（计算数学专业论文）基于组合杂交变分原理的轴对称有限元方法.pdf

摘要 组合杂交变分原理是一种特殊的鞍点型变分原理，它由基于区域分解的 h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理及其对偶变分原理的优化条件加权组合得到。本文 从理论分析和数值实验的角度研究了组合杂交法在轴对称弹性力学问题上的应 用和加权系数优化的原则。 本文首先基于组合杂交变分原理推导出4 节点的轴对称元a c h 8 p ，其位移 插值采用w i l s o n 非协调位移模式，应力在等参坐标系下采用关于w i l s o n 位移完 全能量协调的不完全线性多项式。数值实验结果表明：a c i c s p 是高性能的轴对 称元。具体表现是：对畸变网格有很好的适应性：计算可靠，不发生p o i s s o n l o c k i n g 现象；对双线性等参元的粗网格精度有很好的改善。 本文然后通过优化组合参数近似实现零能误差的方法，分别对8 参数能量 协调轴对称元a c h 8 f l 和近似能量协调轴对称元r a c h s f l 进行了优化。数值实 验结果表明：能量协调和近似能量协调的轴对称元都具有高精度、不发生p o i s s o n l o c k i n g 和对网格畸变不敏感的特点；经过优化之后的轴对称元性能能够得到进 一步改善。 本文的框架大致如下：首先概述了有限元方法的一些基本概念和高性能有 限元方法的一些背景知识；然后介绍了轴对称弹性力学问题的一些基本概念和 现有的轴对称问题的三种解法：其次，详细推导了在满足能量协调条件情况下 的组合杂交轴对称元，编制了相应程序，研究所构造的轴对称元所具有的性能； 再次，详细介绍了零能误差机制，编制程序，研究组合系数对组合杂交轴对称 元性能的优化影响：最后，总结全文并给出作者以后研究的方向。 关键词：组合杂交法轴对称问题高性能方法能量协调零能误差机制 参数优化 a b s t r a c t c o m b i n e d h y b r i df u n c t i o n a li sas p e c i a ls a d d l ep o i n tv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w h i c h i sb a s e do na w e i g h e da v e r a g e o ft w o s y s t e m s o fs a d d l e p o i n t c o n d i t i o n s c o r r e s p o n d i n gt od o m a i n d e c o m p o s e dh e l l i n g e r - r e i s s n e rv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n d i t sd u a l i nt h i st h e s i s ，t h ea p p l i c a t i o no fc o m b i n e dh y b r i dm e t h o dt o a x i s y m m e t r i c e l a s t i c i t yp r o b l e ma n dt h eo p t i m i z a t i o no fc o m b i n e dh y b r i da x i s y m m e t r i cf i n i t e e l e m e n t sa l ed i s c u s s e di nam a n n e ro fc o m b i n a t i o no fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sw i t h n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n an e wf o u r - n o d ea x i s y n m a e t r i ce l e m e n t a c h s f l i sd e r i v e db a s e do nt h ec o m b i n e d h y b r i dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w h i c hr i s e sw i l s o n sd i s p l a c e m e n t sa n dl i n e a rs t r e s s s u f f e r i n gf r o me n e r g yc o m p a t i b i l i t y t h er e s u l t i n ge l e m e n te x h i b i t se x c e l l e n tr e s u l t s i n d i s p l a c e m e n t sa n ds t r e s s e s a n di ss u i t a b l ef o rn e a r l yi n c o m p r e s s i b l em a t e r i a l s w i t h o u ta n y l o c k i n gp h e n o m e n a , i n s e n s i t i v et om e s h d i s t o r t i o n z e r o e n e r g y - e r r o r i su s e dt o o p t i m i z ec o m b i n e dh y b r i da x i s y m m e t r i cf i n i t e e l e m e n t sa c h s f la n d r a c h s f lt h r o u g ha d j u s t i n gt h ec o m b i n e df a c t o r n u m e r i c a l r e s u l t sa l li n d i c a t et h a tt h et w oa x i s y m m e t r i cf i n i t ee l e m e n t se x h i b i tb e t t e rn u m e r i c a l p r e c i s i o n ，e x c e l l e n tp e r f o r m a n c ea tt h en e a r l yi n c o m p r e s s i b l el i m i ta n dd i s t o r t i o n so f t h ee l e m e n t g e o m e t r y , a n de l e m e n tp e r f o r m a n c e sa r ei m p r o v e d a f t e ro p t i m i z a t i o n t h e l a y o u to f t h i st h e s i si sf o l l o w s f i r s t l y , s o m eb a s i cc o n c e p t sa n db a c k g r o u n d k n o w l e d g ea r e i n t r o d u c e d t h r e es c h e m e so fa x i s y m m e t r i c p r o b l e m s a r e g i v e n s e c o n d l y ，a x i s y m m e t r i ce l e m e n tw i t he n e r g yc o m p a t i b i l i t yi sc o n s t r u c t e di nd e t a i l t h e p e r f o r m a n c eo f t h i sa x i s y m m e t r i ce l e m e n ti sd i s c u s s e d b yn u m e r i c a le x a m p l e s t h i r d l y , z e r oe n e r g y - e r r o ri s i n t r o d u c e da n du s e dt o o p t i m i z e c o m b i n e dh y b r i d a x i s y m m e t r i cf i n i t ee l e m e n t st h r o u g ha d j u s t i n gt h ec o m b i n e df a c t o r t h ei n f l u e n c eo f c o m b i n e df a c t o ro na x i s y m m e t r i ce l e m e n t si sd i s c u s s e d f i n a l l y , t h em a i n p o i n t so f i i t h ew h o l e p a p e r a r es u m m e d u p a n ds o m ef u r t h e rt h o u g h t sa r e p u tf o r w a r d k e y w o r d s ：c o m b i n e d h y b r i d m e t h o d a x i s y m m e t r i ch i g hp e r f o r m a n c e e n e r g yc o m p a t i b i l i t y z e r oe n e r g y - e r r o r p a r a m e t e ro p t i m i z a t i o n i i i 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 第一节有限元方法概述 1 1 有限元方法在工程技术领域的应用 在工程技术领域中有许多力学问题和场问题，例如固体力学中的应力应变 场和位移场分析、传热学中的温度场分析、流体力学中的流场分析阱及电磁学 中的电磁场分析、振动模态分析等，都可以看作是在一定的初边界条件下求解 基本微分方程的问题。虽然已经建立了这些问题的基本方程和边界条件，但只 有少数简单的问题才能求出其解析解。对于那些数学方程比较复杂，或物理边 界形状不规则的问题，采用解析法求解在数学上往往会遇到难以克服的困难。 通常对这类问题，往往需要借助于数值模拟技术。用数值模拟技术对结构进行 受力分析，就能在设计或施工前预知建筑结构的危险区段，预测结构的大概破 坏情况，从而采取措施。 目前在工程实际应用中，隶解这类问题常用的数值求解方法有：有限元法、 有限差分法、边界元法等。但是从应用性和使用范围来说，有限元法是随着计 算机的发展而被广泛应用的一种有效的数值模拟技术。 1 , 2 有限元法的基本思想 有限元法提供了一种求微分方程近似解算法的框架。它可以被想象为一个 黑盒子，我们把微分方程及边界条件输入这个黑盒子中，从这个盒子里面出来 的就是求微分方程的算法。 一般来说，有限元是由( j r ，) 三部分组成的，置表示具有光滑边界的区 域，p 表示定义在区域k 上的有限维多项式空间，是p 的对偶空间p ( 也就 第一章绪论 是p 的有界线性泛函的全体) 的一组基。 有限元法的基本思想是：先由求解的微分方程推导出它的变分方程，由变 分方程确定出变量的函数空间v ；然后进行离散，得到变量的离散空间s 亡v ； 将求解区域剖分成具有分片光滑边界的小区域眉；通过所给的p 和的定义， 确定出多项式空间p 的一组基西( 称作p 的节点基) ，这里的这组节点基也称 为形状函数：将节点基表达式代入这个变分方程中，建立求解节点未知数的有 限元方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化成离散域中的有限自由度 问题。有限元求解程序的内部过程如图1 1 所示。 结构离散化，输入或生成有限元网格 上 计算单元刚度矩阵，组装成总刚度矩阵 。 上 形成节点载荷向量 上 实施本质边界条件 上 解线性代数方程组 上 输出节点位移，计算并输出单元的应力 2 1 高性能有限元方法 图1 1 有限元程序图 第二节高性能有限元方法 西北t 业人学硼i 学位论义 随着科学技术的巨大进步，人们对数值方法的离散模型和求解算法提出越 来越高的要求。为保汪数值模拟技术的可靠性和有效性要求，低阶元联立求解 自由度、高阶元精度的数值性能成为对高性能有限元方法的根本要求。 稳定性和逼近性条件是有限元方法收敛的充分和必要条件，这是有限元方 法的基本要求。除了这个基本要求之外，就弹性力学以及和椭圆型偏微分方程 有关的一大类力学和物理问题而言，要求有限元方法还具有下列的些性能： 1 对于各种问题类型和材料性能，有限元解都有高精度： 2 计算精度对网格畸变的敏感性小； 3 计算可靠，不发生诸种的l o c k i n g 现象( 泊松比v 趋于o 5 时，不发生 p o i s s o nl o c k i n g ；求解域是“薄结构”时，不发生厚度l o c k i n g ) ； 作为一种非协调元方法的w i l s o n 矩形，具有双线性q 4 协调元不具备的高 精度性能，既不厚度l o c k i n g 也不p o i s s o nl o c k i n g ，这为以后的高性能有限元 方法研究奠定了基础。但是w i l s o n 四边形对于网格几何畸变十分敏感，大大限 制了它在工程模拟计算中的广泛应用。后来，卞学镄教授等将要求局部力平衡 的经典假设应力杂交法改造为基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的杂交法【2 】，把 w i l s o n 矩形的优良性能扩展成为个高性能的任意四边形单元( p s 元) ，成为 高性能有限元方法的真正起点。接着，s t a n f o r d 大学和c a l i f o r n i a 大学的学者们 基于h u w a s h i z u 变分原理也构造出低阶高精度的四边形元4 5 】。但是并不是 应力和应变的任何构造都导致高的数值精度，上述的变分原理并不保证构造出 的有限元格式必定具有高性能的特征。为确保有限元格式的高性能性，应力、 应变与位移之间按照何种理论原则进行设计，仍是高性能有限元方法研究的焦 点。 2 2 丰富应变插值、组合杂交变分原理和能量协调三位一体的理论 w i l s o n 插值的特点是丰富应变，位移v 由双线性模态组成的协调部分v ，和 实现完全二次多项式插值的两个丰富应变模态( 1 一f 2 ) 和( 1 - r 2 ) 组成，于是对于 第一章绪论 w i l s o n 插值多项式空闻u ：，有如下的逼近论误差估计【2 5 ，2 6 l ： 。i n f 1 u - v f i 埘- c h t l u ， v u h 2 ( k ) ， i n f 。l u - v l f 。，。! ；c 厅2 u f ，。，v u h 3 ( k ) 。 由此可见，应变丰富非协调模态对有限元近似增强精度的贡献是构造高性能有 限元格式的有利前提。这时，位移变量只能是分片h 1 ( k ) 函数，位移函数空间是 h h l ( k ) 。 从最小势能原理和最小余能原理，可以建立下面两个相互对偶的变分原理 6 1 ： i n f s u p 士一理( 下，”一嘎( t ，v ) + 霞( t ，v v c ) + ( f ，v ) )( 1 1 ) ( v k i ) e u n f u c 粤 。( v ，v ) 一毋t ( t , v - - v c ) 一( f ，v ” ( 1 2 ) 其中。且= 卜【t 】衄 - 。( v ，v ) 2 荟l e ( v ) d 删概 嘎t , v - - v c ) 2 磊t ( v 1 ) 出一( ”) 2 磊m n ： k e 凡耳e 矗 ” v = 丌( 威v k ) 为应力空问， u = v e “兀胃。( 足) 川：v 。：o 为位移空间， ik e 五l u c l 剜啪j 肌一耔搠a 用这两个变分原理构造有限元离散模型，由于这两个鞍点变分原理的数学 特性，要求位移近似u “和应力近似v “满足i n & s u p 条件。对于无穷维空闽， i n f - s u p 条件自动满足：对于有限元近似，i n f - s u p 条件不能自动满足。于是，满 足i n f - s u p 条件成为基于变分原理( 1 1 ) 、( 1 2 ) 构造高性能格式的第二个前提。但 是变分原理( 1 2 ) 表明应力空间v 应使下列等式成立： 西北工业大学硕士学位论文 曩。伊再) ( v - - v e ) d s = 0 v f v h , v e u “，v 。u ! ，( 1 t 3 ) 这个等式就是能量协调条件，称v 、u “和u ：是能量协调的矾。 ( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的鞍点条件，即鞍点p ，“，“。) v u x u 。是下列变分方程的解： 皿( 仃，7 ) 一圆2 ( 7 ，”) + 毋i ( t ，u - - r c ) 。o v 76 v ( 1 4 ) 【毋2 ( 盯，v ) 一国l ( o - ，v v 。)= ( 厂，v )v ( v ，v 。) u u 。 、 或 j 圆i ( z , z - - u c ) = 0 6 v 。f 1 5 ) i _ 哂l ( 盯，v v 。) + o ( u ，v ) = ( f ，v ) v ( v ，v 。) u u 。 、7 将上述的变分方程加权组合得到组合杂交变分原理： 三嚣3 裂裟篇烈，。，巍，vz e 以v a ) o ( uv c v uu 。s ，l 口哂2 ( 盯，v ) 一毋l ( 盯，v v 。) + ( 1 一，v ) = ( ，v )，v 。) x 。 、7 在论文【6 】中得到，如果存在某种线性映射使 u 。= 疋( u ) ，u ：= ( u “) 成立，则组合杂交变分原理( 1 6 ) 及其有限元离散皆不需要任何形式的i n f - s u p 条 件。因此，变分原理( 1 6 ) 是一种特殊的鞍点型的杂交变分原理，它在满足一些 条件下，i n f - s u p 条件可以自动满足，而与h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理( 1 4 ) 的鞍 点型数学特征有根本的不同。 丰富应变插值、组合杂交变分原理和能量协调三位一体的理论由周天孝教 授提出后，经过聂玉峰博士在学位论文【4 2 中的大量数值实验和理论分析，得出 结论：能量协调是杂交元格式应力选择的优化条件。 t 2 3 有限元格式的优化 对于有限元方法，可以分为基于势能原理的经典位移法、基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理和基于h u w a s h i z u 变分原理的假设应力杂交法和增强应变 第一章绪论 法。依据变分原理的几何结构特征，称第一类为极小点格式，后两类为鞍点格 式。早期的研究发现简化积分技术可以显著改进位移格式的位移精度，而简化 积分技术相当于一种鞍点格式【2 2 1 。大量研究表明，就相同的位移近似而言，不 同类型的有限元格式的精度和性能差异很大。在鞍点原理的框架下，对于应力 和应变的特殊选取，鞍点格式可以恒同极小点格式；对于应力近似或应变近似 的优化选择，一些鞍点格式【8 1 9 1 的粗网格位移和应力精度，精度对网格扭曲的敏 感性以及遏制p o i s s o n l o c k i n g 三个方面的性能全面地、十分显著地优于极小点 格式。因此，构造位移格式的不同有限元方法，可以综合看成在鞍点原理框架 下衍进优化过程的一个阶段。 已经知道，混合杂交有限元的数学理论所揭示的i n f - s u p 条件只是保证鞍点 有限元解收敛性的充分条件，并不是实现鞍点格式优化的准则【2 3 1 。为了实现鞍 点格式优化，了解变分原理和离散空间决定有限元格式精度和性能的机理。建 立有限元格式最优化理论的基础，需要深入理解变分原理彼比之间的内在联系。 下面从h u w a s h i z u 变分原理出发，讨论各变分原理之间的关系。 h u w a s h i z u 变分原理以位移v ，应力f 和应变s 同时为独立变量，其传统的 能量泛函表示为【2 8 1 f i w ( v ) 邵) = 三p d s d r 2 一酬s l ( v v + v r v ) l 拯一n - 椭一鼻刚a s = n ，( v ) 一圭l | r d 丢( v v + v 7 v ) | i ；+ 圭o r 一。i | ： ( 1 7 ) 其中，l i p ( v ) ：= 吉l s ( v ) d s ( v ) 艘一厂v 锄一矗g v d s ：= p d - 1 r m 用u 表示满足位移边界条件“ir a = o 的所有许可位移的集合，可以得到 h u w a s h i z u 变分原理的新表达： h u w a s h i z u 变分原理等价于修改的势能泛函 6 西北工业人学硕士学位论文 亓p ( v ) ：= r i p 一圭呼n 卜一。三( 乳v ) f 弘m 。i n i i v - d e f f 纠( 1 8 ) 的极小点问题：1 卿亓。( v ) ： 或者等价于h e l l i n g e r r e i s s n e r 能量泛函 l - i 。( 咿) = i i p ( v ) 一去忙一d s ( v ) 唁 ( 1 9 ) 能量增加的鞍点问题：m 。i nm ，x n 。( v ，r ) + 三2 m i n i i r 一。s i 匕 。 由此可知，三种变分原理之间的内在联系是：相对于极小势能原理， h e l l i n g e r r e i s s n e r 原理的势能减小机制；相对于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 原理， h u w a s h i z u 变分原理的能量增加机制。 另外，这一新表达也十分宣接地展示广义变分原理用不同应力近似之间的 残量修正势能的机制，这对于有限元格式最优化有十分重要的理论意义。 l 对于给定的位移近似u “，经典位移有限元格式m 。i n 1 - i ，( v ) 在鞍点原理 框架下的格式的优化，实质上是基于鞍点原理的势能可调准机制，用应力项和 应变项的选择调控势能，实现势能最优化。 2 由于n ，( 圳 m 。i n 。i - i 。( v ) ，即极小点格式的势能总大于真实势能，这使 有限元模型的能量实现校准，高精度逼近真实能量n 。( “) 成为可能。同时可以 看出，鞍点原理的势能减小机制对于有限元格式的优化是决定性的【2 0 1 。 3 假定应力集合包含在由应变定义的应力集合中时，m 。i n 盯一d 忆= o 。 在这种情况，基于h u w a s h i z u 变分原理的位移格式退化为杂交元格式。 4 ， n n ，当 d 占( v ) ：v u “ 包含在假定应力集合中时，基于h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理的杂交法退化为极小点格式。换句话说，对于v u n ，存在 应力近似，使n 咖忙一d ( v ) 1 1 ：o ，极小点格式一定能够被优化。因此，除常应 第一章绪论 力位移格式之外，其它极小点格式都能被优化。m i n 盱一d s ( v ：o 是极小点格 式可优化条件。 应力应变杂交元方法本质上是位移有限元格式的优化框架，通过应力近似 或应变近似的选择调控势能实现有限元格式的优化。但是，混合杂交有限元 方法的理论指出，鞍点原理框架下的应力或应变的优化选择不是无约束的，保 证格式的收敛性，要求满足i n f - s u p 条件。在上面提到的组合杂交变分原理及其 有限元离散皆不需要任何形式的i n f - s u p 条件。为此，引入参数口和，鞍点问 题： 卿叩x 卜，井一。扣肌心呻碱) 峋 是弹性力学的等价变分原理。这是双参数组合变分原理m 1 。 双参数的组合变分原理( 1 i o ) 有如下特点：1 ) 势能减增结构被保持：2 ) 由于 组合参数位，p ) 可连续地改变，势能也将连续地增或减，能量调准机制获得强 化；3 ) 基于组合变分原理的混合杂交有限元法自动满足i n f - s u p 条件。 显然，口= f l = 0 。对应于势能极小原理；卢= 0 ，口；1 ，对应于h e u i n g e r - r e i s s n e r 变分原理：p = o ，o 口 1 ，对应于组合杂交变分原理；p = l ，口= l 是h u - w a s h i z u 变分原理。 在h e l l i n g e r - r e i s s n e r 原理和h u - w a s h i z u 原理框架下受i n f - s u p 条件约束的 有限元格式优化，改进为在组合型变分原理框架下无约束的格式优化：依赖于 应力优化选择和应变优化选择调控势能的格式最优化增加一条新途径：组合参 数的连续性选择。 第三节本论文研究的主要问题和结论 对于论文【6 腱立的三位一体的理论( 丰富应变插值为前提，组合杂交变分原 西北工业犬学颂士学位论文 理为理论基础，能量协调原则为关键) ，聂玉峰博士在学位论文中通过研究四节 点四边形和八节点六面体的弹性力学问题，已经得出结论：应力项多并不保证 它有最好的数值结果；按能量协调构造的组合杂交元获得最好的数值性能。本 论文通过研究如下问题： 1 用轴对称结构的弹性力学问题系统地考核以上理论的正确性； 2 用数值算例系统地考核组合杂交元优化的问题。 得到以下的主要结论： l有限元格式应力模式的优化选择对于性能改造是非常重要的，而满足能量 协调条件对于格式优化的实现至关重要： 2 通过调节组合系数，组合杂交轴对称元的数值性能在一定程度上得到改进。 第二章轴对称问题的挣制方程发算法研究进展 第二章轴对称问题的控制方程及算法研究进展 第一节基本概念 所谓轴对称问题是指存在一对称轴，使得该物体的几何形状、约束条件以 及外载荷都对称于此轴线，例如对称载荷作用下的圆柱、圆球等。进而所有应 力、应变与位移也都对称于此轴线。所以，描述轴对称问题，选用圆柱坐标较 为方便。设z 轴为对称轴，则所有应力分量仅是r ，z 的函数，而与0 无关。任何 一点有两个位移自由度，即沿r 方向的径向位移“，和沿z 方向的轴向位移“：， 轴对称性导致口方向的切向位移u 。= 0 。通过几何方程可得剪应变y 。，= ；= 0 ， 再由物理方程得到剪应力f 。产f 口产o 因此，6 个应力分量简化为4 个待定分量。 这样就把三维应力问题转化为二维问题。 轴对称问题相对于三维问题来说，少了两个应力( 应变) 分量；但相对于二维 问题来说，它多了一个切向应力叮。( 应变岛) 。从计算的复杂性来讲，轴对称问 题由于其特殊性，比一般的三维问题容易，但比平面问题复杂。 2 1 平衡方程 第二节轴对称弹性力学问题的控制方程 弹性体内任何一点沿坐标轴r ，z 方向的平衡方程为 孥+ 孕+ 盟+ f r ：o 加艮r 。 拿+ 孕+ 玉+ c ：o o ro z， 西北工业大学硕士学位论文 其中o - ，为径向应力，盯：为轴向应力，f 。为剪应力，为切向应力；f ，e 为 体力在r ，z 方向分量。 平衡方程的矩阵形式为 d i v 6 + f = 0 其中d i v 是微分算子 d i v = 旦+ ! o 旦 一三 却ro z， 0旦旦+ ! o a z 西r a 是应力向量，d 1 = b ，吒，k ，】：f 是体积力向量，f 7 = 【，t 】。 2 2 几何方程应变一位移关系 在微小位移和微小应变的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和 位移向量间满足几何关系： 铲学，铲警，儿= 誓+ 粤，岛：生。0 2 彳殳2 i h n 2 i + 言岛2 亍4 其中s ，为径向应变，s ：为轴向应变，为剪应变，岛为切向应变； 几何方程的矩阵形式为 = l u 其中l 为微分算子 l = 旦o 泖 。旦 船 aa 如西 1 0 ， 第二章轴对称问题的控制方程及算法研究进展 1 1 为位移向量，u 1 ：【“，“：】；为应变向量，7 = 【s ，e ：，y 。，】。 2 3 物理方程应力一应变关系 其中 对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示 d ： 垒! ! 二生 ( 1 + v ) 0 2 v ) d = d j l 0 j l 1 一vi v 10 j l o 旦lo 2 l v ) j ) 一01 称为弹性矩阵。它完全取决子弹性材料的弹性模量e 和泊桑比v 。 物理方程的另一种表现形式是： = s 口 其中s = d 。是柔度矩阵。 第三节轴对称问题的解法 对于弹性力学轴对称问题，其位移与应变几何方程中的微分算子阵，不同 于平衡方程中的微分算子阵。同时，对于轴对称问题，其应力的非导数项进入 平衡方程，所以，轴对称问题的能量泛函与弹性力学一般二维和三维问题的泛 函不完全相同。近些年发展了各种高精度非协调轴对称有限元的理性杂交应力 模式，这些方法的不同在于建立合理应力场时，所用的约束方程不同，故其单 元能量泛函表达式亦不同，所以由各理性方法建立的轴对称杂交应力元，其单 元刚度矩阵彼此不同。这些杂交应力模式基于的变分原理也可以不同，有 一v v。，五。焉 西北工业大学颂士学位论文 h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理、h u - w a s h i z u 变分原理和组合杂交变分原理。下面 从构造应力模式的不同，奔绍三种轴对称问题的解法。 。 ( 2 8 ) 兀 = l ，h 仃盯s d + t ( u ) - ( d l v o o * ) t u i + a h , t ( l u i ) 卜( 2 9 ) 注意到a 。+ 是单元应力的高阶部分，y u 。是单元位移的高阶部分，因此( 2 9 ) 式 中，相对于第二个积分项而言，积分l 。a 。”( l u 。) d n 总是能量泛函n 的高阶微 分，可以略去。因此，能量泛函可简化为： 1 4 西北工业大学硕士学位论文 n 翟= l 。h a 耵s 。1 h 蜘。咿u ，卜 ( 2 1 0 ) 对于轴对称问题，式( 2 1 0 ) 的最后一项不为零。这时单元刚度矩阵的表达式为： k 2 。= g2 a t h g2 。( 2 1 0 其中 g ：。= g r 。a - 1 r ：h 。1 g g = 上( l n ) d n h = 丘p “s p + d r ) r 。= l ( d i v p o ) m 擒 a 。= r j h r 。 吴长春、狄生林和卞学镇在文献 1 2 中用此方法导出轴对称元o h 8 f l ，算 例精度和计算稳定性都很好，并且没有伪剪应力和l o c k 访g 现象。 3 2 2 方法2 b 先由常应力项对应的表面力在单元的附加位移u ，上作虚功为零( 2 1 2 ) ，求樗 u 。；再由i , i 。+ ，根据方程( 2 1 3 ) 求得所需应力场口+ + ；此时的单元能量泛函为 方程( 2 1 4 ) 。即： l ( a 。n ) 7 u 。幽= o 斗u r ( 2 1 2 ) l ( 。n 。n ) 7 u z + a s = 0 - + a + + = p + + p( 2 13 ) 兀 = l ，h 7 s 仃“盯( l u c m 州( l u i + ) 卜 ( 2 1 4 ) 由泛函( 2 1 4 ) 导出的单元刚度矩阵k 2 。： k 2 6 = g2 b t h g2 6( 2 15 ) 其中g 2 6 = g gx a ：1 g ：h - 1 g 第二章轴对称问题的控制方程及算法研究进展 g x = j n p “1 ( l m ) d f ) g = p “7 ( l n ) d f f ) h ：fp s p + * d o m a l = g j h g 卞学镬和吴长春在文献 2 4 中采用了此方法。 3 3 正交法 3 3 i 方法3 a 由高阶应力项与非协调应变l u t 在单元上正交变分满足为约束条件，求得 口( 2 16 ) ：再由相应泛函( 2 1 7 ) ，求得单元刚度矩阵k ，。 l 。：( l u 。) = o 哼。+ = p ( 2 ，1 6 ) 晔f n ， 一1 2 0 * ts o * + q + t ( l 州州u 。卜 ( 2 1 7 ) k 3 。= g3 。1 h g ( 2 1 8 ) 其中g 3 。= g r a - 1 r 1 h 。g g = l p + 1 ( l n ) 撒 h = j n p 耵s p + 擒 r = l ( d i v p + ) 1 m 锄 a = r 1 h 一1 r 在平面问题中，吴长春在文献 2 4 1 中说明：这种方法导出的应力模式等价于 卞学蟥和k s u m i h a r a 1 1 的应力模式，但文献 1 1 d p 的应力模式应用了方法l a 和摄动处理。 堕j ! 三些盔兰堡主兰些堡壅 3 3 2 方法3 b 首先由非协调应变在单元上积分为零，导出u 。+ ( 2 ，1 9 ) ；再将所得的u + 代 入方程( 2 2 0 ) ，使高阶应力项与应变l u 。+ 在单元上的正交条件变分满足，得到 应力a ”；利用以上的约束条件，相应的泛函为方程( 2 2 1 ) ： 上l u l d q = 0 - u 1 + ( 2 1 9 ) j o6 ：( l u + ) m = 0 斗口+ + = p + + p f 2 2 0 ) n 警= l i 一丢仃州s d + ( l u c ) - ( d i v a 1 叩k ( 2 2 1 ) 由此泛函导出的单元刚度矩阵计算式与式( 2 1 8 ) 相同，只是将( 2 1 8 ) 中的p + 换成这里的p + + 即可。 上面这些方法是构造轴对称元的系统的方法，除了这些方法之外，也有其 它的一些方法。一例如：w e i s s m a n 和t a y l o r 建立的杂交元f s f 和d s f b 5 ，其应力 场分别是p - s 元的应力场【i l l 附加上完全线性的或不完全线性的切向应力项。 第三章高性能轴对称杂交有限元方法 第三章高性能轴对称杂交有限元方法 文献 6 1 1 7 通过组合基于区域分解的h e l l i n g e 卜r e i s s n e r 变分原理及其对偶 变分原理的鞍点条件，得到了一种特殊的鞍点型变分原理，并提出组合杂交元 方法。本章研究了组合杂交元方法在轴对称弹性力学问题中的应用，讨论了如 何构造高性能的组合杂交元格式，并与其它的轴对称有限元格式进行了系统性 地数值和理论分析。这一章的研究内容表明：用杂交元方法求解轴对称问题， 能量协调条件仍然是构造高性能杂交元方法的关键。 第一节概述 如何确定单元的应力模式是建立高性能杂交元格式的关键之一。建立一套 简单、有效、系统且应用范围广泛的方法来优化应力模式，对进一步发展、推 广杂交元的理论和方法是非常必要的。 关于轴对称问题，s p i l k e r 8 嘲通过一系列应力假设的数值实验，经验地提出 了一些可行的单元应力模式，但是数值经验性太强，没有系统性，而且应力形 函数必须满足力平衡方程，条件太强。田宗漱和卞学鲼将平衡法应用于轴对称 问题 1 0 1 ，并且将文献 1 1 中建议的方法扩展应用于轴对称问题，给出了一组新的 轴对称杂交应力元。这组元的不足之处在于对不同网格互不通用，且产生虚假 的剪应力。为了克服这些缺陷，近些年成功地建立许多轴对称元。例如，吴长 春、狄生林和卞学蟥将表面虚功法运用于轴对称问剧1 2 】，给出了优化的应力模 式；c h e n 和c h e u n g 基于三场变分原理，将文献【1 3 】中的方法应用于轴对称问 题，得到杂交元s q 4 1 4 1 ；w e i s s m a n 和t a y l o r 建立了杂交元f s f 和d s f ，其应 力场分别是p s 元的应力场附加上完全线性的或不完全线性的切向应力项； s z ee t a 1 构造出的杂交元删，f a 。的非协调位移通过分片检查；c h e r t 和 c h e u n g 基于三场变分原理和分片检查理论，构造了杂交元r h a 0 6 m j 。总而言 两北t 业大学硕上学位论文 之，近年来的研究成果表明：利用广义变分原理可以将传统的位移方法改进为 高性能的有限元方法。 文献 6 1 1 7 研究了如何在一个杂交模式里同时使用力学中相互对偶的两个 变分原理，将基于区域分解的h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理及其对偶变分原理的 优化条件加权组合得到组合杂交元方法。这个方法已经被应用于平面问题和六 面体问题【1 8 】【1 9 1 。本章就是基于组合杂交变分原理，依据能量协调条件，选择应 力模式，得到优化的轴对称有限元格式，进一步说明了组合杂交法是特殊的鞍 点型问题，能量协调是确保组合杂交元方法高性能的条件。 第二节组合变分原理 本论文研究的弹性力学问题是： 一d - v d = f 仃= d k ( u ) 】 s ( u ) 毛附+ v u 加q ( 3 1 ) 其中u 位移场，o 应力场，应变场，f 体力载荷，d 材料弹性模量 矩阵，q 求解区域，讹求解区域边界，d i v 散度算子，v 梯度算子。 对于模型( 3 1 ) 的变分原理组合杂交变分原理是： ：篡荒慧辫：吨，品v ，计v ( 刨v , v a ) d ( u拈u u c 口u ：，