ys t a t eo ft h ec o r r e s p o n d i n ge l l i p t i cs y s t e mo f ( 1 6 ) s e c t i o nv , t h en o n e x i s t e n c e r e s u l t so fn o n - t r i v i a ls o l u t i o na r ed e r i v e d k e yw o r d s ：r a t i od e p e n d e n t ；p r e d a t o r - p r e ym o d e l ；d i f f u s i o n ；d i s e a s e ；s t a b i l i t y 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明本声明的法律结果由本人 承担 学位论文作者签名：牛日期：衅厂 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日 期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 也指导教师签名： of 日 期 电话： 邮编： j 、) 乞 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 捕食者和食饵之间的动力学关系无论是在生态学还是在数学中长久以来一直作为一项 重要的研究课题种群动力系统中，传统的l o t k a v o i t e r a 模型在多种群的动力系统中是一个 重要的捕食者食饵模型捕食者食饵理论在种群生活在相同外界环境的关系中一直是基础 且很重要然而，传统的捕食者食饵模型已经被一些生物学家和生理学家所质疑，例如文献 1 4 】，这些文献证明了在适当的条件下，尤其当捕食者需要寻找、分享、竞争食物时，一个更 适合一般情况下的捕食者食饵理论需要被关注，那就是比率依赖理论这个理论能粗略的表 明捕食者的平均增长率应该是一个比率型函数这个函数与食饵相对于捕食者的容量有关， 因此我们叫做比率依赖的功能性反应这些假设已经被许多领域和实验室实验以及观察数据 所证明，例如文献【3 ，5 】一个一般的比率依赖模型如下： ：三：，；手x 二：；m 在h o l l i n g 功能性反应的基础上，提出了一个比率依赖型反应：妒( 功= c u ( m + 功，l ，= i ，很 多学者研究了这个模型，例如【7 - 1 6 】以及一些参考书目 在大多数的捕食行为只依赖于食饵数量的假设下，标准的l o t k a - v o l t e r a 模型被提出在这 个模型的基础上，标准的比率依赖的捕食者食饵模型假设捕食者的攻击对每个个体食饵有 相同的危险性这个假设在生物界中显然是不现实的，生物界中的种群个体是多种多样的，根 据健康度的不同可以划分为有病的食饵和没有病的食饵，我们通常叫做感染群和易感群，通 常用，和s 表示这种带疾病的模型已被很多人研究，例如文献 1 7 ，1 9 ，3 1 3 3 如果用代表食 饵密度，又假设食饵是满足l o g i s t i c 增长的，则有下面的方程： i ( ，) = s ( f ) + 足f ) ， 1 筹= 似t 一各 ( 1 2 ) 其中k 代表环境容纳量，是内禀增长率我们用c 代表有病食饵的死亡率乒代表传染系 数，则有如下的传染模型： 东北师范大学硕士学位论文 ( 1 3 ) 我们又假设捕食者只吃有病的食饵，功能性反应为比率依赖的h o l l i n g 型；，7 u ，y ) = ；i yt 、m 0 ) 其中m 是半饱和率，我们再用y 代表捕食者密度，d 代表捕食者的死亡率，b 代表捕 食者的相关系数，k 代表转化率，则我们得到如下的带疾病的比率依赖的捕食者食饵模型： 筹= r s o t s + i ) _ 1 3 s 厶 面d i = 筘，一c ，一黑， 警刊y + 黑 ( 1 4 ) 在系统( 1 4 ) 中，我们假设r , c ，b ，d , m ，卢都是正的，对系统( 1 4 ) 进行无量纲化：令s = 妻，f = 委= 姜，口= 赤，b l = 磊，如= 寿，= 壶，= 胀f 则我们得裂如下的方程组。 瓦d s = 口s 【l o + 明一s 瓦d i = s i - - 6 2 j 一；再l i y ， 瓦d y = - b l y + 羔 ( 1 5 ) 然而另一个现象在决定捕食者和食饵的动力学行为中也起着重要的作用，那就是扩散 在【1 8 】中已经指出，古典的捕食者食饵模型仅仅反应了在适当的条件下由于捕食行为数量的 变化，在这里捕食者和食饵密度不是空间依赖的，没有考虑数量常常不是均匀分布的这个事 实或是捕食者和食饵对于生存环境的自然生长策略的事实这两个事实都需要考虑引入扩散 的过程，这个扩散过程能够完全刻画捕食者和食饵在不同浓度下引起不同的数量移动的复杂 性这个移动由相同种群浓度所决定在系统中加入扩散已经被广泛的研究，例如【2 0 2 2 我们在一个确定的光滑域q 的空间下考虑在不同的空间下种群的非均匀分布，其中对于 任意给定的时间t ，有；q r ，( 1 ) ，令d l = s ，1 4 2 = i ，甜3 = 弘那么我们考虑的系统模型就变成 了下面的反应扩散模型( p d e ) ： 2 掣以 情 船 舔一出以一西 东北师范大学硕士学位论文 ”“一矾a u l = a u l 1 一( u l + u 2 ) 】一u l u 2 ， 地，一吨屹：i 眈一6 2 甜2 一丝坠，工q ，f 0 ， m u 3 十2 幻，一西甜3 ：一b l 的+ j 丝等生， ( 1 6 ) ，玎3 十“2 尝：娑：i o u 3 ：0 ， x 弛，f 0 ， 【，yc ，vu ， l o ，0 ) ，眈 ，0 ) ，奶 ，0 ) 0 ， 工q 在这里是拉普拉斯算子，q 是中有界的光滑域，y 是q 边界上的单位外法向量，西，吨，西 是正常数，代表扩散系数，初始值4 i ，o ) o = 1 ，2 ，3 ) 是连续函数由方程组( 1 5 ) 我们得到了( 1 6 ) ， 于是我们得到了( 1 6 ) 的四个非负常值解，分别是平凡解e o = ( o ，0 ，o ) ，半平凡解e l = ( 1 ，0 ，o ) 和e 2 = ( b 2 ，型a 抛+ l ，o ) ，还有唯一的正常值解e 3 = ( z ，：，呓，嵋) ，其中，“- 1 一了a + l 4 2 = b 2 + 业m k ，4 2 = m 南o + 1 ) ( m k ( 1 一b 2 ) 一似一6 1 ) ) = 者( 1 一u p ，“；= 铬呓历存在当且仅当b 2 k l b l 0 ，我们可以看出色存在则e 2 存在，反之不然且通过u ：的两个表达式可 知b 2 u ：1 ，当u ：= b 2 时毋就变成了如，当u ：= 1 时，则岛就变成了e l ，在该篇文章的第三 部分将有这几个解的详细讨论 这篇文章的另一个目的是通过先验估计研究系统( 1 6 ) 的解的正稳态，也就是研究下面这 个椭圆系统的有界性： 一d l a 4 12a 4 i 【l 一【甜l + 4 2 ) 一u l u 2 ， 一醍地= l 地一6 2 “2 一黑， 工q ， 砌。甜m 1 “3 + 地 ( 1 7 ) 一函蚴= 一b l 的+ j 掣， r “， 尝：娑：娑：o ， 工讹 现将该篇文章的结构介绍如下：在第二部分我们通过比较定理和嵌入映射研究系统( 1 6 ) 的持久性在第三部分对于半平凡解的稳定性我们将定义适当的v 函数给出它们的的全局渐 进稳定性，对于系统( 1 6 ) 的唯一的正平衡解可以在适当的条件下得到它的局部渐进稳定性 在文章的第四部分通过先验估计得到系统( 1 7 ) 的正稳态解的上下界最后，在第五部分将简 单的介绍非常值正稳态解的不存在性 3 东北师范大学硕士学位论文 2 当时间趋于无穷大时解的性质 在这部分我们研究与时间相关的系统( 1 6 ) 的解在t _ o o 时解的性质设( ”l “r ) ，u 2 ( x ，f ) ，u 3 ( x ，) ) 是系统( 1 6 ) 的任意正解我们首先给出持久性的定义 定义2 1 如果对于系统口矽的任意正解( u l ( x ，f ) ，r 2 ( x , f ) ，u 3 “，) ) ，存在正的常数m 和脱满 足m l i m i n 舰伉力l i m s u p u ( x ，力必i = 1 ，2 ，3 则我们说系统矽是持久的口刃 ，_”r_ 为了得到l i m s u p u i ( x , f ) sm , i = 1 ，2 ，3 我们引入下面的辅助方程： t - - - - o o t 0 1 ，一d lz x o , l2a t o i 一口砰一叫l c 屹，工q ，t 0 ， t 0 2 f d e a t 0 22f o l i 0 2 一b 2 0 ) 2 ，x q ，t 0 ， 尝：尝_ o ， x 魄舢 2 j d vd y t o l ( 一0 ) = u l ，o ) 0 ，纰o ，0 ) = u 2 0 ，0 ) 0 ， z 施 我们首先确立系统( 2 1 ) 在l t ( 鳓下的范数，然后我们通过1 范数确立汐空间的范数，其 中p 是充分大的这种方法已经被很多作者使用，例如 2 4 ，2 5 ，3 0 引理2 1 对于系统仁砂的任意非负解存在一个正数，必满足 i i o , l 吣 i ，存在一个正常数c 0 ，矾，醍，q ) ，满足 i i t o i ( t ，) l l v c ( p ，西，, 2 ，q ) ( 1 1 0 - , 1i l l + l i t 0 2 i l l ) 证明：在q 上积分方程组( 2 1 ) 的第一个方程有： 象l u - 出一j ! ：山t 出+ j ! ：c p + - 一a o , ；) d x 一j ! ：山一出+ 堕唰 积分上式有： 上山瓜，慨一上u - ( 五0 ) 出+ 鱼竽删( 1 一矿，) 即存在充分大的 满足l l 叫l l l 工t n 在q 上积分方程组( 2 i ) 的前两个方程且两式相加有： 4 东北师范大学硕士学位论文 笔l + a n ) d x = 上( 删一删t 一6 2 u 一6 2 忱一耐+ ( 口+ 6 2 t 胁 一j ! ：+ 叱胁+ 上( ( 口+ 龇一a 叫, b d x 一垃j ! ：l + 忱) 出+ ( a + 铂b 2 ) 2 1 舛 积分不等式 墨上( 山t + 忱) 出一6 2j ：( - + 忱) 出+ 堕笔丛酬 我们有： 上- + 纰) 出矿姊j ：( u - 0 ) + 忱“o ) ) 出+ 等恻( 1 一矿蚴) 这意味着对于足够大的m 有i i u , l l t + l i 山2 吣胞 对于纰( f = l ，2 ) 的方程两端乘以舻一1 且在q 上积分有； 上u - l t o i t 出= 而j ! ：u 印一出+ 口上印出一口j ! ：印+ 1 出一j ：叫 忱砒 上c 孝她，出= 如上眈c 尹1 出+ 上山t 印出一如正印出 因为对于i = 1 ，2 ， 。 又 又 故 所以 衅衅= v ( v q ) 卵= v ( q v a j f 叫q 一) 衅= q a t o i 衅q + g 一1 ) l v o , i 1 2 叫q q ， 蚴矿1 = 石1 q 叫q 一国- 1 ) 酬2 u - - 2 - - - - 弓i v 衅1 2 一。- 1 ) 酬2 舻， v 卵1 2 = i q v t o f 叫q - 11 2 = q 2 1 v t o i l 2 舻- 2 ， 幼舻= 一昙l v q l 2 一等l v 研1 2 = 一竽l v 衅1 2 2 q - i 、t d x + 0 魄出 s 一、2 q r - 1 上f l ( d l l v 川1 2 + 杰i v 川1 2 ) 幽+ 口j ! ：印出+ 上甜- 印出+ 上印+ 1 出+ 口j ! ：印出 一1 2 q - 广1d d v u q 犷+ 杰i v 鸪1 2 胁+ 口j ! ：( 印+ 孝胁+ i i 训b 上( 砰+ 印胁 一1 2 q - 广1f ( d , l v , q 1 2 + 吨i v 以1 2 胁+ ( 口+ 忉j ! ：和 + 霹胁 5 两端同时乘以2 9 ： 历d 上 + 印) 出一竿上( 嘶阳7 1 2 + d z j v q j 2 胁+ 2 和+ 忉上( 印+ 印胁 ( 1 ) 由尼伦伯格( n i r e n b e r g g a g l i a r d o ) 不等式； j ：p 出j ! ：i v i 衅1 1 2 出+ g r ”( 上严啪2 ， 其中0 s 掣，g = c f ( q ，m ) 0 且e - 叫是一个在三p ) 上的解析半 群( o i t = 卅f 铆+ 石在( o ，r ) 上积分有t 纵，) = p - t a i o ) i 伍0 ) + f 矿( 删似下) 如 6 ( 2 ) 东北师范大学硕士学位论文 通过i i o , i l l x o = i m ? 蛐i l 尸把算子半群e - 啦从空间x 映射到空间f = d ( a a ) 上其中群是一 个关于a j 的分数幂我们选取p 满足l q 2 p 口 0 ，满足，对于所有的x q ，t 0 ，有u 2 ( t ，曲 鲍+ s 又 ( 而k l u 2k , = 雨m 而k l u 3 。， 所以 丝 l ( 2 2 ) d ， u 3 砷0 ， 工q 设以f ) 是下面常微分方程的一个解： 7 东北师范大学硕士学位论文 7 ( f ) = c 以一b l + 石怒) ，f 丁 且( d = m n a x o _ ( 。，d 0 ， 则 u ，( f ) ：u ( ( k l - b 1 ) ( k 2 + s ) 。- b i m c o ) ( ( 肼一b 1 ) ( 恐+ 功一b l ，l u ) m o ) 十 2 + s 解方程叫7 ( f ) = ( ( 肼一b o ( k e + 功一b l 脚曲， 有 ( f ) 2 c e - k t + b l m ，、 疗 其中k = 倒一b 1 ) ( k 2 + 功，c 是任意常数 可知 k 0 时l i l nu ( f ) = k b l m ， f - _ + o o ks 0 时，蛾山( 力= 0 鳃= 芦 当肼 b l 时； 当0 b l ，1 一b e 一( 1 m ) 0 时，则在q 上我们有? l i m i n f u _ f ( t ，功m ，i = 1 ，2 ，3 f 十 证明：由( 1 6 ) 的前两个方程，我们有： 引入辅助方程： 8 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 也 ”一 洲毛脚 + 一 柏 川 口 甜 = 一 ” 甜 讲 吨 一 一 打 甜 ，iill，、ll 龇+ 5 i m 善 一 一 邮 他 眈 解方程组( 2 4 ) 得到三个解；( o ，o ) ，( 1 ，o ) ，( 2 + 击，者( 1 一如一言) ) 通过系统( 2 4 ) 的特征方 程判断稳定性，易证( o ，o ) ，( 1 ，o ) 是不稳定的，- f 证( b 2 + 磊i ，者( 1 6 2 一刍) ) 是全局渐进稳定的： 设( 白l ，奶) = ( b 2 + 丢，舟( 1 6 2 一丢) ) 构造l y a p u n o v 函数： 则 以f ) = 再1 石上t 一面t 一西一历等) 出+ 上一锄一奶助瓦a 2 ) 如 一l i r a 佃i i 山t 一( 6 ：+ 刍) 1 1 2 = 。，取s 充分小，礼t 6 2 + 刍一s ，同理眈i a 玎( 1 6 2 一刍) 一8 令山l o ，o ) l d i ( x , o ) t 0 2 ( x ，o ) u 2 ( x ，o ) 如果l “，) ，眈以力) 是( 2 。4 ) 以初始值l “o ) ，忱o ) ) 的一个解，当f 0 时，由比较原 理我们有o , l ( x ，f ) u l ( x ，0忱k f ) u 2 ( x ，o ，故； l i h m 佃i n f 6 2 + 刍m s 垒纬 ，+ + 一 由( 1 6 ) 的第三个方程： 故 4 3 t - b t u 3 + l i h m + i 。n f 孑备( 1 6 2 一刍) 一s 垒鲍 u 3 t d 3 a u 32 6 l 幻+ 地2 甜3 m u 3 + 鲍 m 1 4 3 + u 2 根据比较原理，我们有： 卜m b l u 3 + ( 材一6 l 涎红】 取m 足够小，则定理可证口 ( k t _ b 1 ) u 2 m b l 9 k l u 2 u 3 m u 3 - i - u 2 东北师范大学硕士学位论文 定理2 3 当m b l ，1 一b 2 一( u r n ) 0 时则在q 上系统矽有持久性 证明：令m = m a x k l ，k 2 ，k 3 1 再由定义1 1 ，定理2 1 和定理2 2 可显然证出口 1 0 东北师范大学硕士学位论文 3 平衡点的稳定性 定理3 1 当b 2 l ，肼b l 时，h l i m + o 。( l ( 。，f ) ，u 2 ( 。，f ) ，u 3 ( ，) ) = ( 1 ，o ，o ) 其中( u l ，u 2 ，蚴) 是系统“矽 在q 上的解( 1 ，0 ，o ) 是r ；中“矽的全局渐近稳定平衡点 证明：仍旧考虑辅助方程( 2 1 ) 设甜i ，) ，u 2 “d 是工q 在( 2 1 ) 上的正解，并满足n e u m a n 边 界条件： 等等= 笺导：o 工挑五 ， o ，且l o ，o ) o 纰“0 ) 2o d yd y 。、。一、 构造v 函数： 则 n ( 力= f ( w l - 1 - l n w l ) 出+ 一 w 2 c l x 一 吖c 力= 上艺 u ，出+ j ! ：蚴出 ：d l ( o - ) 1 - 1 ) a w l + 型( 舢l 一口彳一叫l 叫2 a x + r ( 竺垒迪+ l 也一6 2 忱) 出 v “ o ) i 0 1 ： j q w 2 = 一函上警出一一吨j ：警出+ j c 删一一棚一甜- 忱一口+ 删- + 眈+ 。纰一b 2 w 2 ) d x 上( 一删 + 2 删- 一批+ 上二6 2 纰) 出 = 一口上- 一1 ) 2 出+ j ! ：( 1 6 2 ) 】出 所以有 ，l ! m ( u l i l l 2 = 0 ，l i r ai o l j l o i l 2 = 0 ( 3 1 ) + c o tf _- - - * + o o 取g 充分小，了兀s t 当t 丁时有u l o 1 + 岛纰也o 0 + s = e 由比较原理，( 1 6 ) 的任意解4 1 ，f ) c a ) 1 ，f ) l + s ，u 2 ( x , r ) 眈f ) 0 + s 因此 f u 3 t - d 3 a u 3 = “3 ( _ 6 - + 而k u 2 脚，( 曲t + 羔q 1 丽o u 3 - 0 ， 艇讹， l l 的o ，丁) o ， x q 东北师范大学硕士学位论文 由比较原理及类似定理2 i 中的证明，有： l i m1 1 3 0 ，0 ) = 0 ， x q f _ + o o 由( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，我们得出结论； f 1 i m + 。i ( u l ( x ，o ，( u 2 ( x ，0 ，( u 3 ( x ，o ) 一( 1 ，0 ，o ) l l c ( & c ( 五) c ( f i ) = o 口 ( 3 2 ) 但由于前面的讨论，我们知道当毋存在时 当且仅当b 2 1 ，则历、历均不存在，我们一步一步考虑，于是下面我 们研究当1 , 2 0 ， x q 由( 1 6 ) 的前两个方程，我们有； 引入辅助方程； 屹ul，t一-吨dl蚴ul=au。眈l1一-幻(u屹1+地)】一川地 忱tol，t：=aw。忱l1一-也(w忱l+to如2)“-崆toln2+西山l 可知( b 2 ，亟 字) 是( 3 4 ) 的解定义为历l ，面 构造v 函数： 圪( 力= 击上( u - 一面t 一五一加等胁+ j ：一西一面加薏胁 1 2 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 东北师范大学硕士学位论文 吒c d = 击j ! ：c - 一碧如，出+ j ! ：c - 一慧，忱，出 一i 一生f 噬出一吨r 咝出+ 一- 一f 】：r f ：i - 一c i 工- t 口+ 1j n c 0 1 ”j q 眈 上 者l 一面1 ) 一i a o 万) l l 一历1 ) 一纰l 一历1 ) + ( 叱一西l 一6 2 ( 忱一面) 】出 j ! ：c 者吣驴等+ 等一等学+ 等学，出 = 南j ! ：卜砰+ 2 6 2 - 一醒敞 一者j ：_ 6 z ) 2 出 一者j ! ：石1 ) 2 出 所以有 l i mi p l 一历l 2 = 0 ， f + c o l i m l 一面1 1 2 = 0 t - - - + + o o 取s 充分小，了ls t 当t t 时，有0 1 0 ，力历l + g ，o ) i ( x ，d 面+ = s 由比较原理，( 1 6 ) 的任意解u t ( x ，r ) st o ! “f ) 历l + 日1 1 2 ，f ) 忱“0 西+ 8 因此 f u 3 t - d 3 l x u 3 = u s ( 呐+ 而k l u 2 胁( - 6 l + 罴q 面o u 3 - o ， 艇讹， l lu 3 ( x , 乃 0 ，x q 由比较原理及类似定理2 1 中的证叽有： 卜件l i r a 。u 3 ( x ，0 ) = 0 ， 由( 3 5 ) 和( 3 6 ) ，我们得出结论； 工q h l i m + 。1 1 ( 甜i ，力，( 眈( z ，力，( u 3 ( x ，f ) ) 一( 6 2 ，a ( i 1 - 丁b 2 ) a ，o ) 响c ( 面c ( 两= 0 口 卜+ 十_ 1、7 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 定理3 2 的条件是肼b l ，我们知道此时( 1 6 ) 唯一的正稳态平衡解不存在，所以下面我们 研究e s = ( u 1 ，嵋，“；) 存在时的稳定性 令0 = l p 2 0 时，系统“矽的唯一正平衡解 ( “：，呓，呓) 是一致渐近稳定的 证明：系统( 1 6 ) 在，呓，“；) 下的线性化系统是： 蜥= 材= 。甜+ 巨i 圣i 三；】 注意到：v f l 在算子三下是不变的这就意味着a 是三在局上的特征根，当且仅当a 是矩阵叫p + 五( ”：，喀嵋) 的特征值叫p + 五( “：，呓，嵋) 的特征多项式由下式给出： 、i ，f ( 椰= a 3 + b l f a 2 + b 2 j a + 君3 f ， 在这里 b 1 f = 弘j ( d r + d 2 + 如) + 么1 ， b 2 i= ( d i d 2 + d i d 3 + d l d 3 ) u ；- p i d l ( a 2 2 + a 3 3 ) + d 3 ( a l i + a 2 2 ) + d 2 ( a l l + a 3 3 ) + a 2 ， b 3 i 2i t ；d l d 2 d 3 - u 2 ( d l d 2 a 3 3 + d 2 d 3 a l l + d l d 3 a 2 2 ) + i t i d 3 ( a l i a 2 2 一a i 2 a 2 1 ) + d z ( a l l a 3 3 一a 1 3 a 3 1 ) + d l ( a 2 2 a 3 3 一a 2 3 a 3 2 ) 】一4 3 ， a i2 一( 口1 1 + a 2 2 + a 3 3 ) ，a 220 1 1 a 2 2 + a 2 2 a 3 3 + a l i a 3 3 一a 2 3 a 3 2 一a 1 2 a 2 1 一a 1 3 a 3 1 ， a 3 = d e 矾( “：，呸，嵋) 1 4 东北师范大学硕士学位论文 易证：a l l , a 3 3 ，a 1 2 ，a 2 3 0 ，a 1 32a 3 1 = 0 下证彳l o ，a 2 o ，a 3 o ，b 复 0 ，b 3 f 0 首先我们先证日l l + a 2 2 0 口i l + a 2 2 = a 一6 2 一k l 石- b l ：一口b 2 一口k l - _ b l m 席 】+ 等( 1 一k l 肘- b 1 ) k l b lb l 。 m kk l = 一口6 2 一等【口一垒k i 】 ，疗 s 一口6 2 一k l ，行- j 【f b l 1 一b 肘1 m kk l = 一口6 2 0 4 3 2 a l i ( a 2 2 a 3 3 一a 2 2 a 3 3 ) 一a 2 t ( 口1 2 6 3 3 一a 1 3 a 3 2 ) + a 3 1 ( a 1 2 a 2 3 一a 2 2 a 1 3 ) = - a 2 1 a 1 2 a 3 3 0 ，经过计算，我们有： b i i b 2 i b 3 i = m ；+ 龟p ；+ m 3 j i + a i a 2 + 彳3 ， 其中晒= ( d l + 如+ d 3 ) ( 讲吨+ 函函+ 如吨) 一而杰函， m 2 = 一 ( 口l i + a 2 2 ) d l d 2 + d l ( 西+ d 2 + d 3 ) 】+ ( a l l + a 3 3 ) d 1 吨+ 如( 盔+ 如+ 以) 】+ ( a 2 2 + a 3 3 ) d 2 以+ 矾( 西+ 比+ 吨) 】1 ， m 32d l a 2 + a 2 3 a 3 2 + a 2 2 ( a l i + a 2 2 + a 3 3 ) + a 3 3 ( a l i + a 3 3 ) 】+ , 2 - 4 2 + a i 3 0 3 1 + a l l ( a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 ) + a 3 3 ( a 2 2 + a 3 3 ) + d 3 1 2 + a 1 2 a 2 1 + a l l ( a 1 1 + a 2 2 + 0 3 3 ) + a 2 2 ( a 2 2 + a 3 3 ) 】 0 显然蚴 0 ，m 2 0 ，下证m 3 0 以及a i a 2 + a 3 0 1 5 令m 3 = d l n l + d 2 n 2 + 吨3 其中 n i2 a 2 + a 2 3 6 3 2 + a 2 2 ( a l i + t 2 2 + a 3 3 ) + a 3 3 ( a i l + a 3 3 ) = 口1 l 啦2 + 口“啦3 + a 2 2 口3 3 一a 1 2 口2 l a 1 3 口3 l + a l l a 2 2 + z 2 + a 2 2 a 3 3 + a l ! a 3 3 + 蠢3 = 2 a 1 1 0 您2 + a 3 3 ) + ( 眈2 + a 3 3 ) 2 一a 1 2 a 2 1 0 n 22 a 2 + a 1 3 0 3 1 + a l t ( a l i + a 2 2 + a 3 3 ) + a 3 3 ( a 2 2 + a 3 3 ) 0 n 32 a 2 + a 1 2 a 2 1 + a l l ( a r t + a 2 2 + a 3 3 ) + a 2 2 ( a 2 2 + a 3 3 ) = a l l 口2 2 + 口l l 口3 3 + 啦2 口3 3 一口2 3 仍2 + a l l a 2 2 + 前i + a l i a 3 3 + a 2 2 a 3 3 + 2 = 2 a 3 3 ( a 2 2 + a 1 1 ) + ( ( 也2 + a 1 1 ) 2 一a 2 3 a 3 2 0 则m 3 0 a i , 4 2 + a 32 一( a t i + a 2 2 + a 3 3 ) ( a i l a 2 2 + a l i a 3 3 一a 1 2 a 2 1 ) 一a 2 1 a 1 2 a 3 3 = 口l l ( 口l l 口2 2 + a l l a 3 3 + 硅2 + 2 a 2 2 a 3 3 + 蠢3 ) + a l - 2 a 2 1 ( a l i + a 2 2 ) = 一a l l 【娩2 + 口3 3 ) 2 + a l l ( a 2 2 + a 3 3 ) + a 1 2 a 2 1 ( a l i + , 7 2 2 ) o 于是我们能得到这样的结果。对于所有的i 0 ，均有b l f 历r b 3 i 0 根据助“咖一觑m 泐判 别法，得出：对每一个i l ，、i ，f ( a ) = 0 的三个根l i l ，如，而，都有负实部则由 1 8 1 中的定理3 3 ， 我们能得到结论口 综上，当场，e 3 均不存在时z i 是系统的全局渐近稳定平衡点当e 3 不存在珏寸，历是系统 的全局渐近稳定平衡点如存在时，加入适当的条件可证出它是系统的局部渐近稳定平衡点 1 6 东北师范大学硕士学位论文 4 正稳态解的有界性 这段的目的是通过先验估计给出正解的上下界为了以后的证明，我们先引证下面已经 知道的结果： 引理4 1 ( h a r n a c ei n e q u a l i t y , l i ne t 以尼功令c 2 ( q ) f lc 1 ) 是z x “x ) + c l j ( 功= 0 的解， 其中c c ( q ) ，1 0 满足n e u m a n n 边界条件，则存在c + ( 口) ，当i i c l l 。s 口时有i n a x o ) c + m i n o j n q 弓i 理4 2 ( m a x i m u m p r i n c i p l e , l o ua n d n i , f 2 嗄令g ( x ，) c ( q 尺1 ) ，b j ( x ) c ( q ) ，j = l ，2 ， f z j 如果批c 2 ( 固nc 1 ) 在q 上时满足z x “x ) + eb ( x 地j + 甙五u ) 0 在讹时满 j = i 足a 山0 , g - c j ( 和) = m _ a x w , 则甙x o ，c l ( 拗) ) 0 l 鲫如果帅俨) nc 1 ( q ) 在q 上时满足c 删+ 乃( 功魄，+ 时，以功) 0 在讹时满 _ r 2 1 足a w a v 0 且u c ) = n 讧n 雌则g ( x o ，( 和) ) 0 引理4 3 ( d e l p i n o , 口z ) 令口是一个正常数，叫c 2 ( q ) 是一个非负函数满足 在q 上l 一u + 口r f o o ， 在q 上：c g o j a v = o 那么 c j ：毗 工氤 这里的c 是一个只依赖于a , n 和q 的正常数 为了下面的证明方便，定义常数( 西，吨，d 3 ) = 以( 口，b l ，b e ，而，( 1 2 ，毛t , m ) = a 系统( 1 7 ) 的正稳 态解的有界性的结果将在下面给出证明： 定理4 1 设d l ，d 2 ，d 3 是任意给定的正常数，则存在一个常数c = c q ，a ) ，满足当肛6 l o ，且西d i ( i = l ，2 ，3 ) 时，对系统口矽的任意解( u l ，1 1 2 ，1 1 3 ) 满足 c - 1 l i c f = l ，2 ，3 1 7 证明：第一步：证( 甜i ，4 2 ，u 3 ) 有上界即u i 0 ，用反证法，假设存在一列( 函f ，d 2 i ，d 3 i ) ，s t 系统( 1 7 ) 相应的正解 n i f ，t 1 2 j ，“3 j ) 满足当i _ o o 时，有甜l f 一甜l ，1 1 2 i _ u 2 ，l t l j n u 3 i _ 0 q 则 令 一6 i +m u 3 + u 2 1 ，一 ：一【一b t + 叻f “等 m u 3 + u 2则旧i o o 0 q 由( 1 7 ) 的的第一个方程：， 一d l a u l2a u l 一饿本一a l l l l l 2 一u l u 2 ， 贝4一, t l a u l a u l a c u l a c u t c u l ， 那么 一川+ 去( 2 口c + c 一口) “- o + 因为c 充分大，则2 a c + c 一口是一个大于0 的常数由引理4 3 ，