（应用数学专业论文）矩阵奇异值的估计及两个hermite矩阵之和的特征值.pdf

太原理一 大学硕士研究生学位论文 矩阵奇异值的估计 及两个h e r m i t e 失e 阵之和的特征值 摘要 对矩阵4 的奇异值，特别是最小奇异值的下界估计，是矩阵分析中的重 要课题。在迭代求解线性方程组时，我们往往需要估计矩阵a 的谱条件数： 聃鬻嵴 其中最小奇异值的下界估计吒( 4 ) 是一个关键的数。吒( 爿) 的下界在其 他的许多领域中都是一个极重要的课题，因而最小奇异值的下界估计一直 是普遍关注的问题，有很重要的理论和实际应用价值。 本文主要研究了矩阵奇异值的一些不等式及最小奇异值的下界估计， 两个h e r m i t e 矩阵之和的特征值。全文共分为四章。 第一章是对目前国内外研究现状的一个描述。 第二章我们给出非奇异矩阵4 的奇异值从大到小排列为如下形式： q ( a ) 0 2 ( a ) 2 l ( a ) 0 ， 令1 _ j ，珂，利用代数一几何均值不等式以及 q 2 ( 彳) + c r 2 2 ( 爿) + l + 吒2 ( a ) = 1 1 4 ，2 ， o i ( 爿) q ( 彳) l 巴( 4 ) = l d e t 爿1 太原理工大学硕士研究生学位论文 给出矩阵奇异值吼( 爿) + l + q ( a ) 与吼( a ) lq ( a ) 的界的一些不等式如下： 定理2 3 设a c 3 ) 是非奇异的，且l 露，”，则 脚一) 阳卵厂卜眨6 ， 定理2 5 设a c 3 ) 是非奇异的，且1 k ，”一1 ，则 卜州协吖始 吼lq i h 一- 泸( “叫 定理2 6 设a c ”0 3 ) 是非奇异的，且1 七，胛，则 ( 2 7 ) r 删 协l 旦w 南 柑 肛m 1j rii m l i 匝一i 高 ，j10 阿寿南k 一 太原理i ：人学硕十研究生学何论文 上i d e t a l 刚。, i ) “胆”州2 弦9 ， 而这些不等式仅仅用到k ，门，矩阵的行列式和f r o b e n i u s 范数，最后我 们用一些具体的例子来说明这些不等式的优越性。 第三章我们首先基于矩阵的行列式和f r o b e n i u s 范数给出非奇异矩阵a 的最小奇异值的下界估计式 吒融一圳l ，+ 击 癸n 删r 2 当，2 = 珂时，我们给出如下结论， 咿( 钉i 阳斟阻叫2 r 2 在此结论的基础上，我们令b = d a ，其中矩阵a 为任意非奇异矩阵， 。= d i a g ( 看苟，看可，l ，高 ，给出矩阵4 的又一个最小奇异值的下界估计 式 其中 嘶) ( 等厂i 圳i m a x 砌) 跣( 鹕 墨= 冉高阳n k 盟n 丫l - i d e t a r 旧爿r i i i 太原理i ：大学硕十研究生学位论文 母= 鼻卦而lf n - 1 ，“l a e t 卵 冉捌”啦 最后我们结合一些例子来说明这些估计式的优越性。 第四章给定两个h e r m i t e 矩阵4 ，b 以及它们的特征值，给出了乘积矩阵 a b 的迹的一些不等式，进而得到矩阵之和a + b 的一些特征值不等式。 关键词：非奇异矩阵，奇异值，矩阵的迹，h e r m i t e 矩阵，特征值， f r o b e n i u s 范数 太原理工大学硕+ 研究生学位论文 e s t i m a t e sf o rt h es i n g u l a rv a l u e s o fm a t r i c e sa n dt h ee i g e n v a l u e s f o rs u m0 fh e r m i t em a t r i x a b s t r a c t e s t i m a t i o n so ft h es i n g u l a rv a l u e ，e s p e c i a l l yt h el o w e rb o u n df o rt h e s m a l l e s ts i n g u l a rv a l u eo fm a t r i xa ，i sa ni m p o r t a n ts u b j e c to fm a t r i xa n a l y s i s w h i l es o l v i n gt h el i n e a r e q u a t i o n sb yi t e r a t i v em e t h o d ，w eo f t e nn e e dt o e s t i m a t et h es p e c t r a lc o n d i t i o nn u m b e ro f m a t r i xa 衅端嵴 w h e r et h el o w e rb o u n de s t i m a t e so ft h es m a l l e s ts i n g u l a rv a l u e 吒( 爿) i s a ni m p o r t a n tn u m b e r t h el o w e rb o u n do f 吒( a ) i sa l s oav e r yi m p o r t a n t s u b j e c tf o rd i s c u s s i o ni nm a n yo t h e rf i e l d s s ot h el o w e rb o u n de s t i m a t e so ft h e s m a l l e s ts i n g u l a rv a l u eh a v eb e e ng e t t i n gm u c ha t t e n t i o n ，a n dh a v ei m p o r t a n t v a l u eo f t h e o r ya n dp r a c t i c a l i t y t h i st h e s i s i n v e s t i g a t e ds o m ei n e q u a l i t i e s f o r s i n g u l a rv a l u eo fm a t r i x ， l o w e rb o u n de s t i m a t e sf o rt h es m a l l e s ts i n g u l a rv a l u ea n dt h ee i g e n v a l u e sf o r v 太原理工大学硕士研究生学位论文 s l i mo f h e r m i t i a nm a t r i x t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eo v e r v i e wi sg i v e na b o u tt h es t u d ya tp r e s e n ti nt h ew o r l d i nc h a p t e r2 ，w eg i v et h es i n g u l a rv a l u eo f n o n s i n g u l a rm a t r i xao r d e r e da s q ( a ) 0 2 ( a ) l 吒( a ) 0 l e t 1 k ，s ”b ya r i t h m e t i c g e o m e t r i cm e a ni n e q u a l i t ya n d 0 1 2 ( 爿) + 2 ( 彳) + l + 吒2 ( a ) = i i a i i ，2 ， q ( 爿) c r 2 ( a ) l 吒( a ) = i d e t a l w eo b t a i ns o m e i n e q u a l i t i e s o ft h eb o u n d so ft h e s i n g u l a r v a l u e 0 k ( 4 ) + l + q ( a ) a n do = k ( a ) lq ( a ) a s f o l l o w s t h e o r e m 2 3 l e t a c ( 胛3 ) i sn o n s i n g u l a r ，a n d1 k ，r t h e n 0 - u ， 、l ( h ) 、”2 d e t a i ：il j j ( 2 6 ) t h e o r e m 2 5 l e t a c ”。”( 珂3 ) i s n o n s i n g u l a r ，a n d1 七，胛一1 t h e n 卜叫陋奸栅“w _ 吼lq v i +“月 肛 、， 2 爿ced ， 珂一，匝， 太原理f 大学硕士研究生学位论文 爿击蝌t r “ t h e o r e m 2 6l e t a c “( 3 ) i sn o n s i n g u l a r ，a n d1 k 曼，拧t h e n 丽桶砷r 扼i 可丽r “5 曼o h l d e t a 2 ( k - 旷1 s 南( 钳舭”明 ( 2 7 ) ( 2 9 ) t h e s ei n e q u a l i t i e si n v o l v i n g 后，l ， ，d e taa n df r o b e n i u sn o r mo n l ya r e p r e s e n t e d f i n a l l y ，w eg i v es o m ee x a m p l e st os h o w t h ee f f e c t i v e n e s so ft h en e w i n e q u a l i t i e s 。 i nc h a p t e r3 ，b a s eo nd e t 彳a n df r o b e n i u sn o r mo fn o n s i n g u l a rm a t r i xa ， w ef i r s tg i v et h el o w e rb o u n de s t i m a t e so ft h es m a l l e s ts i n g u l a rv a l u e n o n s i n g u l a rm a t r i xa ： 吒 ( 静r 圳l ，+ 南 杀n 删r w h e n1 1 4 f 2 = 丹，w eo b t a i nc o n c l u s i o nf l sf o l l o w s ： 吒 ( 爿啦i 叫一n 删k nj m i 吒( a ) o f o nt h eb a s i so f t h ec o n c l u s i o n ，l e tb = d a ，w h e r em a t r i xai sn o n s i n g u l a r 叫li一 一ii匝川 啦 rj 太原理工大学硕士研究生学位论文 删x a n d i 鸩( 高，高儿去 , w e o b t a i n 删栅。w 拍o u n a o r t h es m a l l e s ts i n g u l a rv a l u e w h e r e 删2 ( 导n 酬 m a x c ( a ) s 。，o ( 4 ) s ， 母= 鼻新三n 阻kn n 川j 2 旧捌”啦 f i n a l l y ，w eg i v es o m ee x a m p l e st os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h en e w b o u n d i nc h a p t e r4 ，w eg i v et w oh e r m i t em a t r i c e sa ，ba n dt h e i re i g e n v a l u e s ， a n dp r o v i d es o m ei n e q u a l i t i e so ft r a b o nt h eb a s i so ft h er e s u l t ，w eo b t a i na n i n e q u a l i t yf o rs u m o fa ，b k e yw o r d s n o n s i n g u l a rm a t r i x ，s i n g u l a rv a l u ee s t i m a t e s ，t r a c eo f m a t r i x ，h e r m i t i a nm a t r i x ，e i g e n v a l u e s ，f r o b e n i u sn o r n l 坤 川 斋 。兀h 砰 瞰 r 盟片。卜珂 赤 。兀 篷 太原理l ：人学硕+ 研究生学位论文 主要符号说明 所有实数的全体； 所有复数的全体； 所有实n 维行向量的全体； 所有复n 维列向量的全体； 所有m x h 实元素矩阵的全体； 所有m x 疗复元素矩阵的全体； 矩阵a 的共轭转置； 矩阵一的行列式； 矩阵a 的逆； 矩阵a 的迹： 矩阵a 的谱范数； 矩阵4 的无穷范数； 矩阵a 的f r o b e n i u s 范数； 矩阵爿的最小奇异值； 矩阵4 的最大奇异值； 矩阵a 的第i 行的欧几里得范数； 矩阵一第i 列的欧几里得范数 x _ a f ， ： o f 月 钔， d r c 彤 胪 r 删州乩们删州荆 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：拙茎邋日期：冱z ：皇! 狃 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 签名：主选主坠 导师签名： 夕，l 龙 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 选题背景 第一章前言 1 1 1 矩阵的奇异值 如何运用数值方法求解线性方程组a x = b 一直是科学计算的中心问题之一，而一个 线性方程组条件数的大小是决定其能否通过数值方法求解的关键【”。系数矩阵a 的奇异 值与其谱条件数密切相关。 设一= ( ) c ，不失一般性我们可以假设珂m 并将a 的奇异值按照递减次序排 列为： 0 i ( a ) 吒( a ) l 吒( a ) 0 其中，a 的奇异值盯( 爿) = a ( 删”) ，旯( 删”) 表示矩阵删”的特征值，a h 表示彳 的共扼转置。 仅依赖于矩阵的元素来对其特征值进行估计一直是矩阵分析中非常重要和困难的 问题。在这方面，有著名的g e r s c h g o r i n 圆盘定理以及与之相关的o s t r o w s l d 定理、b r a u c r 定理等等可以对矩阵的特征值进行估计。但是如果仅仅是简单的将上述定理应用于矩阵 奇异值的估计，往往得不到很好的结果。因此，如何仅依赖于矩阵元素来对其奇异值进 行估计也是近年来许多学者致力研究的一个问题。 1 9 8 0 年，h w o l k o w i c z 和g p h s t y a n 在文献 2 - 3 】中依赖于矩阵的迹，给出了特征值 和的一些不等式。1 9 9 2 i i z ，y r h o n g 和c t p a l l 【4 】利用矩阵的行列式和迹给出了矩阵的最 小奇异值的下界估计式。1 9 9 4 年，j k m e r i k o s k i ，h s a r r i a , n p t a r a z a g a 5 】利用矩阵的迹 给出了矩阵奇异值和的一些不等式。1 9 9 7 年，j k m e r i k o s k i 和a v r i t a n e n l 6 1 利用矩阵的行 列式和迹进一步给出了特征值和的估计式。 矩阵最小奇异值的下界估计是矩阵分析中的重要课题之一。迭代求解线性方程组是 计算数学的一个中心问题。在迭代求解线性方程组时，往往需要估计系数矩阵的谱条件 数，这就需要用到最小奇异值。最小奇异值的下界估计在其他许多领域中也是一个极重 要的课题，因而有很重要的理论和实际应用价值。 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 9 7 5 年，j m v a r a h 在文献【7 】中仅依赖于矩阵元素，给出了最小奇异值的下界。1 9 8 4 年，l q i 【8 】基弓：g e r s c h g o r i n 圆盘定理得到了一些奇异值的包含域。1 9 8 9 年，著名的美国 矩阵论专家c r j o h n s o n 9 】巧妙的将g e r s c h g o r i n 圆盘定理应用于最小奇异值的估计，所 得结果得到了广泛的应用。随后直到1 9 9 8 年c r j o h n s o n 等基于o s t r o w s k i 和b r a u e r 定理 以及g u d k o v 非奇准则，得到了矩阵最小奇异值的三个新的下界。 1 9 9 9 年l il u o l u o 】将矩阵特征值包含域的k yf a n 和b r a u e r 定理，应用于矩阵奇异值 的估计，得到了相应的奇异值的包含域。2 0 0 0 年，l il u o l u o ”2 】基于对绝对行和的划分得 到了一个新的估计式。2 0 0 1 年，l il u o l u o i ”】又给出了新的结果。1 9 9 2 年，y r h o n g 和 c t p a n 4 1 利用矩阵的行列式和迹给出了矩阵的最小奇异值的下界估计式。1 9 9 7 年， y y i s h e n g ，g d u n h e 2 3 1 进一步利用矩阵的行列式和迹给出了矩阵a 的最小奇异值的下界 估计式。 目前，最小奇异值的下界估计仍吸引了不少学者对其进行研究，也出现了一些新的 思想方法，如利用矩阵的无向图( 见【1 4 】) ，或利用计算机算法来计算实现( 见【2 7 】) 。 1 1 2 矩阵的特征值 对于矩阵特征值估计的研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义， 且已有大量的研究文献。其中，主要包括两方面的工作：一方面是利用容易刻划的有界 集来估计一个矩阵的特征值，如g e r s g o r i n 圆盘定理及其推广( o s t r o w s k i 、b r a u e r 、b r u a l d i 等人的工作) h o f f m a n - w i e l a n d 定理等；另一方面是以变分原理为基础得到的关于对称矩 阵特征值的精确表达式，如r a y l e i g h - r i t z 定理及c o u r a n t f i s c h e r 定理等。 1 9 5 3 年，a j h o f f m a n 和h w w i e l a n d t 1 6 】给出了两个矩阵之差的特征值关系的如下 著名定理。 设b = c a ，a ，b ，c 均为n n h e r m i t e 矩阵，它们的特征值分别为：q 吒， 屈岛尾，门，2 以，则4 ，b ，c 的特征值之间有如下关系成立： 磊2 一q ) 2 h o f f m a n 和w i e l a n d t 是基于线性规划的理论证明这一定理的，文 1 7 给出了 h o f f m a n - w i e l a l l d t 定理纯代数的证明。1 9 8 3 年，孙继广【1 8 - 1 9 1 推广了h o f r m a n w i e l a n d t 的结 果。1 9 8 8 年，方定法给出t h o f f m a n w i e l a n d t 定理的一个简化证明。2 0 0 4 年，伍俊良， 2 太原理丁大学硕七研究生学位论文 刘飞对h o f f m a n w i e l a n d t 定理进行了扩展，其基于实对称矩阵给出h o f f m a n w i e l a n d t 定理的一种对称形式，但其证明过程有错误。 1 2 本文主要工作 1 2 1 矩阵的奇异值 如何仅依赖于矩阵的元素来对其特征值进行估计一直是矩阵分析中非常重要和困 难的问题。在这方面，我们有著名的g e r s c h g o r i n 圆盘定理以及与之相关的o s t r o w s k i 定理、 b r a u e r 定理等等可以对矩阵的特征值进行估计。但是如果仅仅是简单的将上述定理应用 于矩阵奇异值的估计，往往得不到很好的结果。因此，如何仅依赖于矩阵元素来对其奇 异值进行估计也是近年来许多学者致力研究的一个问题。 本文给出非奇异矩阵4 的奇异值从大到小排列为如下形式： q ( a ) 0 - 2 ( a ) l 吒( a ) 0 ，令1 s k ，玎，我们利用代数一几何均值不等式以及 q 2 ( 4 ) + c r 2 2 ( a ) + l + 2 ( x ) = l l a l l ，2 ，q ( 彳) c r 2 ( 彳) lc r , ( a ) = l d e t a i ，给出矩阵奇异值 吼( 4 ) + l + q ( a ) 与o r k ( a ) l 乃( a ) 的界的一些不等式。而这些不等式仅仅用到k ，l ，n ，矩 阵的行列式和f r o b c n i u s 范数，最后我们用一些具体的例子来说明这些不等式的优越性。 1 2 2 矩阵的最小奇异值 我们首先基于矩阵的行列式和f r o b e n i u s 范数给出非奇异矩阵a 的最小奇异值的下 界估计式，且当i i a i i 。2 = 时，我们给出一个结论，在此结论的基础上，我们令口= 删， 其中矩阵4 为吲陶屏黼i a g ( 南，丽1n 高 ，给出矩阵4 的又一 个最小奇异值的下界估计式。最后结合一些例子来说明这些估计式的优越性。 1 2 3 两个h e r m i t e 矩阵之和特征值的一些性质 1 9 5 3 年，a j h o f f m a n 和h w w i e l a n d t 1 q 给出了两个矩阵之差的特征值关系的如下著 名定理： 太原理1 ：大学硕士研究生学位论文 设b = c - a ，a ，b ，c ：均为n x n h e 胁“e 矩阵，它们的特征值分别为：q - - o t 2 ， 届屐尾， 儿2 九，则a ，b ，c 的特征值之间有如下关系成立 窆移：主( 以一g ) 2 本文则给定两个h e r m i t e 矩阵a ，b 以及它们的特征值，给出了乘积矩阵a b 的迹的一 些不等式，进而得到如下结果： 设a ，b ，c 均为n x nh e r m i t e 称阵，它们的特征值依次从大到小排列为： 口2 7 n ，届屈成， y 2 n ，如果b = c + a ，则4 ，b ，c 的特征值 之间有如下关系成立： 宝屈z n 以+ q ) 2 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章用迹与行列式估计矩阵的奇异值 2 1 矩阵的奇异值 如何运用数值方法求解线性方程组a x = b 一直是科学计算的中心问题之一，而一个 线性方程组条件数的大小是决定其能否通过数值方法求解的关键i l l 。系数矩阵a 的奇异值 与其谱条件数密切相关。 设爿= ( q ) c ，不失一般性我们可以假设行珊并将一的奇异值按照递减次序排 列为 q ( a ) c r 2 ( a ) - l ( a ) o ， 其中，a 的奇异值盯( 爿) = a ( 彳一“) ，五( 删”) 表示矩阵彳彳”的特征值，a h 表示爿 的共扼转置。我们有： q 2 ( 爿) + c r 2 2 ( 彳) + l + 吒2 ( a ) = i i a i i ，2 = t r a ”a ， q ( 爿) c r 2 ( a ) l # , ( a ) = l d e t a i ， i i a l l ，2 = t r a ”a 和d e t 爿表示矩阵彳的f r o b e n i u s 范数与行列式。有关矩阵奇异值的详细论 述可以参见参考文献 1 、 2 2 。 1 9 9 4 年j k m e r i k o s k i ，h s a r r i a 和p t a r a z a g a 5 】利用矩阵的迹给出了如下的奇异值估 计式： 设a c ( 胛3 ) ，且1 k ，栉，则有 。笔k 盥4 - 1 、平 ，一 v， 。吼a ： ( 1 2 ) 太原理i ：大学硕十研究生学位论文 进一步又给出 i 删i 打 且当岫1 2 ，t r a “a ， q ，2 生兰璺s 幽+ ，一k + ln 亟兰鱼 1 一k + 1 。 2 2 用迹与行列式估计矩阵的奇异值 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 为了便于书写，我们记= 等( 1 七，s 胛) ，并且规定0 0 = 1 ，o x = o 由 代数一几何均值不等式可得如下引理。 引理2 1 设a c “”仰3 ) 是非奇异的，如果1 k 1 ，则 ( 。，l 吒) 叭2 ”- ( i d o a i ) 帆2 ( o 1 0 2 l 吒) 忧 立墨：生墨： k ( 2 1 ) ( 吒叫) 啦s 掣毕血掣丛， ( 2 z ) 咖方班吵小斟i k k 1 2 r ， 亿s ， 吒埘一阻t a | 2 6 ( 2 4 ) 厚 太原理下大学硕十研究生学位论文 引理2 2 ”1 设一c ( h 3 ) 是非奇异的，如果1 ，”，则： 吼2 + l 十盯2 ( f - + 1 ) 2 ( 吒+ l + 盯吼2 + l + q 2 ，一t + lj，一+ 1 定理2 3 设彳c 3 ) 是非奇异的，且1 k ，”，则 证明由 志( 啦吒2 广“s 南( 啦q 2 广“ 及引理2 1 可得( 2 6 ) 。 ( 笨等 2 墨：兰鱼： 鱼：生鱼： z k - i - l ， 峄一( 孚一) m 厂 推论2 4 设爿c ”3 ) 是非奇异的，且1 女，则 7 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 一 寸 讯j 旦 击 ：；、ij w l 4酞 上雕 ，、 、=、 h 一，匝， 一 等型卜 太原理| t 大学硕士研究生学位论文 a ( d e t a ) c r 卜吖 谢厂1 广 9 太原理【：大学硕士研究生学位论文 由上式及( 2 8 ) 式可知( 2 7 ) 成立。 因此 定理2 6 设a c 3 ) 是非奇异的，且1 七，珂，则 南一r 一由寿蝌 啦 证明令0 ， 0 x l + x 2 d - l + 毛= 口，x j x 2 lx n - 2 - b 则 毛 ( 爿a 阳可6 r 证明由代数一几何均值不等式可得 柑( 哔) ”1 ， 、不等式两边同乘以矗，得到 则 由于 所以 则 6 sa - - x n “矗， ( n o b s 一( 帅) “ 导6 + 三一) ” 导6 ， 毛日孚6 忙“+ 丢一州) ” 孚6 + 丢( 字6 州丁 而 ( 爿6 阳爿a r 推论3 1 设a 为n x n 正定矩阵，其特征值为： 五以 o 则 1 5 6 v j l 口一口 + 一l 口 一一 太原理t 大学硕士研究生学位论文 则 ”( 爿叫+ 丽1i i 百| j x n - i 叫”1 证明 由定理3 1 与 + 如+ a = t r a ， a 丸= d e t a 可得推论3 1 。 推论3 2 设a c 3 ) 是非奇异的，彳的奇异值按照递减次序排列为 q ( a ) 0 2 ( a ) l2 吒( a ) 0 吒 斟啦胁小赤ll n _ i i a e 叫2 r c s s ， 推论3 2 给出非奇异矩阵最小奇异值的第一个估计式。为了进一步给出主要结果， 我们需要以下推论及引理。 推论3 3v 发a e c 0 3 ) 是非奇异的，且1 2 = 聆，则 证明把俐i ，2 = 竹代入( 3 3 ) 式直接可得。 引理3 ，l 设a e c 3 ) 是非奇异的，d 是一个正定对角矩阵，若b = a d 则 嘶) 背 证明由8 4 。i l ：= 0 d 8 。l i ：d 叫l 丑。 l ：，即 l 太原理f ：大学硕十研究生学位论文 有 叫牛背 因为矩阵爿，p a ，a p ( 其中尸为置换矩阵) 有相同的奇异值r 我们用( 彳) ，q ( a ) ( i = 1 ，2 ，l ，疗) 表示矩阵a 的第所f ，第i 列的欧几里得范数。不失一般性，令 式。 其中 ( a ) 2 ( a ) l ，：，( a ) c i ( a ) - - c 2 ( a ) l 已( a ) 利用推论3 1 与引理3 2 ，我们得到非奇异矩阵彳的又一个最小奇异值的下界估计 定理3 2 设a c “”3 ) 是非奇异的，有 ( 彳) ( 爿叩陋刮一) ( 爿) 刚， ( 3 t ) 墨= 冉耕删n kn 一刚2 剖忡 s = 冉耕l l n - 1 ， - r d e t a l 2 旧捌”啦 证明扯肌其协堍( 高，丽1h 南卜满足推龇， 与引理3 2 的条件，因此 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 嘶) 背 吲爿，( 爿啦阻叫阳爿陋那r 吲彳删邮| a e t 4 晦高阳n k 盟n j n a e t 卵 尊枷”2 对于行的情况可由下式得到，令b = d a ，其中 则可得到定理3 2 。 3 3 数值例子 i 鸩，赤l 高 最后，我们给出几个例子来与以前的结果比较一下。 例令 r 20 4 ：ll 1 1 2 1 4 = 雕 、 o o o o 3 0 2 l l，l ，。，。，l = 4 、， 2 之 l 2 l 2 、， 3 1 o 7 2 0 6 o o 5 o l 4 o 2 3 ，。l = 4 8 太原理t 大学硕十研究生学位论文 我们用文 4 定理1 ，( 3 2 ) 式以及本文给出的( 3 3 ) 式，( 3 4 ) 式对以上矩阵 最小奇异以进行估计，其结果女h - v ： 文 4 定理1 ( 3 2 )( 3 3 )( 3 4 ) 4 0 3 1 40 3 7 50 3 7 70 3 2 1 以 0 4 7 l0 4 6 9 0 4 6 9 0 4 8 9 4 1 1 0 81 1 2 81 1 3 01 1 3 3 幺 1 2 1 31 2 5 71 2 5 81 3 4 9 1 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 第四章两个h e r m it e 矩阵之和特征值的一些性质 4 1 预备知识 对于矩阵特征值估计的研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义。且 已有大量的研究文献。其中，主要包括两方面的工作：一方面是利用容易刻划的有界集 来估计一个矩阵的特征值，如g e r s g o r i n 圆盘定理及其推广( o s t r o w s k i 、b r a u e r 、b m a l d i 等人的工作) h o f f m a n - w i e l a n d 定理等；另一方面是以变分原理为基础得到的关于对称矩 阵特征值的精确表达式，女l l r a y l e i g h r i t z 定理及c o u r a n t f i s c h e r 定理等。 1 9 5 3 年，a j h o f f m a n 和h w w i e l a n d t 给出了两个矩阵之差的特征值关系的如下著名 定理( 见 1 6 】) 。 设b = c a ，a ，b ，c 均为n x n h e r m i t e 矩阵，它们的特征值分别为：q 口，2 口， 届属孱，门y ：以，则彳，b ，c 的特征值之间有如下关系成立： 宝屈：n 一q ) 2 h o f f i m n 和w i e l a n d t 是基于线性规划的理论证明这一定理的，文【1 7 】给出了 h o f f m 觚- w i e l a n d t 定理纯代数的证明，文 1 8 1 9 】推广了h o f f m a n - w i e l a n d t 的结果，文 【2 0 1 给出了h o f f m a n w i e l a n d t 定理的一个简化证明文【2 1 】对h o f f m a n w i e l a n d t 定理进 行了扩展，基于实对称矩阵给出h o f f m a n w i e l a n d t 定理的一种对称形式，但其证明过程 有错误。本文则给定两个h e r m i t e 矩阵彳，b 以及它们的特征值，给出了乘积矩阵a b 的 迹的一些不等式，进而得到h e r m i t e 矩阵之和一+ 口的一些特征值不等式。 由文【1 5 有： 设矩阵= ( ) c ，若爿= 4 ”( a m 是指的共轭转置) ，则称4 为h 咖i t e 矩阵。 、1 2 o 彳帖= f 窆k 21 称为4 的f r o b e n i u s 范数。 k , , s o li t r a = 称为矩阵彳的迹。 太原理工大学硕士研究生学位论文 如果非负矩阵a r 的所有行和以及列和均为l ，就称a 是双随机矩阵。 引理4 1 矩阵a = ( a 。) c 为h e 丌n i t e 矩阵，则a 的所有特征值都是实数。 引理4 2 矩阵爿= ( a u ) c “”为h e r m i t e 矩阵，其特征值为 ，五，以，它们按 任意规定的次序排列，则存在一个酉矩阵u c “，使得u ”a u = d i a g ( 五, ，如，乃) 。 引理4 3 矩阵a r 是双随机矩阵，当且仅当对某个n _ 0 1 2 ，届压反， 儿“，如果b = c + a ，则a ，b ，c 的特征值 之间有如下关系成立： 屈2 ( 一十q ) 2 不难看出，这一结果与w i e l a n d t h o f f m a n 的结果具有某种形式的对称性，前者为两 个矩阵差的特征值不等式，后者为两个矩阵和的特征值不等式。它表明了两个h e r m i t e 矩 阵和的特征值的界。 证明由于a ，b ，c 均为n 。nh e r m i t e 矩阵，则 屈2 = t r b 2 = 印( 彳+ c ) 2 ，= l 太原理r 大学硕十研究生学位论文 = t r ( a 2 + c z + 彳c + c 2 1 = q 2 + 一2 + 2 t r ( a c ) ，i l，= l q 2 + 只2 + 2 q 一 ：窆心+ ) 2 推论4 3设a ，b 均为n nh c r m i t e 矩阵，它们的特征值依次从大到小排列为 q 口2 ，盔反属， 贝q i i a + , n ，f 窆( q + 训”，l ( q + 屈) 2j ， l 。l 惜b 蚣l 心一屈) 2l l 2 。、， ，= 1 该推论给出了两个h e r m i t e 矩阵和的f r o b e n i u s 范数的一个上界与差的f r o b e n i u s 范数 的一个下界，这一结果是w i e l a n d t h o f f m a n 定理与定理4 2 的一个推论。 一一奎堕望三奎兰堡主堕窒尘堂垡笙塞 参考文献 【1 d h g o l u b ，c f v a nl o a n ，矩阵计算( 袁亚湘等译) 科学出版社，北京，1 9 9 7 。 【2 】h w o l k o w i c z ，g p h s t y a n ，b o u n d sf o re i g e n v a l u e su s i n gt r a c e s ，l i n e a ra l g e b r a a p p l ，1 9 8 0 ，2 9 ：4 7 1 - 5 0 6 3 】h w