（应用数学专业论文）积分方程sinecosine小波解法.pdf

宁夏大学硕i j 学位论文 摘要 由于积分方程多出现在物理、工程等诸多应用件研究领域，且解析形式的解难以求出，因 此其数值研究具有重要意义小波分析是一门新兴理论，它被广泛地应用于各种领域小波变换 克服了传f o u r i e r 的不足，在时域和频域都具有良好的局部化特性，它在数值分析、信号处理、 图像处理等领域有重要的应用价值 本文首先阐述了小波分析的摹本知识并介绍了s i n e - c o s i n e 小波然后，以s i n e - c o s i n e 小波 作为逼近函数，对未知函数以及积分方程中的相关函数进行数值逼近，利用g a l e r k i n 方法将第 二型f r e d h o l m 积分方程转化为代数方程组进行求解利用配置法将第一型f r e d h o l m 积分办程 和v o l t e l t a 积分方程化为线性代数方程组进行求解由于第一型f r e d h o l m 积分方程转化后的线 性代数方程组的系数矩阵是病态的，所以本文采用了分离奇异值的方法进行了求解对于第二 型非线性f y e d h o l m 积分方程转化后的非线性方程组采用了牛顿迭代法进行求解文中共求解了 五种类型的积分方程，并对相应_ 毛 分办程的求解给 f 了数值算例算例表明方法可行有效特别 的，由于对积分方程中存在的“正余弦”函数部分良好的逼近，这种类型积分方程求得的数值解 结果很好 关键词：s i n e - c o s i n e 小波，p r e d h o l m 积分方程，v o l t e r r a 积分方程，g a l e r k i n 方法，配置法 宁夏大学硕i ：学化论文 英文摘要 a b s t r a c t n o to n l yi n t e g r a le q u a t i o n sa r ea p p l i e dt or e s e a r c hf i e l d so fp h y 7 s i c sa n de n g i n e e r i n g ， b u ta l s oi t sh a r dt og e tt h ea n a l y t i cs o l u t i o n so fm a n yi n t e g r a le q u a t i o n s i t sn e c e s s a r yt o s t u d yt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so fi n t e g r a le q u a t i o n s w a v e l e ta n a l y s i s ，o n eo ft h ed e v e l o p i n g t h e o r i e s ，h a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n s w a v e l e tt r a n s f o r mr e m e d i e st h es h o r t c o m i n g o ff o u r i e rt r a n s f o r ma n dh a v ew e l l 1 0 c a l i z e dp e r f o r m a n c ei nt i m ed o m a i na n di nf r e q u e n c y d o m a i n w a v e l e t sa n a l y s i sa r ew i d e l ya p p l l e di nn u m e r i c ma n a l y s i s ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g e p r o c e s s i n ga n ds oo n i nt h i sp a p e r t h eb a s i ct h e o r i e so fw a v e l e ta n a l y s i sa n ds i n e - c o s i n ew a v e l e ta r ei n t r o d u c e d f i r s t l y t h eu n k n o w nf u n c t i o n sa n dr e l a t e df u n c t i o n si ni n t e g r a le q u a t i o n sa r ea p p r o x i m a t e d b ys i n e c o s i n ew a v e l e t sa sa p p r o x i m a t i n gf u n c t i o n f r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n so fs e c o n d l 【i n da r er e d u c e dt ot h es y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n sb yu s i n gg a l e r k i nm e t h o d f r e d h o l m i n t e g r a le q u a t i o no ff i r s tk i n da n dv o l t e r r at y p ei n t e g r a le q u a t i o n sa r er e d u c e dt ot h es y s - t e r n so fl i n e a re q u a t i o n sw i t hc o l l o c a t i o nm e t h o d f o ri l l p o s e dp r o b l e m t h es y s t e mo fl i n e a r e q u a t i o n sc o n v e r t e df o r mi n t e g r a le q u a t i o no ff i r s tk i n da r es o l v e db yt h em e t h o do fs e p a - r a t i n gs i n g u l a rv a l u e t h es y s t e mo fn o n l i n e a re q u a t i o n sg e n e r a t e db yn o n l i n e a rf r e d h o l m i n t e g r a le q u a t i o no fs e c o n dk i n di ss o l v e db yn e w t o ni t e r a t i o nm e t h o d f i v et y p e si n t e g r a l e q u a t i o na r es o l v e da n dt h e i rn u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e n t h e s en u m e r i c a le x a m p l e sh a v e b e e ne x p r e s s e dt h a tt h em e t h o d si nt h i sp a p e ra r ef e a s i b l ea n de f f i c i e n t e s p e c i a l l y , t h en u - m e r i c a lm e t h o dh a sn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nw e l lf o ra p p r o x i m a t i n gt h es e c t i o no f s i n e a n dc o s i n e ”f u n c t i o ni nt h ei n t e g r a le q u a t i o n sw e l l k e y w o r d s ：s i n e - c o s i n ew a v e l e t ，f r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n ，v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n ， g a l e r k i nm e t h o d ，c o l l o c a t i o nm e t h o d 一i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 研究生签名： 时间：夕吵年歹月莎日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以 用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名：韩垂硇 时间：矽吵年月芳曰 时间：吵年月矿曰 宁夏大学硕十学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 从f o u r i e r 分析与小波分析【l 一3 】 1 8 0 7 年，法国科学家f o u r i e r 提出f o u r i e r 级数展开的方法，并用该方法研究热传导方 程，取得了巨大的成果到目前为止f o u r i e r 理论的发展已有两百年，它在科学技术的许多 领域中得到了广泛的应用，成为纯粹数学与应用数学领域、信息科学领域的主要：别臣之一 它之所以具有如此强大的能力，是凶为在利用f o u r i e r 变换表示信息时能够清晰地揭示出信 号的频率特征，但缺陷是不能反映时间域上的任 u j 局部信息利用f o u r i e r 变换研究信号的 频域特性时，必须获得该信号的时域中的全部信息给定一个信号f ( t ) ，在许多情况下令人 感兴趣的是信号局部范围内的特性，然而通过f o u r i e r 变换，信号的时域信息丢失了，就很 难知道事件发生的具体时间小波变换解决了f o u r i e r 变换面临的时域和频域局部化的矛盾 我们知道，函数集忙弧 七z 构成l 2 ( 0 ，2 丌) 的标准正交基，使l 2 ( 0 ，2 7 r ) 中的任意函数 都能展成f o u r i e r 级数基函数e 诀可看作足基本“建筑块”，一般的函数可由这些基本建 筑块构成，从而给分析问题带来方便另外，正交基 e 让o 知z 是由一个简单函数( t ) = e n 的“膨胀”形成的，即u 岛( ) = u ( 舰) ，k z 由此，我们可以将l 2 ( 0 ，2 7 r ) 看作是由单个函 数e n 生成的空问我们知道，铲( r ) 中的函数就不能写成f o u r i e r 级数的形式，这是因为 l 2 ( r ) 和弘( 0 ，2 7 r ) 是完全不同的函数空间特别地，因为三2 ( r ) 中的每个函数( 局部半均 值) 在士。必须“衰减”到零；显然“正弦波”雨数( ) = e n 不属于铲( r ) 实际上，如 果我们寻找产生l 2 ( r ) 的“波”，那么这个波在土。就衰减到零，而且在实际应用中衰减 应该是非常快的也就是说，我们要找小的波或称“小波”的函数妒l 2 ( r ) ，且生成l 2 ( r ) 小波分析是f o u r i e r 分析划时代发展的结果小波分析的出现，无论对数学，还是其它 学科都产生了深远的影响，并有广泛的应用领域所谓小波分析，从数学角度来看，它属于 调和分析范畴，从书计算数学的工作人员把它看作是一种近似计算的方法，用j ：把某一个函 数在特定空间内按照小波基展开和逼近从工程角度看，小波分析是+ + 种信号处理的工具， 是继f o u r i e r 分析之后的又一个有效的时频分析方法小波变换作为一种新的多分辨分析方 法，可同时进行时域和频域分析，具有时频局部化和多分辨特性，冈此特别适合于处理非 平稳信号对于f o u r i e r 分析，我们是比较了解的，既然小波分析足继f o u r i e r 分析之后的一 个突破性的进展，那就说明它不仅继承了f o u r i e r 分析的优点，同时还弥补了f o u r i e r 分析 中的一些不足之处与f o u r i e r 变换类似，小波分析也存在小波变换和小波级数等性质与 f o u r i e r 分析相比，小波分析是一个时问和频率的局部变换，因此能有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和，t - 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了变换中4 i 能解 决的许多州难问题两者的本质区别在丁f o u r i e r 分析只是考虑时域和频域之问的一对一映 射，它以单个变量的函数表示信号；而小波分析则利用联合时间函数分析非平稳信号，从根 本上克服了f o u r i e r 分析只能以单个变量描述信号的缺点 小波分析是近2 0 年来迅猛发展起来的一门新兴的交叉性学科，已被广泛应用于数值分 析、信号处理、图像处理、量子理论、地震勘探、语音识别、计算机视觉、c t 成像、机械 故障诊断、积分方程数值解、微分方程数值解等领域，并深深地影响着这些领域。它具有重 要的理论价值和实际应用价值，是众多学科所共同关注的热点问题之一 小波分析的发展历史最甲可追溯到1 9 1 0 年，由h a a r 提出了小波规范正交基2 0 世纪3 0 年 代，l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论( l p 理论) ，这 1 宁夏大学硕 j 学位论文第一章绪论 是多尺度思想的最早来源1 9 4 6 年，g a b o r 提出的窗口f o u r i e r 变换( 也称短时f o u r i e r 变 换) 对弥补f o u r i e r 变换的不足起到了一定的作用后米c a l d e r o n ，z y g m u n d ，s t e i n 和w e i s s 等人将l p 理论推广到多维，并建立了奇异秘分算了理沦。1 9 6 5 年，c a l d e r o n 给出了再生 公式1 9 7 4 年，c o i f m a n n 对h a r d y 空间h p 给出了原子分解1 9 7 5 年，c a l d e r o n 用他早先 提出的再生公式给出了日l 的原子分解，这一公式已成为许多函数分解的 h 发点，它的离散 形式已接近小波展开，只是还没有得到组成一个规范正交系的结论1 9 8 1 年，s t r s m b e r g 对 h a a r 小波进行了改进，构造了一组具有指数衰减且有有限次连续可微的正交基，这些工作 为小波分析奠定了摹础1 9 8 4 年，m o r l e t 在分析地震波的局部性时，发现传统的f o u r i e r 变 换刁i 具有时一频局部性，很难达到实际应用的需要，因此，他首先提出了小波分析( w a v e l e t a n a l y s i s ) 这个概念，并把它用于信号分解中随后，g r o s s m a n 对m o r l e t 的方法进行了研 究 真正的小波热开始于1 9 8 5 年，当时m e y e r 创造性地构造出了个具有衰减性的光滑函 数妒( z ) ，其二进制伸缩变换和平移变换生成的函数系 砂f ( z ) ：= 2 量! b ( 2 j x 一七) ；j ，k z 构成了l 2 ( r ) = ，( z ) 口j 测；klf ( x ) 1 2 如 + ) 的规范正交基，后来被称为m e y e r 基，这对小波分析的发展起到了非常重要的作用1 9 8 8 年，m a l l a t 提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的概念，在s t r s m b e r g ， m e r y e r ，l e m a r i e 和b a t t l e 工作的基 础上，给出了构造正交小波基的般方法。m a l l a t 受金字塔算法的启发，以多分辨分析为 基础，提出了著名的快速小波变换算法( f a s tw a v e l e tt r a n s f o r m ) ，即m a l l a t 算法，他将 信号的低频部分与高频部分分开处理，这是小波理论的突破性研究，其作用和地位相当于 f o u r i e r 分析中的快速f o u r i e r 算法这时，除去h a r t 小波之外，所有小波均不是紧支集的 在实际应用中，信号的能量一般集中在有限的区间上，因此利用非紧支集小波必须作截断 处理，从而给信号的分解与重构带来1 i 可避免的误差为了克服这一弊端，人们一直在努力 寻找具有紧支集、快速衰减、具有一定光滑特性的小波函数d a u b e c h i e s 在这方面做i l ；了 开创性的工作1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 构造出了具有紧支集的光滑正交小波基，而且构造方法 得到了广泛的应用1 9 8 9 年，作为i f 交小波基的推广，c o i f m a n n 。m e y e r 和w i e k e r - h a u s e r 等又引入了正交小波包的概念1 9 9 0 年，崔锦泰和f 建忠构造了基于样条函数的所谓半正 交小波( s e m i w a v e l e t ) 函数，并讨论了具有较好局部。陀的多分辨分析的生成函数及相应的 小波函数1 9 9 1 年，g o o d m a n ，l e e 和t a n g 给出了多小波的概念，即尺度函数和小波可由 多个函数构成随后，g e r o n i m o ，h a r d i n ，d o n o v a n 和m a s s o p u s t 给m 了用分形函数构造多 小波的方法和例子m l c c h e l l i 和x u 给出了构造区间上的不连续止交多小波的一般方法 c o h e n ，d a u b e c h i e s 和v i a l 讨论了利用直线一i ：的d a u b e c h i e s 小波改造有限区l 日j i ：的小波方 法1 9 9 2 年，c o h e n ，d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 给出了紧支集双止交小波的构造方法多小波 和双正交小波克服了正交小波的一些缺点，可使小波同时兼顾更多的实际应用中的需要的性 质另外，m e y e r ，s l l e e ，g p l o n k a 和陈翰麟等人的重要工作推动了周期小波的发展 绎典的小波理论尽管存9 0 年代初期已经显得非常完善，但存实际应用中仍然存在很多缺 陷例如，为了进一步提高小波的计算速度、简化小波实现难度以及克服常见小波基函数不 能无损表为信息的弊端，s w e l d e n s 等人在1 9 9 5 年系统地提出提升格式构造非线性变换，不 仅得到了新的小波变换，将现有小波变换的计算复杂性进步降低，而且将提升格式的思想 由于离散变换的整数实现，得到了整数离散余弦变换以及梧数重叠式变换等离散变换的构造 方法，从而建市了称之为第代小波变换的框架体系另外，为了避免实系数小波不具有平 移1 i 变性以及方向性能差等缺陷，k i n g s b u r y 等在1 9 9 9 年对复数小波进行研究并在图像去噪 等方面获得了成功应用同时，为了克服经典小波分析维或者更高维奇异性达不到最优的 缺陷，c a n d e s 与d o n o h o 等人在1 9 9 9 年提出了脊波( r i d g e l e t ) 与曲波( c u r v e l e t ) 理论目前， 2 。 第一章绪论 基于提升格式的小波、脊波或者曲波也已经成功地应用于数学以及信息处理的很多领域 1 2 积分方程小波解法简介 积分方程作为一种重要的数学工具之一具有i 个特点( 1 ) 一般情况下数值积分引起 的相对误差较小，所得结果较理想：( 2 ) 将区域上的微分方程转化为积分方程后维数降 低，计算量大大减少；( 3 ) 利用积分形式讨论问题解的1 竽在性、唯一性等十分方便，且结 果优美力学和工程技术中的许多问题，特别是微分方程的边值问题等，都町以转化为积分 方程的求解问题积分方程的应用越来越广泛，同时，积分方程的求解也成为了人们关注的 热点问题 然而，积分方程只有很少一部分可以求得其解析解，大多数只能给出它的近似解或解的 存在唯一性证明随着计算机和数值理论的f 趋成熟，人们对积分方程数值解法【4 - 2 9 】也开始 关注 近年来，用小波方法求解积分方程越米越引起人们的注意，小波方法求解积分方程是小 波分析运用的重大突破，用小波函数作为摹底将积分方程离散化所得的方程组的系数矩阵是 稀疏的，这是运用小波解积分方程的最大优点 关于积分方程的小波解法，国内外有许多研究成果因为第一型问题具有不适定性， 所以求解不适定问题的策略通常称为正则化策略【4 】也止是如此，第一型积分方程的 求解较第二型积分方程困难常见的正则化方法1 4 】有连续正则化的方法、离散正则化方 法、滤波正则化方法、迭代正则化方法等目前第一型积分方程的小波解法多采用离散 正则化方法1 9 9 8 年，凌捷 6 1 研究了求解第一型积分方程的正则化小波方法2 0 0 7 年， k m a l e k n e j n d 【7 l 等用小波配置方法求解了第一型v o l t e r r a 积分方程，并给出了数值算例同 年，k m a l e k n e j a d s l 等用小波g a l e r k i n 方法研究了第型f r e d h o l m 积分方程，并研究了小 波闽值条件k m a l e k n e j a d 【9 j 等运用勒让德小波求鸯隼了第一型f r e d h o l m 移 分方程，x u f e n g s h a n g 和d a n f uh a n 1o | 用勒让德多小波求解了同样的问题，对相同的算例得到了更好的结 果2 0 0 8 年，西安理工大学的武海霞1 5 l 做了第一型f r e d h o l m 积分方程数值算法的研究，构造 了适合于不连续的真解问题求解的正则化方法 第二犁积分方程数值解法【4 l 有未知级数展开法、积分核级数展开法、求积公式法、边 界元法以及迭代法等目前有关积分方程的小波解法多采用未知函数级数展开法，而未知 函数级数展开法中又以g a l e r k i n 方法和配置法较为常见2 0 0 1 年，x u e z h a n gl i a n g 1 1 】等研究 了用连续正交小波g l e r k i n 方法求觯第二型f r e d h o l m 和v o l t e r r a 的积分方程2 0 0 0 年会峰 叫1 3 】研究了一类积分方程的小波函数解，并给出了误差分析接着西安电子科技大学的霍 春雷【1 2 l 提出了含对数奇异核的第二类f r e d h o l m 积分方程的小波矩阵变换方法的改进算法 2 0 0 6 年，j i n - y o ux i a o 1 4 l 等研究了用周期小波g l e r k i n 方法求解第二类f r e d h o l m 积分方 程，并给出了卡h 应的数值算例i 司年s y o u s e f i 和a b a n i f a t e m i 【1 5 j j 玎c a s 小波作为逼近函数 研究了f r e d h o l m 积分力程的数值解法2 0 0 7 年，海南师范大学的龚文发1 1 6 】以勒让德小波为 基函数，利用g a l e r k i n 方法求解了第二类非线性f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程i i j j 时，姜 国【1 7 j 用有理化h a a r 小波求解了一类v o l t e r r a 积分方程k m a l e k n e j a di l s j 等用c o f i m a n 小 波数值求解了第二犁的f r e d h o l m 积分方程e b a b o l i a n 和f f a t t a h z a d e h1 1 9 】用c h e b y s h e v 小波积分算子矩阵研究了第二型积分方程 另外，小波方法也应用于一些奇异积分方程的数值求解1 9 9 8 年，朱同林和林伟【2 0 】研 究了一类弱奇异积分方程的区间小波数值解2 0 0 0 年，徐长发和姚亦峰【2 1 】讨论了一类具 有h i l b e r t 核的奇异积分方程的小波方法，文中提出了w g f a ( w a v e l e t g a l e r k i n - f o u r i e r 3 一 宁夏大学硕十学位论文第一章绪论 a p p r o x i m a t i o n ) 算法，数值算例表明数值解具有很高的精确度2 0 0 5 年，崔丽敏f 2 3 等发表了 基于小波带h i l b e r t 核的奇异积分方程的解法2 0 0 8 年，j i n gg a o 2 4 1 等用三角插值小波研究 了第二型弱奇异核积分方程 文献 2 5 】和文献2 6 1 用s i n e - c o s i n e t , 波研究了积分微分方程，文献f 2 6 1 中对于同一方程 做了小波方法与扰动方法的对比此外，2 0 0 8 年西安建筑科技大学的易亮【2 7 1 运用h a r t , 波 和l e g e n d r e t j 、波求解了f r e d h o l m - v o l t e r r a 方程 由于需要数值算例来表明数值方法的有效性和优越性，程序编写是必不可少的，本文采 用了m a t l a b 软件编写程序，故参阅了一些m a t l a b 程序编写方面的书籍【3 0 一3 1 l 。 1 3 本文的主要工作 本文由六个部分组成除本章之外，第二章介绍了小波分析的基本内容、s i n e - c o s i n e 小 波以及与本文相关的预备知识从第三章到第五章是论文的核心部分 第三章首先介绍了第一型积分方程在数值求解过程中遇到的网难，介绍了求解第一型积 分方程的离散正则化方法，重点介绍了配置法和g a l e r k i n 方法，并对离散产生的线性代数 方程组的病态性进行了阐述接着运用s i n e - c o s i n e 小波配置法求解了第一型f r e d h o l m 积分 方程和第一型v o l t e r r a 积分方程以s i n e - c o s i n e 小波作为基函数，对积分方程的未知函数及 某砦函数进行逼近，离散产生的线件方程组的求解问题运用了分离奇异值的方法 第四章首先介绍了求解第二型p r e d h o l m 积分方程的未知函数的级数展开方法，并详细 介绍了配置法和g a l e r k i n 方法接着仍运用s i n e - c o s i n e 小波g a l e r k i n 方法求解了第型线 性f r e d h o l m 积分方程以s i n e c o s i n e 小波作为基函数，对积分方程的未知函数及相关函数 进行逼近，将第二型f r e d h o l m 积分方程转化为线性代数方程组然后求解了第二型v o l t e r r a 积分方程先对未知函数用s i n e - c o s i n e 小波进行数值逼近，利用配置法将积分疗程转化为线 性代数方程纽进行求解，并相应给出了数值算例说明方法的有效性 第五章求解了第二型非线性f r e d h o l m 积分方程以s i n e - c o s i n e 小波对第二型非线性 f r e d h o l m 积分方程的菲线性部分进行逼近，然后利用g a l e r k i n 方法将第二型非线性积分方 程转化为非线性方程组进行求解，并给出了数值算例 最后一部分对论文做了简单总结与展望 一4 第二章小波分析的基本理论 2 1f o u r i e r 级数与f o u r i e r 变换 3 】 菪，( z ) l 2 ( o ，2 7 c ) ，即，( z ) 是以2 7 r 为周期的( o ，2 7 r ) 上的平方可积函数，则有f o u r i e r 级数展开为 他) = 锄e 泐， 其中 并且有p a r s e v a l 公式 成立 = 去z 2 丌，( z ) e 一们如，n z 去z 孙if ( 圳2 如= 三2 若f ( x ) l 1 ( r ) ，我们定义f o u r i e r 变换为 ，( u ) = f ( x ) e - i w x d r ，r 如果，) 三1 ( r ) ，且，( z ) 在点z 处连续，则下而f o u r i e r 逆变换公式成立： m ) = 互1 n f u ) e w x 如 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 对l 2 ( r ) 中函数的f o u r i e r 变换可以这样定义因为l 1 ( r ) nl 2 ( r ) 在l 2 ( 冗) 上是稠密 的，故可把l i ( r ) j ：f o u r i e r 变换的定义扩张到l 2 ( r ) 上，即对v f ( x ) 三2 ( 冗) ，定义其 f o u r i e r 变换为 舢) = o 骢m ) e - 由p l a n c h e r e l 定理知上述定义有意义，并且反演公式为 m ) = 爵1 l i 。m 。， 一。v 缸) e z 山 ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) 对，( z ) ，g ( x ) 三2 ( r ) ，p a r s e v a l 公式仍成立： = 二9 - - ， 其中 表示内积 f o u r i e r 变换对于- 甲移不变线性系统进行频谱分析是很方便的，因为一个平移不变线性 系统可以用卷积表示为 ， 9 ( z ) = h ( x u ) f ( u ) d u = h 宰，( z ) ，r 由f o u r i e r 变换的性质有鸯) = 五) ，0 ) ，即积分运算化成了其f o u r i e r 变换的乘法运算 显然，研究，) 与多) 之间的关系比直接研究，( t ) 和a ( t ) 之间的关系简单但对于非平移 不变线性系统，f o u r i e r 变换用起米不一定方便，即便是平移不变线性系统，由f o u r i e r 变 5 一 宁夏大学硕t j 学位论文第_ 章小波分析的基本理论 换的定义可以看出，) 与多p ) 取决于，( t ) 和9 ( t ) 在整个实轴上的整体性质，不能反映 信号在局部范围内的特征而在许多实际问题中，我们恰好关心的是信号的局部特征，这是 f o u r i e r 变换的固有缺点 2 2 窗口f o u r i e r 变换【1 】 设，( z ) l 2 ( r ) 为研究，( z ) 在区间【a ，b 】 ：的频谱特征，一个自然的想法就是先用 区间【o ，b 】上的特征函数x f 口，b l ( z ) 乘以，( z ) ，即先对f ( x ) 在区间【o ，6 】上进行截断，再对 x 口，6 1 ( t ) f ( x ) 进行f o u r i e r 变换但由于x 0 ，b l ( z ) 在z = a ，b 两点出现间断，因此可能会导致 x | 口，b l ) ， ) 出现f ( z ) 不应有的问断，这会给，) 附加新的高频成分 1 9 4 6 年，g a b o r 引进了窗口f o u r i e r 变换的概念，他的做法是引进一个光滑函数g ( x ) ( 称之为窗口函数) 以及参数b ，通过g ( x b ) f ( x ) 的f o u r i e r 变化来灵活反映， ) 的局部性 质 定义2 1 若函数g ( x ) l 2 ( r ) ，并且x g ( x ) l 2 ( r ) ，i igl i = 1 ，则称9 ( z ) 为窗口函 设9 0 ) 为一个窗口函数，我们定义窗口中心z ；和窗口宽度g 分别为 z ；= 上z i 如汗如， 妒 上( 扩i 9 ( z ) 2d x j 定义2 2 对于，( z ) l 2 ( r ) ，定义其窗口f o u r i e r 变换为 g f ( w ，6 ) = 而f ( x ) e 面z d x ( 2 7 ) - ，r 显然，g f ( w ，6 ) 反映了f ( x ) 在时间窗【x g + b a 9 ，x g + 6 + a 夕】上的局部信息，该窗也 称为g f ( w ，b ) 的依赖域 由于 ( e “z 9 ( z 一6 ) ) ( f ) = 9 ( z _ 6 ) e 溉e 一蚝z d x ( 2 - 8 ) = 夕( z 一6 ) e 一( f u 净d x ( 2 - 9 ) = e 一( f u ) 6 9 ( x ) e 一( 一u ) z d x ( 2 1 0 ) = e 一( f u ) 6 ( f u ) ，( 2 1 1 ) 所以由p a r s e v a l 公式及式( 2 - 8 ) 有 g ，( ，6 ) = 去上而，( ) e 讯叫) 6 如( 2 - 1 2 ) 如果u ( u ) l 2 ( r ) ，我们定义雪) 的中心和宽度为 嵋= 芴1 上u i 蚕( u ) 1 2 山， 一6 宁夏大学颂一l j 学位论文 第_ = 章小波分析向基本理论 多= 嘉上( u 一嵋) 2 i酬2 山r 则由式( 2 - 1 2 ) 可知g ，b ) 还反映了s ( x ) 在频率窗【+ u 一垂，u ；+ u + a 0 】上的局部 信息 另外，我们希望窗口尽可能小，这样g ，b ) 才能更灵敏地反映出，( z ) 和厂( ) 的变化 来但实际上，夕和雪不可能同时都任意小关于这点有如下的的h e i s e n b e r g 测不准原则 定理2 1 设g ( x ) l 2 ( r ) 为r 上的几乎处处可微的窗函数，并且矿扛) l 2 ( r ) ，则 g 多石 f 囱是窗口f o u r i e r 交换的性质 定理2 2 设9 ( z ) 是一个窗1 ：3 函数，( z ) l 2 ( 冗) ，则其窗口f o u r i e r 变换为g h ( w ，6 ) ， 并且对任何的h ( x ) l 2 ( r ) 都有 限g s ( 岫) 一g h ( w , b ) d w d b = 2 7 r rf ( z ) 一h ( x ) d x ( 2 - 1 3 ) 定理2 3 设夕( z ) 为窗口函数，( z ) l 2 ( 冗) ，则窗口f o u r i e r 逆变换公式 ，( z ) = 磊1 上。v ( u ，6 ) 夕( z 一6 ) e 溉幽抛( 2 - 1 4 ) 成立 2 3 小波与小波变换 1 1 2 3 1 小波的概念 顾名思义“小波”就是小的波形所谓“小”足指它具有衰减性，而称之为“波”，则 是指它的波动性，即其振幅呈止负相同的振荡形式 定义2 3 如果函数妒( z ) l 2 ( r ) 满足容许性条件 = 上芈幽 ：c k g k ( x ) ； b e z ( 2 ) 存在常数a ，b 使得对v ) 七z f 2 ( z ) ，恒成立 a i c k l 2 i i 酝鲰1 1 2 b i c k l 2 ( 2 2 4 ) 七zk e z七z 则称 鲰】- 埏z 为日的r i e s z 基 9 宁夏大学顺一l j 学化论文 第二章小波分析f 疗基本珲论 定义2 6 设 巧) j z 是空问l 2 ( r ) 的一个闭子空问列， s b z 被称为l 2 ( r ) 的一个 多分辨分析，如果 k ) j z 满足f 面四个条件： ( 1 ) 一致单调性：巧c + 1 ，j z ； ( 2 ) 渐进完全性：n ，z 巧= 0 ，u j zk = l 2 ( r ) ； ( 3 ) 伸缩规则性：f ( x ) 巧兮f ( 2 x ) v j + 1 ，j z ； ( 4 ) 存在妒v o ，使得 妒( z 一七) ) 知z ，构成的标准正交基其中妒称为尺度函数，巧 称为逼近空间 满足上面条件的多分辨分析 ) j z 也称为由尺度函数妒生成