（理论物理专业论文）制备多体纠缠态的理论研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 随着信息时代的到来，对于信息处理的需求日益增加。为了突破经典信息技术的物 理极限，为人们提供更强大的信息处理能力，量子信息学应运而生。量子信息学是以描 述微观世界本质规律的量子力学为基础的信息技术。量子纠缠是量子信息赖以存在的基 础，是量子计算和量子通讯的前提。正是由于量子纠缠这一量子力学中的奇异现象使得 量子信息技术超越经典信息技术成为可能，因此量子纠缠也被认为是一种重要的资源。 对于量子纠缠的研究，一方面可以使我们更深入的理解量子力学，以期回答一些量子力 学的基本问题，另一方面又在诸如量子计算和量子通信等方面有重要应用价值。因此对 于量子纠缠的研究，有着巨大的理论意义和潜在的实用价值。 本文主要研究针对多体量子纠缠进行了理论研究，共分为五章。第一章主要介绍了 量子信息这一新生的交叉学科。第二章主要介绍了量子纠缠概念，讨论了纠缠的判据和 度量，制备纠缠的方案以及这些方案的基础理论。第三章对处在矩形磁场中的海森堡链 中的热纠缠进行了研究。给出了一种通过控制外部参量就可以提高临界温度的方案。第 四章主要提出了一种利用四能级梯型原子与光场间的相互作用产生三模纠缠的方案。我 们扩展了前人的研究工作，得到了产生三模纠缠的方法。我们还讨论了系统中各种参量 如经典场的拉比频率和初态的选择对于纠缠的影响。在第五章中，我们进一步提出了一 种新的产生三模纠缠的方案，由于在光腔中引入了参量振荡器，我们得到了真正的三体 纠缠，讨论了原子与光场间的作用以及参量振荡器在真正三体纠缠中的地位和作用，分 析了体系中三模纠缠结构，证实了真正的三模纠缠的存在，并给出了两两模式之间纠缠 和三模式共享的全局纠缠的度量。 关键词：量子纠缠；自旋链；腔q e d ；三模纠缠 制备多体纠缠态的理论研究 t h e o r e t i c a ls t u d yo ng e n e r a t i o no f m u l t i p a r t i t ee n t a n g l e ds t a t e s a b s t r a c t w i t ht h ec o m i n go fi n f o r m a t i o na g e ，t h er e q u i r e m e n t so fi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gi n c r e a s e m o r ea n dm o r e i no r d e rt ob r e a kt h el i m i to fc l a s s i c a lp h y s i c st ob r i n gu sm o r ep o w e r f u l m e t h o d so fi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c ei se s t a b l i s h e d i ti sb a s e do n q u a n t u mm e c h a n i c s ，at h e o r yt od e s c r i b et h ee s s e n t i a lr u l e so ft h em i c r o w o r l d q u a n t u m e n t a n g l e m e n ti st h ef o u n d a t i o no fq u a n t u r ni n f o r m a t i o nt e c h n o l o g i e sa n dt h ep r e r e q u i s i t et o r e a l i z eq u a n m m c o m p u t a t i o na n dq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n d u et oq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，a n o v e lp h e n o m e n o ni nq u a n t u mm e c h a n i c s ，i ti sp o s s i b l et h a tq u a n t u mi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g i e s m a ys u r p a s ss o m ec l a s s i c a lt e c h n o l o g i e si ni n f o r m a t i o np r o c e s s i n g s oq u a n t u me n t a n g l e m e n t i sa l s oc o n s i d e r e da sa ni m p o r t a n tr e s o u r c e t h er e s e a r c ho nq u a n m me n t a n g l e m e n te i t h e r a l l o w su st ou n d e r s t a n dq u a n t u mm e c h a n i c sm o r ep r o f o u n d l yi no r d e rt oa n s w e rs o m eb a s i c q u e s t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c so rt ou t i l i z ei ti nq u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u m c o m m u n i c a t i o n t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho nq u a n t u me n t a n g l e m e n th a ss i g n i f i c a n tb o t h t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lv a l u e s t h i st h e s i sm a i n l ys t u d ym u l t i p a r t i t eq u a n t u me n t a n g l e m e n t t h e o r e t i c a l l y ，a n dt h e r ea r e f i v ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nt o t a l c h a p t e ro n ei sab r i e fi n t r o d u c t i o no fan e wi n t e r - d i s c i p l i n e ， q u a n t u mi n f o r m a t i o n i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c et h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，av e r y i m p o r t a n tr e s o u r c ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o na p p l i c a t i o n s w ed i s c u s st h ec r i t e r i o na n dt h e m e a s u r eo ft h ee n t a n g l e m e n t ；r e v i e ws o m eb a s i cs c h e m e so f g e n e r a t i o no f t h ee n t a n g l e m e n t a n dd i s c u s ss o m eb a s i ct h e o r i e su s i n gi nt h e s es c h e m e s i nc h a p t e rt h r e e ，w em a i n l ys t u d yt h e t h e r m a le n t a n g l e m e n ti nh e i s e n b e r gs p i nc h a i n su n d e rr e c t a n g l em a g n e t i cf i e l d w es t u d yt h e e f f e c to fe x t e m a lm a g n e t i cf i e l do n e n t a n g l e m e n t ，a n dp r o p o s eas c h e m et oi m p r o v et h ec r i t i c a l t e m p e r a t u r eb ya d j u s t i n gt h em a g n e t i cf i e l d i nc h a p t e rf o u r , w em a i n l yp r o p o s eas c h e m eo f g e n e r a t i o nt h r e e m o d ee n t a n g l e m e n tb yu s i n gt h ei m e r a c t i o u sb e t w e e nf o u r - l e v e lc a s c a d e a t o m sa n dc a v i t yf i e l d s b a s e do ns o m ep r e v i o u sr e s e a r c h e s ，w ef i n dam e t h o dt og e n e r a t e t h r e e m o d ee n t a n g l e m e n t w ea l s os t u d yt h ee f f e c t so fs o m e p a r a m e t e r so n t h ee n t a n g l e m e n ti n t h i ss y s t e ms u c ha st h er a b if r e q u e n c i e so ft h ec l a s s i c a lf i e l d sa n dt h ei n i t i a ls t a t e i nc h a p t e r f i v e ，w ep r o p o s ean e ws c h e m eo fg e n e r a t i o ng e n u i n et h r e e - m o d ee n t a n g l e m e n t d u et ot h e i n t r o d u c i n go f t h eo p t i c a lp a r a m e t r i co s c i l l a t o r ，w eg e tt h eg e n u i n et h r e e - m o d ee n t a n g l e m e n t w es t u d yt h ec o n t r i b u t i o n st ot h ee n t a n g l e m e n ti nt w oa s p e c t s ，t h ep a r a m e t r i co s c i l l a t o ra n dt h e i n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m sa n dc a v i t y w ea l s oa n a l y z et h es t r u c t u r eo ft h et h r e e m o d e i i 大连理工大学硕士学位论文 e n t a n g l e m e n ta n dv e r i f yt h ee x i s t e n c eo fg e n u i n et h r e e - m o d ee n t a n g l e m e n t f i n a l l y ，w eg i v e t h em e a s u r eo ft h ee n t a n g l e m e n ti ne v e r yt w om o d e sa n dt h eg l o b a le n t a n g l e m e n ts h a r i n gb ya l l t h et h r e em o d e s k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g t e m e n t ；s p i nc h a i n ；c a v i t y q e d ；t h r e e m o d e e n t a n g t e m e n t - i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明弓| 用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：剑叠垒佳纠缠奎鲍堡诠盈究。 作者签名：叁堑窒 西期：4 年l 月j 曼霹 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻谟学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借闽。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：劐签垒篮纠缠查鲍理途叠塞。 作者签名：塑堑室日期：型! 兰年月二生日 导师签名 嗍：呼年善眦日 大连理t 大学硕士学位论文 引言 2 0 世纪初，物理学爆发了一场革命。一方面经典的时空观在解释电动力学现象时遇 到了很多困难，爱因斯坦等人由此提出相对论从而改变了人们的时空观。另一面，从对 微观世界领域的研究工作中，人们发现微观粒子有着与宏观世界不同的属性和规律。光 和微观粒子的二象性、原子光谱的规律性和原子能级的分立性等，都使得经典力学遇到 不可克服的困难。在一系列实验的基础上，经过波尔、德布罗意、薛定谔、海森堡、爱 因斯坦、狄拉克、波恩等人的工作，建立了反映微观世界粒子属性和规律的量子力学。 然而，自从量子力学建立以来，人们对其基本问题的争论就从未停止过。讨论最多的是 “纠缠态 及其表现出的非定域关联。量子纠缠态的概念起源于1 9 3 5 年e i n s t e i n 、 p o d o l s k y 和r o s e n 提出的著名的e p r 佯谬。在他们的文章中提出了物理系统的“定域 实在性 ，从这种概念出发，利用理想实验的逻辑论证方法，试图证明量子力学是不完 备的。后来b e l l 提出了一个不等式用以检验在量子力学的描述之外，是否还存在着隐变 量。而目前以a s p e c t 等人的实验为代表的许多实验都显示了量子力学是破坏定域实在性 的。实际上，量子非定域性正是量子纠缠的显著特征，它使得量子纠缠在经典世界中完 全找不与之相对应的经典现象。对于量子纠缠的研究可能会进一步深化我们对于量子理 论甚至是对于整个微观世界的基本规律的认识。此外，量子纠缠还是量子信息处理的重 要的资源，在量子信息学的各个领域都具有重要的作用。近年来关于如何制备纠缠态受 到了人们的广泛关注，一方面我们可以利用制备的纠缠态做为一些前沿实验的资源，研 究微观世界的本质。另一方面，我们也可以在量子信息技术中利用量子纠缠进行量子信 息处理。这两者都极有可以改变这个世界，前者可能从思想上改变人们对于微观世界的 根本认识，后者可以从生活上通过信息技术的发展改变人们现有的生活方式。多体纠缠 由于在理论上和实用技术上的诸多用途更是被人们所重视。在本文中，我们试图在理论 上研究一些制备量子多体纠缠的方案。找到制备多体量子纠缠的可行办法，以期用于前 沿领域和应用领域研究的实验中。 制备多体纠缠态的理论研究 1量子信息学简介 1 1 经典信息的危机与量子信息学的产生 我们正生活在一个信息时代，信息科学推动着2 0 世纪人类文明的飞速发展。电子 计算机和通讯网络技术日新月异，性能不断提高，广泛应用于社会生活的各个领域。然 而目前的计算机运转都是基于经典物理规律，称为经典计算机。多年来，人们认识到经 典计算机存在着某些不能克服的局限性。为了安全、快速、有效地传输和处理信息，我 们需要在技术上不断进步，量子信息技术正是在这种背景下产生和发展起来的新兴学 科。2 0 世纪8 0 年代发展起来的量子信息论是一门将量子力学应用于现有科学技术所形 成的崭新的交叉学科，从而将信息科学的发展带入了一个新天地。 量子信息学是用量子态作为信息的载体，进行信息传输和信息处理的科学。它充 分利用了量子力学的基本原理和基本概念用不同于经典手段的方式来实现信息的传输 和处理。由于微观量子规律区别于经典规律，特别是量子力学所特有的一些性质：不确 定性、相干性、纠缠等，使得量子信息能够实现许多经典信息所无法实现的新功能，例 如量子隐形传态、量子密钥分配、量子计算、量子密集编码等。量子信息技术的巨大潜 力在于对传统的接受和发送信息方法的革新，涉及从计算机结构到互联网技术。量子信 息科学的研究，不仅由于它巨大的科学意义和学术价值引起物理学家、信息科学家的广 泛关注，而且由于它可预见的潜在应用价值也引起了各国政府、军事部门、金融银行业 等企业厂商高度重视，因而成为国际上研究的热点。我们首先来看看经典信息处理方式 目前遇到一些难题。 1 1 1 处理器物理极限问题 由于计算机的核心部件中央处理器( c p u ) 的集成度和主频一再提高，现在已接近经 典物理的极限。目前的高端芯片已经采用4 5 n m 的制造工艺，如果进一步提高集成度， 每一个晶体管将仅由几个原子组成，这是经典理论所无法实现的，而人类对于信息的处 理却要求更高性能的计算机。在这种情况下，研究新一代的量子计算机就显得十分必要。 量子计算机是以量子物理为理论基础，利用量子纠缠进行计算的新型计算机。核磁共振 ( n m r ) 计算机已经做到了7 个量子比特。并用这7 个量子比特的量子计算机检验了 s h o r 大数因式分解【2 】的一个示范：将数1 5 分解成了3 和5 。从而从理论上证明了量子计 算机要比经典计算机快得多，并且可以计算一些经典计算机不能计算的工作。同时，它 也使得经典的通讯加密技术受到挑战。 大连理工大学硕士学位论文 1 1 2 大数分解与安全通信问题 经典的通讯加密的理论础基是经典计算机对于大数的因式分解求解不存在有效算 法。传统的将一个较大的自然数n 进行因子分解的计算机算法是从2 开始进行试验，首 先看2 是不是n 的一个因子，然后再试3 ，依此类推。这样算法的复杂度将随着n 的增 大而增大，显然要分解n 要进行次试验，即使是改进的算法，例如我仃丁可以只试验 质数，如2 ，3 ，5 ，7 等等，但其基本编程思路仍然是进行一个大循环，解算时间将会 随着n 的增大而增大。因此足够大的一个自然数n 是无法在短时间内因子化的，多年 来通用的r a s 算法正是基于这一原理。而随着量子计算可以迅速求解大数因式分解。 经典的加密算法不再可靠。因此有必要研究新的通讯保密方案。量子通信技术是理论上 绝对不可破解的加密技术。它基于量子态不可克隆定理，由自然界的基本法则保证了通 信的绝对安全。由于其高度的不可破译性，近年来受到许多国家的关注。 1 2 量子信息处理的优越性 使量子计算机具有更大优越性的是量子纠缠( e n t a n g l e m e n t ) ，相隔很远的两个量 子纠缠态具有瞬时相关性，例如，改变其中一个的状态，另一个的状态则立即改变，不 论它们相隔多远。两个量子位i o ) 和1 1 ) 可同时处于四个不同状态：( i o 1 1 ) ) l 、( 1 1 o ) ) 、 ( 1 1 1 1 ) ) 、( i o ) 1 0 ) ) 。3 个量子位可同时处于8 个不同状态。n 个量子位可同时处于2 n 个不 同状态。例如，一个3 2 位的经典计算机要进行2 3 2 次( 约4 g 次) 操作才能完成一次计 算任务：而一个纠缠的3 2 个量子位的量子计算机只要进行1 次操作就能完成。上世纪 9 0 年代发现了量子计算机的这个潜在的、惊人的巨大优越性。1 9 9 4 年美国的贝尔实验 室的p e t e rs h o r 得到这种指数效应的一个重要推论( 称为s h o r 算法【2 】) 。这使得保护因 特网上业务处理安全的公共密钥加密系统( 其安全性是基于大数因子分解的困难) 在量 子计算机面前无密可保。虽然现在最先进的量子计算机也只能对1 5 进行因子分解，但 是一些年后，如果实用型的量子计算机能造出来，那么，因特网就不安全了。 在快速搜索数据库方面，量子计算也有着超越经典计算的可能。例如，一个号码锁 有2 5 种可能的组合，用通常的计算机平均要尝试1 2 1 3 次才能打开，最坏的情况要尝 试2 5 次。1 9 9 7 年美国的贝尔实验室的g r o v e r 证明( 称为g r o v e r 算法【3 】) ，用量子计算 机不需要超过5 次。一般，对于n 种可能的组合，用通常的计算机平均要尝试n 2 次才 能打开，而用量子计算机不需要超过, 9 次。在数目很大时，这个优点就很明显。例如， 将疑犯的手印从n 个手印中认证出来，若n 为二百万，用通常的计算机平均要尝试一 制备多体纠缠态的理论研究 百万次，而用量子计算机不需要超过一千次。这是因为量子计算机将数据库的n 个被搜 索的对象叠加为h i l b e r t 空间中的一个态，要搜寻的态只是其中的一个分量。 在保密通方法，利用量子纠缠态进行的通信要比经典通信更具安全性。由于量子态 的不可克隆定理，潜在的窃听者想要在不破坏原有量子态即不被发现的情况下进行窃听 会比经典情况变得更难。 人连理：【大学硕士学位论文 2 量子多体纠缠简介 上一章我们介绍了量子信息学这一新兴学科，介绍了现在信息技术面临的困难以及 量子信息技术的美好前景。为了对量子信息学进行研究，我们必须首先掌握它的理论基 础。量子信息学是以量子力学为础的，因此在本章中，我们将简单介绍量子力学中的一 些基础理论。主要以量子信息技术的核心资源量子纠缠为中心，讨论量子纠缠的来 源，量子纠缠的度量，量子纠缠的制备方案等。 2 1e p r 佯谬与量子纠缠态 2 0 世纪初叶，物理学经历了一场出人意料的革命。当时的理论( 现在称之为经典理 论) 在解释一些现象时给出了很荒唐的预言。例如，经典热力学和统计物理解释黑体辐 射现象时，得出了“紫外灾难 这样的结论。起初人们试图通过在经典理论中附加一些 假设来修正原来的理论，但却引来了人们更大的困惑。生活在那个时代的伟大的科学家 们经过近半个世纪的探索，终于建立起一套新的理论来解释我们所生活的世界。新的理 论始于1 9 0 5 年普朗克的能量量子化假说，我们现在把这套理论称为量子理论。 量子理论从它建立的那一刻起就伴随着无数的疑问和争论。最著名的当属爱因斯坦 与玻尔之间的争论。1 9 3 5 年，爱因斯坦联合波多尔斯基和罗森发表了一篇论文，试图证 明量子力学的描述是不完备的【4 j 。这篇论文中所阐述的假想实验被后人称为e p r 佯谬。 下面用1 9 5 1 年玻姆简化了的e p r 思想实验进行讨论【5 】。 考虑这样一个系统，它是一个源产生的两个自旋1 2 的粒子。假设这两个粒子从源 产生的时候总自旋角动量为零，所以它们自旋方向相反。如果这两个粒子从源产生的时 候总动量为零，它们沿相反的方向运动。粒子1 由一个史特恩一盖拉赫仪器来测量，设 仪器的磁场方向为x 。若测出粒子1 的自旋沿x 方向向上，则标记为1 2 ，向下则标记为 1 2 。类似的，粒子2 由另一个史特恩盖拉赫仪器来测量。两个粒子组成的系统的状态 用沙来表示。若第一个粒子的自旋为l 2 ，则第二个粒子应为1 2 ，这种情况表示为 i + 去) i 一去) 。还有一种可能是第一个粒子的自旋为- 1 2 ，第二个粒子的自旋为+ 1 2 ，这种 iz iz ， 情况表示为l 一去) | + 去) 。 因此系统的状态为 y = 口i + 兰 l 一丢 + 6 i 一三 i + 圭 c 2 ， 制备多体纠缠态的理论研究 其中，a 和b 为复数，应满足归一化条件h 2 + b 1 2 = 1 。i a l 2 和1 6 2 分别为上述两种情 况中每一种情况出现的概率。 在这种情况下，除非进行测量，否则无法将( 2 1 ) 式写为只是两个粒子态的直积。这 证明，它们是相互纠缠的。即若测到第一个自旋为1 2 则第二个一定为1 2 ，反之亦然。 e p r 论证当时( 1 9 3 5 年) 的量子力学对两粒子纠缠系统的描述是不完备的。e p r 的论证有四个前提，即： 1 理想纠缠：如果测量两个粒子沿同一方向的自旋，结果肯定是相反的，则此两个 粒子间存在理想纠缠。 2 定域性：如果两个粒子处于类空间隔，则对于其中一个体系的操作不会使第二个 体系发生改变。 3 实在性：如果对于一个体系没有任何干扰，我们能确定的预测一个物理量的值， 那么对应于这个物理量，必定存在着一个物理实在的元素。 4 完备性：物理实在的每一个元素都必须在这物理理论中有它的对应。 e p r 论证的思路如下：由于两粒子处于的纠缠态是理想纠缠，如果我们对粒子1 进 行测量，则我们能肯定的预言粒子2 处的态。由于定域性，对粒子1 进行的测量不可能 引起粒子2 的实在变化。然而由于量子力学理论给出对于自旋1 2 的粒子，不是所有的 自旋分量都能存在确定值。因此，由完备性，量子力学是不完备的理论。有些物理实在 元素在量子力学中没有对应。 当时( 1 9 3 5 年) ，玻尔只是用互补原理回答了爱斯坦的提问，直到1 9 6 4 年，b e l l 基 于e p r 的思想提出了一个不等式，可以用实验去检验【6 】。这个不等式可以检验在量子力 学框架之外，是否还存在隐变量描述。b e l l 不等式的提出使得从实验上去检验e p r 佯谬 成为可能。1 9 8 2 年，a a s p e c t 等人在p r l 上发表文章【_ 7 1 ，称他们用实验检验了贝尔不 等式。此后又有许多人重复该项实验，实验的结果都支持量子力学。人们开始重新认识 量子世界的非定域性。 e p r 提出的现象后来就被称作量子纠缠。 纠缠态( e n t a n g l e ds t a t e ) 是那些不能按粒子分解成为这种因子化的直积态的状态，而 类似于以下的状态i ) 仙= l 。) 彳 i ：) b ，可以按子系统a 和b 分开，写成为因子化的 形式，是非关联态( u n c o r r e l a t e ds t a t e ) 。 1 对有相互作用的复合系统，状态空间中绝大多数是这类纠缠态。比如两个自旋二粒 2 子体系的4 个b e l l 基： 大连理1 二大学硕士学位论文 就是4 个典型的纠缠态。后来我们知道，这些态都是最大纠缠态。对其中任一体 作任意局域幺正变换( l u ) 所得的态都是最大纠缠态。 这是因为，粒子的两个正交态经l u 后仍保持为正交的，所以只需重新定义该粒子 的l0 ) 和1 1 ) 而己。 n - 7 p 检验，这四个b e l l 基是力学量算符o x 一0 x b ，仃，a 盯，b ，盯：a 盯：b 的共同本征态。由于它 们正交归一完备，可作为此系统态空间的基矢。至此，量子力学中就有了三套基矢。另 两套为常见的耦合及无耦合基矢： t z ) 一 个：) 一 山：) 一 山：) 月 p p o o 个 山 个 山 个：) 一。1 个：) b = 1 个，个) 月层 j 专( 1 个_ 7 弋+ i 1 个；：口) 。2 3 ， 山：) 一p i 、l ：) 8 = i 山，山) 爿片 、 击( 矿4 8 ) 上式第一套基矢由未关联态组成的；第二套基矢有两个是纠缠态。当然，这三套基 可以相互展开。 从表观上看，纠缠态的共同点是它们状态相互纠缠不可分离。表现为纠缠双方各 自状态均不确定，都依赖于对方而定。量子纠缠本质是量子的、非经典的，其理论基础 是量子理论状态空间的线性性质，也h ph h 从态叠加原理。也是量子相干性、或然性和空 间非定域性的体现。这里，值得再次强调指出这三条中的一点：量子纠缠最具深刻科学 意义、同时又最具实践价值的地方是：它可以明显地体现出量子理论本质特性之一 量子理论的空间非定域性质( n o n l o c a l i t y ) 。 一般的两体双态系统的纯态表示为 i y ) 月口= c o oi o ) 一o i o ) 曰+ c o 。i o ) _ 圆1 1 ) b + q 。1 1 ) 一o i o ) 口+ c i 。1 1 ) 月圆1 0 8 ( 2 4 ) 这里，除了归一化和总体相因子，为表示一个态总共最多需要6 个 独立参数。有时不写“ 符号，并记l o ) 一o io ) 曰= 1 0 0 ) ，或是用二进制符号1 3 ) = 1 11 ) 等。也常用矢量符号： 2 q 吣 d p p 月 爿 畛代 + 一 占 占 睃 吣 o p 吣 吣 0 0 上压上压 = i i 朋 船 少 缈 ， 口 口 口 b 、，、，、j，、j， 个山个上个个，中 i l = = = 制备多体纠缠态的理论研究 = 1 0 0 ) = lo ) ； o = 1 0 1 ) = 1 1 ) ；j 三 o = 1 1 0 ) = 1 2 ) ；i 二i = 1 11 ) = 1 3 ) ( 2 5 ) 体系的约化密度矩阵( r e d u c e dd e n s i t ym a t r i c e s ) 为： p a = t r p ( i y ) 一口( 沙1 ) ；p b = 乃- ( 1 ) 月且( 少i ) ( 2 6 ) 这里，例如为了只研究子系统a ，必须在等权统计平均的意义上计入b 中所有状态 对a 的现有状态的影响，计算办法是对a b 复合系统态的子系统b 求迹。这种只对子系 统b 作部分求迹的操作记为乃) 。取部分迹之后，只剩下子系统a 的算符和态矢。 一般两体的混态可表示为 3 = p , j 院口_ b ( ，l ( 2 7 ) n 曰2 己7 儿口_ bi _ ，i 【2 ) ，鲁o 这里的系数鳓必须使矩阵p 月b 是厄密的，即加= l ，并且t r p ；s i 时，不能写成式( 2 1 0 ) 的状态是 一个混态纠缠态。根据以上的量子态可分性定义，我们就可以判断一个量子态的可分性， 然而，想要直接找到一个态的直积分解的形式或者证明一个量子态完全不存在任何可能 的直积态分解是十分困难的，尤其对于混合态情况，可以说直接用定义来判断其可分性 基本是不可操作的。这样就需要我们给出一个简单的途径，也就是可分性判据，来判断 一个量子态的可分性。最先用来区分量子态的可分性的就是b e l l 不等式【6 1 ，之后在b e l l 不等式的基础上又提出了c h s h 不等式【1 4 1 。后来，量子态可分性判据的研究引起了广泛 的注意，得到了长足的发展，又发展出了部分转置正定( p o s i t i v ep a r t i a lt r a n s p o s e p p t ) 判据1 1 5 】，h o r o d e c k i 判据等【1 6 】。 任何量( 一般是个标量) 只要能够区分一个量子态是否纠缠的都叫做可分性判据。当 然这里包括好的判据和一般的判据所谓好的判据是指该判据是可分性的充分必要条件 ( 尽管很难操作) ，一般的判据是指这个判据仅是可分性必要条件。纠缠度量是一类特殊 的可分性判据，因为通常它不但能够区分量子态是否纠缠( 一般纠缠态的纠缠度量大于 零) ，而且可以对纠缠进行定量描述，还要满足一系列性质如局域么正变换不变等等。 另外，由于不同的量子信息处理任务，不同的纠缠度量可能用于度量不同类型的纠缠。 这就是说，对于某些纠缠态，有的纠缠度量也可能为零( 如可提纯纠缠度量等等) 。一般 来说，对于两体情况，一个好的纠缠度量应该满足以下条件【1 7 】： ( 1 ) 两体纠缠度应该是从密度矩阵到一个正实数的映射。 ( 2 ) 可分态的纠缠度应该是零。 制备多体纠缠态的理论研究 ( 3 ) 在局域幺正操作下，纠缠度不变，在l o c c 操作下，纠缠度不增。 ( 4 ) 对纯态纠缠度量应该还原为纠缠熵。 根据目前两体纠缠度量研究的现状来看，对于两体量子态纠缠度量问题的研究虽然 缺少一般的可操作性的纠缠度量，但是其基本理论已经基本成形。而多体量子态的纠缠 度量，相对来讲显得特别棘手。尽管多体纠缠度量问题还未能形成一个统一的方案，但 对于多体量子态的纠缠度量问题人们已经提出了很多方案，我们将后面的工作中引用了 一种方案。以下，我们先简要介绍下两体纠缠度量。 对于两体纠缠度量比较常见的方案有：相对熵纠缠度【1 8 】，可提纯纠缠度【1 9 】，形成纠 缠度，n e g a t i v i t y t 2 0 】等。基于本文下面工作的需要，我们在这里只简要介绍形成纠缠度 c o n c u r r e n c e l 2 1 】和基于p p t 判据1 5 】的n e g a t i v i t y 2 0 1 。 c o n c u r r e n c e c o n c u r r e n c e 是w k w o o t t e r s 2 1 】在1 9 9 8 年提出来的一种对于两体系统的纠缠度量。 对于两体纯态，其定义为： c ( i ) ) = | ( + i q9 ql ) l ( 2 1 1 ) 其中q = ( ? 言) 是p a u l i 矩阵，如果度量密度矩阵为p 的混态其定义为： c ( p ) = m a x 一如一乃一五，0 ) ( 2 1 2 ) 其中，a 是r = p ( a ypo r yp 。( 盯yo 盯y ) 矩阵的本征值按从大到小的顺序排列起来。 c o n c u r r e n c e 是两体q u b i t 系统可分的充分必要条件，而且c o n c u r r e n c e 也是一个纠 缠度量。 p p t 判据 p p t 可分性判据是p e r e s 1 5 】首先提出的，其表述如下： 定义两体密度矩阵的部分转置为： 比= ( h 口i 正) o i 六) ( l ( 2 1 3 ) 如果一个两体密度矩阵n 占是可分的，则它的部分转置矩阵础的所有本征值非负。 这个判据显然是可分性的一个必要条件，假设某个矶口可分，则可以写成 几口= 只一p 店 ( 2 1 4 ) 那么，对b 部分进行部分转置操作， 大连理t 大学硕士学位论文 p 2 = b o ( 以) ( 2 1 5 ) 得到的状态应该还是一个密度矩阵，所以它的本征值一定非负。这个判据对2 x 2 体 系是充分必要条件1 2 2 1 ，而对于高维情况它仅是纠缠的充分条件【2 3 1 。即违反上述表述，转 置矩阵存在负本征的话，体系一定存在纠缠，但满足上述条件，转置矩阵所有本征值非 负的话，不能肯定的说体系中一定不存在纠缠，这种情况下体系中存在的纠缠被叫做束 缚纠缠态。 p p t 判据最初是针对分立变量的情况提出的，后来s i m o n t 2 4 1 等人又把它推广到连续 变量纠缠的判定。考虑一个n 模场，它的产生和湮灭算符口，和a ：服从标准玻色子的对 易关系： a j ，a ； = s j k ， q ，吼 = 矿， = o ( 2 1 6 ) 也可以转化成坐标和动量的形式，即 q ，= ( 乃+ 吒) ，p j = 一f ( 巳一吒) ( 2 1 7 ) 如果我们把坐标和动量写成一个2 n 维的矢量： i = 【q 1 q 。，p ，以】 ( 2 1 8 ) 对易关系可以表示为 b ，i 】= 2 i f l l 其中，是一个2 n x 2 n 维的矩阵，它可以用分块阵的形式表示成： = j 二三j ，这里，代表单位矩阵。 由矢量i 出发，我们可以定义场的协方差矩阵。 屹，= 专乃( p 嚷，嚷) ) ( 2 1 9 ) 这里的大括号表示算符间的反对易关系。协方差矩阵也可以写成分块形式： 如果协方差矩阵代表的是一个真实的物理态，则它必须遵守r o b e r t s o n s c h r o d i n g e r 不确定关系【2 5 1 。 y + i p 0 ( 2 2 0 ) 现在，我们来考虑y 矩阵的部分转置。部分转置操作可以看作是在w i g n e r 相空间 中的镜面反射，这样把p ，代换成一p ，就可以由( 2 1 9 ) 式中的v 矩阵得到部分转置后的 矩阵v 。如果被转置的模式和其它模式可分，则部分转置后的矩阵y 仍然满足不确定关 系： 矿+ i p 0( 2 2 1 ) 制备多体纠缠态的理论研究 如果转置后的矩阵不满足被转置的模就与其它模式不可分。破坏不等式( 2 2 1 ) 将会 是证明被转置的模和其它模式间存在纠缠的一个充分条件。 基于p p t 判据的纠缠度量- n e g a t i v i t y n e g a t i v i t y 是基于p p t 可分性判据的一个纠缠度量，前面已经说过如果一个体系的 密度矩阵的部分转置存在负的本征值的话，体系就是纠缠的。而n e g a t i v i t y 正是由此而 来，它在这些负的本征值的和与体系的纠缠程度间建产了数量关系。其定义为f 2 0 】： n ( p ) ：毕 ( 2 2 2 ) ) = 竖 一 ( 2 2 2 ) 其中，i l p 乃1 1 1 表示p 的部分转置的1 范数。实际上，还有另外一种简单的计算( p ) 的方法，即( p ) 表示p 乃的所有负的本征值的和的绝对值。另外，还有一种对数 n e g a t i v i t y ，定义为： e 。v ( p ) = l o g ：陟1 1 1 ( 2 2 3 ) 可以证明这两个纠缠度量对于2 x 2 和2 x 3 体系都是充分必要条件，但是对于高维体 系只是可分性的必要条件。但是由于它非常便于计算，因此被广泛使用。 2 4 纠缠态的几种制备方案举例 纠缠是量子信息学中一种重要的资源，几乎所有的量子信息处理都必须基于量子纠 缠。因此量子纠缠的物理实现是一个值得关注的问题。目前，理论和实验上研究得比较 透彻的实现量子纠缠的系统有：光学系统、n m r 系统、热纠缠、原子系统、超导j o s e p h s o n 结、量子点以及腔q e d 等。实际上纠缠态的制备，量子纠缠的物理实现是量子信息学 中的一个很重要的课题，涉及到许多前沿课题。本文中我们并不打算就这一问题详细展 开，只是为了给后面的章节做为铺垫，我们打算在这- - d , 节中简单介绍下两种纠缠态 的制备方案，即热纠缠与连续变量纠缠。 2 2 1热纠缠 热纠缠最初由n i e l s e n 提出。在正则系综的热平衡态，系统的状态可以用吉布斯密 度算符给出： 所= 三e x p - 若 ( 2 2 4 ，所2 三e x p l 一面f 大连理1 二大学硕士学位论文 其中，z = t r e x p l 一兰i 是配分函数，日是系统的h a m i l t o n 量k 是玻尔兹曼常数， l 庀j t 是温度。 热纠缠被提出之后，以其独特的特点：稳定，不易退相干，抗外界干扰性强等吸引 了众多研究者的注意，许多人在此领域做了大量工作。自旋链中的热纠缠是一个比较典 型的模型。自旋链系统由于其本身固有的一些特性( 热纠缠稳定，不用考虑退相干) ，引 起了人们的广泛关注。一方面主要是自旋链系统在量子计算中的应用，基于自旋链模型， 人们提出了一些比较有创新意义的思想，还有基于测量的一步量子计算机，在自旋链中 生成团态等等。一方面是量子理论方面。在有些自旋链系统中，未知的量子态，由于链 本身的演化，可以以较高的保真度从链中的一点传输到链中的另外一点；自旋链系统作 为量子信息中的量子储存、量子计算、量子克隆、量子传态等等，也都是非常有应用前 景的。另外一个重要的方面，纠缠的研究也是量子理论中的重要内容，而自旋链是比较 理想的制备纠缠的系统。在有限的温度下，自旋链中的纠缠问题也有所研究。这些研究 基本可以归为三类：一类是研究少体问题，多是研究两体自旋链体系。一类是主要研究 无限长自旋链中的量子相变问题；另外一类是研究多体，但长度有限的自旋链中的纠缠 长度和关联长度的关系等问题。 下面我们来介绍几个典型的自旋链模型。量子自旋链的模型是多种多样的，从不同 的角度，自旋链的分类也不尽相同：从维数上来看，有一维、二维、甚至是高维的自旋 链t 从形状上看，有线型、环型、星型、环型和星型的结合、梯型模型等等：从自旋本 身上来看，有自旋1 2 的q u b i t 体系、自旋为1 的q u t r i t 体系、还有一些更高的自旋体系 和一些混合自旋体系：从相互作用力程上看，有相邻粒子相互作用，次近邻相互作用等 等：从耦合相互作用在不同方向上的特性上看看，有x y 模型、x x 模型、x x z 模型、 x y z 模型、i s i n g 等等多种模型。有些模型的性质已被广泛研究，如自旋链中的热纠缠、 关联函数、量子相变等等。 对各种模型下的自旋链，在量子信息处理，特别是量子计算的物理实现中，固体系 统，由于其具有可扩展性和易集成性，是最有希望进行大规模量子计算的物理系统。大 量的文献表明，固体中的自旋链是实现量子计算和量子通讯的重要物理系统之一，而在 众多的实现方案中，对量子纠缠这种重要的物理资源以及对纠缠的控制方法的研究又是 尤为重要。另外，对自旋链这类多体系统纠缠的研究有助于发现新的物理现象。 2