（计算数学专业论文）项目投资的实物期权模型及其应用.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 由于传统评估方法在评价不确定条件下的项目投资决策时失效，实物期权这 一新的研究方向应运而生。现在，实物期权方法已经成为企业价值评估、战略投 资管理、投资决策、公司并购等领域的重要工具。 本文绪论部分及第二部分对实物期权的概念、要素、背景、研究现状及实物 期权建模的基础知识和理论方法做了简要介绍；第三部分把无时间限制的单阶段 项目投资实物期权的定价模型扩展为两阶段和多阶段投资项目的决策模型，并求 出不完全信息下每阶段的最佳投资临界价格及投资机会的价值；第四部分针对在 金融期权中最常见的几种定价模型，运用基于实物期权定价方法的改进净现值模 型，分析了项目投资决策的可行性，而且以g e s k e 欧式复合期权的定价公式为数 学模型，分析了投资比例对项目价值的影响。 关键词：实物期权，相机权益分析，动态规划方法，不完全信息，沉没成本 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t b e c a u s et r a d i t i o n a le v a l u a t i o nm e t h o d s1 n v a l i d a t et h ei n v e s t m e n te l l o i c eu n d e r u n c e r t a i n t y , t h er e s e a r c h e so nr e a lo p t i o n se m e r g e 嬲t h et i m e sr e q u i r e n o w a d a y s t h e r e a lo p t i o nm e t h o dh a sa l r e a d yb e c o m ea l li m p o r t a n tt o o li nt h ef i e l d so fe n t e r p r i s e s v a l u ee v a l u a t i o n ，s t r a t e g yi n v e s t m e n tm a n a g e m e n t ，i n v e s t m e n td e c i s i o n ，c o r p o r a t i o n m e r g e ra n da c q u i s i t i o na n ds oo n t h ep a r to ft h i st e x ti n t r o d u c t i o na n dt h es e c o n dc h a p t e rg e n e r a l l yi n t r o d u c et h e c o n c e p t i o n ，e l e m e n t s ，c o n t e x t ，r e c e n tr e s e a r c h e s ，t h eb a s i ck n o w l e d g ea n dt h e o r e t i c a l m e t h o d so f r e a lo p t i o n s a tt h et l l i r dc h a p t e ro f t h i sa r t i c l ee x t e n dt h es i n g l e - s t a g ei n v e s t m e n tp n c i n gm o d e lo f r e a lo p t i o n sa tt h ec o n d i t i o no fn oe x p i r a t i o nd a t e ，a n do b t a i nt h eo p t i m a li n v e s t m e n t c r i t i c a lp r i c e sa n dt h ev a l u eo fi n v e s t m e n to p p o r t u n i t yo fe v e r ys t a g eu n d e ri n c o m p l e t e i n f o t i n a t i o n c o n t r a p o s i n gs e v e r a lp r i c i n gm o d e l si nt h ef i n a n c i a lo p t i o n s ，t h ef o u r t hc h a p t e r u s e sa r e v i s e dn e tp r e s e n tv a l u em o d e lb a s e do nr e a lo p t i o np r i c i n gt oa n a l y z et h ef e a s i b i l i t yo f p r o j e c ti n v e s t m e n td e c i s i o n s t h em o d e lb a s e do nt h eg e s k e sc o m p o u n de u r o p e a nc a l l o p t i o n sp r i c i n ge q u a t i o ni s a l s op r o p o s e dt oa n a l y z et h ei n f l u e n c eo fi n v e s t m e n t p r o p o r t i o n su p o nt h ei t e m sv a l u e k e y w o r d s ：r e a lo p t i o n s ，c o n t i n g e n tc l a i m sa n a l y s i s ，d y n a m i cp r o g r a mm e t h o d ， i n c o m p l e t ei n f o r m a t i o n ，s u n kc o s t i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重麽太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刘疾晕签字日期：2 册7 年f 月3 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重庆太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庆太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( x ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：文j 庆晕 导师签名： 签字日期：z , 0 7 年f 月j 弓日 签字日期力1 年5 月 重庆大学硕士学位论文1 绪论 1 绪论 作为一种防范风险和投机的有效手段，期权在会融领域的应用得到了广泛迅 猛的发展。期权是指一种选择权，其购买者在支付了一定金额的权利会后，就拥 有在预先规定的时间或该时间之前按预先规定的价格购买或出售一定数量的标的 资产的权利。期权作为一种选择权，不仅广泛存在于金融领域，在现实生活中也 普遍存在。实物期权是金融期权理论在实物( 非金融) 资产上的扩展，它是一种把金 融市场的规则引入企业内部战略投资中的新型思维，是期权理论在项目投资管理 中的一个新型应用。 1 。l 实物期权产生的背景 长期以来，现金流折现法( d i s c o u n t e d c a s h f l o w ，以下简称d c f ) 一直是评估 项目投资决策的主要方法，净现值方法( n p v ) 是折现现金流最具代表性的。它以现 在投资时刻为基点，估计项目未来的预期现金流，然后用与项目收益风险相适应 的折现率折现，得到收益现值，再减去项目所需投资额的现值，即可得项目的净 现值。但它忽略了以下几个问题：新投资的战略成长机会；延期投资决策的可能 性；新信息对项目经营灵活性价值的影响；等等【l 】。事实上，企业所面i 临的经济环 境，特别是产品市场和金融市场是多变的。经营者可以主动地去适应市场无法预 料的变化，调整生产经营和资本运营，这即为人们所说的经营柔性【2 ”。在评价具 有经营柔性的项目投资决策时，因忽略了项目经营柔性的价值，导致d c f 法低估 投资项目的价值甚至做出错误的投资决策。针对d c f 法的不足，一些学者和实业 界人士提出了一种更切合实际情况的方法实物期权法。 “实物期权”这一术语最初是由美国著名财务学家s t e w a r tm y e r s ( 1 9 7 7 ) 口】提出 的。m y e r s 认识到金融市场投资和产品市场投资的相似性，针对d c f 法在评价项 目出现经营柔性时的不足，把在实物投资过程中所拥有和所创造出来的这些选择 权定义为“实物期权”( r e a lo p t i o n s ) 。k e s t e k l 9 8 4 ) 和k a p l a n ( 1 9 8 6 ) 1 3 1 的研究也表明在 r & d 项目和无形资产定价领域，d c f 的投资评估方法是无效的，而期权定价方法 更具有优势。 实物期权最初应用的领域只是自然资源的评估，其后实物期权模型与方法被 扩展到很多领域，如生产制造、房地产、国际贸易、研究与开发、风险投资、竞 争与公司战略等。 重庆大学硕士学位论文l 绪论 1 2 项目投资的特点及实物期权 一般情况下，投资行为具有以下三个基本特征【4 】： 投资回报的不确定性。市场对产品的需求是不断变化的，人们只能估计一 项投资在未来产生收益的高低。 投资具有部分或完全的不可逆性。也就是说，企业对项目实施投资后，如 果将来市场情况发生不利变动或严重脱离预计的发展趋势，企业将不能完全收回 投资的初始成本，这个成本至少部分是沉没的。 延期投资的可能性。投资很少采取“要么现在投资，要么永远也不投资”的做 法，投资者存在一个延期投资的机会，等待是有价值的。 等待将换来关于投资前景的更多信息，较晚的投资可能是较好的决策，特别 是考虑到投资的不可逆性，匆忙决定一项投资而同后试图改变和挽回往往损失巨 大。但如果一直等下去，可能最终会丧失投资机会。因此，什么时候进行投资成 为不可逆投资理论的一个重大问题：一方面，投资的不可逆性使得一旦出现投资 失误，企业将会损失投资的大部分；另一方面，延期投资的可能性使得企业可以 在一定时期内选择等待而推迟投资，这既不至于丧失投资机会，又可以获取更多 的关于投资的未来信息，从而至少部分的避免由于投资不可逆给企业可能造成的 巨大损失【5 1 。 由于投资的三个重要特征两两之间的相互作用，决定了企业在投资过程中具 有充分的经营柔性。比如，当产品价格波动幅度较大或投资持续时间较长时，企 业有权推迟对项目的投资，从而获得更多的信息或技能，以解决项目所面i 临的一 些不确定性，使项目投资机会得到最优利用：项目投资建成后，如果市场比预料 的要好，企业可以追加投资，扩大经营规模；反之，企业可以缩减生产规模，等 待市场情况的好转；如果项目可以转产的话，企业还可以把项目转向生产效益好 的产品；企业还可以暂停项目的生产，这一般出现在项目产品价格低于产出成本 的时候，企业甚至可以在项目寿命结束前转卖项目；企业可以通过预先投资作为 后续投资的先决条件或一系列相互关联项目的连接，获得未来投资的机会( 如新产 品、新市场等) ；企业还可以利用金融工具如期货、远期和约等降低项目生产的市 场风险。在评价上述投资决策的灵活性时，实物期权可分为推迟投资期权、扩张 投资期权、收缩投资期权、转换期权、放弃期权、增长期权等【6 1 。 1 3 实物期权与金融期权的比较 总体上说，一个投资项目可以看作是企业对一项实物资产使用的期权，在实 际投资之前，要对投资机会做出评估，选择在未来的某一时间投入一定成本，希 望能得到额外的回报。金融期权分为单一期权和复合期权，同样实物期权也是。 2 重庆大学硕士学位论文l 绪论 实物期权的单一期权用于评价单阶段的项目投资决策，复合期权用于评价多阶段 的项目投资决策。 主要有6 种因素影响金融股票期权的价格，由于实物期权与金融期权的相似 性，下面通过输入变量给出两者的比较【7 1 。 金融期权实物期权 股票或其它金融资产的价格s +投资项目的价值 v 期权的执行价z 项目的投资成本 ， 无风险利率r 无风险利率 ， 股票价格的波动率盯项目价值的波动率 盯 期权的到期时间丁投资项目的到期时间r 股票的红利j 投资项目的价值漏损巧 实物期权和金融期权的区别主要在于其非交易性，不仅作为实物期权的标的 资产不存在交易市场，而且实物期权本身也不可能进入市场交易。金融期权定价 的基础是无套利原则，似乎标准的金融期权定价模型不能用于实物期权的定价， 幸运的是s e m a s o n 和r c m e l t o n 的理论研究表明，尽管实物期权不存在交易市 场，但其定价过程仍然可以按照金融期权定价的思路进行：可以利用己知价值的 可交易资产的组合来复制新资产的回报和风险的特征。该方法假定存在一个能反 映资产期权价值的金融市场，且有单位时间回报率为常数的无风险资产，而只有 通过无套利条件，才能对资产进行期权均衡定价。其后，d i x i t 和p i n d y e k 指出实 物期权定价的理论模型同样可以利用动态规划的方法建立在非套利均衡的基础 上：从一个特定的贴现率p 出发，p 是外生的且是目标函数的一部分。 1 4 实物期权问题的研究现状 投资时机决策是企业最重要的决策之一，实物期权方法是研究不确定条件下 投资时机决策的方法。近2 0 年来，借鉴金融期权发展而来的实物期权理论与方法 在解决实物投资中的不确定性与不可逆性等问题卓有成效。m y e r s 之后，实物期权 的研究取得了丰硕的成果：如p i n d y c k ( 1 9 8 8 ) i 引、m c d o n a l d ( 1 9 8 6 ) 9 】研究了等待或 推迟期权；s c h w a r t z ( 1 9 9 7 ) t l o 研究了项目产品价格不确定时投资选择权的价值和相 应的投资决策；t h o m a s i l 】运用动态规划方法分析了不确定性对项目投资规模的影 响。在上述文献中，均假设企业的投资决策是在完美金融市场且信息是完全的条 件下做出的。然而，现实中企业的投资决策大多数是在不完全信息条件下做出的。 r o b e r t s 和w e i t z m a n ( 1 9 8 1 ) “2 】在一个序列投资模型中考虑了信息收集在投资过程中 的作用，但模型中价格变化不是随机的：m e r t o n ( 1 9 8 7 ) t 】发展了不完全信息下一个 简单的资本市场均衡模型；b e l l a l a h ( 2 0 0 1 ) t 1 4 】考虑了在不完全信息下，单阶段不可 3 重庆丈学硕士学位论文1 绪论 逆投资项目的期权特性。高春玲等( 2 0 0 2 ) 【l5 】用相机权益方法分析了在不完全信息 下，企业如何做出进入和退出决策。 多阶段投资在项目管理中越来越多地被承认和使用。由于复合期权描述不确 定环境下决策过程中一系列前后相互关联的权利，这些权利使得投资决策过程更 具柔性，使得多期复合期权的理论与方法在分析多阶段投资决策问题方面具有更 大的优势。g e s k e ( 1 9 7 9 ) t 1 6 】给出了简单复合期权定价的一般方法。o t t o o ( 1 9 9 8 ) t 1 7 】针 对初创企业研发与商业化的两阶段投资问题，描述了前期成功时问的概率分布， 再以该时刻均值为到期日构造商业化投资的成长期权，并运用欧式期权定价公式 估算成长机会的价值。李洪江等( 2 0 0 3 ) i s 】针对两阶段决策问题，建立起包括决策柔 性在内的项目总价值的数学模型。 1 5 本文的主要研究工作 在前人对实物期权研究的基础上，本文对于将投资机会等同于永久性美式看 涨期权的投资模型，从三个方面给以扩展：项目的投资发生在两个或多个离散阶 段；信息不完全及存在经营成本。通过实物期权方法( 如相机权益分析) ，首先讨论 了项目分两阶段投资的决策模型，然后把模型扩展到多阶段，求出每阶段的最佳 投资l 临界价格及投资机会的价值，为企业的投资时机提供了重要的依据，最后通 过数值案例给出了每阶段的最佳投资l 临界价格。 本文又针对在金融期权中最常见的几种定价模型，运用基于实物期权定价方 法的改进净现值模型，分析了项目投资决策的可行性，为评价项目的投资可行性 提供了新方法；而且以g e s k e 欧式复合期权的定价公式为数学模型，分析了投资 比例对项目价值的影响，结合案例进行了数值计算，得到投资的可行解并对影响 因素进行了敏感性分析。 4 重庆大学硕士学位论文2 实物期权建模理论方法 2 实物期权建模理论方法 第一章中已经对实物期权的概念、要素和背景进行了介绍。本章将对其定价 过程进行讨论，因为金融期权和实物期权在各基本要素以及本质上是基本一致的， 所以实物期权的定价理论及其定量过程可以借鉴金融期权的定价理论。 本章系综合性质的评述，材料来源于文献【1 9 1 2 0 】【2 1 】【2 2 l 【2 3 l 。 2 1 建模基础知识 2 1 1 随机过程 所谓随机过程，简单地说，就是一族随机变量。其严格定义为：设e 是随机 试验，q = c a 是它的样本空闻，t 是一个参数集，若对于每个t t ，都有随机变 量x ( t ，c a ) ，埘q ，与之对应，则称依赖于t 的随机变量族 彳( f ，x f t 为一个随 机过程。当7 连续时，称随机过程为连续参数随机过程。大多数的随机过程( 如公 司股票价格) 的变化都是连续的。 马尔柯夫过程( m a r k o vp r o c e s s ) 是一类很重要的随机过程。这类过程的特点是： 当过程在时刻f 。所处的状态已知时，则过程在t 。以后所处状态与过程在t 。以前所处 状态无关，这个特性叫无后效性也叫马尔柯夫性。马尔柯夫性是随机过程研究中 一种非常重要的性质，因为它能极大地简化对随机过程的分析。在金融领域，马 尔柯夫性是描述标的资产运动的重要特性之一，因此标的资产运动的行为模型通 常用著名的维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 来表达。 维纳过程是一个连续时间过程，具有三个重要特征：( 1 ) 它是一个马尔柯夫过 程。正如前所释，该过程的当前值就是做出其未来值最佳预测中所需的全部信息。 ( 2 ) 它具有独立增量性。这表示过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在 任一( 不相交) 的其它时间区间上变化的概率。( 3 ) 它在任何有限时间区间上的变化服 从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。因此，维纳过程可表示为 d z = 占磊，占n ( 0 ，1 )( 2 1 ) 伊藤过程( i t op r o c e s s ) 是一般化的维纳过程，其表达式为 d x = a ( x ，t k i t + b ( x ，t k i z ( 2 2 ) 其中，t 为时间，币) 为标的资产的价格，记为工，文中标的资产的价格工是关于t 的函数。a , b 为变量x 和t 的函数，a ( x ，t ) 为伊藤过程的瞬间期望漂移率，6 2 ( j ，t ) 为 方差的瞬间变动率。 令口f ) = 甜，b ( x ，t ) = a ，其中口，d 均为常数，式( 2 2 ) 变为 d x = a x d t + a x d z ( 2 3 ) 5 重庆大学硕士学位论文2 实物期权建模理论方法 即为我们所熟知的带漂移的几何布朗运动。几何布朗运动是用于构造股票价格、 证券价格、产出价格以及其它经济和金融变量的常用模型。 尽管某些资产的价格( 如铜、原油等) 可以被模型化为几何布朗运动，但这些资 产的价格以某种方式与其长期边际生产成本相联系。换句话说，尽管在短期内资 产价格会随机地上下波动，但从长期看，价格会回到其生产的边际成本。因此， 这些资产的价格应模型化为均值回归过程。 令口( x ，f 户叩( - 一x ) ，b ( x ，f ) = o r ，式( 2 2 ) 变为最简单的均值回归过程 d x = ，7 i x 一工皿+ o d z ( 2 4 ) 式中，r 为向均值回归的速度：工为x 的“正常”水平，即x 所要回归的值( 若x 是商 品价格，则x 可能是生产该商品的长期边际成本) 。 2 1 2 伊藤引理 式( 2 2 ) 所表示的伊藤过程对时间是连续的，但又不可微。然而在期权定价中， 要经常处理关于伊藤过程的函数，并且希望求得这些函数的导数。在这种情形下， 想要确定期权价格所服从的随机过程，就需要利用伊藤引理( i t o sl e m m a ) 。 伊藤引理若x 的走势服从伊藤过程 d r = 口k f 胁+ 6 k f 皿 则石和t 的函数f 服从以下过程 扭= ( 篆口x , t ) + 詈+ 三窘6 2x , t ) 】斫+ 篆6 妇k ( 2 - 5 ) 伊藤引理的证明： 两个变量的函数f = f ( x ，t ) 的泰勒展式为 a f ：堡缸+ 堡f 十三謇缸2 + 塑脚f + 三馨f 2 + 缸西 2 缸 o x o t2o t 将伊藤过程也写成差分形式 a x = 4 【o a t + b ( x ，t ) e 4 a t 由此可以推出 a x 2 = b 2 & ，f k 2 a t + d ( f 1 因为占一n ( o ，1 ) ，有e g ) = o 和隐r g ) = 1 ，由此可以推出占- 2 ) = l ，且有 v a ，0 2 f ) = ( 缸) 2 g 2 一e g 2 妒 所以，当a t 寸0 时，v a r c 2 a t ) 是缸的高阶小量。当a t _ 0 时，s 2 a t 将不再 是随机变量，即f 2 a t _ d t ，有 d x 2 = 6 2x ，f 伽 将这个结果代入上面的泰勒展式，略去二阶以上( 包括二阶) 的高阶小量，得到 d f ：娑出+ 堡a r t + 三馨6 ：g ，f 枷 出拂 2 融 、 再把出= 4 k f + 6 b ，f k 代入上式，就得到式( 2 5 ) ，即为d f 的伊藤展开式。 6 重庆大学硕士学位论文2 实物期权建模理论方法 如果f 只是一个变量工的函数f = f ( x ) ，则同样的推导过程导出的伊藤引理的 结果是 d f = ( 等口kr ) + 圭窘6 2 圳出+ 警6 k ，皿 ( 2 6 ) 2 1 3 无套利均衡定价和风险中性定价 所谓套利是指市场参与者瞬态进入两个或多个市场进行交易，获得一个无风 险收益的活动。无风险套利即假设金融市场上不存在无风险套利的机会，如果出 现，说明市场处于不均衡状态，而套利力量将会推动市场重建均衡，市场一恢复， 套利机会就会消失。动态复制技术即动态无套利均衡分析方法，这一方法的核心 是构筑完全对冲的组合头寸。正因为对冲的结果消除了不确定性，所以这种定价 方法与投资者的风险偏好无关，由此可以引出风险中性假设，从而可以采用风险 中性假设来定价。 金融衍生证券是一种高风险的金融资产，因而确定证券的风险价格则成为一 个关键问题。但由于金融衍生证券面临的风险往往十分复杂，通常应用“风险中性 定价原理”，该原理认为：任何依赖于标的资产价格的可交易金融衍生证券都可以 在风险中性假设的基础上进行定价。 风险中性假设是和无套利均衡分析紧密联系在一起的。当无风险套利机会出 现时，所有的市场参与者都会进行套利活动，而不管其对风险的厌恶程度如何。 因此存在风险中性概率，则采用自融资交易策略就一定能实现无套利均衡，也就 一定能进行动态复制定价；反过来，能够动态复制定价，即实现无套利均衡，就 一定能构造风险中性概率。这就消除了为什么风险中性定价和无套利均衡定价的 结果一定相同的疑惑。 2 2 建模理论方法 本节将介绍两种方法：动态规划( d y n a m i cp r o g r a m m i n g ) 及相机权益分析 ( c o n t i n g e n tc l a i ma n a l y s i s ) 。这两种方法实际上是紧密相关的，在许多应用中往往导 出相同的结论。然而，它们对金融市场和企业用于评价未来现金流的贴现率所提 出的假设是不同的。 2 2 1 动态规划方法 动态规划方法是研究动态优化问题的一种常用工具，而且在处理不确定性问 题时也非常有用。下面介绍动态规划的基本方程：贝尔曼方程( b e l l m a ne q u a t i o n ) 。 考虑一家企业的决策行为，企业当前状态由状态变量石表示，它将影响企业的 决策及扩张机会，在任何时刻t ，变量x t 的当前取值已知，未来取值为随机变量。 在每一阶段，用控制变量u 来表示企业面临的多种选择，这里的控制变量“，表示企 7 重庆大学硕士学位论文2 实物期权建模理论方法 业在时刻t 可以选择立即投资或等待，u ，是一个二元标量，等于1 表示立即投资， 等于0 表示等待。 问题的目标是在时间上选择一系列的控制变量k 使收益的期望净现值最大 化。动态规划的基本思路是将决策过程分为两个部分：即刻阶段和后续阶段。若 决策在时刻r 终止。则最终回报函数为q ，( 坼) ；若决策问题没有固定的有限时问 期界，价值函数对所有阶段都一样，将价值函数写成f ( t ) 。在当前时刻f ，状态 变量x t 和控制变量u ，影响企业的即期利润流k ，u ，) ，f k ) 表示企业从这一点开 始最优地做出全部决策的结果，即企业的全部现金流的预期净现值。在下一阶段， 状态变i x 。，最优决策产生的结果为f + 。“+ 。) ，在当前时刻f 看来，f + 。k 。) 是随 机的，称其期望值e i f , + ，k + ) 】为连续价值。 对于一个多阶段模型，任意两阶段的贴现因子为二一( p 为贴现率) 。 1 + 口 折现到时刻t ，即期现金流和该连续价值之和为 ；r r t ( x t ，坼) + 士k + k + ) 】 l 十口 企业将选择u t 使时刻t 的价值最大化，即 只“) = 谚，( _ 以) + 吾i 巨k + - b + ，) b ( 2 7 ) 上式方程左边是时刻t 做出投资决策得到的收益。方程右边为时刻f 不投资， 而推迟到下一个投资阶段得到的收益，其中第一项为即期收益，为项目在时刻f 到 t + 1 产生的利润流；第二项为连续价值，是在时刻f + 1 投资得到的收益贴现到时刻 t 的现值，该阶段的最优决策是使这两项之和最大。上式即为贝尔曼方程，或称为 最优化基本方程。该方程说明一种最优决策具有下述性质：无论初始行为怎样， 剩余决策组成一个以初始行为的结果为初始状态的最优决策。随着时间的进行， 不会出现偏离原计划的激励，最优决策的这种自执行特征被称为贝尔曼最优性原 理。如果处于均衡状态，企业在时刻t 投资和在时刻t 不投资( 而在时刻t + l 投资) 是无差异的，贝尔曼方程就反映了这一点。 设每阶段时间的长度为缸( 即本期是t ，下一期是f + f ) ，将x t 与+ 。记为工和 x ，记t ( x , u ，t ) 为单位时间的利润率，那么在a t 内的利润为石仳u ，f ) f ，在时间区 问f 上的折现因子为- 二一，贝尔曼方程( 2 7 ) 变为 i + 口f f ( x ，f ) = m a x 伽k 州) f + ( 1 + r o t ) 。占旷b ，f + f ) l 工，“ ) 两边同乘以0 + p a t ) ，得到 ( 1 + p r 扩( 而f ) = m a x z ( x , u ，f ) f ( 1 + 必f ) + e 驴g 7 ，f + f 整理得到 重庆大学硕士学位论文 2 实物期权建模理论方法 p 旷k f ) = m a x 妨k “，t ) a , o + 出f ) + e f ( x ，t + 缸) 一，k f ) 】) = m a x 仿g ，u ，t ) a t ( 1 + 户山) 十研f 】) 两边同除以血，并令f 专0 ，问题变为连续时间模型，可得贝尔曼方程的最常见 形式 卢f g ，f ) = m a ) 【 万b ，州) + 圭e 陋】) ( 2 8 ) 鼽去e 刎为蜜坐掣础一0 时的极限。 上面的分析局限于一个很小的时间区侑】 f ，t + a t 】上，所得到的式( 2 8 ) 对任何时 间t 都成立。在方程右边，第一项为资产的当期回报或分红，第二项表示期望的资 本收益率。因此，方程右边表示持有这项资产在单位时间内所获得的预期总收益。 等式成立等价于无套利均衡条件，表示投资者持有这项资产的主动性。当“使右边 方程最大时表示现阶段对资本的应用是最优的。 假设引报从几何布朗运动d r = a x d t + c o m z ，企业的投资在有限时间r 终止， 终止收益为n ( x ，t ) 。在每一个时间t 都存在一个临界值j ( f ) ，把它看成t 的函数， 则工( f ) 的图像构成一条曲线将“f ) 平面分成两个区域，在曲线上方“继续”为最优 选择；在曲线下方“终止”为最优选择。最优停止问题的贝尔曼方程可写为 v ( x ，f ) = m a x 铆b ，f ) 厅g ，f + ( 1 + 口晴) 。e f ( x + d r , t + d t ) l 卅) 在继续区域，上式方程右边第二项较大，即 f ( x ，f ) = 石k f + ( 1 + p 爵) 1 研，b + d x , t + 西) i x 】 整理得 p f ( x ，f ) = z “，) + e i d f 根据伊藤引理展开d f ，有 盯：f 堡觏+ 堡+ ! 窑盯：x zb + 篓o x d z i 缸 o t2o x 2 j 舐 代入上式，整理得到价值函数满足的偏微分方程 妄仃2 工2 瓦( 工，f ) + c 峨( 暑f ) + f a x ，f ) 一p f ( x , t ) + 石( 五f ) = 0 ( 2 9 ) 对工 工( f ) 上式成立。 由于边界是未知的，在( j ，t ) 空间中，使方程( 2 9 ) 成立的区域是由方程自身决 定的。在该区域的边界，即曲线j ( f ) 被称为自由边界。要求解价值函数和自由边 界需要两个边界条件。当x = 工+ ( f ) 时，使式( 2 9 ) 成立的为第一个边界条件。由贝尔 曼方程知道，在终止区域有f ( x , t ) = q ，) ，因此在x ( f ) 满足连续性条件 f ( x + ( f ) ，f ) = n ( x ( f ) ，t ) 9 重庆大学硕士学位论文 2 实物期权建模理论方法 对所有t 成立。这个条件通常被称为“价值匹配”( v a l u e - m a t c h i n g ) 条件。 第二个条件为对任意的t ，f ( x ，t ) 和n ( x ，t ) 在工+ ( f ) 相切，有 e ( x o ) ，r ) = q ，( x o ) ，t ) 这个条件称为“平滑粘贴”( s m o o t h - p a s t i n g ) 条件。 当企业的贴现率为无风险利率即p = ，时，方程( 2 9 ) 变为 盯2 工2 f 二( 工，f ) + a x f x ( x , t ) + f ( 石，t ) 一r f ( x , t ) + i f ( x , t ) = 0 ( 2 1 ( ) ) 2 2 2 相机权益分析 相机权益分析是沿着b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 与m e r t o n ( 1 9 7 1 ，1 9 7 3 ) 的先驱性文 章而系统发展起来的，也称或有债权分析，是建立在金融经济学基础上的分析方 法，是期权定价理论的推广。 设企业的利润流依赖于变量x ，x 作为企业的产出价格服从几何布朗运动。同 任何资产一样，只有该产出产生充分高的回报时，投资者才持有该项资产。部分 回报来自于期望的价格增长率口；另一部分来自于红利率占。令u = 口+ 子，表示 总的期望回报率，设企业的价值为f ( x ，f ) ，利润流为疗g ，t ) 。 利用已知价值的可交易资产来复制企业的回报和风险特征。考虑投资一元钱 到无风险资产中，同时购买该企业n 单位的产品，下面寻找合适的n 来获得所要的 复制。这个组合的成本为l + 胍元，持有该组合在时间区间出内的无风险回报为 r d t ，那么投资一元钱的总收益应该是由确定和不确定两部分组成；确定的收益为 单位成本下的无风险回报，不确定的收益为单位成本下n 份资产的风险波动。此投 资组合的总收益为 ：坚垒鱼生出+ 里l 出 将它与持有该企业所有权相同的价值相比较，首先要花费f ( x ，f ) 购买企业，在时问 区间d t 内，所获得的利润流为厅( 工，t ) a t 。那么资产产生的资本收益为 万b ，f 枷+ d f f ( x ，t ) 将d f 根据伊藤引理展开并代入上式得 型芝孝疵+ 为出f b ，f )，g ，f ) 如果投资组合能够复制企业的风险c a pd z 项的系数) ，拧必须满足 善：兰 ( 2 1 1 ) l + 册f ( x ，t l 、 同时。风险相同的资产获得相同的回报，则有 坐竺竺拳：掣 仁 r ( x ，t l 1 + r l x l o 重庆大学硕士学位论文2 实物期权建模理论方法 将式( 2 1 1 ) 代入( 2 1 2 ) ，等式变为 型等竽叫r l t 一鬻f ( x tm ，哿f ( xt - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - ：- - - 二! ：- - - - - - 一= l 一二二二二二二二i i ，y + ，、二二二二二 ，( j ，f ) 1 ，) ”7，) 化简等式可得关于价值函数f 的偏微分方程 t 三g r 2 x 2 v = c x ，f ) + 只( 工，t ) - 4 - ( ，一6 ) x v a x ，t ) 一r f ( x ，t ) + 厅( 葺t ) = 0 ( 2 1 3 ) 推导出相同结果的另一种等价方法是构造一个由该企业和”单位产出空头组 成的投资组合，选择n 使得这个组合是无风险的。然而，前面所给出的方法更直接、 清楚地说明了构造复制组合的概念。 应该看到动态规划与相机权益分析之间的平行关系。当企业的贴现率为无风 险利率时，利用动态规划方法推导的方程( 2 1 0 ) 与利用相机权益分析方法推导的方 程( 2 1 3 ) 满足非常相似的偏微分方程，不同的是只的系数口由变成了r 一艿。当复 制假设不成立时，可以采用动态规划方法对价值函数f 进行估值，虽然能得到，满 足的偏微分方程，但是方程中包含与投资风险偏好有关的a 。动态规划的贝尔曼 方程可以根据资产价值和投资者持有该种资产的愿望来解释。相机权益分析中的 边界条件来自于这种思想：投资者希望最优地选择期权的执行时间来最大化他们 的资产价值。 2 3 一个不可逆投资模型 假设项目的投资没有时间限制，企业的投资机会等同于永久性美式看涨期权， 即项目投资的期权价值与时间无关。令产出价格尸服从几何布朗运动 d p = a p d t + c r p d z ( 2 1 4 ) 设占为推迟完成投资项目的风险调整机会成本，且占= u 一口 0 ，u 为总的期望回 报率，口、盯分别为价格的预期收益率和波动率，为无风险利率。下面根据指定 p 的随机过程来决定项目的价值矿( p ) 及投资期权的价值f ( p ) 。 2 3 1 投资项目的价值 将需要定价的资产( 投资项目) 与基本资产( 产出价格p ) 构建一种无风险的投资 组合，该组合包括l 单位的项目及n = v ( p ) 单位的产出空头，这里选择n 使得投资 组合为无风险的。空头的持有者必须向多头持有者支付数额为6 p v ( p ) 的股息或便 利收益，项目的持有者获得的收益或利润流为尸。考虑在很短的时间区间( f ，t + d t ) 内持有这一投资组合。因此，在时间区间出内投资组合的总回报为 p d t + d v n d p - 6 p v ( p ) 出 ( 2 1 5 ) 对d v 应用伊藤引理，有 ， d v = 晓p y 。( p ) d t + 妥d z p z v “( p ) d t + v ( p ) a p d z 重庆大学硕士学位论文2 实物期权建模理论方法 把上式代入式( 2 1 5 ) 并展开d p ，得到投资组合的总回报为 1 ( 7 2 p 2 v 。( p ) d t + p d t o t v ( p ) d t 上式应等于无风险回报r 【y ( p ) 一n p d t ，合并同类项，整理得到矿( p ) 满足的微 分方程 妻盯2 p 2 v ”( p ) + ( ，- j ) p v ( p ) 一r v ( p ) + p = 0 ( 2 1 6 ) 假定满足下面的基本二次方程 妄盯2 ( f l - - 1 ) + ( r - 5 ) f l r = 0 ( 2 1 7 ) 方程( 2 1 7 ) 称为方程( 2 1 6 ) 的齐次部分的特征方程，其两个特征根为 属= i 1 一等吖了- 8 一一12 + 7 2 r 展= i 1 一等v 7 r - 6 一一12 + 7 2 r 令q ( ) = 盯2 ( 卢一1 ) + ( ，一5 ) 6 - r ，有q ( o ) = 一r 0 ，q ( 1 ) = 可 1 ，厦 0 。 方程( 2 1 6 ) 的齐次部分解的形式为矿( 用= b p p ，易知冬为方程( 2 1 6 ) 的特解， 则其一般解可写为 y l 玲= b l p 5 t + b 2 p p t + 乏 式中，蜀，岛为待定常数。 下面确定常数旦，晚。 解中；项称为项目价值的基本成分，可解释如下：它是初始水平为p 时，收 益流c 的预期现值。这是因为研只 = p e “，用适当的经风险调整的利率u 来贴现， 可得i - 心一p 一疵：! ：i p 。另两项必然是价值的投机性成分，出于排除投机的 毋 u o r d 经济考虑，可以忽略它们。 首先，要使项目价格的基本成分有意义，必须使v ( o ) = 0 。由于展 j 。尸矿= 。的决策原则是旷= ，这里得到 的是v + l ，可见，在存在沉没成本和投资机会可推迟的条件下，由于净现值方 法忽略了灵活性价值，导致该方法与实物期权方法评价结果的不同。实物期权最 优投资的l 临界值旷与传统净现值的临界值，相差一个因子丢! 音，即“期权价值乘 数”。 设g + = 丢! 与 l ，得屈= 暑，将其代入式( 2 1 7 ) ，化简得 占( g + ) 2 一i2 + ，+ 艿 g + ，= 。 口：! ：! 竺鱼! + 9 2 一十 为考虑，盯，j 的变化对g 的影响，分别求q 对，盯，占的偏导数，可得 1 4 重庆大学硕士学位论文2 实物期权建模理论方法 拿：乓 0 ； n 南 皇：乓 0 ； 打z 番( g 1 ) 2 o q ： 二丝= 0 ，且口，d r ) u 及j 均为常数。 本章从三个方面扩展2 3 节的投资模型：( 1 ) 项目的投资发生在两个或多个离 散阶段，每阶段投资的沉没成本为z ；( f = 1 , 2 ，栉) ；( 2 ) 由于信息不完全，在收集项 目和投资机会的相关信息时，需要付出一定的信息成本，而且这些信息成本是沉 没的【”胂】；( 3 ) 假定项目经营所需成本流为c ，当尸下降到低于c 时，经营可以被 临时且无成本地推迟；当p 以后上升到高于c 时，经营可以被无成本地恢