（光学专业论文）量子克隆及其实验实现方案.pdf

摄予克隆及其实验实现方案 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 均在论文中做了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：宠抽 签字日期：，矿 年丁月z 日 学位论文版权使用授权书 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：办支二琏7 j 导师签名：f 力叩 签字日期：d 年r 月7 - e l签字日期：6 年厂月1 2 f e l 学位论文作者毕业去向 工作单位 通讯地址 电话： 邮编 靴a 糊敝 一一一一 ，；胎敝敝微徽燃瓣 摘要 摘要 本论文是对：i i 5 = 子信息理论中量子不可克隆定理的研究。量子不可克隆定理是由量子力 学基本限定希尔伯特空间的线性性而得到的，它指山：不可能准确地复制任意米 知世子态。本文尤其是对最优近似克隆( 包括普适量子克隆和相位协变钟子克隆) 及其幺 正变换的对称性和非对称性研究，同时提出在实验上实现量子克隆和远程挝子克隆的方案。 本论文包含如下一些研究成果。 1 ) ：最子克隆研究。 ( 1 ) ：我们以新颖的观点，更简洁的证明，同时得到1 - - 2 在d 维空间的最优酱适量 子克隆和最优相位协量子克隆的幺正变换。这两个幺正变换的得到，由p h y s i c sr e v i e wa 和p h y s i c sr e v i e wl e t t e r s 多篇文献从1 9 9 8 年到2 0 0 3 年完成。其问，推得时加诸多个条件。 而我们所得两个具体幺正变换汉需一个自然要求：两拷贝忠信度相同。从同一个不定系数 幺正变换出发，在输入态信息完全朱知时，得到1 2 在d 维空间的最优酱适量子克隆的幺 正变换：在输入态部分信息已知时，得到l 一2 在d 维空间的最优相位协量子克隆的幺正变 换。该证明以一种简单的方法能更好的理解近似量子克隆。 ( 2 ) ：我们提出一种获得最优非对称型近似量子克隆( 普适量子克隆和相位协变量 子克隆) 的幺正变换的方法。此方法比n jc e r f 方法所用单粒子投影在双b e l l 基叠加的 方法要简洁。所得结果符合普适量子克隆和相位协变量子克隆结果。并且，此方法为求得 一 彳在d 维空间最优非对称型近似量子克隆( 普适量子克隆和相位协变量子克隆) 的幺 正变换提出依椐。 2 ) ：基于腔q e d 系统的量子克隆和远程量子克隆实验实现方案。 ( 1 ) ：实现最优一般对称性对称型1 2 在2 维空间的相位协变量子克隆方案。这种 类型的量子克隆机，是输入态振幅已知而相位未知，分布在b l o c h 球上的量子态，并且量 子克隆时需要辅助粒子，因而它的幺正变换是对称性。由于赤道量子态克隆，即相位协变 量子克隆，是它的子系，故称一般相位协变量子克隆。由于在解决时振幅仍是参数，推广 时在数学上还有些困难。目前只有1 2 在2 维空间的幺正变换。我们是对这种量子克隆机 基于腔q e d 系统而提出的实验实现方案。 ( 2 ) ：实现最优一般非对称性对称型经济l 一2 在2 维空间的相位协变远程量子克隆方 案。这种类型的量子克隆机，是输入态振幅已知而相位未知，分布在b l o c h 球上的量子态。 由于在量子克隆时不需要辅助粒子，所以称为经济的并且它的幺正变换是非对称性。赤 道量子态克隆( 经济相位协变克隆) 是它的子系，故称一般经济相位协变量子克隆。由于 在解决时振幅仍是参数，目前只有1 2 在2 维空间幺正变换。同样是一般相位协变克隆， 它的忠信度要高于非经济相位协变量子克隆的忠信度。我们是将此量子克隆机推广到远程 量子克隆，并基于腔q e d 而提出的实验实现方案。由于它的幺正变换是非对称性远程 量子克隆有别于建立在对称性的幺正变换基础上现阶段的远程量子克隆。并且，在方案中 需有原子的b e l l 基测量，现己给出可以基于腔q e d 对原子b e l l 基的准确测量。因此。本 方案有望在实验上实现。 ( 3 ) ：实现最优对称型l 一2 在2 维空间的近似远程量子克隆( 普适远程景子克隆和相 位协变远程量子克隆) 方案。本方案是对普适量子克隆和相位协变量子克隆所提出的量子 克隆机基于腔q e d 推广到远程量子克隆而提出的方案。本方案是同一装置以不同的相互 作用时间和不同的局域操作可以实现两种不同类别的远程量子克隆。其特点节省资源， 经济并为实现四粒子纠缠提供可能性。 关键词：最子克隆，远程量子克隆，腔q e d 量子克隆及其实验实现方案 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h en o c l o n i n gt h e o r e mi nq u a n t u mi n f o r e l a t i o n t h ed e v i a t i o no ft h et h e o r e mi sb a s e do nt h eb a s i cc o n s t r a i n ti nq u a n t u m m e c h a n i c s t h el i n e a r i t yo ft h eh i l b e r ts p a c e i tp o i n t so u tt h a ti ti si m p o s s i b l et o e x a c t l yc o p ya l la r b i t r a r yu n k n o w nq u a n t u ms t a t e e s p e c i a l l yi nt h ed i s s e r t a t i o n ，t h e i n v e s t i g a t i o n s a r et ot h eo p t i m a la p p r o x i m a t eq u a n t u mc l o n i n g ( i n c l u d i n gt h e u n i v e r s a lq u a n t u mc l o n i n ga n dt h ep h a s e - c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n g ) ，a n dt h e s y m m e t r ya n da s y m m e t r yo ft h eu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n s s o m es c h e m e sa r ea l s o p r e s e n t e df o r t h ei m p l e m e n t a t i o no fc l o n i n ga n dt e l e c l o n i n g t h ed i s s e r t a t i o n i n c l u d e st h ef o l j o w i n gr e s u l t s i1 ：i n v e s t i g a t i o n so f q u a n t u mc l o n i n g f 1 ) ：an o v e la n dm o r ec o n c i s ep r o o fi sp r e s e n t e dt od e r i v es i m u l t a n e o u s l yt h e u n i t a r yt r a n s f c r m a t i o n so ft h eo p t i m a l1 2u n i v e r s a la n dp h a s e c o v a r i a n tq u a n t u m c l o n i n gi nd d i m e n s i o n t h ed e v i a t i o n so ft h et w ou n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n sw e r e o b t a i n e dt h r o u g hag r e a td e a lo fp a d e ri np h y s i c sr e v i e waa n dp h y s i t sr e v i e wl e n e m f r o m1 9 9 8t o2 0 0 3 a n dm a n yc o n s t r a i n t si m p o s e da sd e v i a t i o n 。1 l i ew eo b t a i n e d t h e mb yo n l yo n en a t u r a ld e m a n d ，t h a ti s ，t h et w of i d e l i t i e sa tt h eo u t p u ta r ee q u a l s t a r t i n gb y au n i t a r yt r a n s f o r i l l a t i o nw i t hi n e e r t a i nc o e 衔c i e n t s t h eu n i t a r y t r a r t s f o r m a t i o no ft h eo p t i m a lu n i v e r s a lq u a n t u mc l o n i n gi so b t a i n e da st h e i n f o r m a t i o no ft h ei n p u ts t a t ei s c o m p l e t e l yu n k n o w n ，a n dw h i l et h eu n i t a r y t r a n s f o r m a t i o no ft h eo p t i m a lp h a s e c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n gi so b m i n e da st h e i n f o r m a t i o no f t h ei n p u ts t a t ei sp a r t i a l l yu n k n o w n t h ep r o o f c a nb ec o n s i d e r e da sa s i m p l e rw a y t ou n d e r s t a n db e a e rt h eo p t i m a la p p r o x i m a t eq u a n t u mc l o n i n g f 2 ) ：w ep r e s e n tam e t h o dt od e r i v et h eu n i t a r yt r a n s f 0 1 t n a t i o n so ft h eo p t i m a l a s y m m e t r i ca p p r o x i m a t eq u a n t u mc l o n i n g ( t h eu n i v e r s a l a n dp h a s e c o v a r i a n t q u a n t u mc l o n i n g ) t h em e t h o di sm o r ec o n c i s ei nc o m p a r i s o nw i t hn j c e r f s f o r m a l i s mt op r o j e c ts i n g l ep a r t i c l eo nt h ed o u b l e b e l lb a s i s a n dt h er e s u l t s o b t a i n e da g r e ew i t ht h ep r e v i o u sc o n t r i b u t i o n s f u r t h e r , t h em e t h o do f r e r sa n e v i d e n c et od e r i v et h e u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n so ft h eo p t i m a la s y m m e t i l e a p p r o x i m a t en mq u a n t u mc l o n i n gi nd d i m e n s i o n 2 ) ：s c h e m e st oi m p l e m e n t t h ec l o n i n ga n d t e l e c l o n i n gb a s e do nc a v i t yq e d ( 1 ) ：w bp r o p o s eas c h e m et oi m p l e m e n tt h eo p t i m a ls y m m e t d cg e n e r a ll 一2 p h a s e - c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n gi n2 一d i m e n s i o n t h ec l o n e ri st oc l o n et h ei n p u t s t a t eo nt h eb l o c hs p h e r ew i t ht h ea m p l i t u d e sk n o w na n dt h ep h a s eu n k n o w n i nt h e p r o c e s so fc l o n i n g ，t h ea n c i l l ai sr e q u i r e ds ot h a tt h eu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o no ft h e c l o n e ri s s y m m e t r i c f o rc l o n i n go fs t a t e so nt h ee q u a t o r , i e ，t h eo p t i m a l p h a s e - c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n g ，i ss u b c l o n i n go ft h ec l o n e r , t h e r e f o r et h ec l o n e ri s s o c a l l e dg e n e r a lp h a s e c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n g d u et ot h ea m p l i t u d e s ，s u p p o s e d k n o w nb e f o r e c l o n i n g ，b e i n gc o n s i d e r e d a sp a r a m e t e r s ，t h eg e n e r a l i z a t i o ni s s o m e h o wd i f f i c u l ti nm a t h e m a t i c s a tp r e s e n t t h e r eo n ! ye x i s t st h eu n i t a r y t r a n s f o r m a t i o no ft h e1 2p h a s e c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n gi n2 d i m e n s i o n t h e s c h e m ew ep r o p o s et oi m p l e m e n tt h ec l o n e ri sb a s e do nc a v i t yq e d 6 垒坚堡! ! ( 2 ) ：w ep r o p o s eas c h e m et oi m p l e m e n tt h eo p t i m a ls y m m e t r i cg e n e r a l e c o n o m i c a l l 2p h a s e c o v a r i a n tq u a n t u mt e l e c l o n i n gi n2 - d i m e n s i o n t h ec l o n e ri s t oc l o n et h ei n p u ts t a t eo nt h eb l o c hs p h e r ew i t ht h ea m p l i t u d e sk n o w na n dt h ep h a s e u n k n o w n i nt h ep r o c e s so fc l o n i n g t h ea n c i l l ai sn o tr e q u i r e ds ot h a ti ti s e c o n o m i c a la n dt h eu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o ni sa s y m m e t r i c t h eo p t i m a ls y m m e t r i c e c o n o m i c a ip h a s e c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n go fs t a t e so nt h ee q u a t o ri ss u b c l o n i n g o ft h ec l o n e r ；t h e r e f o r et h ec l o n e ri ss o c a l l e dg e n e r a le c o n o m i c a lo n e d u et ot h e a m p l i t u d e sb e i n gc o n s i d e r e d a s p a r a m e t e r si n s o l u t i o n a tp r e s e n tt 1 1 e u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o ni st h el 一2c l o n i n gi n2 一d i m e n s i o n a st h eg e n e r a le c o n o m i c a l p h a s e c o v a r i a n tq u a n t u mc l o n i n g t h ef i d e l i t yo ft h ee l o n e r i s h i g h e rt h a nt h e c o r r e s p o n d i n gn o n e c o n o m i c a lo n e w eg e n e r a l i z et h ec l o n i n gt ot e l e c l o n i n ga n d p r e s e n t as c h e m eb a s e do n c a v i t yq e d d u et oa s y m m e t r yo ft h eu n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n t h et e l e c l o n i n gd i f f e r sf r o mt h ee x i s t i n go n e ，w h i c hi sc o n s t r u c t e di n t e r mo fs y m m e t r yo fu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n m o r e o v er ，t h eb e l lm e a s u r e m e n ti s r e q u i r e di n 血es c h e m e a n dt h eb e l lm e a s u r e m e n to na t o m sc a nb er e a c h e dp r e c i s e l y w i t hp r o b a b i l i t yo f10 0 t h u st h es e h e m ec a nb ee x p e c t e dt or e a l i z ei ne x p e r i m e n t ( 3 ) ：w jp r o p o s eas c h e m et oi m p l e m e n tt h ea p p r o x i m a t eq u a n t u mt e l e c l o n i n g ( u n i v e r s a lq u a n t u mt e l e c l o n i n ga n dp h a s e c o v a r i a n tq u a n t u mt e l e c l o n i n g ) n i s g e n e r a l i z e df r o mt h eu n i v e r s a lq u a n t u mc l o n i n ga n dt h ep h a s e c o v a r i a n tq u a n t u r a c l o n i n gt o t h e c o r r e s p o n d i n gt e l e c l o n i n gb a s e do nc a v i t yq e d u n d e rd i f f e r e n t i n t e r v a lp a r a m e t e r sa n dd i f i e r e n tl o c a lo p e r a t o r s ，t h es a l n ea p p a r a t u sc a ni m p l e m e n t t h et w ot y p e so f c l o n i n g t h es c h e m ec a ns a v es o u r c e sa n db ee c o n o m i c a l ，f u r t h e r , i t o f f e r sp r o b a b i l i t yt oi m p l e m e n tt h ef o u r - p a r t i c l ee n t a n g l e ds t a t ei ne x p e r i m e n t k e y w o r d s ：q u a n t u mc l o n i n g ，q u a n t u mt e l e c l o n i n g ，c a v i t yq e d 7 盘予克隘及其实验实现方案 引 士 日 戤子信息是最子力学和信息科学结合的产物。量子信息的研究是利j j 蜒子力学基本原 理，发挥鳅于相干特性的作用以新的方式进行计算，编码和信息传输。量子力学和信息 科学结合充分显示学科间结合的重要性，如果揖子信息的研究能够在物理系统上得以实现， 将会导致信息科学观念和模式的重大变革。目前的量子信息主要是基于最子力学的相干特 性，重构，编码计算和通信的基本原理。无论在理论上还魁在实验上，蛾子信息都在取得 新的突破，已经发展成为内容十分丰富的新学科。它包括最子计算，嫩子信息【2 l3 】， 量子通信 4 ，5 】和量子搏弈 6 】。 量子力学和计算机科学的交汇导致了在这两个领域内产生难以预料的迅速发展。在计 算机科学中，采_ 【 ；| 量子力学基本原理构建的鲑子算法已经显示在经典算法上无法比拟的优 越性。另一方面，也使得在量子力学中出现许多全新的问题和有趣的应用，比如量子避错 码为克服量子系统的退相干提供了非常新颖的方法。 早期工作源于二十世纪六，七十年代对克服能耗的可逆计算机的研究。l a n d a u e r 7 关 于“能耗产生于计算过程中不可逆操作”的发现表明，虽然物理原理没有限制能耗的下限， 但必须将不可逆操作改为可逆操作，才能大大提高芯片的集成度。而只有量子力学的幺正 变换，才能实现真正的可逆操作从理论观念角度讲，量子计算的想法与美国著名的物理 学家r f e y n m a n 8 “不可能用传统计算机全面模拟量子力学过程“的看法直接相关。在此基 础上，1 9 8 5 年，英国牛津大学d d e u t s c h 9 初步阐述量子图灵机的概念，指出量子图灵机 可能比经典图灵机具有更强大的功能。1 9 9 5 年，s h o r 1 0 提出大数因子化量子算法，并有 他人演示了量子计算在冷却系统中实现的可能，随后，g r o v e r 11 1 又发现了未加整理数据库 搜寻的g r o v e r 迭代算法。使用这种算法，在量子计算机上可以实现对未加整理数据库 量级加速搜寻。目前由于量子计算机巨大潜力，它已经变成为物理学家，计算机学家和数 学家共同关心的交叉领域研究课题。 除了量子计算的研究工作，对量子力学的基础研究引出另一个领域一量子通信。量子 隐形传态【2 】和量子密集编码 3 】是量子通信中两种比较典型的方式。量子隐形传态的思想是 由b e n n e t 等六位科学家在1 9 9 3 年提出。他们将未知的量子信息分为经典信息和量子信息 两部分，分别由经典信道和量子信道传给接收者。量子隐形传态的特点是仅仅是量子态被 传送，而粒子本身不被传送。而量子密集编码可以通过只传送一个粒子来实现两比特信息 的传送。近年来人们不仅在理论上对量子通信进行了深入的研究 1 2 1 7 】，而且在实验上也 取得许多重要进展。如1 9 9 6 年量子密集编码的实验演示【1 8 】，1 9 9 7 年奥地利的z e i l i n g e r 1 9 】 研究小组成功完成了第一个量子隐形传态实验，随后人们又完成一系列重要实验 2 0 2 8 】。 除了量子通信，量子信息还包括量子密码术和量子搏弈。其中量子密码体系采用量子态作 为信息载体，经由量子通道在合法用户之问传送密钥原则上提供了不可破译，不可窃听 和大容量的保密通讯体系，量子密码术目前实验上已具备初步成熟阶段 2 9 3 3 。量子搏弈 是1 9 9 9 年由e i s e r t 等人提出，2 0 0 2 年初中国杜江峰 3 4 科研小组在国际上率先实现了量子 博弈实验。 嫩子信息学中来自量子力学理论的两个概念：量子不可克隆定理和量子纠缠，使量子 信息学迥异于经典信息学。量子纠缠是指一个复合系统的状态不能够描述为各子系统的直 积态，即各子系统存在着极其微妙的关联。这与经典状况完全不同，即系统相互作用后， 各子系 一 8 引言 统均由自= ! = 状态米描述。或者说，仍为各予系统的直积态。量子纠缠现象已经被广泛 应f l i 于如鳅子密钥，嫩子密集编码和量子隐形传态中进一步说，多体撤子纠缠为量子计 算机的并行计算提供了可能。如s h o r 算法就是有效地利用这种并行性来完成经典计算 机不易完成的复杂计算。其量子计算的优越性就是建立在量子纠缠基础上。量子不可克隆 定理是保密通信的前提，对密码分配的安全性起了关键性的作用。绝对保密通信是量子信 息学有别于经典信息学的另一个根本差异。然而，复制是经典信息学，同样也是量子信息 学所必需关心永l 解决的任务。由于量子不可克隆定理的制约，量子复制( 量子克隆) 首当 其冲面临至少两个问题：量子克隆是准确的还是近似的，它们以何种方式进行；拷贝子与 拷贝存在何种关系时，量子克隆才是有效的，才能进行有效的量子计算。对这些问题研究， 目前已经取得很好的进展。 本文结构安排如下：第一章对量子克隆研究中的基本概念及其进展作简要的回顾；第 二章给出我们在量子克隆研究上的一些研究成果：主要是对近似量子克隆的简明阐述和对 对称型和非对称型的研究，并提出新的非对称型研究方法，所得到的结果很好地符合已有 的理论计算；第三章我们给出实现对二维空间中一般对称性相位协变量子克隆方案以及实 现一般非对称性经济相位协变量子远程克隆方案，结尾给出实现对称型近似量子远程克隆 ( 普适量子克隆和相位协变量子克隆) ，此方案可同时实现普适远程量子克隆和相位协变远 程量子克隆。 9 越子克隆及其实l j 盘实现方案 第一章量子克隆简介 来自撖子力学理论的两个概念：蝌子不可克隆定理和避子纠缠，使得量子信息学迥异 于经典信息学。最子纠缠是指一个复合系统的状态不能够描述为备子系统的直积态，即各 予系统存在着极其微妙的关联。这与经典状况完金不同，印系统相互作“；i 后，各子系统均 由自身状态来描述。量子克隆是挺子信息学的一个重要分支。以当前观念来看，至少米来 爨予计算机的复制功能应具有：将某文本( 复杂的已知的或目前尚未彻底研究清晰的初态物 理系统) 通过特定的操做( 酉的，非酉的) ，进行局域或非局域地复制到满足用户需要的文本 ( 终态物理系统) 的功能。量子不可克隆定理【3 5 】是根据量子力学基本限定希尔伯空间 的线性性而得出的结论。它指出：对任意一个未知的量子态，即便是最简单的单量子 比特的叠加纯态拷贝( 复制或制备) ，连一个完美的拷贝子都不可能得到。稍后又得到，量 子力学线性性禁戒了正交的量子混合态及量子纠缠态的克隆正交量子混合态不可克隆 定理 3 6 1 和量子纠缠态不可克隆定理 3 7 】。 三个定理的综合已经足够指出：量子力学线性 性禁戒对初态物理系统的终态物理系统完美拷贝的获得。同时三个定理的综合暗含：量子 力学线性性禁戒对初态物理系统的终态物理系统拷贝的绝对不获得量子不可删除定理 3 8 】。完美拷贝不可期望，注意转向近似量子克隆( 最优普适盈子克隆和最优相位协变量 子克隆) 终态物理系统对初态物理系统的拷贝应达到的最优近似。本章就是对近似量 子克隆作一简介。 第一节离散变量量子克隆 1 9 8 2 年w k w o o t e r s 和w h z u r e k 3 5 】在n a t u r a l 上撰文指出：任意未知量子态不 能被精确克隆。这个论断的证明简单明了。假设有一个量子过程，它能对任意未知量子态 精确克隆，那么，量子态l y ) 。= t 2 i i o ) + 届1 1 ) 和l 少) ：= 哆lo ) + 岛1 1 ) 均可被精确克隆，即 存在幺正变换u ，u 2 使得 u t ：i ) ，l o ) _ i ) 。i y ) ，； ：l ) ：i o ) ，i ) ：l 少) ： 其中 o ) 是空白态为已知的。那么对这两个态的叠加态也应存在幺正变换【，t 使得 ( 1 1 ) ( 1 2 ) u ：( 口l y ) ，+ f 妒) ：) f o ) ，( 口f 妒，+ f ) ：) ( 口【妒) ，+ f y ) ：) 。 ( i 3 ) 若利用量子力学的线性性，上面等式应有 u ( 口i 妒) + 卢l y ) ：) lo = u 口l ) 。+ u f ) ： = 口l 妒) i ) + 卢i y ) ：l 妒) ： = 口2 l ) ，i 少) 。+ 筇( j ) i ) ：+ j ) ：i p ) ) + 2 f ) ：j ) ：( 1 4 ) 0 第二章离敞变瞅相位协变嫩予克隆年n 远程姒子兜隆 由于这两个量予态赴任意的，通过比较同类项的系数就得到，口和p 中必有一个是0 。这与 态叠加假设相矛盾。因此精确克隘任意沭知最子态是不可能的。 1 1 最优普适量子克隆 既然精确的克隆是不可能的，那么研究近似克隆就成为必要。对离散变蜮单量子比特， 若输入态的信息完全未知，就称为普适量子克隆【3 9 】。即当任意输入量子态为 f ) = aj o ) + 1 1 ) 。时，都有下面幺正变换 o ) ：i o ) ，一丽l o ) l i o ) ：i o ) ，+ 4 i t g ( 1 0 1 ) + p o ) ) ，阶 o ) ：h _ 丽1 ) ：h + i t g ( ix o + l o l ) 。i o ) ， ( 1 5 ) 其中粒子2 为空白态，x 是辅助粒子或称机器系统。所得到的两个拷贝的忠信度为 e = e = 5 6 ；0 8 3 3 。它的幺正变换是对称的，因此称为对称性的。幺正变换的对称性 对于写出在d 维空间中相应的幺正变换是很重要，而且对远程量子克隆也更是极其重要 这将在下两章中看到。由于两个拷贝的忠信度相同并达到最优，忠信度相同也意味这互换 拷贝在幺正变换中的位置，幺正变换是不能变的，对拷贝而言是对称型，因此称为最优对 称型。这样这种量子克隆机全称为离散变量单量子比特最优对称性对称型t - - 2 在2 维空间 的普适量子克隆机。随后文献 4 0 ，4 l 】均证明这种克隆机是晟优的。如果要求两拷贝的忠 信度不必须相同，就能得到离散变量最优对称性非对称型l 一2 在2 维空间的普适量子克隆 机【4 2 ，4 3 。即当输入量子态为l 妒) l = 口l o ) l + 1 1 ) 。时，有下面幺正变换 1 0 ) l i o o ) ：，j ( i o o o ) + p 1 0 1 1 ) + 9 1 1 0 1 ) ) 啦，n ； 1 1 ) l i o o ) ：。；一( 1 1 1 1 ) + p 1 0 0 ) + q 1 0 1 0 ) ) 1 2 ，n ， ( 1 6 ) 其中n = l + p 2 + 9 2 是归一化因子，并有p ，g o ，且满足p + q = 1 条件。相应的两个 拷贝的忠信度为 f ；= ( 1 + p 2 ) n ；e = ( 1 + 9 2 ) u 。 ( 17 ) 这两个忠信度是最优的，即确定一个拷贝的忠信度，在数群( p ，q ) 中有唯一的一组 值使得另一个拷贝的忠信度最大。显然，互换拷贝1 和2 在幺正变换中的位置，幺正变 换变化了，拷贝1 和2 的忠信度就不同了。随后，普适量子克隆从一个输入态得到两个输 出拷贝推广到n 个态得到输入 ，个输出拷贝( n - - + m ) ，以及从2 维空间推广到d 维空 问。理论计算得最优对称性对称型一m 在d 维空间的普适量子克隆机的忠信度 ( 巧= r ) 为【4 4 】 ，：m - n 。+ n ( m = + 一d ) ( 1 | 8 ) 朋i n + dj 量王塞堕塾基窒堕壅翌查塞 一 然而具体的幺正变换却只给山i - - 2 在d 维空间和1 一m 在2 维空间的情况j ： t i s f i g 幺正变换将在第三章中给山同样惜适非对称删最子克隆的幺正变换也只给出l 一2 和1 3 在d 维空问的情况，具体的幺正变换也将在第三章中给山 1 2 最优相位协变量子克隆 对于离散变跫单蛾子比特。如果输入态的信息部分得到。例如，振幅己知而相位未知 这被称为离散变量最优相位协变量子克隆。 1 2 1 最优一般相位协燹茧子免巨 在振幅已知相位未知情况下，对输入态f 少) 。= 口i o ) + f i e ”l l 改写为 例：c 。s 导m 砂s i n 釉， ( 1 。) 其中占 o ，万】是已知的t 而妒 o ，2 万) 是未知，因此称为一般性的。最优一般对称性对 称型l 一2 在2 维空间的相位协变量子克隆的幺正变换为 4 5 | o ) i l o o ：，一, 4 ( o ) i o o ”i o ，+ 口( 口) ( | 0 1 ) + ) 啦他； j 1 ) l i o o ) 2 , z - a ( a ) l lx u 1 1 ，+ b ( 口) ( + ) 啦1 0 ) j ， ( 1 1 0 ) 其州咖击( + 南卜= 舡南卜同的两个拷燃 信度为 啪= 争专( ，一南卜毋+ * 南j c o s 2 吡。 可以用图表示忠信度随0 变化的曲线，其中横坐标为目，纵坐标为f 。 0 0 从幺正变换( 1 1 0 ) 式中可以看出，这种量子克隆机需要辅助粒子或称机器系统。还 要一种不需要辅助粒子或称机器系统的克隆机，称为经济的 4 6 】。它的幺正变换是不对称 的，对予输入态在b i 。c h 球的北半球。输入态定义为i ) 。- - c o s o 2 o + , ”s i n o 2 1 i ) 广 一- 第二章离散变世相似协变嫩予克隆和远程赍乇子兔隆 其中口【o ，可2 】已知，西【o ，d r ) 沭知。幺正变换为【6 7 】 相应的两个忠信度为 0 ) 1 l o ) ：- , 1 0 0 u ；。) ：_ 忑l ( 1 l o ) + 1 0 1 ) ) u 。( t 2 ) f ：e ：l s i n ：, - 旦+ c o s 4 旦+ 亚s i n 2 口。 ( 1 1 3 ) 1 2224 对于输入态在b l o c h 球的南半球。输入态定义为 妒) ，= c o s 0 2 1 0 ) + e ”s i n e 2 1 ) ( 口【州2 ，丌】已知，伊【o ，2 _ ，) 未知) 。幺正变换为 1 3 o ) 1 l o ) ：寸西1 ( | 1 0 ) + 1 0 1 ) ) u ，o ) ：一r ( t 1 4 ) 相应的两个忠信度为 只：e ：l c o s 一0 + s i n 4 0 - i - 鱼s i n 2 曰。 ( 1 1 5 ) z224 从式( 1 1 2 ) 和( 1 1 4 ) 可以看出，幺正变换是不对称的而两个忠信度却相等。因此， 这类被称为最优非对称性对称型一般经济1 2 在2 维空间的相位协变量子克隆。并且幺正 变换的不对称性，导致远程量子克隆只能概率实现。 可以用图表示两种量子克隆机忠信度随0 变化的曲线，其中横坐标为目，纵坐标为f 。 目前这两类般相位协变量子克隆还没有推广主要原因是振幅在处理时还是参数在数 学上解决有些困难 1 2 - 2 最优相位协变量子克隆 在输入态振幅相等时即i y ) 。= ( io ) + p ”1 1 ) ) 。互时，所得到的就是平常指的相位协变 量子克隆。在目前最子信息较完善并成功应刚的量子密码术 4 8 d e b b 8 4 壤子密码术方 案【4 9 】中，这种量子克隆被认为是对此方案最危险的量子窃听攻击。其幺正变换为 5 0 ， 5 1 量子克隆及其实验实现方案 o ) l | o o ) ：，甜o o o ) 啦，+ 万1 ( 1 0 1 ) 圳i ) ) ：， 。1 0 0 ) 轴寸铷h ：，万1 ( i l o ) 删i ) ) ：， ( 1 1 6 ) 两个拷贝的忠信度为e = e = ( 1 + 1 压) 曼* 0 8 5 3 。这种类型称为最优对称性对称型l 一2 在2 维相位协变量子克隆。在非对称型情况，其幺正变换为【5 2 】 f o o o ) ，一i o o o ) 啦 1 0 1 1 ) 啦，。( c o s , 7 1 0 1 ) u + s i n , t p o ) 啦) 他： i l o o ) ”，j ( c o s , j p o ) + s i n 叩1 0 1 啦) l o ) 3 ； j 1 1 1 ) ，- 1 1 1 1 ) 啦， ( 1 _ 1 7 ) 两个拷贝的忠信度分别为 e = ( 1 + c o s r ) 2 ；e = ( 1 + s i n r ) 2 。 ( 1 1 8 ) 这种类型称为最优对称性非对称型l 一2 在2 维空间的相位协变量子克隆。这种类型也 存在经济型的，如式( 1 1 2 ) 和( 1 1 4 ) 。两个拷贝的忠信度都为 e = e = ( 1 + l 压) 童。0 8 5 3 ，称最优非对称性对称型经济l 一2 在2 维空间的相位协 变量子克隆。显然最优非对称性非对称型经济1 2 在2 维相位协变量子克隆的幺正变换 有两个独立的，一个为 5 3 m i o ) ：1 0 0 u ；h i o ) ：斗p l l o ) u + q 1 0 1 ) ( 1 1 9 ) 另一个为 j o ) l io ) ：一p 1 0 1 ) + q l l o ) 啦：1 1 ) i i o ) ：- - 1 1 1 ) 啦。 ( 1 2 0 ) 两个拷贝的忠信度分别为 e = ( 1 + p ) 2 e = ( 1 + q ) 2 。 ( 1 - 2 1 ) 其中p ，q 0 且满足归一化条件p 2 + 9 2 = i 。对相位协变量子克隆的幺正变换，给出的有 对称性对称型l 一2 在d 维空间，以及对称性对称型经济l m 在2 维空间的。 如果输入态的振幅未知相位已知( 妒= 0 ) 。即j ) 。= 口i o ) + n l o 。，这被称为离散变 f i t 最优实数态量子克隆 5 4 。虽优实数态量子克隆还未推广到d 维，但忠信度却得到了 理论值【5 5 】此外有概率量子克隆 5 6 是指从一线性无巷的态集0 少) ) ( i = 1 ，玎) 中选择 f f ：- - 态，可以概率地得到忠信度为1 的拷贝。而后概率量子克隆又被推广能产生多拷贝情 况 5 7 。同时还有态相关量子直隆 5 8 1 。这种堵子直降是近似的。对这几种量子克隆我 4 们不拟多述 第二章离散变量相位协变盘子克隆和远程量子克隆 第二节远程量子克隆 远程量子克隆 5 9 】是结合量子克隆和隐形传态方案依靠最大纠缠态，可以将拷贝不受 时问和空间限制在远处克隆，所以也称为非局域量子克隆。远程量子克隆比起使用量子网 络进行非局域克隆，可以更好地节省资源。随后文献 6 0 又推广到对称型1 一m 的d 维空 间和非对称型i - - 2 的2 维空间。文献e 6 1