（应用数学专业论文）集值广义强向量均衡问题解的存在性.pdf

摘要 摘要 本文在局部凸h u a s d o r f f 拓扑向量空间中研究集值广义强向量均衡问 题。我们引进了集值映射的下半锥一连续以及锥一拟凸的概念。借助这两个概 念以及k a k u t a n i f a n g l i c k s b e r g 不动点定理，我们得到了集值广义强向量均 衡问题解的存在性定理。当三元集值映射退为单值时，我们的存在性定理是 f uj y g e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，m a t h e m a t i c a lm e t h o d s o f o p e r a t i o n sr e s e a r c h ，( 2 0 0 0 ) ，5 2 ：5 7 6 4 】的主要结果的一个改进。 关键词：集值广义强向量均衡问题；k a k u t a n i f a n g l i c k s b e r g 不动点定理； 解的存在性定理 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e r , w es t u d yt h e s e t - v a l u e dg e n e r a l i z e ds t r o n gv e c t o re q u i l i b r i u m p r o b l e m s ，i n ar e a l l o c a l l yc o n v e xh u a s d o r f ft o p o l o g i c a l v e c t o rs p a c e w e i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fl o w e rs e m ic o n e - c o n t i n u o u sa n dc o n e - q u a s i c o n v e xi n s e t - v a l u e dm a p p i n g s u s i n gt h e s et w oc o n c e p t sa n dk a k u t a n i f a n g l i c k s b e r gf i x e d p o i n tt h e o r e m ，w eg e ta ne x i s t e n c et h e o r e mo fs o l u t i o nf o rs e t v a l u e dg e n e r a l i z e d s t r o n gv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s w h e nt e r n a r ys e t v a l u e dm a p p i n g sd e g e n e r a t e i n t os i n g l e - v a l u e dm a p p i n g s ，t h ee x i s t e n c et h e o r e mt h a tw eg e ti sa ni m p r o v e m e n to f t h em a i nr e s u l to ff uj y g e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ， m a t h e m a t i c a lm e t h o d so f o p e r a t i o n sr e s e a r c h ，( 2 0 0 0 ) ，5 2 ：5 7 6 4 k e y w o r d s ：s e t v a l u e d g e n e r a l i z e ds t r o n g v e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ； k a k u t a n i - f a n g l i c k s b e r gf i x e dp o i n tt h e o r e m ；e x i s t e n c et h e o r e mo fs o l u t i o n 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：屏迎尚 签字日期：2 0 z ，8 年归月z 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解壶昌态堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ： 屎确 - 签字e t j * 7 7 ：助孑年1 2 月孑f 日 导师签名( 手写) ： 签字日期：丑辨7 2 j l 第1 章引言 第1 章引言 1 9 8 0 年g i a n n e s i t l 】为了研究多目标规划的最优性条件，在r “空间中引进了 向量变分不等式的概念。1 9 8 7 年陈光亚 2 1 教授在无限维空间中将向量变分不等 式的概念用于向量优化的研究，并对向量变分不等式进行了开创性研究 3 ，4 】， 此研究成果在国际相关领域引起了极大的反响。许多学者纷纷投入到对向量变分 不等式的研究，并大都研究向量变分不等式的弱有效解的存在性，见 5 1 0 。 1 9 9 4 年b l u m 和o e t t l e 1 提出了均衡问题，在经济学中它是著名的v o n n e u m a n n m o r g e n s t e m 效用函数的更一般形式。在最优化，投资决策，经济模型， 最优控制和工程技术等领域中的许多实际问题的描述都可归结为均衡问题 1 l 一1 7 】。它是非线性分析与集值分析中的一个重要研究课题。均衡问题与优化问 题，控制理论，n a s h 经济均衡问题，互补问题，变分不等式，博弈论，工程与 力学，数理经济中的一些非线性分析问题，有着密切的联系，为研究经济，金融， 交通运输和工程技术等问题提供了一个新的且全面的框架，它具有广泛的应用前 景。 1 9 9 7 年，a n s a r i ，o e t t l e ，s c h i ag e r 埔1 又引进了向量均衡问题，它是向量变分 不等式的自然推广，包含向量优化，向量n a s h 平衡，向量补问题等问题。对向 量均衡问题的研究工作也有不少，见 1 9 2 8 ，但大都研究向量均衡的弱有效解的 存在性。 向量均衡问题强解的概念是由a n s a r i ，o e t t l e ，s c h i 口g e r t 协】引进的。强解是一 个理想的解，比其它解，例如弱有效解，有效解以及g o n g t 2 3 - 2 5 1 引进的各种真有 效解都好。因此研究向量均衡问题强解的存在性是重要的，有趣的。 f u 【2 7 1 在序锥的共轭锥具有弱紧基的条件下，研究了广义向量均衡问题解的 存在性。t a n t 2 引也在序锥的共轭锥具有弱紧基的条件下，研究了拟变分包含问 题解的存在性。 我们知道在赋范线性空间中，锥的共轭锥具有弱紧基等价于序锥的拓扑内 部不空，见 2 9 1 。然而，在许多情况下序锥的拓扑内部是空的，例如，在赋范线 性空间，p 与p ( q ) 3 0 】，( 1 cm l ，由m i 的定义，对以上甜o g ( x ) ，3 z 。g ( t 。工+ ( 1 一f 口) y ) ，使得： m 。一z 口c 。这与( 3 4 ) 矛盾。因此必有t m 。，故m i 是闭集。同理可证m 2 也 是闭集。 4 - 1 1 0 ，1 是连通的，r m i 与m 2 是闭的，故m lnm 2 a 。3 t o m 1nm 2 。 从而v “g ( z ) ，j z o o ( t o x + ( 1 - t o ) y ) ，有 z o u ( 3 5 ) v v g ( y ) ，3 z l g ( t o x + ( 1 一t o ) y ) ，有 z l 1 ， ( 3 6 ) 由条件，3 z c ( t o + ( 1 - - t o ) y ) ，使z z 0z z l 。 由( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，有z “，z 1 ，。故( i ) 成立。 ( i i ) v z z ，x ，y d ，t o ，1 ，以及u g ( 工) ，y g ( y ) 满足u z c ，1 ，z c 。 由g 是c 一真拟凸的，3 z 。g ( t x + ( 1 - t ) y ) ，使得， 或者z o “，或者z o v 若z o u ，贝0 有z z o = z - - u + u z o c + cc c ， 即z o z c 。i 司理，若z o ， 6 第3 章集值广义强向量均衡问题解的存在性 也可得z o z c 。 由c 拟凸定义知，g 是c 。拟凸的。 下面，我们证明集值强向量均衡问题的解的存在性定理。 定理3 1 设x ，y 以及z 是实局部凸t t a 淞d o r f f 拓扑向量空间，并设y 是拟完 备的，设e 是x 中的非空紧凸集，d 是，中的非空闭凸集，以及ccz 是闭凸点 锥。设s ：e 专2 是连续的集值映射，且觇e ，s ( 力是非空闭凸集；z ：e 专2 d 是上半连续集值映射，且v x e ，r ( x ) 是d 中的非空紧凸集。再设 f ：e xd ej2 z 是上半c 连续以及下半( 一c ) 连续的紧值映射，且 v ( x ，y ，x ) e x d e ，都存在z f ( x , y ，x ) 使 z z ，v z f ( x ，y ，x ) ， 若( i ) v x e ，b 夕丁( x ) ，有 f ( x ，y ，x ) cc ( i i ) v ( x ，y ) e d ，f ( x ，y ，“) 关于u 是c 一真拟凸的。 则存在工e ，y 丁( 工) ，使z s ( x ) ，有 f ( x ，y ，甜) cc ，v u s ( x ) ， 即集值广义强向量均衡问题有解。 证明：首先定义一个集值映射彳：e x d 专2 ： a ( x ，y ) = ，s ( 石) ：v u s ( x ) ，v z f ( x ，y ，“) ， 3 w f ( x ，y ，1 ，) ，使w z ) ，( z ，y ) e xd ( i ) 对每一个( z ，y ) e x d ，a ( x ，y ) 都是非空的。 事实上，对每一个u s ( 石) ，令 t t ( u ) = ，s ( x ) ：v z f ( x ，y ，“) ，3 w f ( x ，y ，1 ，) ，使w z 因为u a ( u ) ，有 ) a 现证明 ( 甜) ：甜s ( 工) ) 具有有限交性质。设“。，u ：s ( x ) 。由条件与引理3 1 ， 3 t 0 ，l 】，v z l f ( x ，y ，u 1 ) ，v z 2 f ( 工，y ，u 2 ) ，都3 z ，( x ，y ，t u l + ( 1 一f ) “2 ) ，使得， 7 第3 章集值广义强向量均衡问题解的存在性 z z l ，且z z 2 由s ( x ) 是凸集，1 ，：= t u i + ( 1 一t ) u 2 s ( x ) ，知 ，i t ( u 1 ) nh ( u 2 ) 。 设 月 n u i “2 ，“。s ( 工) ，且n 日( “f ) 囝。于是j1 ，c ) h ( u f ) 。由定义， 知 i - ii = l v s ( 力，v z f f ( x , y , u f ) ，i = 1 , 2 ，n 。3 w ；f ( x ，y ，y ) ，使 乞 ( 3 7 ) 由条件，3 w f ( x ，y ，v ) 使w ，i = 1 , 2 ，n 。再由( 3 7 ) 有 w z f ，f = 1 , 2 ，n ( 3 8 ) 设u ，l + l s ( x ) ， v z 川f ( x ，y ，u 川) ， 由条件与引理3 1 ， 3 t o ，l 】，3 z o f ( x ，y ，t v + ( 1 - t ) u ，l + i ) ，使 z o w , j t z o z 槲 ( 3 9 ) 由( 3 8 ) ，( 3 9 ) ，可矢口z o z i ，i = 1 2 ，n + 1 。 由s ( x ) 是凸集，知t v + o - t ) u 川s ( x ) 。故由上面所证知 坩+ l t v + ( 1 一t ) u 。+ i c 3 h ( u f ) 。 i = l 由数学归纳法，可知 n ( u ) ：“s ( x ) 具有有限交性质。 再证明日( “) 是闭集。设网 v a ：口1 ) c ) ，且寸1 ，要证明1 ，n ( u ) 。 由 屹 cs ( z ) ，v z f ( x ，y ，“) ，j f ( x ，y ，) ，有 z ( 3 1 0 ) 由s ( x ) 是闭的，知1 ，s ( x ) 。要证明v z f ( x ，y ，“) ，3 w f ( x ，y ，1 ，) ，使得w z 。 假若不然，则3 z o f ( x ，y ，“) ，v w f ( x ，y ，) ，有 z o w 芒c 从而 ( z o f ( x ，y ，1 ，) ) r 、c = g 由c 是闭凸锥，f ( x ，y ，1 ，) 是紧集，故存在z 中的一个零元邻域u ，使得 r 笙! 里叁堡 墨塑塑量望堑塑璧坚塑查垄堡 【z o 一( f ( x ，y ，v ) + u + c ) 】nc = a ( 3 1 1 ) 由1 ，口专1 ，以及f ( x ，y ，v ) 关于，是上半c 一连续，了a o j ，v 口a o ，有 f ( x ，y ，v 。) c 7 f ( x ，y ，v ) - 4 - u4 - c 由( 3 1 1 ) 式，有 【z o - f ( x ，y ，) n c = f 2 j ，v 口口o ( 3 1 2 ) 由z - o f ( x ，y ，“) ，由( 3 1 0 ) ，了f ( x ，j ，屹) ，使得z o 一c ，这与( 3 1 2 ) 矛 盾。 因此h ( u ) 是闭集。 由s ( x ) 是闭集，以及层是紧集，故s ( x ) 是紧集。再由s ( x ) 的闭子集簇 ) ：u s ( z ) ) 具有有限交性质，因此有n 日 ) o 。于是3 v n 日( 甜) ，有 u e s ( x )u e s ( x ) 1 ，s ( x ) ， 使v u s ( 工) ，v z f ( x ，y ，“) ，j w f ( x ，y ，d ， 使w z 故a ( x ，y ) 不空。 ( i i ) v ( x ，y ) e x d ，a ( x ，y ) 是e 中的闭集。 设网 v 。：口i ) ct t ( x ，y ) ，哼，e ，要证明v a ( x ，y ) 。 由 v 口：口i ) cs ( 工) ，v u s ( 工) ，v z f ( x ，y ，甜) ，j 么f ( x ，y ，屹) ，使得 w 口z ( 3 1 3 ) 因s ( x ) 是闭集，故v s ( x ) 。 假若，诺a ( x ，y ) ，贝0 3 u o s ( 戈) ，3 z o f ( x ，y ，“o ) ，v wf ( x ，y ，) 有z o w 垡c 。 从而 z 0 一f ( x ，y ，1 ，) r 、c = o ( 3 1 4 ) 由c 是闭凸点锥，f ( x ，y ，v ) 是紧集，故存z 中的一个零元邻域u ，使得 z o 一( f ( x ，y ，v ) + u + c ) 】r 、c = 囝 ( 3 1 5 ) 由比j ，以及尸( 石，y ，v ) 关于y 是上半c 一连续的，3 口o i ，v e t 口o ，有 f ( z ，y ，1 ，。) cf ( x ，y ，) + u + c ( 3 1 6 ) 由( 3 ，1 5 ) ，( 3 1 6 ) ，有 9 第3 苹集值广义强向量均衡问题解的存在性 _-_-_-_-_-_i-一一一 z o f ( x ，y ，心) 】r 、c = 囝，v 口口o ( 3 1 7 ) 另一方面，由( 3 1 3 ) ，j w 口r ( x ，y ，1 ，。) ，使z o 一心c ，这与( 3 1 7 ) 矛盾。 因此1 ，a ( x ，y ) 。故a ( x ，y ) 为闭集。 ( i i i ) v ( x ，y ) e xd ，a ( x ，y ) 是e 中的凸子集。 设 ，i ， ，2 a ( x ，少) ，贝, l j v l ，i ) 2 s ( x ) ， 且v u s ( x ) ， v z f ( z ，y ，“) ， 3 z l f ( x ，y ，u ) ，z 2 f ( x ，y ，y 2 ) ，有 z l z ，且z 2 z ( 3 1 8 ) 由引理3 1 ，知f ( x ，y ，“) 关于比是c 一拟凸的，对以上的z ，u ，屹，以及v f o ，1 ，以 及以上的z l ，z 2 ，存在z ，f ( 工，y ，t v i + ( 1 一t ) v 2 ) ，使毛z c ，即z ，z 。 又因为s ( z ) 是凸集，贝j j t v t + ( 1 一，) v 2 s ( 石) 。于是有加i + ( 1 一t ) v 2 彳j ，) 。因 此a ( x , y ) 为凸集。 ( ) a ( x ，y ) 在e d 是上半连续的。 a 是e d 上的集值映射，e 是紧集，由 3 1 1 只要证a 是闭映射即可。 设网 ( k ，y 。) ：口，) ce xd ，t 吏n ( x 口，y 口) j ( 工，y ) exd 。设v 。a ( x 。，y 。) ， 使得v 口- - v ，要证v a ( x ，y ) 。由s 是上半连续的，v x e ，s ( x ) 是闭集，由【，1 1 ， 知s 是闭映射。由o 。，屹) g r a p h ( s ) ，且( x 口，屹) 专( x ，v ) ，有( x ，v ) g r a p h ( s ) 。 即1 ，s ( x ) 。 下面证明1 ，a ( x ，y ) ，即要证明 v u s ( x ) ，v z f ( x ，y ，“) ，3 w f ( x ，y ，) ，使 w z 假若不然，则3 u o s ( j ) ，3 z o f ( x ，y ，o ) ，v wef ( x , y ，功，哦一w gc 。从而 【一f ( x ，y ， ，) r 、c = g 因c 是闭凸锥，f ( x ，y ，v ) 是紧集，则存在z 中的一个零元邻域u ，使得： z o 一( f ( 工，y ，1 ，) 4 - u + c ) 】nc = a 又存在z 中的一个平衡的零元邻域，使得u l u 。cu ，使得： 1 0 第3 苹集值广义强向量均衡问题解的存在性 ( z 。+ u l c ) 一( f ( x ，y ，v ) + u l + o i n c = a ( 3 1 9 ) 由“oes ( x ) ，矗- - x , r s 是下半连续的，3 u 口s ( x 。) ，使“口一“o 。于是有 ( x 。，y 口，“口) 斗( x ，y ，“。) 。又( x 。，y 口以) 专( x ，y ，1 ，) ，由f 是下半( 一c ) 连续及上 半c 一连续，对以上的z 。f ( x ，y ，u 。) ，以及u ，3 ( x ，y ，u 。) 的邻域u ( x ，y ，) ，当 ( x ，y ，甜) u ( x ，y ，“o ) ，有 f o ，y ，u ) n ( z o + u l c ) g 3 ( x ，y ，d 的邻域u ( x ，y ，1 ，) ，当( x ，y ，v ) u ( x ，y ，v ) ，有 ，( z 。，y 。，1 ，) cf ( x ，y ，) + u l + c 因此3 a o ，当口口。时，有 ，( 工口，y 。，u a ) n ( z o + u i c ) a ( 3 2 0 ) 且 f ( x 口，y 口，) cf ( x ，y ， ，) + u + c ( 3 2 1 ) 由( 3 2 0 ) ，设z 。f ( x 。，y a ，u 口) n ( z o + u i c ) ，由( 3 1 9 ) ，( 3 2 1 ) 有 ( z 。- ( f ( x 口，y 。，v a ) ) nc = g ( 3 2 2 ) 而屹爿( ，y 口) ，x t u 口s ( x 口) ，以及v z f ( x 口，虼，u 口) ，应j w f ( ，y 。，v 。) ， 使 w z ( 3 2 3 ) 而对( 3 2 2 ) 中的z 口f ( 屯，y 。，u 。) ，就不可能j w f ( x 。，y 。，) ，使w z 。这与 ( 3 2 3 ) 矛盾。因此a 为闭映射，从而a 为上半连续的。 ( v ) 设丁( e ) = y 丁( x ) ，由丁是上半连续的紧集映射，e 是紧集，由【3 1 1 ，知 t ( e ) 是紧集。令l = ( r ( e ) ) ，则lcd ，因y 是拟完备的，知是y 中的紧凸 集，见1 2 7 1 定义集值映射h ：e xl 斗2 夙，如下： h ( x ，y ) = ( 彳( x ，y ) ，丁( x ) )v ( x ，y ) e l 日是具有非空闭凸值的上半连续集值映射，由k a n k u t a n i f a n g l i s k s b e r g 不动点 定理，3 ( x ，y ) e xl ，使( 石，y ) h ( x ，j ，) ，即x a ( x ，y ) ，y t ( x ) ，亦即 11 第3 章集值广义强向量均衡问题解的存在性 x s ( x ) ，y r ( x ) ，r v u s ( x ) ，v z f ( x ，y ，“) ，j w f ( x ，y ，工) ，使得 w z 由条件( i ) ，有f ( x ，j ，x ) c 7 c ，知wec ，则z c 。于是有 f ( x ，y ，“) cc ，v u s ( x ) 即集值广义强向量均衡问题有解。 注3 1 当f ( x ，y ，z ) 为单值映射时，我们的结果改进了f u 田1 的主要结果，因 为我们不需要序锥的共轭锥具有弱+ 紧基这个条件。 1 2 致谢 致谢 本文是在我的导师龚循华教授的悉心指导下完成的。在毕业论文选题，查阅 资料以及组织完成的整个过程中都得到了龚老师的指导在这两年半的研究生学 习过程中，非常感谢我的导师对我的指导。在学习方面，他始终都严格要求我， 关心我，悉心指导我完成研究生阶段的学业。尤其是龚老师严谨治学的作风，诚 恳待人的品质，使我终生难忘。在此，我向龚老师表示衷心的感谢。 感谢南昌大学数学系的傅俊义、刘理蔚、朱传喜、黄安民、徐义红等老师这 几年来对我的教诲、关心和帮助，他们严谨的教学作风时时激励着我。 感谢陈斌、袁淑敏、乐华明同学，在这两年半里我们一起学习，一起讨论并 解决学术方面的问题，一起进步，能和他们在一起度过短暂的且终身受益的研究 生时光是我一生最大的荣幸 同时，在这里感谢我的家人，他们对我的关怀和支持，给予了我莫大的鼓舞， 使我顺利完成了学业。 最后，我也向在大学生涯中所有关心过我，帮助过我的老师，同学和朋友表 示诚恳的谢意1 1 3 余嫱 2 0 0 8 年1 1 月 参考文献 参考文献 【1 g i a n n e s iet h e o r e m so ft h ea l t e r a t i v e ，a u a d r a t i cp r o g r a m sa n dc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s i n “v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s ”【m 】n e wy o r k ：c o t t l erw g i a n n e s s if a n dl i o n sjl ，w i l e y a n ds o n s ，1 9 8 0 ，1 5 1 1 8 6 【2 】c h e ngyc h e n ggm v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv e c t o ro p t i m i z a t i o n ，l e c t u r en o t e si n e c o n o m ya n dm a t h e m a t i c ss y s t e m s j g e r m a n y , h e i d e b e r g ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 7 ，2 5 8 ： 4 0 8 - 4 1 6 【3 】c h e ngye x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rav e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ：ae x i s t e n c eo ft h e h a r t e m a n s t a m p a c c h i at h e o r e m j j o u r n a lo fo p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 2 ， 7 2 ：4 4 5 4 5 6 【4 】c h e ngyy a n gxq v e c t o rc o m p l i m e n t a r i t yp r o b l e ma n di t se q u i v a l e n c ew i t hw e a km i n i m a l e l e m e n ti no r d e r e ds p a c e s j j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 0 ，1 5 3 ： 3 6 1 5 8 【5 】y a n gxq v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n di t sd u a l i t y j 】n o n l i n e a ra n a l y s i s ：t h e o r y ， m e t h o d sa n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 3 ，2 1 ：8 6 9 8 7 7 【6 】y usj ，y a ojc o nv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s j j o u r n a lo fo p t i m i z a t i o nt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s ，19 9 6 ，8 9 ：7 4 9 - 7 6 9 【7 s i d d i q iah ，a n s a r iqh ，k h a l i qa ，o nv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s j j o u m a lo f o p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 5 ，8 4 ：1 71 - 1 8 0 【8 】k o m l o viv ，y a ojc o nt h eg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m j j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 7 ，2 0 6 ：4 2 - 5 8 。 9 】l e egm ，l e ebs ，c h a n gss o nv e c t o rq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s j j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 6 ，2 0 3 ：6 2 6 6 3 8 f10 】c h e ngy h u a n gxx ，y a n gxq v e c t o ro p t i m i z a t i o n ：s e t - v a l u e da n dv a r i a t i o n a l a n a l y s i s m b e r l i n ：s p r i n g e r v e r l a g ，2 0 0 5 【1 1 】b l u me ，o e t t l iw f r o mo p t i m i z a t i o na n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e st oe q u i l i b r i u mp r o b l e m s j m a t h e m a t i c a ls t u d e n t s ，1 9 9 4 ，6 3 ：1 2 3 一1 4 5 【1 2 】d a n i e l ep ，m a u g e r ia v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dm o d e l i n go f ac o n t i n u u mt r a f f i c e q u i l i b r i u mp r o b l e m 。v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a n dv e c t o re q u i l i b r i a ：m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s j h o l l a n d ，d o r d r e c h t ：g r a n n e s s ifa n dk l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，2 0 0 0 ，3 8 ： 7 9 一1 1 2 13 】g r a n n e s s if m a u g e r ia v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dn e t w o r ke q u i l i b r i u mp r o b l e m s m n e wy o r k ：p l e n u mp r e s s ，19 9 5 【14 】o e t t l iw ，s c h l a g e rd g e n e r a l i z e de q u i l i b r i aa n dg e n e r a l i z e dm o n o t o n i c i t y , f u n c t i o n a l a n a l y s i sw i t hc u r r e n ta p p l i c a t i o n si ns c i e n c e ，t e c h n o l o g y , a n di n d u s t r y m e n g l a n d ， 参考文献 l o n g m a nl o n d o n ：b r o k a t em a n ds i d d i g iah ，1 9 9 8 ：1 4 5 - 1 5 4 【1 5 】d a f e r m o ss t r a f f i ce q u i l i b r i u ma n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s j t r a n s p o r t a t i o ns c i e n c e ，1 9 8 0 ， 1 4 ：4 2 5 4 【16 】d a f e r m o ss ，n a g u m e ya s u p p l ya n dd e ma n de q u i l i b r i a t i o na l g o r i t h m sf o rac l a s so f m a r k e te q u i l i b r i u mp r o b l e m s j s c i e n c e ，1 9 8 9 ，2 3 ：118 1 2 4 17 】s m i t hte as o l u t i o nc o n d i t i o nf o rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m sw i t ha p p l i c a t i o nt os p a t i a l p r i c ee q u i l i b r i u m j a p p l i c a t i o n so fm a t h e m a t i c a lc o m p u t a t i o n ，19 8 4 ，15 ：6 1 - 6 9 18 】a n s a r iqh ，o e t t l ew s c h l i g e rd ag e n e r a l i z a t i o no f v e c t o re q u i l i b r i a j m a t h t h e m a t i c a l m e t h o d so f o p t i m i z a t i o n sr e s e a r c h , 1 9 9 7 ，4 6 ：4 7 - 1 5 2 【1 9 】b i a n c h im ，h a d j i s a w a sn ，s c h a i b l es v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sw i t hg e