（概率论与数理统计专业论文）随机到期时刻的广义欧式期权定价及其在外汇市场的应用.pdf

肖萍：随机到期时刻的广义欧式期权定价及其在外汇市场的应用 i 摘要 随着我国外汇体制改革的深入，必然要拓宽外汇投资渠道、优化 外汇投资环境、简化外汇投资程序来吸引更多的国内外投资者，逐步 使我国外汇市场融入到国际外汇市场。外汇保证金交易是一种国际通 行的投资方式，在国内尚未开放，但随着中国金融市场改革步伐的推 进，开放的时间是迟早的事情。作为外汇投资机构包括外汇经纪商、 银行、外汇投资者个体，需要对即将开放的外汇虚盘交易市场这一潜 在的经济新增长点进行价值评估，进而作出理性的投资决策。在其它 行业的新开项目投资、资产评估和拍卖等中也经常碰到类似的问题。 对此，本文利用实物期权理论分析方法设计并讨论了一种新的期 权，即随机到期时刻的广义欧式期权( e x t e n s i v ee u r o p e a no p t i o nw i t hs t o c h a s t i cm a t u r et i m e ，简称e e o s m t ) ，来对外汇投资机构开设外汇虚盘交易及 其它外币买卖业务进行投资价值分析。新设计的期权在实物期权中经 常遇到，比经典欧式及美式期权具有更大的灵活性，更具个性化，适 用范围更广，具有一定的原创性及理论分析价值。 在完全连续市场环境下，以鞅论和随机分析为数学工具，在理论上 和具体市场模型下，得到了较深入完整的这种期权的理论分析成果； 并给出外汇投资机构价值评估模型，各金融机构或外汇经纪商，可根 据自身目前的经营优势，调整模型相关参数来预测未来的经营状况， 从而做出最佳的决策。 文中主要结果如下： 1 定义了一种新的期权，即随机到期时刻的广义欧式期权( 以下简 称e e o s m t ) 。详细全面的讨论了e e o s m t 的定价及其性质，分析了其 与美式期权的关系。 a ) 假设市场由两个独立的连续市场所组成，且标的资产在无摩 擦、完备、无套利的连续市场条件下，给出了看涨看跌e e o s m t 的鞅方 法定价公式。本文给出了在v a s i d e k 短期利率模型下，标的资产价格服 从一般j 过程的具体市场模型下的一般的看涨看跌e e o s m t 定价公 式；并计算出了随机到期时刻服从均匀分布或者参数为a 的指数分布 的金融市场下的精确的看涨看跌e e o s m t 的定价公式。 b ) 在假设市场为无摩擦、完备、无套利的连续市场条件下，给出 了e e o s m t 看涨看跌的鞅方法定价公式；通过讨论随机到期时刻与此 i i 湖南师范大学硕士学位论文 时标的资产价值的关系，给出了不同情形下看涨看跌e e o s m t 的鞅方 法定价公式。两种市场假设下得出的e e o s m t 的定价公式在某种条件 下是一致的，用文字描述即：e e o s m t 的定价是固定到期时刻的欧式 期权定价的平均。 c ) 进一步定义了随机到期时刻的复合期权( c o m p o s i t eo p t i o nw i t h s t o c h a s t i cm a t u r et i m e ，以下简称c o s m t ) 和一类随机有效到期时刻的 复合看涨实物期权( ac o m p o s i t ec a l lr e a lo p t i o nw i t hs t o c h a s t i cv a l i dm a t u r e t i m e ，以下简称c c r o s v m t ) 。在市场假设a ) 下，得出了标的期权的 标的资产价值服从几何布朗运动的c o s m t 定价公式，从而得出了一般 的c c r o s v m t 定价公式并讨论了其特殊性质。 此为e e o s m t 的理论部分的研究。( 第二章) 2 通过实物期权分析方法，研究了上述理论在外汇市场中的应用。 在完备、无摩擦的连续市场条件下，假设国内允许开设外汇虚盘交易 的时刻服从参数为入的指数分布，首先考虑一种交易品种的成交量服 从几何布朗运动，引入实物期权，给出了； l - f e 投资机构的潜在价值评 估模型并讨论了期权最优有效执行时刻和最优执行时刻；在假设净收 入服从几何布朗运动的完备、无摩擦的连续市场条件下，给出了目前 开展外汇基本业务的预期总净收入模型，进而得出外汇投资机构总价 值的评估模型，并对该模型进行了推广。 此为e e o s m t 的实证研究部分。( 第三章) 关键词：随机到期时刻广义欧式期权期权定价鞅v a s i 己e k 短期利率模型一般j 过程指数分布复合期权实物期权几何布 朗运动外汇虚盘交易价值评估 肖萍t 随机到期时刻的广义欧式期权定价及其在外汇市场的应用 i i i a b s t r a c t w i t hi n t e r n a lf xs y s t e mr e f o r m a t i o nd e e p e n i n g i ti sn e c e s s a r yt ow i d e nf x i n v e s t m e n tr o u t e w a y s ，o p t i m i z ef xi n v e s t m e n ta t m o s p h e r e ，p r e d i g e s tf xi n v e s t m e n tp r o c e d u r ef o ra t t r a c t i n gm o r ei n v e s t o r si n l a n da n da b r o a d d o m e s t i cf x m a r k e tw i l lb eg r a d u a l l ys y n c r e t i z e di ng l o b a lf xm a r k e t f o r e xm a r g i nd e a li s c o s m o p o l i t a ni n v e s t m e n tm e a n s ，w h i c hi sn o to p e n e di f ic h i n aa tp r e s e n t ，b u ti t w i l lb ef i r s to rl a t eu n d e rt h eb o o s t i n go fo u rf i n a n c em a r k e tr e f o r m a t i o ns t e p a s t h ef xi n v e s t m e n ti n s t i t u t i o n s ，i n c l u d i n gf xb r o k e r s ，b a n k s ，i n d i v i d u a lf xm o n e y m a n ，a n dw o r ko u tr a t i o n a li n v e s t m e n td e c i s i o n m a k i n g ，t h e yn e e dt oe v a l u a t e t h ep o t e n t i a ln e wi t e r nb e f o r et h ef xm a r g i nd e a lm a r k e tw i l lb ed i s p a r k e d w e o f t e nm e e ts i m i l a rp r o b l e mo nt h en e ws t a r t i n gi n v e s t m e n ti t e m 、a s s e t se v a l u a - t i o n a u c t i o na n ds of o r t hi ne l s ei n d u s t r i e s a i m i n ga tt h i s ，t h i sp a p e ri n t r o d u c er e a lo p t i o n st h e o r e t i ca n a l y s i sm e t h o d t od e s i g na n dd i s c u s san e w s t y l eo p t i o n ，w h i c hi n t i t u l ee x t e n s i v ee u r o p e a no p t i o n w i t hs t o c h a s t i cm a t u r et i m e ，e e o s m tf o rs h o r t ，s oa st oa n a l y z et h ei n v e s t m e n t i n s t i t u t i o n s v a l u eo fs e t t i n gu pt h ef xm a r g i nd e a la n de l s ef o r e i g nc u r r e n c y d e a l t h en e wd e s i g n e do p t i o no f t e na p p e a r si nr e a lo p t i o n ，w h i c hi sm o r ef l e x i b l e ，m o r ec h a r a c t e r i s t i c ，m o r ee x t e n s i v et h a nc l a s s i c a le u r o p e a no p t i o na n da m e r i c a n o p t i o n ，a n dh a sd e f i n i t ei n n o v a t i o na n dt h e o r e t i ca n a l y s i sv a l u e un d e rt h ec o n d i t i o no fc o m p l e t ec o n t i n u o u sm a r k e t ，w i t ht h et o o l so fm a r t i n g a l et h e o r ya n ds t o c h a s t i ca n a l y s i s ，r e l a t i v e l yi n d e p t ha n di n t e g r a t e dt h e o r e t i c a n a l y s i sp r o d u c t i o n so ft h i so p t i o nw e r eo b t a i n e di nt h ea b s t r a c ta n di nt h ec o n c r e t em a r k e tm o d e l s ，a n dt h ee v a l u a t i o nm o d e lo ff xi n v e s t m e n ti n s t i t u t i o n sw a s g i v e n f i n a n c ei n s t i t u t i o n so rf xb r o k e r sc a na d ju s tt h ec o r r e l a t i v ep a r a m e t e r si nt h em o d e lt od o p eo u tf u t u r ew o r k i n gs t a t ea c c o r d i n gt oa c t u a lo p e r a t i n g s e l f - a d v a n t a g e ，a n dm a k et h eo p t i m a ld e c i s i o n t h em a i nr e s u l t si nt h ep a p e ra sf o l l o w s ： 1 d e f i n e dan e w s t y l eo p t i o n ，i e ，e x t e n s i v ee u r o p e a no p t i o nw i t hs t o c h a s t i c m a t u r et i m e ，e e o s m tf o rs h o r t i t sp r i c i n ga n dc h a r a c t e rw e r ec o m p l e t e l y d i s c u s s e di nd e t a i la n dr e l a t i o n sb e t w e e ne e o s m ta n da m e r i c a no p t i o na r e a n a l y z e d a ) o nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h em a r k e tc o n s i s t so ft w oi n d e p e n d e n tc o n t i n u i v 湖南师范大学硕士学位论文 o u sm a r k e t sa n dt h ea s s e ti su n d e ras e l f _ c o n t a i n e da n dc o n t i n u o u sm a r k e tw i t h n of r i c t i o na n dn oa r b i t r a g e ，t h ep r i c i n gf o r m u l a so fc a l la n dp u te e o s m tw i t h m a r t i n g a l em e t h o da r eg i v e n t h ep a p e rg a v et h eg e n e r a lc a l la n dp u te e o s m t p r i c i n gf o r m u l a sw e r eg i v e nu n d e rt h ec o n c r e t em a r k e tm o d e lo fv a s i 芒e ks h o r t t e r mi n t e r e s tr a t e sm o d a la n dt h ea s s e tv a l u a t i o ni sd r i v e nb yg e n e r a li t 5p r o c e s s ；a n df i g u r e do u ta n da c c u r a t ec a l la n dp u te e o s m tp r i c i n gf o r m u l a si nt h i s f i n a n c i a lm a r k e tw h e r es t o c h a s t i cm a t u r et i m ef o l l o w se v e nd i s t r i b u t i o no re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nw i t hp a r a m e t e r 入 b 1u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h em a r k e tw a sc o n t i n u o u sa n dc o m p l e t ew i t h n of r i c t i o na n dn oa r b i t r a g e ，p r i c i n gf o r m u l a so fc a l la n dp u te e o s m tw i t h m a r t i n g a l em e t h o dw e r eo b t a i n e d ；t h r o u g ht h ed i s c u s s i o nt h er e l a t i o n s h i pb e - t w e e ns t o c h a s t i cm a t u r et i m ea n dt h ea s s e tv a l u eo ft h em o m e n t ，p r i c i n gf o r m u l a s o fc a l la n dp u te e o s m tw i t hm a r t i n g a l em e t h o dw e r eg i v e ni nd e f e r e n tc a s e s t h er e s u l t su n d e rt w om a r k e th y p o t h e s e sa r es a m ei nc e r t a i ns t a t e ；w i t hw o r d s d e s c r i p t i o n ，n a m e l yp r i c i n go fe e o s m ti st h ea v e r a g eo fp r i c i n go fe u r o p e a n o p t i o n sw i t hd e t e r m i n a t em a t u r i t y c ) f u r t h e rd e f i n e dc o m p o s i t eo p t i o nw i t hs t o c h a s t i cm a t u r et i m e ，c o s m t f o rs h o r t ，a n dac o m p o s i t ec a l lr e a lo p t i o nw i t hs t o c h a s t i cv a l i dm a t u r et i m e ， c c r o s v m tf o rs h o r t p r i c i n gf o r m u l ao fc o s m tw a so b t a i n e du n d e rt h e m a r k e ta s s u m p t i o na ) a n dt h es t a n d a r da s s e tv a l u eo fs t a n d a r do p t i o nf o l l o w e d g e o m e t r i c a lb r o w n i a nm o t i o n ，s og e n e r a lp r i c i n gf o r m u l ao fc c r o s v m tw a s g o t t e ne a s i l y ，a n dd i s c u s s e dt h es p e c i a lp r o p e r t i e sa b o u tc c r o s v m t t h e s ew e r et h e o r e t i cr e s e a r c hc o n c l u s i o n s ( s e ec h a p t e r2 ) 2 r e s e a r c ht h ea b o v e m e n t i o n e dt h e o r i e s a p p l i c a t i o ni nt h ef xm a r k e t t h r o u g hr e a lo p t i o na n a l y s i sm e t h o d u n d e rt h ec o n d i t i o no fs e l f - c o n t a i n e d ，c o n t i n u o u sm a r k e tw i t hn of r i c t i o n ，s u p p o s et i m et h a tf xm a r g i nd e a lc a nb es e t u pf o l l o w se x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nw i t hp a r a m e t e raa n db a r g a i na m o u n to fo n e t r a d i n gp r o d u c tf i r s t i sd r i v e nb yg e o m e t r i c a lb r o w n i a nm o t i o n ，g a v ep o t e n t i a l e v a l u a t i o nm o d e lo ff xi n v e s t m e n ti n s t i t u t i o n sa n dd i s c u s s e do p t i o n 8o p t i m a l v a l i ds t r i k i n gt i m ea n do p t i m a ls t r i k i n gt i m e ；o nt h ea s s u m p t i o nt h a tn e ti n c o m e f o l l o w sg e o m e t r i c a lb r o w n i a nm o t i o na n dt h em a r k e ti ss e l f - c o n t a i n e d ，c o n t i n u o u sw i t hn of i i c t i o n ) p r e s e n t e da n t i c i p a t i v et o t a ln e ti n c o m em o d e lo fd e v e l o p i n g - j 肖萍；随机到期时刻的广义欧式期权定价及其在外汇市场的应用 v f xb a s a lo p e r a t i o n ，a n dm o r e ，a c h i e v e dt o t a le v a l u a t i o nm o d e lo ff xi n v e s t m e n t i n s t i t u t i o n sa n dm a d es p r e a d t h e s ew e r ed e m o n s t r a t i o nr e s e a r c hr e s u l t s ( s e ec h a p t e r3 ) k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cm a t u r et i m e e x t e n s i v ee u r o p e a no p t i o n p r i c i n go f o p t i o n sm a r t i n g a l e v a s i 芒e ks h o r t t e r mi n t e r e s tr a t e sm o d e l g e n e r a li t 5p r o c e s s e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n c o m p o s i t eo p t i o n r e a lo p t i o n g e o m e t r i c a lb r o w n i a n m o t i o nf xm a r g i nd e a le v a l u a t i o n 肖萍：随机到期时刻的广义欧式期权定价及其在外汇市场的应用 第一章绪论 1 1写作背景 中国进入w t o 之后势必要逐步对外开放金融市场，包括货币市 场、外汇市场、债券市场、股票市场等。近几年来，中国政府加大了对 p l - i e 市场的改革力度，2 0 0 5 年我国开始实行以市场供求为基础、参考 一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度，盯住美元的固定汇率 制度从此打破，汇率改革迈出重要的一步，我国外汇市场将逐步溶入 到国际外汇市场。p l - t e 市场组成部分包括中央银行、国有银行、商业 银行、外汇经纪商、基金、外汇投资者等都面临着巨大的挑战，同时也 带来了巨大的发展机遇。我国外汇体制改革的长期目标是实现人民币 的完全自由兑换，最终目标是人民币的国际化，汇率主要由货币的供 求决定，将外汇市场的两个板块( 本币兑换外币市场、外币兑换外币市 场) 合为一体，实现外汇市场的自由开放，从而最终实现同国际市场的 一体化。p l - t e 供需者可以自由地在市场进行货币兑换，投资商可以通 过各种有效的个 生化的金融工具规避汇率风险和利率风险，外汇投机 者在更为广阔的规范的外汇市场中寻找到更多的投资新增点，金融产 品和金融衍生工具的设计创新能够更好的服务于广大投资者，因此研 究外汇市场及相应的金融体制改革措施具有很重要的现实意义。 外汇原指货币兑换率( e x c h a n g er a t e ) ，现指一种货币兑成另一 种货币用以清偿国际间债权债务关系的行为，即国家与国家之间，因 贸易、投资、旅游等经济往来引起货币间支付的关系，# t - t e 市场为这 种行为提供了一个合理合法的场所。目前国内外汇市场不甚活跃，汇 率形成机制还不能完全由市场外汇供需情况决定，因此必然要拓宽外 汇投资渠道、优化外汇投资环境、简化外汇投资程序来吸引更多的投 资者参与到外汇市场。$ 1 - ? e 保证金交易是一种国际通行的投资方式， 在国内尚未开放，只允许进行外汇实盘买卖，但随着中国金融市场改 革步伐的推进，开放的时间是迟早的事情；它将会吸引更多的风险投 资者，也带给外汇投资机构巨大的商机。如何对即将开放的p l - ? e 虚盘 交易市场这一潜在的经济新增长点进行价值评估，进而作出理性的投 资决策，这成为必须要解决的问题。在其它行业的新开项目投资、资 产评估和拍卖等中也碰到类似的问题。 期权是投资者支付一定费用后获得的在将来可以不必强制执行的 2 湖南师范大学硕士学位论文 选择权。期权的英文单词是o p t i o n ，源于拉丁语o p t i o ，拥有选择买卖 的特权之意。按照期权选择权的不同可分为买权和卖权；按照期权执 行时间的不同，期权可分为欧式期权和美式期权。记载期权思想的文 献最早可以追溯到古希腊亚里士多德的政治学中的记载，理论研 究始于1 9 0 0 年法国的巴舍利耶( b a c h e l i e r ) 的博士论文“关于投机的理论 ( o nt h et h e o r yo fs p e c u l a t i o n ) ”。期权作为一种金融衍生工具在美国8 0 年 代兴起，2 0 多年来它作为一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛 发展。国内许多银行及其它证券公司等相继推出不同新类型的适合各 种公司需要的外汇期权或权证等来吸引和服务于投资者，推动了资本 市场的发展，使资金得到更有效的配置。 二十世纪五六十年代金融经济学出现一系列重要成果：莫迪利亚 尼和米勒( m o d i g l i a n i & m i l l e r ，1 9 5 8 ) 关于企业市场价值与其资本结构无 关的m m 定理、马科维茨( m a r k o w i t z ，1 9 5 2 ) 、夏普( s h a r p e ，1 9 6 4 ) 、林特纳 ( l i n t n e r ，1 9 6 5 ) 和莫辛( m o s i n ，1 9 6 9 ) 的资本资产定价模型( c a p i t a la s s e tp r i c i n g m o d e l ，c a p m ) 以及法玛( f a m a ，1 9 7 3 ) 与萨缪尔森( s a m u e l s o n ，p a ，1 9 6 5 b ) 所阐 述的有效市场假说( e f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ) 这些成果共同孕育了布莱 克和休斯( b l a c k s c h o l e s ) ( 1 9 7 3 ) 的伟大突破，两位学者建立了令人满意的 期权定价模型默顿( m e r t o n ，1 9 7 3 ) 证明了布莱克和休斯模型中一处关键 假设，并多方面发展了布莱克一休斯模型，学术界又将该模型称之为 布莱克一默顿一休斯期权定价模型。布莱克一休斯模型中，期权由标 的资产与无风险资产动态复制而得，它的价值波动能够完全“映射”在 标的资产的价格波动上该模型暗含：期权价值不依赖于标的资产的 期望收益，也不依赖于投资者的风险偏好，仅仅取决于给定的外生变 量。受此启发，考克斯和罗斯( c o x & r o s s ，1 9 7 6 ) 提出风险中性原理并建立 了著名的二叉树期权定价模型。这样，期权以及其他衍生证券分析可 以在风险中性的世界内来分析，大大简化了分析的难度。此后，哈里森 和克雷普斯( h a r r i s o n k r e p s ，1 9 7 9 ) 建立了完整的风险中性定价的理论框 架，严格证明了市场不存在套利机会的充分必要条件就是存在等价鞅 测度( 即风险中性测度) ，提出随机性价格波动的鞅描述理论( m a r t i n g a l e r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y ) ，最终架起均衡资产定价模型与无套利定价模型之 间的联系桥梁。 实物期权的兴起源于学术界和实务界对传统投资评估的净现值技 术的置疑，迈尔斯( m y e r s ，1 9 7 7 ) 首先指出，当投资对象是高度不确定的 项目时，传统净现值理论低估了实际投资。处理不确定性的传统方法 肖萍：随机到期时刻的广义欧式期权定价及其在外汇市场的应用 3 有敏感性分析、情景分析、贝叶斯分析、模拟分析、期望价值分析以及 现金流贴现等。在实物期权的框架下，更大的波动性表现为更高的项 目价值，期权价值随着决策时间跨度的延长而增大。实物期权理论脱 胎于金融期权定价理论，实物期权和金融期权尽管存在种种差异，但 他们有共同的假设，鉴于实物投资的复杂性，实物期权相比金融期权 更为复杂。一个不可逆的投资机会类似于金融看涨期权，企业就可以 在控制下界风险的前提下，利用不确定获得上界收益，实物期权分析 有利于管理者在高度不确定的市场条件下更睿智地作出投资决策。 实物期权的定价模型可以分为离散模型和连续模型两大类。离散 模型主要是多项式模型，连续模型主要由解析式、随机微分方程以及蒙 特卡罗模拟构成。从决策制定的角度来看，标的资产是连续还是离散 的假定并不对期权价值有显著影响。实物期权的研究文献主要采用如 下三个随机过程：几何布朗运动、泊松跳跃过程以及中值回复过程。 几何布朗运动适合描述标的资产随机游走的标准扩散过程；泊松跳跃 过程更适合描述标的资产突然、急剧的变动，这是几何布朗运动所不 能解释的；而中值回复过程更适合描述资产价值回复到长期平均水平 的趋势。本文假设在完备无套利的连续市场状态下，标的资产服从几 何布朗运动，利用风险中性定价原则对期权进行定价。 本文针对上述问题采取实物期权分析方法设计并讨论了一种新的 期权，即随机到期时刻的广义欧式期权，来对外汇投资机构开设外汇虚 盘交易及其它外币买卖业务进行投资价值分析；通过价值评估模型， 各外汇金融机构或外汇经纪可根据自身目前的经营优势调整模型相关 参数来预测未来的经营状况，从而做出最佳的决策。与此同时，在完 全连续市场环境下，以鞅论和随机分析为数学工具，在理论上和具体 市场模型下全面深入地研究了随机到期时刻的广义欧式期权的定价和 一些陛质，得到了一些理论分析成果。新设计的期权在实物期权中经 常遇到，比经典欧式及美式期权具有更大的灵活性，更具个性化，适 用范围更广，具有一定的原创性及理论分析价值。 1 2 必备的数学知识 引理1 2 1 1 8 1 在一个无摩擦完备的连续金融市场中，设有一种无风 湖南师范大学硕士学位论文 险资产，其价格过程为： d p o ( ) = p o ( t ) r ( t ) d t ，0s ts7 p 0 ( 0 ) = 1 有n 种风险资产，其价格过程为： d p i ( t ) = p 【( t ) b i ( t ) d t + 只( z ) 吼j ( t ) d z j ( t ) ，1 i n ， j = 1 只( o ) = 鼽 其中：z ( ) = ( z 。( ) ，玩( ) ) 为带域流的概率空间( q ，丁， 五) c o ，p ) 上 的一个d 维标准布朗运动， 兀) t 0 为布朗运动z ( ) 产生的自然盯一流 若r ( ) ，h i ( ，) ，吼j ( ，) 均为 五) o 一循序可测的有界随机过程，则任何欧 式未定权益毒l k ( q ) 在任何时间段 t , t l 均可定价，并且其价格y ( t ) 为： y ( ) = e q e r ( “) 托l 五】 其中q 为某个等价鞅测度 引理1 2 2 1 1 2 ( g i r s a n o v 定理) 设( q ，厂，p ) 为一概率空间，1 p ( z ) ，0 t t ) 是该概率空间上的布朗运动( 不一定要求标准) ，五= o ( w 尸( s ) ，0s s t ) ，0 t z0 = 口 ) ，0 t z0 五 令 w o ( t ) = w p ( ) + p ( “) 如，0 t ， 邵) = e x p 一f o t o ( 牡) d w 谁) 一搿暇u ) 姒。z 舛、 q ( a ) = z ( t ) d p , y a ， ，4 若对t 。，日( t ) 满足n o v i k o v 条件： e p 【e x p 丢z t 毋2 ( 珏) 抛) 】 。o ， 则口( t ) ( o t t ) 为五鞅，q 是与p 等价的概率测度，在新的概率 测度q 下，随机过程 w q ( t ) ，0 t t ) 是( q ，厂，q ) 上的一个布朗运动， 且 d w q ( t ) = d w p ( t ) + o ( t ) d t ， e p z ( t ) i a 】= 庐卧 肖萍t 随机到期时刻的广义欧式期权定价及其在外汇市场的应用 5 以上e p 】、e q 【】分别表示在p 和q 测度下的数学期望，厶是a 的示性函数 引理1 2 3 1 6 设w 1 一n ( 0 ，1 ) ，一n ( 0 ，1 ) ，c 例( m ，) = p ，则对任意的 实数a , b ，c ，d ，k 有下式成立： e e c w l + d w 2 i a w 。+ b 酬“( c 2 + d 2 + 2 p c d ) n ( 笺筹黠笋) 引理1 2 4 1 4 ( 鞅表示定理) 设w = ( m ( t ) ，( t ) ) ，0 t t ) 是 ( q ，五，p ) 上的d 维b r o w n 运动，五为w 生成的完备盯一域， x ( ) ，0 t t ) 为关于五的舻值平方可积鞅，则存在一r “值五适应过程 日( t ) ，0 t 四，满足 ，t 曰( h 2 ( u ) d u ) k ( r ) ( y ( 丁) c ) e p i e j 了( 8 ) 4 s 【y ( 札) 一k ( u ) 】l 碍】| 砰) = e 一片( 8 ) d 8 【y ( t ) 一k ( ) 】e 恳( 1 ( ， c ) l 砰) ：e 一片r ( s ) d s ( ) 一k ( t ) 】 令丁，- r t ，丁， 0 ，由丁的无记忆性，丁在( 丁 t ) 下的条件分布与丁 的分布相同，则有上式成立定理得证 定理2 2 2 2在( m 1 ) 下，对任意f o ，o o ) ，当下 f 时，看涨看跌 湖南师范大学硕士学位论文 e e o s m t 在f 时刻的鞅方法定价公式为： q ，( y ) = 吒弭( v ) f ( t ) d t 特别的，当f = 0 时，e e o s m t 在0 时刻的鞅方法定价公式为： g ( y ) = g ( v ) f ( t ) d t 其吼 嚷4 。( y ) ：e p l ( 帕帅+ 西一k ( 凶( 一1 m ， g ( y ) = e re - 詹( 8 ) 幽 ( y ( t ) k ( t ) 】( 一1 ) j + 】， i = 0 时为看涨期权定价公式，i = 1 时为看跌期权定价公式 证令下= 下一t 下7 0 ，由r 的无记忆性，下7 在( 下 西下的条件分 布与下的分布相同 q ，( y ) = e p e fr ( s ) d s “y ( 7 - ) 一k ( 7 ) 】( 一1 ) 】+ i 矧 = e p 【e 一巧+ 。r ( s ) d s 【y ( 下7 + 幻一k ( 7 - 7 + 西】( 一1 ) 】+ i ( ， 幻】 = e 见【e p l 【e f 、。r ( s ) 4 8 y ( 7 - 7 + 幻一k ( 7 _ + 幻】( 一1 ) 】+ i7 - 7 = 圳一 n 】 = e p 。 e p e 一露州r ( s ) 出【y ( t + 刁一k ( t + 习】( 一1 ) 】+ ( ， 幻 ，十 = |c i i 弭t ( v ) f ( t ) d t ，n 定理得证 2 2 3 随机到期时刻独立于标的资产的e e o s m t 定价 ( m 2 ) ：设2 2 1 中的市场( q ，f ，( 五) t 0 ，p ) 是完备、无套利、连续无摩 擦的市场，p 为风险中性概率测度；其中的丁有密度函数，- ( 卫) ，v ( t ) 的密度函数为，2 t ( 妙) ，下与 y ( t ) ，t o ) 独立，因而下与v ( t ) 的联合密度函 数为f l ( z ) f 2 。( ) ( r ( z ) ，t 0 ) 是一确定性函数，r ( t ) 为t 时的无风险利率 定理2 2 3 1在( m 2 ) 下，对任意f 【o ，。o ) ，当丁 善时，看涨看跌 e e o s m t 在吾时刻的定价公式为： 吲卟z 。q 加( 哳出。 肖萍：随机到期时刻的广义欧式期权定价及其在外汇市场的应用 特别的，期权在0 时刻的定价公式为： f 0 0 g ( y ) = c x ( v ) f z ( x ) d x ，0 其中： ，r 蚪f q “z ( y ) 5 厶e x p ( 一上 r ( s ) d s ) 【( y ( z + 幻一k + 刁) ( 一1 ) 】+ 1 ( r ，= z ) d p ， g ( y ) = e x p ( - - r ( s ) d s ) 【( y ( z ) 一k ( 。) ) ( 一1 ) 。】+ l ( r , = x ) d p ， q 0 r ”， o ) 与r 具有相同的概率分布， i = 0 时为看涨期权定价公式，i = 1 时为看跌期权定价公式 证令丁= 丁一f ，丁 0 ，由丁的无记忆性，丁7 在( r 习下的条件分布 与丁的分布相同 q 下( y ) = e ( e x p ( 一上r ( s ) d s ) 【( y ( 丁) 一k ( 下) ) ( 一1 ) 】+ i ( r d ) = e ( e x p ( 一上r ( s ) d s ) ( y ( r 7 + 习一k ( 下7 + 幻) ( 一1 ) ! 】+ | ( r d ) = e 阶x p ( 一上r ( s ) d s ) 川z + 幻一k ( z + 力) ( 一1 ) 】+ l ( r 锄) b d ) 】 = 。 ( z ) 【上e x p ( 一x + t r ( s ) 如) 【( y ( z + 习一k ( z + 习) ( 一l n + l ( ，) d p 】如 2 z 吒“z ( y ) ( z ) 如 定理得证 推论2 2 3 1 当丁与y ( r ) 不独立且丁 f 时，设v ( t ) 是一个与市场状 态无关的时间t 的确定性函数，则( m 2 ) 下看涨看跌e e o s m t 在任意f 时刻的价值为： 吲y ) =