（理论物理专业论文）纠缠基础上的量子光刻和量子态制备.pdf

摘要 现代工业的发展使得人们需要越来越小的集成电路块，因而就要提高印 刷术，来获得更小的像素，更大的分辨力。光刻( 又称光学制版) 技术就是适 应这一需要产生的本文研究了用不同量子态的光进行光刻的情况，并对量 子态的制备进行了初步的探讨，得出了一些有意义的结论 第一章简要介绍了经典光刻和量子光刻的基本理论以及最近关于量子光 刻的主要成果，为以下几章的研究工作奠定理论基础。并指出：一般的量子 光刻法可以获得倍于经典光刻方法的分辨力。 第二章介绍了我们提出的光刻方法，即：n 一光子非最大纠缠态( n m e s 态) 的量子光刻方法有如下几个创新点：1 把最大纠缠态的光刻方法推广 到非最大纠缠态；2 提出了两入射光量子态的局域纠缠和非局域纠缠的概 念；3 发现增加两入射光的非局域纠缠度可以增加曝光函数的幅度，因而改 变两入射光的非局域纠缠度可以操纵和控制曝光率的振幅；4 发现两入射 光的局域纠缠能提高量子光刻的有效瑞利分辨力到a 8 n ，为经典光刻方法分 辨力的2 n 倍从而可以在相同的表面上成像4 n 2 倍经典所能成像的像素，使 芯片大小减为原来的1 4 n 。因而是对量子光刻术的一个很大改进 5 成功 地实现了正弦斑图量子模拟，从而使制版弯曲的电路成为可能 第三章我们研究了利用纠缠相干态的量子光刻方法计算了感光胶质在 双模纠缠相干态中的曝光率，发现增加相干态的幅度或感光胶质的多光子吸 收特性能够提高感光胶质的曝光率和曝光图案的对比度值得一提的是这种 态的制备相对来说较容易，因而具有更大的潜在价值 第四章我们对态的制备方案作了一些研究，并提出只需少于或等于( d 一 1 ) o ( n 。) 的数目的单量子比特操作和c n o t 门就可以实现以m 粒子经典态 为初态对任意m 粒子d 维叠加态的制备，同时给出了具体方案和相应的量子 线路 第二，三，四章是本工作的创新之处。 第五章我们对本文的工作进行了简要的总结，并对这一研究领域的发展 前景作了简要的展望 关键词：分辨力，曝光率，- 光子非最大纠缠态，双模纠缠相干态，幺正 操作，控制非( e o 丁) 门 s t a t e s a n d f i n do u t t h a t t h e i n c r e a s eo f t h e a m p l i t u d e o f c o h e r e n ts t a t e l a io r t h e n p h o t o n - a b s o r p t i o ns e n s i t i v i t yo ft h es u b s t r a t ec a ni m p r o v et h ee x p o s u r er a t ea n dt h es h a r p n e s s o ft h ee x p o s u r ep a t t e r na sw e l li ti sw o r t hn o t i n gt h a tt h i sk i n do fs t a t ei sp r e p a r e d r e l a t i v e l ym u c hm o r ee a s i l y f u r t h e m o r ei nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s se l e m e n t a l l yt h es t a t ep r e p a r a t i o na n ds h o wt h a t l e s st h a n ( d 一1 ) o ( n 2 ) s i n g l e q u b i to p e r a t i o n sa n dc n o tg a t e sa r es u f f i c i e n tt op r e p a r e a nn p a r t i c l ed - d i m e n s i o ns u p e r p o s i t i o ns t a t ef r o ma nn p a r t i c l ec l a s s i c a ls t a t e i nc h a p t e r5 ，as u m m a r yo ft h ew o r ka m ta no u t l o o ko ft h i sr e a l ma r eg i v e n k e y w o r d s ：n p h o t o nn o n m a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t e ，o p t i c a lr e s o l u t i o n ，t w o - m o d ee n t a n g l e dc o h e r e n ts t a t e ，u n i t a r yo p e r a t i o n s ，c o n t r o l - n o t ( c n o t ) g a t e 第一章绪论 1 1 引言 光刻( 又称光学制版) 是一个被广泛运用的印刷方法。在这个方法中，光被 用来使感光胶质感光由于两入射光的干涉现象，在感光胶质上不同点，两 入射光相干后的强度不同，使得感光胶质上不同的点的曝光程度不同，人们 因而获得曝光图案光刻方法已成为半导体工业的主要手段在半导体工业 中，人们在电板上铺一层感光胶质，用光照射使其感光来获得所需的电路， 从而生产电路板，处理器或芯片光刻方法的最重要的性质就是光学分辨力 的大小及其对应的最小像素的大小分辨力的大小，最小像素的大小是由曝 光图案的周期决定的。根据瑞利判据，最小像素的大小对应于光强的最小值 和相邻的最大值之间的距离【l 】。而光学分辨力则用光刻方法能印刷的两分立 的点的最小距离来标记t 这个最小距离越小，分辨力越大，它们等效地成为 光学制版图案最重要的特性。当像素的特征大小越小分辨力越大时，生产出 的芯片或处理器就越小 在经典光刻中，我们只能获得和光的波长相比拟的分辨力。最近，有许多 关于光学制版方面的论文【2 ，3 】通过使用两入射光的量子纠缠来打破经典的瑞 利衍射极限的限制2 0 0 0 年，在参考文献【4 】中，a g e d imb 0 t 0 介绍了“量子 制版”的方法，并且可以把分辨力提高到衍射极限以外2 0 0 1 年，在参考文 献 5 中，p i e t ”k 0 k 引入了个量子制版的方法，它使用了| v 一光子最大纠缠 态，可以把分辨力提高到经典制版方法的倍。因为在一个给定面积的区域上 可以写的像素的最大数目和像素的最小特征大小的平方成反比，因而这个改 进对制版印刷术以及半导体工业都有很大意义。2 0 0 1 年，在参考文献 6 】中， g u n n ”b j a r k 用一个称为“逆二项式态”的单态代替纠缠数态进行光刻也获得 了和p i e t e rk o k 同样的分辨力。 我们的主要工作是利用| v - 光子非最大纠缠态使分辨力提高到经典方法的 2 倍，并指出了用双模纠缠相干态能有效地控制制版图案曝光率的振幅及制 版图案的清晰度同时我们可以看出产生不同态的光在光刻术中起到了很重 要的作用。因而在我们的工作中，也对态的制备问题作了一些探讨，并得出 图11 ：两柬光a , b 在感光胶质上相遇，它们的夹角为2 0 ，它们有一个相对位相= k z 2 我们考 虑日一2 的极限情况。 了有意义的结论 本论文主要介绍四种制版方法，即：经典光刻方法，n 一光子最大纠缠态 的光刻方法，一光子非最大纠缠态的光刻方法，及双模纠缠相干态的光刻方 法。并比较了运用于一维制版图案的第二和第三种方法。 1 2 经典光刻方法 经典的光刻( 制版) 方法就是用经典态的光作为光源，使感光胶质感光来 获得制版图案所谓经典态的光就是两入射光是由不相关的光子流组成假 设由嗣和_ i ；表征的两平面波入射到感光胶质表面，它们与平面的法矢所成的 夹角为口( 如图1 , 1 表示) 则平面波矢量可以如下表示： 后= k ( c o s 0 ，s i n 8 ) 磊= k ( c o s o ，一s i n 8 )f 11 1 这里，我们利用了闻= 旧= k 波数k 通过k = 2 ，r a 与光波的波长相联系 为了从相干图案的强度j 中找到相干图案的周期，我们把两个平面波在位置 尹处的相干后的强度求出： 工( 砖i 矿。- 7 + o 2 ，1 2 = 4 c 0 8 2 【( 蕊一磊) 亍1( 1 2 ) 从方程( 1 1 ) 计算内积( 西一固2 ，我们获得如下的表达式： ，( z ) o ( c 0 8 2k z s i n 0 f 1 3 ) 它表示在感光胶质上z 方向z 处的光强瑞利判据表明最小可分辨像素的大 2 小z 对应于相干光强的最大值和相邻的最小值的距离从方程( 1 3 ) ，我们 有， k a z s i n 0 = 要( 1 4 ) 这意味着最小可分辨像素的大小z 及与其等效的最大分辨力的倒数由下式 给出： z = l = l (15)2。2 ：s i n2 4s i n 0 【l 与) 这里 是光波的波长。最大分辨力因而和光波波长成反比和入射波与法线的 夹角的余弦成正比当s i n 0 = 1 或口= 2 ，即取掠入射极限时，这个分辨力 有最大值( z 取最小值) 经典的衍射极限因藤是z = a 4 注意到这里的推导 我们没有使用讨论衍射现象时常用的近似s i n o = 口 2 0 0 0 年，w 提出运用经典的双光子方法来提高分辨力【7 】。思想是不相 关的双光子( 经典的) 吸收概率与光的强度的二次方成正比而光强，满足 j “1 + c o s ( 2 ) ，其中币是与基底上的坐标z 相连系的相差，有= z 因而经典 的双光子使感光胶质曝光的曝光率备具有形式： 笛，。c ( 1 + c 。8 ( 2 母) ) 2 互3 + j 1 c o s 4 + 2 c o s 2 咖 ( 1 6 ) 这个函数含有c o s ( 4 簪) 项，它在空间以二倍于单光子函数的频率震荡。y v 的方法使用了一个经典的频率调节方案来消除中间项c o s ( 2 垂) 即慢振荡项，从 而使图案的周期减小为原来的一半，分辨力提高一倍，像素的特征大小减为 原来的一半故可以在相同大小的表面成像4 倍于原来数目的像点，在半导 体工业中，我们就可以在相同的表面上制造4 倍于原来数目的芯片因而这 是一个很重要的改进但是这种方法对于光子数大于2 的情况，难以产生理想 效果以下我们将介绍怎样用纠缠光予数态来提高制版效果，减小像素的特 征大小，提高分辨力。 1 3n - 光子最大纠缠态的量子光刻方法 量子光刻方法是基于在感光胶质上的多光子吸收的过程。在这种方法中， 处于量子态的光( 即：入射的两束光互相纠缠) 被用来照射感光胶质使其感光 两入射光在感光胶质上不同点的光强不同，引起感光胶质上不同程度的曝光， 3 曝光函数恢复为原来的值，因而光刻得出的图案为原来的图案这意味着一 个2 ”的相移将使感光胶质上的相干图案复位次，因而产生一个有效的瑞利 分辨力对应的最小像素的大小为： z = a ( 4 n 1 是经典特征大小a z = v 4 的1 因而分辨力提高倍显然，用一光子纠 缠数态进行光刻，我们可以在相同大小的感光胶质上写的像素是用经典光刻 方法可写的像素的2 倍。因而，它是光学制版术的一个重要的改进。 第二章n 一光子非最大纠缠态的量子光刻方法f 1 1 分辨力及与其成反比的像素的特征大小是光学制版方法的最重要的特征， 我们想获得更小的像素更大的分辨力同时我们也期望可以控制曝光率的振 幅本章将讲述怎样利用光子非最大纠缠态来提高分辨力，控制感光胶质 的曝光幅度 2 1n - 光子非最大纠缠态的量子光刻方法的理论 现在我们来讨论利用光子非最大纠缠态( n m e s ) 进行量子光刻的方 法。n m e s 态由下式给出： 叫w ) n 6 = c o s l ，o ) 曲+ s i n l l o ，) 曲 这里1 是态的纠缠度的量度，它从o ( 没有纠缠) 变到”，4 ( 最大纠缠) 同样用在 a 上的相移器代表因入射点z 不同而产生的n ，6 模的相差，并认为这光子为 准粒子 8 】，则相移器的作用可以用算符e 。肌来表达e 。舶作用在n m e s 态( 21 ) 上，则得到如下的n m e s 态 妒) 曲= c o s l i ，o ) 如+ e 2 v 母s i n l l o ，) 。6 对于- 光子n m e s 态( 2 2 ) ，从方程( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) 我们获得如下的曝光率： _ ( 1 ，= 刍1 1 + s n ( 2 7 ) c o s ( ) - ( 2 3 ) 在分析( 23 ) 之前，我们定义两柬光的量子纠缠度随入射点的位置z 不同 变化的两种情况即：非局域纠缠及局域纠缠情况 非局域纠缠在这种情况下，两束光的纠缠角1 是不依赖于两柬光相遇的 位置z 而变化的由妒= k z 可知，7 是和n m e s ( 2 2 ) 表达式中两柬光的相差廿 不相关的。 局域纠缠，在这种情况下，两束光的纠缠角1 是依赖于两束光相遇的位置 z 而变化的。因而7 是和n m e s ( 22 ) 表达式中两柬光的相差廿相关的。 7 对于两入射光的量子纠缠为非局域纠缠的情况，从曝光率的表达式( 2 ，3 ) 我们可以看出曝光函数的幅值随着纠缠度的增大而增大因而我们可以通过 改变两束光之间的量子纠缠度来操纵并控制曝光率的振幅 对于两入射光的量子纠缠为局域纠缠的情况，从曝光率的表达式( 2 3 ) 我 们可以看出，局域纠缠引起的相位变化影响曝光函数的周期。恰恰正是曝光 函数的周期决定了量子光学制版的分辨力。因而两束光随入射点位置变化的 局域纠缠能提高分辨力。特别地，如果我们假设纠缠角随相位变化遵守共 振条件2 7 一k n ( 其中k 正整数) ，那么由( 23 ) 给出的曝光函数变为： a n ( ) = j 南 2 + s i n ( k + 1 ) + s i n ( 一1 ) 纠，(2 4 ) 与分辨力对应的最小像素的大小为： z=赤(zs ) 这表明处于光子nmes态的入射光当其纠缠角7随入射点共振变化时所得 光刻图案的分辨力可以提高到_光子mes态时的+1倍。因而我们可以通 过利用n一光子nmes态入射光的纠缠角与入射点共振变化来提高分辨力。 在光学制版中，我们通常都希望产生的图案是均匀的。然而，在方程(24) 右边第二项和第三项随相位的改变具有不同的周期一般来说，不同周期 的周期函数叠加会产生激光和原子的相互作用的“塌苏现象”12，13。 “塌 苏现象”因其曝光函数的峰值不相同(见图21(b)，(c)，(d)将使得每幅图案在 感光胶质上的曝光程度不同，因而产生不均一的曝光图案如果我们适当地 选择方程(24)中的k值，我们就可以把这个问题解决，使得曝光函数的峰值 相同( 觅图2 1 ( a ) ) ，从而产生均一的曝光图案， 如果我们选择k=1，曝光率函数就变为： ( ) = ：哥丢了 2 + s i n ( 2 ) 】，(2 6 ) 类似(1，11)式，当改变入射点所产生的n模的相移为2”2n时，感光胶质恢复 为原来的值，因而光刻得出的图案为原来的图案这意味着一个2-的相移将 使感光胶质上的相干图案复位2n次因而产生与有效的瑞利分辨力对应的像 素大小为： 缸= 宗 p ( 巾) = 1 + s i n ( k 巾) c o s ( 巾) 图2 1 ： “塌苏现象”( a ) 能获得均匀图案；( b ) ，( c ) ，( d ) 不能获得均匀的图案 9 d h a s s ed i 计e r e n o e 图22 ：虚线代表m n e 态沟渠函数的制版图案实线代表n m e s 态当纠缠角共振变化时对沟渠函 数的模拟可见用n m e s 态制版周期减半，分辨力提高一倍 这表明在这种光子n m e s 态的纠缠角1 随的共振变化的情况2 7 = ， 我们不但能获得均一的图案，而且与m e s 态量子光刻的情况相比，像素的特 征大小减半，因而分辨力提高了一倍 图2 2 给出了7 沟渠函数”的光刻图案由图中可以看出- 利用n m e s 态的 光进行光刻所得图案的周期是利用m e s 态进行光刻所得图案的周期的一半 因而n m e s 态光刻方法的分辨力比m e s 态的光刻方法的分辨力提高一倍，同 时光刻图案的可分辨的最小像素的大小减半利用n m e s 态的光，人们就可以 在相同表面积的感光胶质上成像4 倍于m e s 态光刻方法所能成的像点n m e s 态光刻方法运用于半导体工业，便可使芯片或集成电路板的大小减半，在相 同表面上能刻4 倍于m b s 态所能刻的电路这无疑是对量子光刻术的一大改 进，及对半导体工业一个大的推动 2 2 一维图案的光学制版 在这一节，我们演示怎样和用- 光子n m e s 态和量子力学的叠加原理来 操纵和控制一维制版图案。为了产生任意一维图案，我们考虑一个更一般的 1 0 ca)nod - 光子n m e s 态： l 妒m ) 曲= c o s 7 l 一m ，m ) 曲+ e 坩ms i n l i m ，一m ) 。6 ， ( 2 8 ) 与- 光子最大纠缠态光刻方法和光子非最大纠缠态光刻方法类似，我们 用在6 模上的相移器代替因入射点不同而产生的o ，6 模的相差，并认为这m 光子，( 一m ) 光子为准粒子则经过相移器后得到如下的n m e s 态： i w m ) 曲= e 洲曲c o s 州一m ，m ) 曲+ 扩( 一m ) 毋矿s i n ，胁，一m ) 曲，( 2 9 ) 这是由方程( 2 2 ) 给出的一光子n m e s 态的一般形式，并且当m = o 和8 。= o 时，变为方程( 22 ) 的形式为了求出对应于- 光子n m e s 态( 2 9 ) 的曝光率公 式，我们计算剂量算符的矩阵元： 茹嚣= ( 妒。1 6 1 1 。，) ，( 2 1 0 ) 通过计算得出它的表达式为： 搿= ( 7 ，妒) = 嘉、c 静t ? f c o s 2 ，一( m 一m 冲+ s i n 2 1 e 一州m 7 一m 坤e l 归卅一。m ) + ：s j n2 吖【e 2 ( 一m ) 争e 坩m + e 叫( 一m ) e 一坩m 】i ， ( 2 1 1 ) j 这里我们运用了符号g 臀= ! ( 一m ) ! m ! 。 于是剂量算符在推广了的一光子n m e s 态( 2 9 ) 中的期望值能够通过在方 程( 2 1 0 ) 中取m = m 而获得： 1 _ m ( 7 ，) = 啬c 嚣 1 + 8 i n ( 2 7 ) c o s ( 一2 m ) + 目m 】 ( 2 1 2 ) 特别地，当7 = ”2 时，曝光率( 2 1 2 ) 变为； 1 _ m ( 丌2 ，毋) = 啬四 1 + c 0 8 【( 一2 m ) + 日仇】， ( 2 1 3 ) 即为肛光子m e s 态的曝光率公式【5 j 。 值得强调的重要的一点是：通过孝句建一光子n m e s 态( 2 9 ) 的不同种类的 叠加态，我们能够设计感光胶质上的不同图案这里我们考虑用【5 】中所说的 伪傅立叶方法，即：使用n ，b 两模具有不同光子总数n 和其中一模上具有固定 的光子数分布m 的一般的叠加态： 雪) = g “。) n = 0 p h a s ed j 什e r e n c e 图2 3 ：对目标图案js i n l 的模拟图中显示了当总光子数分别为v = 2 ，6 和1 2 的叠加态在感光 胶质上产生的图案实线为被模拟的目标函数| 8 i n | 这里的相差以”为单位 把方程( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 代入到方程( 2 1 4 ) 中，就获得( 2 2 2 ) 中目标函数对应 的图案所需的叠加态而且从( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 和( 2 1 4 ) 我们可以看出这个叠加态由 如同( 2 9 ) 的等光子数n m e s 态组成，并且只有叠加系数的模影响量子光刻的 曝光率。在图2 3 中，我们运用由方程( 2 2 1 ) 给出的叠加态模拟了由函数( 2 ，2 2 ) 表示的目标图案，并给出当= 2 ，6 和1 2 三种情况的模拟图案。从图2 3 中， 我们可以看出，我们的图案能很好地符合由实线给出的目标图案，并且随着 光子总数的增大，符合得越好。同时应指出的是：我们不仅能模拟直线或 直线段( 曲线的特例) 而且能模拟曲线，曲线段这一优点体现在半导体工业 中就是：我们可以根据需要制版出电路中的弯眭珏部分，因而具有较大的实际 意义 2 3 小结 我们把一光子m e s 态量子光刻方法推广为了一光子n m e s 态方法，并研 究了两入射光的量子纠缠度和量子光刻方法的曝光率及分辨力的关系，提出 r 两入射光的局域纠缠与非局域纠缠的概念并得出了如下重要结论： 1 4 a 对于两入射光量子态具有非局域纠缠的情况，增加非局域纠缠度可以 增加曝光函数的幅度因而改变两束光的非局域纠缠可以操纵和控制曝光率 的振幅 b 更为重要的一点是：两束光的局域纠缠能提高量子光刻的有效瑞利分 辨力当纠缠角1 与相位共振时( 2 7 = ，其中为正整数) ，光刻图案的最小 相素的特征大小为 ( 4 ( + 1 ) ) 特别地，当我们取k = 1 ，我们能获得a 8 的 最小像素，并获得均匀的图案此时的n m e s 态光刻方法的分辨力为经典光刻 方法分辨力的2 倍从而人们可以在相同的表面上刻4 ：倍经典所能刻的像 素，使半导体工业中的芯片大小减为原来的l 4 。因而我们提出的用n m e s 态的光刻方法是对量子光刻术的一个很大改进 c 同时，我们成功地实现了对一维目标图案的模拟， 当然要产生这种局域纠缠态将是一项富有挑战性的工作。 第三章纠缠相干态的量子光刻方法 光学制版是用光使感光胶质感光，从而获得想要得的图案光的资源，即 处于不同态的光在光学制版中处于很重要的地位同时曝光图案的对比度及 清晰度也是曝光图案质量的一个重要量度本章着重探讨处于纠缠相干态的 光对光学制版的曝光幅度及所得图案的对比度的影响 3 1 纠缠相干态的量子光刻方法的理论 上一章我们讲了利用非最大纠缠态进行量子光学制版能提高曝光率的幅 度和减小曝光图案的周期，从而提高曝光图案的分辨力并控制制版效果这 一章我们对利用纠缠相干态的量子光刻方法进行一些探讨。设我们用来使感 光胶质感光的两束入射光处于由下式表示的纠缠相干态： ) d 62 击( 1 a ，一。) n b + e ”j - 。，n ) n 6 ) ，( 31 ) 其中a 为相干态的本征值，并假设两束光具有相同的平均光子数则处于纠 缠相干态的两束光在感光胶质上的不同点相遇时，产生的相差是不相同的 这种相差可以等效地用一个相移器作用在两束光的一支上所产生的相对相移 来表达我们知道相移器对光的作用可以用算符e 啦k 来表达其中a f ，a 分别 为光场的电场分萤的产生算符和湮灭算符。则相移器对处于相干态的一束光 的作用为e 6 l a ) 再利用： 一学霎静 及令： n = 1 旧8 则单模相干光通过相移器后，有： 舻一学塞骂竽h ， 1 7 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 即 e 8 l 。) = ( 35 ) 可见，相移器作用在单模相干态上，相当于把原来的相干态平移一个$ 相 因子，其模不变川= l a 我们知道入射到感光胶质上的光为( 3 1 ) 所表示的双模纠缠相干态的光。 假设相移器是对6 支作用，则它对态( 3 1 ) 的作用效果表示为： k = 击( h k w | _ 邺6 ) ( 3 6 ) 我们可以认为在感光胶质上发生的仍然为光子吸收过程。因而利用双 模纠缠相干态进行量子光学制版的曝光率即为感光胶质对入射光的吸收率， 它与( 1 1 0 ) 中的剂量算符知在双模纠缠相干态中的期望值成正比，仍由方程 ( 19 ) 给出通过简单的计算，我们有： ( a + + “去旧一o ，) b + e 。“| _ n ，n b i 2 ，差。长 叼e ”卟1 州n ，- 0 ，) m 一碥一蚶( - 1 ) “”i 一。，。d ( 3 7 ) 代入( 1 。9 ) ( 1 1 0 ) 并利用： 一口，n 7 i n ，一n 7 ) = e 一4 “p ，( n ，一n 一d ，。) = e 一旧1 2f 3 ，8 ) 通过简单的计算，我们得到： 吣魁孚( 1 一嘶) ) i l - ( _ 1 儿叫砰】 ( 3 9 ) 3 2 特性分析及结论 下面我们讨论决定曝光图案的曝光率怎样随着处于双模纠缠相干态的两 入射光的平均光子数川2 及感光胶质的多光子吸收特性而变化。首先讨论 曝光率& 随川的变化情况。设感光胶质上为2 光子吸收过程，即| v ：2 。通 过计算，曝光率和平均光子数有如下的关系式： 。= 2 j 。1 4 ( 1 一c o s ( ) ) 2 【1 一c 一4 旧2 】( 31 0 1 1 8 即 e t a l 。) = i ) ( 3 5 ) 可见，相移器作用在单模相干态上，相当于把原来的相干态平移一个$ 相 因子，其模不变川= l a 我们知道入射到感光胶质上的光为( 3 1 ) 所表示的双模纠缠相干态的光。 假设相移融甏币b 陌苒；裥彭雨悫；h ：；矧翻氧匿藉麓蔫妤； 一目_ 一丢；甜_ i 嘶_ i - o ；, a i ) 雾 i j 测 鬻萌淤惜蠹薹蔽采蠹磺囊箧善穗甾瓣浠渤n 因而利用双 模纠缠相干态进行量子光学制版的曝光率即为感光胶质对入射光的吸收率， 它与( 1 1 0) 中的剂量算符知在双模纠缠相干态中的期望值成正比，仍由方程 ( 19 ) 给出通过简单的计算，我们有： ( a + + “去旧一o ，) b + e 。“| _ n ，n b i ：，差。长 叼e ”卟1 州n ，- 0 ，) m 一碥一蚶( - 1 ) “”i 一。，。d ( 3 7 ) 代入1 9 坤1 0 ) 并利用： 一a ，n 7 in ，一n 7 ) = e 一4 “p ，( n ，一n 一d ，。) = e 一旧1 2f 3 ，8 ) 通过简单的计算，我们得到： 吣魁孚( 1 一嘶) ) i l - ( _ 1 儿叫砰】 ( 3 9 ) 3 2特性分析及结论 下面我们讨论决定曝光图案的曝光率怎样随着处于双模纠缠相干态的两 入射光的平均光子数川2 及感光胶质的多光子吸收特性而变化。首先讨论 曝光率& 随川的变化情况。设感光胶质上为2 光子吸收过程，即| v ：2 。通 过计算，曝光率和平均光子数有如下的关系式： 。= 2j n i x 图3 1 ：曝光率a n 随川及的变化( 给定n = 2 ) 图3 2 ：当n = 2 ，3 和n = 1 0 时，曝光率a 。随的变化( 给定川2 ：2 ) 1 9 作用在经典态上来制备任意粒子d 维叠加态( 当然也包括纠缠态) 的一个 切实可行的方案，并且给出了它们相应的量子线路。 4 2 制备d 维叠加态需d _ 1 个两极幺正操作 首先，我们证明：由n 粒子经典态来制备n 粒子d 维叠加态所需的两极幺 正操作的个数是d l 。两极幺正矩阵( 或两极幺阵操作) 定义为非平庸地作用 在态的两个或更少的元上，因而它们有这样一种形式：除开第i 和第j 个对角 元不为1 外，其余的对角：无均为1 ；除开第i 行的第j 个元素及第行的第i 个 元素不为0 外，其余的所有非对角元均为0 。假设我们想要制备的任意n 粒 子2 一维态 田) 可以表为n l 的矩阵只有第i 个和第j 元素不为0 ，设为n ，b 。 然后令： m ) = l m l ) + b l 皿2 ) 这里l 皿1 ) 和i v 2 ) 是非0 元素分别为第i 个和第j 个的n 一粒子经典态。一个n 粒子两极幺正矩阵u 具有形式： 0n0 0 0 一。 0b0 000 c0 1 00 d0 0 1 2 n j 一1 ( 4 2 ) 其中。，b ，c 和d 是使得u 为幺正矩阵的某个复数。因而它的非平庸的2 2 子矩阵u 为： ( 4 3 ) 也是一个幺正矩阵，它被认为是作用在一个单量子比特上的“单量子比特操 作”。u 对态l m 。) ，i 皿2 ) 的作用可表为： 矿| 皿1 ) = o i 皿1 ) + 6 i 田2 ) u 皿2 ) ：c f 毋1 ) + d f 皿2 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 补1a b 8 图4 1 ：显示从n 粒子经典态出发制备一个n 一粒子d - 维叠加态所需的两极幺正操作效的简图 由此我们可以看出一个两极幺正操作u 把一个n 粒子经典态变为一个n 一粒 子2 - 维叠加态那么如果我们想要从n 粒子经典态出发制备一个n 粒子d - 维 叠加态，我们需要多少个两极幺正操作u ? 图41 显示了所需的两极幺正操作 u 的个数 图中的每个交叉点代表一个两极幺正操作，而每一条从这样的点上伸出 的射线代表一个n 一粒子经典态。容易看出，经典的初态经过一些两极幺正操 作之后变为一个s 维的态那么，如果我们再适当地运用一个两极幺正操作 到这s 个* 粒子经典态组元之一上，我们将获得一个n 一粒子( s + 1 ) 维叠加 态通过重复这个程序，我们可以获得n 。粒子d - 维叠加态，并且从一个n 一粒 子经典态出发所需的恰当的两极幺正操作数为d 一1 例如要制备的态l 皿) 为： i 皿) = 0 1 0 0 ) + b l o ) + c 1 0 1 ) + d i l l ( 46 ) 使用具有如下作用的三个两极幺正操作巩，： 巩1 0 0 ) = n 1 0 0 ) + d 1 1 1 ) u 2 1 1 1 = b l l o ) + 一7 1 1 1 ) 魄i l o ) = 矿1 w ) + c 1 0 1 ) 这里系数矿，c ，d ，必须满足：b b d b ， _ 由方程( 46 ) 表述的我们所期望的态l 皿) 。 ( 4 7 ) ( 4 , 8 ) ( 4 9 ) b d d = c ，d ，= d 。我们便获得 当然我们想要制备的不是一个2 维态为了制备一个n 粒子d 维叠加态需 要的操作数是多少呢? 注意现在的叠加态不再是两维。为了使单量子比特操 作和c n o t 门不受囊加态的其他组元的干扰，一方面，我们应该把单量子比 特操作“变换成控制一u ( g u ) 操作，其做法是以其他量子位为控制位，当这些 量子位处在相应的值时，我们对原来的目标比特实行一个u 操作；同时我们 也应该把一些原来只以一个量子位为控制位的c n o t 门中的一部分改为以所 有的其他n 一2 量子位为控制位。例如如果我们想要把态。l o m + b l l 0 1 ) 变为态 n l o m ) + b 1 1 1 1 ) ，以第一个量子位为控制，对第二个量子位实行一个c n o t 操作 就行了；而如果我们想要把态。1 0 0 1 ) + b l l m + c l l l 0 ) 制备成。l o m + b l l l l ) + c l l o ) 态，在第二个量子位上的c o n t 操作必须以第一个量子位为 1 ) 同时第三个量 子位为1 1 ) 为条件，从而使得c n o t 操作不是作用在i l l o 态上，而是作用在 i 1 0 1 上因而一个两极幺正操作可以由一个c u 操作和m 一1 个以一定数量 的量子位为控制位的c n o t 门来代替。而每一个这样的受控操作可以用o ( n ) 个单量子比特操作和c n o t 门来实现，同时这个c 一“操作需o ( n ) 门来实现。 因而实现一个作用在n 粒子多维态上的两极幺正操作u ，我们需要o ( n 。) 个单 量予比特操作和c n o t 门【3 2 联系上一节的结果，我们可以得出这样一个结 论：为了从一个n 粒子经典态出发制备一个n 粒予d 维叠加态，我们所需的 单量子比特操作和c n o t 门的数目为( d 1 ) o ( n 2 ) ，这比文献 3 2 中所说的 o ( n 2 d 2 ) 数小得多。 为 4 4 具体方案及量子线路实现 现在我们来更清楚地演示我们的方案假设我们想要制备一个任意态，设 霍) = n l 皿8 ) + b l 皿9 ) + c 1 皿1 0 ) + d 皿1 1 ) + e l 皿6 ) + ，1 皿7 )( 4 1 2 ) 在 雪) 中的每一个组元由图4 , 1 中对应点发出的射线代表。那么我们所需的两 极幺正操作数为5 。首先我们任选这些组元中的一个为初态，例如选l 皿。) 。然 后对其进行一个两极幺正操作矾从而获得态。佃s ) + 6 ，l 皿。) 。然后我们对态) 和) 分别运用两极幺正操作巩和观，我们便得到态n ”l 皿8 ) + 一i 虮) + e 佃6 ) + ，佃。) 。接着对i 皿s ) 和l 皿s ) 分别运用两极幺正操作乩和u 5 我们便制得了态 当然我们想要制备的不是一个2 维态为了制备一个n 粒子d 维叠加态需 要的操作数是多少呢? 注意现在的叠加态不再是两维。为了使单量子比特操 作和g v o t 门不受囊加态的其他组元的干扰，一方面，我们应该把单量子比 特操作“变换成控制一u ( g u ) 操作，其做法是以其他量子位为控制位，当这些 量子位处在相应的值时，我们对原来的目标比特实行一个u 操作；同时我们 也应该把一些原来只以一个量子位为控制位的c n o t 门中的一部分改为以所 有的其他n 一2 量子位为控制位。例如如果我们想要把态。1 0 0 1 ) 1 1 0 1 ) 变为态 n 1 0 0 1 ) + b 1 1 1 1 ) ，以第一个量子位为控制，对第二个量子位实行一个e o t 操作 就行了；而如果我们想要把态。1 0 0 1 ) + 6 1 1 0 1 ) + c 1 1 0 ) 制备成。1 0 0 1 ) + 6 1 1 1 1 ) + c 1 1 l o ) 态，在第二个量子位上的g o t 操作必须以第一个量子位为 1 ) 同时第三个量 子位为1 1 ) 为条件，从而使得c o t 操作不是作用在1 1 1 0 ) 态上，而是作用在 1 1 0 1 ) 上因而一个两极幺正操作可以由一个c u 操作和m 一1 个以一定数量 的量子位为控制位的g o t 门来代替。而每一个这样的受控操作可以用o ( n ) 个单量子比特操作和c o t 门来实现，同时这个c 一“操作需o ( n ) 门来实现。 因而实现一个作用在n 粒子多维态上的两极幺正操作u ，我们需要o ( n 。) 个单 量予比特操作和g o 丁门【3 2 联系上一节的结果，我们可以得出这样一个结 论：为了从一个n 粒子经典态出发制备一个n 粒予d 维叠加态，我们所需的 单量子比特操作和c o t 门的数目为( d 1 ) o ( n 2 ) ，这比文献 3 2 中所说的 o ( n ：d 2 ) 数小得多。 为 4 4 具体方案及量子线路实现 现在我们来更清楚地演示我们的方案假设我们想要制备一个任意态，设 霍) = n l 皿8 ) + b l 皿9 ) + c 1 皿1 0 ) + 酬皿1 1 ) + e l 皿6 ) + ，1 皿7 )( 4 1 2 ) 在 雪) 中的每一个组元由图4 1 中对应点发出的射线代表。那么我们所需的两 极幺正操作数为5 。首先我们任选这些组元中的一个为初态，例如选l 皿。) 。然 后对其进行一个两极幺正操作矾从而获得态。佃s ) + 6 ，l 皿。) 。然后我们对态) 和) 分别运用两极幺正操作巩和观，我们便得到态n ”l 皿8 ) + 一i 虮) + e 佃6 ) + ，佃。) 。接着对i 皿s ) 和l 皿s ) 分别运用两极幺正操作乩和u 5 我们便制得了态 口 i 图4 2 ：制备g 日z 态的量子线路 图4 3 ：制备态a 1 0 0 0 ) + m 1 0 0 ) + c i n o ) + d i l u ) + e 0 1 1 ) 十，1 0 1 0 ) 的量子线路 n i 皿8 ) i 田9 ) + c i 皿l o ) + 训皿1 1 ) + e f 皿6 ) 十，1 皿3 ) 。如果前面我们恰当的选择u 1 使得 巩f 皿s ) = n 佃8 ) + l 皿，) ，那么我们便成功地制备了态i 皿) 。 这里我们举两个例子。一个是产生三粒子纠缠的g h z 态：去( i o o o ) + 1 1 1 ) ) 。 根据第二种情况，我们选择态1 0 0 0 ) 作为初态并对第一个量子比特作用一个e 惜当：如墓黼誊囊一蓑磊浪罐娄晕囔妻：址野赎l i i 郇? 霆譬羹魁鞑孽季奏蠢 謦箸霎嘉婴蚕塞委螽爱霆譬篱耱譬妊蕊萎并鞴蹦篓非蚕蠹囊集。稻 。i 争五羹氍 淄潲陷滔霎蓦誊睡甬。 掣扒嚣譬攫佳攀拿羹一冀丛蠹；耋彗盎g 囊囊奏冀。尽乏一囊墓j 酣棼稀 撂擀宁末o t 门实现态特别是n 粒子d 维叠加态的制备方案，并指出从n 粒子经典态制 备任意n 粒子d 维叠加态所需的c no t 门和单量子比特操作数目为( d 一1 ) o ( n ：) 或更少。这个数目比文献 3 2 】的方法所需的单量子比特操作和c n o t 门数目 要少得多。因而我们可以大大地节省系统资源并减少信息处理过程中产生的 噪声，这无疑对量子信息与量子计算 图4 4 ：图4 3 量子线路的简化形式 态实行“4 操作，我们便获得态a t 0 0 0 ) + b 1 1 0 0 + c i l l o ) + d 1 1 1 1 ) + e ，1 0 1 1 ) 。最后在u 5 的作 用下，我们获得我们所期望的目标态0 1 0 0 0 ) + 酬1 0 0 ) + c l l l o ) + d 1 1 1 1 ) + e 1 0 1 1 ) + f t 0 1 0 ) 。 值得注意的是：c u 和c n o t 操作能够被分解为单量子比特操作和c n o t 门，因而我们可以认为以上的量子线路只包含单童子比特操作和c n o t 门。 而且我们可以运用量子线路的等效变换使得单量子比特操作和c n o t 门的数 目大大减少用这种方法，图4 3 所示的量子线路可以简化为图4 4 所示的量 子线路很显然只需要3 个单量子比特操作和2 个c n o t 门就可以了! 4 5 小结 总之，在这一章里，我们提出了一个切实可行的只用单量子比特操作和 c n o t 门实现态特别是n 粒子d 维叠加态的制备方案，并指出从n 粒子经典态制 备任意n 粒子d 维叠加态所需的c n o t 门和单量子比特操作数目为( d 一1 ) o ( n ：) 或更少。这个数目比文献 3 2 】的方法所需的单量子比特操作和c n o t 门数目 要少得多。因而我们可以大大地节省系统资源并减少信息处理过程中产生的 噪声，这无疑对量子信息与量子计算是很有意义的。 2 7 第五章总结和展望 量子光学制版是半导体工业一门非常重要的技术，同时它也在量子通信 的某些领域具有很重要的积极意义本文只涉及了其中的一小部分，还有很 多问题亟待解决现将本文所做的工作总结如下： 1 曝光图案的分辨力是量子光学制版最重要的特征本文利用非最大纠 缠态进行光学制版，可以获得两倍于m e s 态，2 倍于经典态分辨力的均匀的 曝光图案它使得我们可以在相同的面积上成4 。倍于经典光刻方法所能成 的像点，并把芯片或集成电路块的面积减为l ( 4 。) 这无疑是量子光学制版 技术的一个很重要的改进；同时我们通过改变非最大纠缠态的非局域纠缠， 可以控制感光胶质曝光的程度。这里，我们也对一维目标图案进行了有效的 模拟。 2 曝光图案的清晰度也是光学制版的一个重要的特征之一。本文利用双 模纠缠相干态进行光学制版，通过改变入射光的平均光子数，不仅可以控制 感光胶质的曝光程度，而且还可以提高曝光图案的对比度，同时改变感光胶 质的多光子吸收特性，也可以改变感光胶质的曝光程度。 3 不同的态的使用将给光学制版带来人们所需要的优良性能。因而本文 也对态的制备作了一些探讨。并得出了只需少于或等于( d 一1 ) o ( n 。) 的数目 的单量子比特操作和g d t 门就可以实现从n 粒子经典态出发对任意n 粒子 d 维叠加态的制备。这一结果是对文献【3 2 】的结论的一大改进 曝光图案的分辨力和清晰度永远都期待着人们去提高；任意目标图案的 光刻及高保真度的光刻图案的获得都有待人们去探讨。随着量子光学制版技 术的不断改进，越来越小的具有更加优越性能的芯片将不断涌现，现代的工 业，特别是半导体工业也将获得更加飞速的发展。庞大却低速的巨型计算机 早已成为历史，在我们享受手提电脑，可摄像的多功能手机的同时，也许还期 待着有一天能把集电脑摄象机手机d v d 等所有功能于一身的“x ”机放入西 装口袋方便地携带，最好是还有一只可以带着到处跑的小小机器人，不但可 以排忧解难还可以轻轻松松把家务包揽。随着光刻技术的不断改进现 代工业的飞速发展，谁又能说这只是一个梦想? 1 2 9 参考文献 1 mb o r na n de w b l f ，p r i n c i p l e so fo p t i c s _ p e 田口m d n 肌s s e 叫翰r 七( 1 9 8 0 ) 2 d a n