专题四空间中的平行与垂直.doc

第2讲空间中的平行与垂直自主学习导引真题感悟1(2012浙江)设l是直线，、是两个不同的平面A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l解析利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误答案B2(2012江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以C C1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BC C1 B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE考题分析空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点，多以选择题与解答题的形式出现，难度中等，解答高考题时，推理过程不完整是失分的重要原因，需引起特别注意网络构建高频考点突破考点一：线线、线面的平行与垂直【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD1，BCD60，且BDCD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点(1)求证：BD平面CDE；(2)求证：GH平面CDE；(3)求三棱锥DCEF的体积审题导引(1)先证BDED，BDCD，可证BD平面CDE；(2)由GHCD可证GH平面CDE；(3)变换顶点，求VCDEF.规范解答(1)证明四边形ADEF是正方形，EDAD，又平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD.ED平面ABCD，EDBD.又BDCD，且EDDCD，BD平面CDE.(2)证明G是DF的中点，又易知H是FC的中点，在FCD中，GHCD，又CD平面CDE，GH平面CDE，GH平面CDE.(3)设RtBCD中，BC边上的高为h，CD1，BCD60，BDCD，BC2，BD，2h1，h，即点C到平面DEF的距离是，VDCEFVCDEF22.【规律总结】线线、线面位置关系证法归纳(1)证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行(3)证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂直；二是利用面面垂直的性质定理，把证面面垂直转化为证线面垂直；另外还要注意利用教材中的一些结论，如：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等【变式训练】1(2012山东实验中学一诊)如图，在几何体ABCDEP中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA2BE4.(1)证明：BD平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AEPG.证明(1)连接AC交BD于点O，取PC的中点F，连接OF，EF，EBPA，且EBPA，又OFPA，且OFPA，EBOF，且EBOF，四边形EBOF为平行四边形，EFBD.又EF平面PEC，BD平面PEC，BD平面PEC.(2)连接BP，EBABAP90，EBABAP，PBABEA，PBABAEBEABAE90，PBAE.PA平面ABCD，PA平面APEB，平面ABCD平面APEB，BCAB，平面ABCD平面APEBAB，BC平面APEB，BCAE，AE平面PBC，G为BC上的动点，PG平面PBC，AEPG.考点二：面面平行与垂直【例2】如图所示，已知在三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形(1)求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积审题导引(1)只要证明MDAP即可，根据三角形中位线定理可证；(2)证明APBC；(3)根据锥体体积公式进行计算规范解答(1)证明由已知，得MD是ABP的中位线，所以MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，故MD平面APC.(2)证明因为PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MDPB.所以APPB.又APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.因为BC平面PBC，所以APBC.又BCAC，ACAPA，所以BC平面APC.因为BC平面ABC，所以平面ABC平面APC.(3)由题意，可知MD平面PBC，所以MD是三棱锥DBCM的一条高，所以VMDBCSBCDMD2510.【规律总结】面面平行与垂直的证明技巧在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直【变式训练】2如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分别是AP、AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)如图，连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.考点三：平面图形的折叠问题【例3】(2012南京模拟)在ABC中，BAC90，B60，AB1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图1)将ABD沿着AD折起到ABD的位置，连接BC(如图2)图1图2(1)若平面ABD平面ADC，求三棱锥BADC的体积；(2)记线段BC的中点为H，平面BED与平面HFD的交线为l，求证HFl；(3)求证：ADBE.审题导引(1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得B到平面ADC的距离，可利用线面垂直求得；(2)线面平行线线平行；(3)线面垂直线线垂直规范解答(1)在直角ABC中，D为BC的中点，所以ADBDCD.又B60，所以ABD是等边三角形取AD中点O，连接BO，所以BOAD.因为平面ABD平面ADC，平面ABD平面ADCAD，BO平面ABD，所以BO平面ADC.在ABC中，BAC90，B60，AB1，D为BC的中点，所以AC，BO.所以SADC1.所以三棱锥BADC的体积为VSADCBO.(2)证明因为H为BC的中点，F为CE的中点，所以HFBE.又HF平面BED，BE平面BED，所以HF平面BED.因为HF平面HFD，平面BED平面HFDl，所以HFl.(3)证明由(1)知，BOAD.因为AE，AO，DAC30，所以EO.所以AO2EO2AE2.所以ADEO.又BO平面BEO，EO平面BEO，BOEOO，所以AD平面BEO.又BE平面BEO，所以ADBE.【规律总结】解决翻折问题的注意事项(1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决【变式训练】3如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，E、F分别为AD和BC上的点，且EFAB，AD2AE2AB4FC4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状，使ADAE.(1)求证：BC平面DAE；(2)求四棱锥DAEFB的体积解析(1)证明BFAE，CFDE，BFCFF，AEDEE，平面CBF平面DAE.又BC平面CBF，BC平面DAE.(2)取AE的中点H，连接DH.EFDE，EFEA，EF平面DAE.又DH平面DAE，EFDH.AEDEAD2，DHAE，DH.DH平面AEFB.则四棱锥DAEFB的体积V22.名师押题高考【押题1】已知直线a、b与平面、，且b，则下列命题中正确的是若a，则ab；若ab，则a；若b，则；若，则b.ABCD解析命题，若a，过直线a作一平面，使得c，则由线面平行的性质定理可得ac，又因为b，c，所以bc，故有ab，所以该命题为真；命题，若ab，b，则直线与平面的位置关系有两种：a或a，故该命题为假；命题，若b，则过直线b作一平面，使得d，则由线面平行的性质定理可得bd，又b，所以d，因为d，所以由面面垂直的判定定理可得，故该命题为真；命题，若，b，则直线b与平面的位置关系有两种：b或b，故该命题为假综上，为真命题，故选A.答案A押题依据线面的平行与垂直，是立体几何的主体内容，在高考试题中通常会有一道解答题和一道选择题或填空题，主要考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大【押题2】如图，在三棱锥ABOC中，AO平面COB，OABOAC，ABAC2，BC，D、E分别为AB、OB的中点(1)求证：CO平面AOB.(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF平面AOC？若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由解析(1)证明因为AO平面COB，所以AOCO，AOBO，即AOC与AOB为直角三角形又因为OABOAC，ABAC2，所以OBOC1.由OB2OC2112BC2，可知BOC为直角三角形所以COBO，又因为AOBOO，所以CO平面AOB.(2)在线段CB上存在一点F，使得平面DEF平面AOC，此时F为线段CB的中点如图，