（计算数学专业论文）无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法.pdf

摘要 稳定性问题是谱方法在守恒律方程等双曲线型问题中面临的一个主要同 题首先，由于双曲线型问题本身缺乏物理耗散，即使很小的误差也引起数值 解的不稳定；其次，当解出现间断，在物理解断点周围容易产生g i b b s 现象， 这种g i b b s 震荡的非线性作用将最终导致数值解的不稳定本文旨在考虑一 种谱元粘性消去法来求解无界区域的守恒律方程首先，简单回顾谱粘性消 去法的发展历程及其在计算流体力学领域中的应用，并讨论无界区域上的计 算问题，特别是讨论区域变换方法在这基础上研究无界区域上守恒律方程 的s w 方法谱逼近问题其次，把区域剖分成若干无重叠子区域，研究基于 分片多项式空间的各种逼近算子及其误差估计然后把基于s w 算子的定义 推广到多区域的计算中，进而构造出了守恒律方程的变分问题及其谱元粘性 逼近在收敛性分析方面，在数值解一致有界性假设条件下，证明了谱元粘性 消去法所得数值解强收敛到唯一熵解最后，通过对线性对流方程和b i i r g c r s 方程的实际计算验证了谱元粘性消去法的有效性 关键词：无界区域守恒律方程；谱元粘性消去法；收敛分析 a b s t r a c t t h es t a b i l i t yp r o b l e mi so n eo ft h em a i ni s s u e si nt h es p e c t r a la p p r o x - i m a t i o n so ft h eh y p e r b o l i cp r o b l e m ss u c ha 8t h ec o n s e r v a t i o nl a w s f i r s t l y , d u et ot h ea b s e n c eo ft h et h ep h y s i c a ld i s s i p a t i o ni nt h eh y p e r b o l i cp r o b l e m s ， e v e nm i n o re r r o r so ru n d e rr e s o l u t i o nc a nc a n s et h ec o m p u t a t i o nt ob e c o m e u n s t a b l e s e c o n d l y , t h en o n - l i n e a r i t yi sp r o n et od e v e l o pd i s c o n t i n u o u ss o l u - t i o n si nf i n i t et i m e i nt h en e i g h b o ro ft h ed i s c o n t i n u i t y , t h en u m e r i c a ls o l u t i o n e x h i b i t sav i s i b l eo s c i l l a t i o n t h i so s c i l l a t i o ni sd u et ot h ew e l lk n o w ng i b b s p h e n o m e n o n ，w h i c hi si n e v i t a b l ei na n ys p e c t r a la p p r o x i m a t i o no fd i s c o n t i n u - o i l sf u n c t i o n s i nt h i sp a p e rw ep r o p o s ea s p e c t r a le l e m e n tv a j f i s h i n gv i s c o s i t y ( s e w ) m e t h o df o rt h ec o n s e r v a t i o nl a w si nt h es e n t i i n f i n i t ei n t e r v a l b y u s i n gas u i t a b l em a p p i n g ，t h ep r o b l e mi sf i r s tt r a n s f o r m e di n t oam o d i f i e d c o n s e r w a t i o nl a wo nab o u n d e di n t e r v a l ，t h e nt h ew e l l - k n o w ns p e c t r a lv a n i s h i n gv i s c o s i t yt e c h n i q u ei sg e n e r a l i z e dt ot h em u l t i - d o m a i nc a s ei no r d e rt o a p p r o x i m a t et h i st r a n s f o r m e de q u a t i o nm o r ee f f i c i e n t l yt h ec o n s t r u c t i o nd e - t a i la n dc o n v e r g e n c ea n a l y s i sa r ep r e s e n t e d u n d e ra nu s u a la s s u m p t i o no f b o u n d e d n e s so ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n 】i ti sp r o v e nt h a tt h es o l u t i o no ft h e s e v va p p r o x i m a t i o nc o n v e r g e st ot h eu n i q u ee n t r o p ys o l u t i o no ft h ec o n s e r - v a t i o nl a w s as e r i e so fn u m e r i c a lt e s t si sc a r r i e do u tt oc o n f i r mt h et h e o r e t i c a l r e s u l t s k e yw o r d s ：c o n s e r v a t i o nl a w si nu n b o u n d e dd o m a i n ；s p e c t r a le l e m e n tv a i l - i s h i n gv i s c o s i t y ；c o n v e r g e n c ea n a l y s i s 2 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任 责任人( 签名) ：专厶茛 “年s 叫b 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名：毛移一 导师签名： 日期：加g 年厂胛日 日期：年月7 日 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 第一节引言 谱方法是一种求解偏微分方程的高阶数值方法它是以正交多项式( 如三角 多项式、c h e b y s h e v 多项式、l e g e n d r e 多项式等) 作为基函数进行高精度的函 数逼近根据不同的构造方法，谱方法可以分为g a l e r k i n 谱方法、配点法和基于 弱形式的拟谱方法( 即基于g a u s s 型数值积分的广义g a l e r k i n 谱方法) 相对一 些经典的方法( 如：有限元法、有限差分法) ，它是一种新的方法特别是上个世 纪7 0 年代栅日l 速f o u r i e r 变换( f f t ) 1 和张量基h 涟求和方法 2 】的引入促 进了谱方法的快速发展近年来，谱方法已经非常成功地应用于求解各种偏微分 方程，特别是应用于不可压流体的数值模拟中( 参考【3 ，4 】) 谱方法的最大特点是它具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷 光滑，那么用适当的谱方法所求得的近似解将以。的任意幂次速度收敛于精 确解，这里为所选取的基函数阶数这一优点是有限差分法和有限元法无法 比拟的然而在实际应用中也出现了一些困难，特别是谱方法在处理守恒律方程 等双曲线型问题时面临的稳定性问题因为双曲线方程的解通常会出现间断( 即 使初始条件可能无限光滑) ，当断点出现时，谱逼近会产生所谓的g i b b s 想象， 导致无法得到稳定解或解不唯一由于g i b b s 震荡会随时间和空间传播，最终导 致计算失败为了克服这种困难，人们提出很多改进的方法，其中包括超粘性方 法、过滤法和谱粘性消去法( s w ) 等s w 方法的主要思想是通过引入一个人 工粘j 睦项( 通常是高阶项) 来控制数值解的不稳定性，并使数值解保持谱精度。最 早提出该方法是e t a d m o r 【5 7 他用f o u r i e r 谱粘性消去法计算非线性守恒律方 程接着非周期的l e g e n d r e 多项式逼近方法相继被提出 6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 近来， s w 方法也被用来计算不可压高雷诺数( r e y n o l d sn u m b e r ) 流 1 1 】，并也被用 于湍流大涡模拟f 1 2 ，1 3 1 中 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 2 实际上，匕述方法都是在有界的单区域匕考虑而随着谱方法的发展，人们已 不再满足于解决简单区域上的高精度逼近问题于是用于处理复杂区域又具备谱 收敛特征的谱元法应运而生p a t e r a 1 4 从变分原理出发提出了集谱方法的高 精度和h 一型有限元法的灵活性于一体的谱元法该方法的灵活性及高效陛在计 算流体力学中得到了很好的体现【1 5 ，1 6 谱元法的发展，极大地拓展了谱方法 的应用领域现在，谱( 元) 方法已经被广泛应用于气象、物理、力学等领域中， 成为继有限差分法和有限元法后又一重要的数值方法，有关谱( 元) 方法的最新进 展可以见综合文献【17 】 本文主要讨论多区域情形下基于谱元法的s w 技巧求解无界区域上的守恒 律问题具体地说，我们考虑下面的问题： a ( g ，t ) + s ( v ( y ，t ) ) = 0 ，( y ，t ) ( 0 ，o 。) ( 0 ，邪 对于无界区域问题，通常有下面三种处理方法： 1 。截断方法，也就是用【0 ，l 来代替【0 ，c o ) ，其中l 是个足够大的数； 2 。用l a g u e r r e 多项式或l a g u e r r e 函数进行逼近； 3 。先用映射把无界区域变换成有界区域，再对变换后的有界区域上的问题用 l e g e n d r e 多项式逼近 这里，我们选择用第三种方法：把无界区域通过映射转化到有界区域，使得我 们能够应用经典的s w 方法 我们的工作有三个方面：首先，在映射后，我们得到有界区域上的一个新的守 恒律方程，该方程体现出一些形式上的变化，我们的目标之一在于证明该变化对 s w 方法的应用没有本质上的影响其次，为使所求的数值解更加有效，我们对 区域进行剖分后应用区域分解方法，即所谓的e o 连续的谱元法这里，难点之 在于需要重新定义谱元情形下的s w 算子，在此基础上我们给出了详细的收 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法3 敛证明及数值结果显然由于应用了区域剖分，相对单区域来说，最后得到的线 性系统条件数较小，求解较简单 本文主要由下面几部分组成t 第二部分我们简单介绍守恒律方程谱粘性消去 法，并给出区域分解方法的详细介绍然后定义谱元逼近，将谱粘性消去法推广 到多区域情形中第三部分进行收敛分析：在数值解致有界性假设条件下，我 丁证明了数值解收敛到唯一的熵解第四部分通过对流方程和b i r g e r s 方程的算 例测试，对谱元粘性消去法的有效性进行了数值验证 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 4 v = - 1 n 字：z a 一( o ，毗 ( 2 2 ) 蒌搿豺。) ) 扎群江s ， 无界区域中守恒律方程的谱元孝占j l 生消去法 5 可以证明，满足熵条件( 2 4 ) 的问题( 2 3 ) 的弱解是唯一的事实上，熵解可以通 过粘性褙去法来实现，即乱2 峨“5 ，这里矿是下面粘性问题的解： a u 5 扣，t ) + ( 1 一z ) 良，( “ ，t ) ) = 文( q a , u 6x ，) ) ， 0 ， 这里q 是个s w 算子，将在晚些时候定义上述粘性问题的弱形式定义为： 对于任意的检验函数毋c 铲( q ) ， 阻5 扛，) 魂庐扣，t ) + ，( u 。扛，t ) ) 以( ( 1 一茁) 砂扛，) ) 十e q 如矿扛，t ) 如曲扛，t ) d x d t = 0 j n ( 2 5 ) 相比有界区域守恒律同题，新问题( 2 5 ) 在对流项前面多了个因子1 一z ，但是 利用标准的方法【6 】可以证明满足熵条件的弱解是唯一的 2 2 非重叠区域剖分方法 设l 2 ( a ) 和l 2 ( q ) 为分别定义在a 和q 上的l e b e s g u e 平方可积函数空 间，它们的内积分别为： ( ，妒) = f h 咖吐 d x ，( 砂，妒) n = o r ( 咖，砂) d t 相应的范数为： = 厕，1 1 t j 5 1 1 n = 抓万孺 又设 日1 ( a ) ：= 妒l 2 ( a ) ：瓯咖l 2 ( a ) ) ， 础( a ) ：= ( h 1 ( a ) ：咖( 一1 ) = 咖( 1 ) = o ) 考虑到谱元逼近需要用到数值积分，我们简单回顾g a u s s 型求积公式：设坞) 篓。 是l e g e n d r e - g a u s s - l o b a t t o 点，即是方程( 1 一x 2 ) l ，( z ) = 0 的+ 1 个零 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 6 点，这里l r 是阶l e g e n d r e 多项式，那么存在正的权系数，p o ，p n ，使 得 1 r 小甸如2 薹酬虢叭砌。( a ) 1 ( 2 6 ) 这里玮( a ) 是定义在a 上的阶数不超过n 的多项式空间设c ( a ) 表示所有定 义在a 上的连续函数空间根据g a u s s 求积公式，我们定义离散内积：v 九妒 g ( q ) ， ( 曲，妒) 2 j = o 乃咖( 白) 妒( 白) ，( ，妒) n t 。z ( 毋，妒) d t 考虑非重叠区域剖分： 五= u 砖，饥n a z = o ，v k ，l ，l ， 晓= u q k ，f 2 k = a k o ，】， 七= 1 这里a k = ( a k ，a k + i ) ，一1 = a l a 2 n k + 1 = + 1 定义分片阶多项式 空间如下： 珊，k ( a ) ：= 咖l 2 ( a ) ：币i a 。日) ( a 七) ，1 k 。k ) 为了把区域分解和谱方法结合，我们引入映射： 饥骘a ， 这里f 定义为： r f ) = 。者乏。 由于上面的映射我们可以得到每块区域上的g a u s s l o b a t t o 点学以及相应的权 系数砖，它们被定义如下： 够= n 七+ ( 白+ 1 ) 忍2 ，砖= 所 2 ，0si n ，1 k k ， ( 2 7 ) 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 7 其中h 。是区间a t 的长度，i e ，h k = 。1 一b 现在我们定义分片连续函数砂和妒的离散内积： ( 曲，妒k ( 象州，毒刎训k ( 2 1 0 ) = 一s ( q ，未咖) 十( 口( 咐) ，妒) ) 晰， 。 b ( ) i a t = 2 俐) a n 2 2 + - ：l r l l ( r ) 。胪( z ) ， 考苗 # 苗 烈 伽 料 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 8 b ( t w ) a 。= o ，2s ksk 其中p ( ) 是关于时间t 的函数其次，我们定义谱元粘性算子q q i “= q ，1 k k ，v ， ( 2 1 2 ) 其中，记护：= 西k q 。是每个子区间上定义的局部谱粘性算子： q k 庐。：= ( o 痧) of ，( 2 1 3 ) 这里 痧：= 扩o ( f 。) 国是定义在标准区域( 一1 ，1 ) 上谱粘性算子，具有如下表达式： n o o 亩西( r ) ：= 国i 五丘( r ) ，v $ i - - - - 0 $ ( r ) = $ 。厶( r ) ( 2 1 4 ) i = o 这里厶是阶数为i 的l e g e n d r e 多项式，龟为国的谱系数， 芮足： 。q i 墨= 国o ；s 。，。o 。( i im n , 显然，参数m 决定了亩的作用频段在实际计算中，一般取m = d ( , t ) 或 是取m = 2 1 2 而针对b i i r g e r s 方程，m a d l y 等人【9 】取m o ( n 1 4 ) ， 且a 满足 12 国；l 一( 三丝) 4 ，m i 茎 ( 2 1 5 ) 这里 砂矿( 2 1 6 ) 扛砖钟 n v ：i 1 1 扛 詹 f0 、三二， l 辨 0。 ：l 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 9 在( 2 1 0 ) 中，取妒= 也为分片l a g r a n g i a n 基函数，则在内部节点上我们 有： 抗“j i ，( g ，t ) + ( 1 一劈) 晚巩，( u k 八q k ，) f 2 1 7 1 = _ 岔。q ( 以钍盏，) ( 劈，t ) ，1 j n 一1 ，1 南sk 而在交面上有 砧+ 1 h + 1 峨铲1 ( 醯+ 1 ，t ) + ( 1 一醯“) 也2 k ，( “铲1 ) ( 鲒+ 1 ，t ) + 以q ( 如“铲1 ) ( 茹十1 ，。) 2 + p 知胪吼札知( 尊，) f 2 1 8 1 + ( 1 一f k ，。k 。jl “k 八k ，t ) + 良q ( 以知) ( 舟，t ) 2 = e n ( ( q 如“铲1 ) ( 茹“，t ) 一( q 以u k k r ，) ) ， 1 k 茎k 一1 在入口边界上，成立 侥u j ，( 一1 ，t ) + 2 以j r _ 厂( “知) ( 一1 ，t ) ：e 也q ( 如“j ，) ( 一1 ，t ) + 繁q ( 如札知) ( 一l ，一半1 在( 2 1 9 ) 式中左边最后一项我们可以参考 1 9 的方法选择( t ) ( 2 1 7 ) 一( 2 1 9 ) 构成了与问题f 2 1 0 ) 等价的配点形式 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 1 0 第三节s e w 方法收敛分析 本节我们将首先推导针对守恒律方程s e w 方法收敛分析所需要的些估 计，然后在此基础上证明由( 2 1 0 ) 定义的数值解强收敛到唯一的熵解 3 1 些逼近结果 为了简化问题但不失般性，令f 庐= h ，1 ksk 设2 是分片 l e g e n d r eg a u s s l o b a t t o 插值算子，i e ，v ec o ( a ) ，孔e 玮，( a ) ，使得 劲咖( g ) = ( g ) ，1 k k ，0 j s n 已知扫计苣算子j r 满足【1 8 】： 0 以知训+ n i l e 一知训si i o 。o l l ，w 明( a ) ( 3 1 ) 显然估计式( 3 1 ) 不是最优的，最优的估计将依赖于 ( 参考文献 2 0 ，2 1 】) 但对 于收敛性证明来说，估计式( 3 1 ) 可以满足我们的需要 定义3 1 设：l 2 ( a ) 一卫) ( a ) 为l 2 一正交投影算子，定义为：v 三2 ( a ) ，面函j f | ( a ) ，使得 ( 函一面西) 妒d x = o ，w 俨( a ) ， 定义3 2 设缸 o ：硪( a ) 一璐( a ) 为正交投影算子，定义为：v 西 础( a ) ，f i 斋。函t - o ( a ) ，使得 面品。乒三上，( 矗晚d s 定义3 3 设k ：h 1 ( a ) 一珊( a ) 为非正交投影算子，定义为：v h 1 ( a ) ， 丘b ：厂7 ( 见烈s ) + 乒( 一1 ，1 - 9r + 下l + r i n d s ， 丘b 乒( r ) = ( 见函+ ) ( s ) + 乒( 一，。+ 孑( 1 ) 百一， j1 o 其中 如) = 一书( 一1 ) t 1 - - r 一半， 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 1 1 直接计算知，算子n l 满足下面的等式 $ 一豇j ，西= 函+ 矗斋。函+ ，睇f i k 乒= t i n - 1 辞西，丘j ，西i 。= 乒l 。，( 3 2 ) 以及估计式 5 】 o ，i i n lo 函| | + n q 3 + 一螽知。函+ i i 毛1 1 0 r 咖l l ，v 咖嘲( a ) ( 3 3 ) 定义3 4 设i 珊：l 2 ( a ) 一哳分片投影算子，定义为：v 西h 1 ( a ) ，知西 v r ，使得 n i , 妒1 札：= 丽知痧( r ) 。f 。( z ) ， 这里痧：= 扩o ( f 。) ，而扩是咖在a k 上的限制 利用( 3 2 ) ，我们可以得到 n 知妒l 卧。= 翕知痧。f i a a 。= 面知痧l 龇= 痧j 触= 扩l 弘。 因此n 知咖在交面处连续，这说明知v k ，因此算子知有确切的定义 引理3 1 任意的咖硪( a ) ，成立 证明我们先证明 文知西i f + n i l e i l b 妒l i 焉f | 也| | ( 3 4 ) 一h - 咖i i 毛n 。i i o 。西 根据前面的分析并利用( 3 3 ) ，我们有 击一h - 咖1 1 2 = 攀一 如 硇 臣 2 ) o l 妒 两 矿 州 咐 渺 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 毛。壹| l 珥( 痧( r ) 一护( 一1 ) 下1 - - r 一护( 1 ) 三# ) 喉 _ 2 ( o 辞痧( r ) 喉+ i 扩( 1 ) 1 2 + i 扩( 一1 ) 1 2 ) 焉_ 2 l l a 。妒1 1 2 + _ 2 i l 辞痧1 1 2 焉1 1 以咖1 1 2 在上面的最后的个估计中我们利用了g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式 接着我们证明( 3 4 ) 左边第顼的估计直接计算得 慨畋刚2 = 砉上。他砖妒如= 砉z 。慨西纠2 ( r ) o p ( z ) 出 = 薹k ：( a r 虬聊r ) ；出 2 娄：( 露吣，确n 瓤- 1 ) + 扣) ) 2 2 焉( i | 濞矗鼻。痧+ ( r ) 胪+ i 痧+ ( 1 ) 1 2 + l 痧+ ( 一1 ) 1 2 ) 根据( 3 3 ) 和g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式，我们有 以 训焉0 如 现在考虑l e g e n d r e - g a u s s - l o b a t t o 数值积分的逼近精度由于( 2 9 ) 和( 3 1 ) ， 应用妒= 2 r 一l 砂+ 渺一五r 一1 妒) ，可以得到( 参考 2 2 ) i ，妒) 一( 也妒) 厂is 1 1 砂一互怔，妒1 1 1 1 妒1 1 焉专。如砂i i l ，v 咖，妒 ( 3 5 ) 设矗= 一 ，鱼= 1 一国。，那么危满足： o 0 i _ 刚r a n , 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 1 3 设冗为下面定义的a 上的分片过滤算子 其中 佗西| a 。= 7 妒= 矗$ of ，l k k ，( 3 6 ) 显然，我们有冗= z q ( 3 , 7 ) 设和l i 1 1 足分别为与内积( q ，多) 和( 冗，) 相联系的范数，那么我 们有下面的引理 引理3 2 考虑由( 2 1 2 ) 和( 3 6 ) 定义的s e w 算子q 和冗，设s e v v 参 数满足( 2 ，1 1 ) 和( 2 1 5 ) ，那么下列估计式成立；v 西v v ， f i o 。lr 2si l 允谚l | 乞+ c m j ，l nn l l 咖1 1 2 ， i l 色训毛sm 4 i nn i i c h 2 ( 3 8 ) 证明由于屯咖；q 以+ 冗良，我们只需证明 i l 2 兄sm 4 t nn l l 咖1 1 2 利用关于标准算子q 的估计( 参考【5 ，6 】) ，我们有 i | 也圳轰=( 冗以曲) 以咖出 一喜：。( 缈坩脚z = 占ki ：( 脚脚h 焉善上( 鼢痧) 辞船焉k = l 帅l n 酬御 m 扯毛m j v i n n 1 1 2 引理得证 七i l 赡 瑚 1 1 七 毋 妨k l 赡 昆 ! l = 舻 k 形 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 “ 3 2收敛分析 本节将证明当谱元粘性参数满足( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) 时，s e w 方法所得的数 值解强收敛到唯一的熵解首先给出下面的引理 引理3 3 设g ( t ) h 1 【0 ，x l ，u a r 是s e v v 问题( 2 1 0 ) 的数值解，假设u n 致有界，即， m ：2 o m t a ) 【 ti i “ r ( 茁，t ) l l p ( a ) 。o ， ( 3 9 ) 那么存在个常数( 仅依赖于m ，t ，和9 ) ，使得下面的估计成立： e ( i i 岛u r l i 至。( n ) + i l 如“ r 1 1 b ( n ) ) c ( 3 1 0 ) 证明由于学是c g 。l k n ( x ) = 0 的根， 1 j 茎n 一1 ，因此边界算子 b ( u ) i a ，在除了边界点z = - 1 外的所有其它节点上为零又由于l r ( - 1 ) = ( 一1 ) n + i n ( n + 1 ) 2 ，( 2 1 0 ) 最后一项可= 陂写为 ( b ( 姐 r ) 1 a ，) ，兰一2 ( 一1 ) 卢( ) 咖( 一1 ，t ) 取三1 ，代入( 2 1 0 ) ，可得： a ( 姐 r ( t ) ，1 ) + ( 王v ，( 1 w ) ，1 ) 一2 f v ( 一1 、t ) ) = 一2 ( 1 ) p ) ( 3 1 1 ) 于是 l 磊悦咐忡2 1 1 1 0 0 ，其中5 麟忡) | ( 3 1 2 ) 、，i ”i 另一方面，设叩( t ) ：= p ( s ) d s ，对( 3 1 1 ) 关于t 从0 到t 积分，得 m 驯茎砺1 肿州+ 去i l ( 。) l l + 2 i l l o 。 ( 3 1 3 ) 设f ( u ) 兰j ”w ，7 ( w ) d w ，u ( “) = 譬在( 2 1 0 ) 中取西= u m ，利用( 3 5 ) 和 引理3 , 2 ，我们有 ：翱哺一2 f ( ( _ 1 ，啪+ 即w ( 叫) ) 出 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 1 5 + i ( 6 k ( q u i t ( t ) ) ，以“( t ) ) r + 2 ( 一1 ) “p ( ) t w ( 一1 ，t ) j = ( 以，( ( 观( 1 一z ) “ r ( t ) ) 一( ( 1 一z ) 巩劲，( ( 吡( t ) ) 茎m z ) 口一知) ，( 蛳( ) ) ，也咐) | + | ( ( 1 一茁) o z z r f ( u a r ( t ) ) ，( t ) ) 一( ( 1 一z ) 也斯，( ( t ) ) ，w ( t ) ) i 茎詈慨，( “( t ) ) 洲如( t ) 忡詈慨厂( ( ) ) “z c ( t ) l l + 2 t 1 0 。u ：v ( t ) 1 1 ) s e m ( 、2 l _ m 2 + 互7 i i 屯( ) 幅+ m 备1 1 1 l i ( ) 悒 其中c m 是个仅于m 和k 有关的常数因此对任意的t 茎t ， i l u r ( 驯i 知+ 2 ( s 一7 2 c m ，z 。i l a 孙r ( 圳l 秘 c 0 + 2 z ( 2 ( 一1 ) u + a t t 小) + 4 田蒴限i + c m ( 、2 i _ m 2 + c m 备l i l i i 州s ) 1 1 2 ) ) 如 再利用( 3 1 3 ) ，我们得到 ，t i p ( s ) g ( s ) 如i = 1 9 0 ) 叩0 ) 一g ( o ) v ( o ) 一g l ( s ) ( s ) d s i j 0j 0 i g ( 驯( 击i i ( t ) 1 1 + c m ) + z 1 9 ( 刮历1 i | 。) 1 1 + c 枷d s 驯g 幅- 附 结合上面两个不等式，我们有 i l u ：v ( t ) 1 1 知- t - 川以咐( s ) i | 毛d s 焉( 1 l g ( t ) l l 斋t 【0 潮- i - t - i - 1 ) j 0 利用引理3 2 ，由上面的不等式我们得 e l i 盈m r 0 2 。( n ) 焉( 1 l g ( t ) l l 备t f o ，t i + 丁+ 1 ) ( 3 1 4 ) 又利用( 3 1 ) 和( 3 1 2 ) ，在弱形式( 2 1 0 ) 中取咖= 魂” r ，得 慨( t ) 1 1 2 + i s n 刻d 如( t ) 悒c m 慨( ) l | 2 + 扣侥( t ) 1 1 2 + c m i 瓦d 9 ( t ) 1 2 垂墨垦垫主主坚堡查堡塑堡垂塑：生丛圭选 再由( 3 1 4 ) ，我们有 ：| | 魂1 1 2 焉| | 如 ) 1 1 2 + i 磊d g ( t ) 1 25 1 ( 1 1 9 i | 备t 【o ，司+ t + 1 ) ， o ，t 】_ 最后，把( 3 1 4 ) 和上面的不等式结合在起，引理得证 定理3 1 设u m 是s e v v 问题( 2 1 0 ) 的个解，相应的谱粘性参数( e ，m ) 满足 e n n 一。，m n 一4 ，且0 4 p o z 1 ( 3 1 5 ) 那么u n 强收敛到熵解进步，如果粘性参数满足 n o ，q 1 ， 那么u a r 强收敛到唯一的熵廨 证明对任意的妒日( n ) 和掣j h 1 ( f o ，卅ip 知) 且掣w ( 一1 ，t ) 一0 ，我们 有： 4 ( 魂“+ ( 1 一z ) 也厂( ) ，妒) n 三q ( 妒) ， ( 3 1 6 ) j = 1 其中 g 1 ( 妒) = ( ( a t t r + ( 1 一。) 以，( u ) ，砂一v w ) n ； g 2 ( 砂) = ( ( 卜茁) 也，( ) ( 1 一。) 如知，( ) ，咖) n g 3 ( 砂) = ( 岛蛆 r + ( 1 一z ) a z z h f ( u ) ，掣w ) n 一( 岛“ 厂+ ( 1 一z ) o 。z n f ( u n ) ，吨 ，) n ； g 4 ( 妒) = ( 侥蚶+ ( 1 一z ) 茂霸f ( u n ) ，伽) n 现在我们对上面的q ) 逐项进行估计由引理3 3 ，得 1 g ，( 删焉去眇一圳n 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 1 7 根据( 3 1 ) 和( 3 1 0 ) ，我们有 i g 2 ( 妒) l = l ( ( 工一j w ) ，( 丝 r ) ，如( ( 1 一。) ) ) n i 焉却如，) i 灿l i n + 2 0 以如 s 志川圳n 刊i 以圳n ) 对于g 3 渺) ，利用( 3 1 ) ，( 3 5 ) 和引理3 2 ，得 l g 。( 删毛却侥蚶+ ( 1 一z ) 以孔，( 训晚“s 高焉慨伽 利用( 2 1 0 ) ，g 4 似) 可写成 g 4 ( 砂) = ( a “ 厂+ ( 1 一z ) o 。z n f ( u a r ) ，w ) n = 一( q 晚“ r ，盈妒) n = v ( 7 地t w ，以掣w ) n e ( 以“，也j ) n = 以) + 以) 应用引理3 2 ，对于右端两项，我们分别有： i 五) i = l e ( 7 已也鲋，如j ) n l se n i l 良“ r i l 冗| | 也萃j | i qss m 备、i 丙l | 晚“i l n ， 和 i 以( 妒) i 一| _ e ( 也，以缈) n ls 慨盈灿i i n 毛瓜i l 吼“m 对任意的妒明( q ) ，我们取掣w = 吩妒，利用弓f 理3 1 ，我们有 | | 良掣j | | + | | 砂一w | | si i 如妒l i ，掣w ( 一1 ，t ) = 0 ( 3 1 7 ) 于是 i ( 魂+ ( 卜z ) 如，( ) ，妒) n l 焉l q 仆 _ i j a 妒) i j = lj = l 焉( 志+ e n m 奄面+ 删+ 砺1 1 妒1 1 n 无界区域中守恒律方程的谱元粘, 1 生3 i 去法 1 8 根据谱元粘性参数满足的条件( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) ，我们可以得出s e w 逼近解满 足： | | a “ r + ( 1 一z ) 魄f ( t t a r ) 1 1 日- ( n ) 一0 ， 进步，上面的结论意味着，对于任意的咖硪( q ) ， 慨u ( 咐) + ( 1 一z ) 以f ( ) ，咖) = g j ( u 7 ( ) ) y = l 焉( 赢+ s 竹l 备面矿+ 诟) ( 怜( u 7 ( ) 酬n + ( ) 酬n ) s ( 志+ 蚋知瓜+ 瓜) ( i i 如t t r i l n | | i l l 。o ( n ) + 0 如l l o l l u 7 ( u r ) i i l 一( n ) + 2 t | | c 厂，( u 厂) | | l * ( n ) | | 咖性叫n ) ) 也就是说，晚( ” r ) + ( 1 一z ) 如f ( 锚) 可以写成两项的和，其中一项是日一1 ( q ) 中的紧支集，而另一项是l 1 ( n ) 上的有界集根据m u r a t 引理 2 3 ，西v ( 1 w ) + ( 1 一z ) 如f ( “ r ) 是甘_ ( n ) 中的紧支性再利用d i v - c u r l 引理 2 4 】，那么s e v v 解u c ( z ，t ) 强收敛到( 2 3 ) 的个熵解u ( x ，t ) 现在证明，如果。n ，o 1 ，那么l t ( 3 j ，) 就是唯熵解事实上我们 有，w 明( q ) 33 i 岛( ( ) ) i i g i ( u 7 ( ) ) i j = lj = l 毛焉泵( 4 i i 如( u 7 ( 蛳) ) + 拶( 蛳) 州埘 取( u 7 ( “ r ) k = n k ( v 7 ( 姒r ) 咖) ，根据( 3 ，1 7 ) ，我们有 3 i q ( 矿( “ r ) 砂) j i = l s 赢( 4 l l 也t w 蚓l p + 4 8 以删q | | 强l i p ( 垂墨垦垫室丝堡查堡箜堂垂塑：些鲨圭渣 1 9 + 2 t 0 砂i | l * ( n ) l i “ 厂i i 一( n ) ) s4 n 。一1i i | | p ( n ) + ；( 4 1 1 0 。1 1 n + 行忪忆叫n ) ) 一0 另外，由( 2 1 1 ) ，( 2 1 5 ) ，( 3 8 ) 和( 3 9 ) ，有 j s 4 ( u ( u r ) ) ls 、，正面m 备卅i 而i l n 焉即一；卅i 而忪一0 利用投影算子n 知的性质( 3 2 ) ，对于任何非负检验函数妒，我们有 无( ( 蛳r ) 咖) = 一e ( 如“ 厂，也- ( u ( “) 妒) ) n = 一( 如，如吩( v 协) ) ) n 。 = 咖元2 ( 露面夤，辞峨( u 协夤r ) 护) ) n = 咖；( 辞豇夤r ，d 辞( u 协知) 护) ) n ：咖；壹( 辞豫( 面抄西面i ，) 。一。壹( 露面抄( 面知) 露= 一e - v ；( 辞豫，u ”( 面备) $ 西面夤，) n e i ( 露面备，u 7 ( 面知) 露扩) n 。k = l 。k = l s s ；晦面知，矿( 祝孙) 屏函“) n 毛一s ( 瓦u r ，( t w ) 忽咖) n 于是由引理3 3 ，成立 如( 矿( u s e ) c ) 焉、，丽l i 如曲| l n 毛n 一铀魂圳n 一0 综上述，m r 满足：v 日0 ( f 2 ) ，妒20 ， 池u ( “) + ( 1 一z ) 以f ( ) ，妒) 茎0 ， 当一o 。 因此 a t u ( u ) + ( 1 一) 以f 沁) 0 定理得证 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法 2 0 第四节数值结果 本节我们给出一些数值例子，来检验我们的理论结果时间离散使用三阶的 a d a m s - b a s h f o r t h 格式处理非线性项，三阶向后差分格式( b d 格式) 处理时间 导数项谱粘性项作隐式处理因此时间格式有总体三阶精度计算中我们取时 间步长a t = 1 0 ，s e v v 参数取为= 1 k n 和m = 0 一个重要的问题是关于s e w 方法的空间精度我们希望当被逼近的解是光 滑函数时，添加的人工谱粘i 生项并不会影响逼近解的谱精度为此考虑线性对流 方程，即在问题( 2 1 ) 中取( u ) = u ： io t v ( y ，t ) + 吼u ( g ，t ) = 0 ， ( y ，t ) ( 0 ，o o ) ( 0 ，t i ， v ( y ，o ) = s i n ( 7 i - ( 1 2 e 一”) ) ， 可( o ，0 0 ) ， ( 4 1 ) l ( o ，t ) = s i n ( t r ( 1 2 e ) ) ，t ( 0 ，t i 应用映射( 2 2 ) 把( 4 1 ) 变为 i o t u ( x ，t ) + ( 1 一。) 如“( 。，t ) = 0 ，( z ，t ) n ， 乱u。(x一,，0，)=：si血nn(tr。x)。,。一。，x。e。a。，,明， 4 2 这里u ( x ，t ) = ”( ( z ) ，t ) 直接验证知问题( 4 2 ) 有精确解s i n ( 丌( p 一1 ) e 。+ 1 ) ) 把a 剖分成4 个相等的区间，即k = 4 图1 显示由s e w 方法所得 数值解在t = 1 , 0 时的l 2 误差随n 变化情况这里我们计算了四个不同的 n ：8 ，1 2 ，1 6 ，2 0 从图中可见，随着n 的增大，三2 误差呈指数衰减，这说明对 该光滑解，s e v v 数值解具有所谓的谱精度 无界区域中守恒律方程的谱元粘性消去法2 1 p 口b m w _ 押n 图i ：t 一1 时( 4 2 ) 的s e v v 数值解的l 2 一误差随n 变化曲线 4 2b i l r g e r s 方程 现在考虑b i i r g e r s 方程的s e w 数值解在问题( 2 1 ) 取s ( u ) = i 1 “2 ： ， l a , v ( y ，) + j 岛 2 ( ，t ) = 0 ，( 可，t ) ( o