（计算数学专业论文）求解非线性不适定问题的几种双参数newton型正则化方法.pdf

2 0 0 7 上海大学博士学位论文 摘要 本文主要研究非线性反问题和不适定问题的求解许多实际应用领域常归结 为非线性反问题的求解，比如说参数识别问题，反散射问题，逆s t u r m l i o u v i l l e 同 题以及非线性第一类f r e d h o l m 方程的求解问题等目前，关于线性反问题和不适 定问题的理论工作已经相对比较完善，在实际应用中也取得良好效果，而非线性 反问题和不适定同题的理论和实践都还有许多需要完善的地方，而且非线性不适 定问题的理论工作开展的少，相互借鉴的地方有限非线性不适定问题研究的难 点在于它的非线性性、不适定性、及无限维性求解问题的关键是如何构造正则 化算子，如何构造参数选取准则使方法成为收敛的正则化方法 本文主要给出了几种带双参数的n e w t o n 型正则化方法我们首先给出了n e w t o n - 隐式迭代法，此时内层的正则化参数为内迭代步数，由h a n k e 准则来确定接着， 给出了一种带双正则化参数的n e w t o n 型方法，双正则化参数由修正h a n k e 准则确 定，并证明了带双参数算法的收敛性和稳定性上述的n e w t o n - 隐式迭代法可以看 作这种带双正则化参数n e w t o n 型方法的一种特殊情况数值例子显示了算法的有 效性但由h a n k e 准则确定正则化参数的方法还不能证明迭代解的收敛速率 其次，把t i k h o n o v 正则化方法应用到该线性化方程，然后利用s a m a n s l d i 思想把 一步n e w t o n 迭代与多步简化n e w t o n 迭代相结合，便得到了求解非线性不适定问题 的带双参数渐近简化牛顿方法，此时两个参数比值由b a k m s h i n s k i i 准则来确定在 外迭代，我们首先采用了先验选取准则确定迭代次数，分析了近似解的收敛性。 在适当的源条件等假设下，得到了近似解的按阶最优收敛速率 再次，在没有先验的光滑性信息情况下，为了获得最优收敛速率，利用先验 选取准则则变得不再实用，而利用不仅依赖于误差界6 而且依赖于扰动数据，的 后验停止准则是必要的接着我们就引进了k a l t e n b a c h e r 型后验停止准则和l e p s v a j 型后验停止准则，在k a l t e n b a c h e r 型后验终止准则中，只能给出v ( 0 ， 时的最优 收敛速率，在此终止准则条件下，为了获得v ， 时的收敛速率，必须对非线性算 子的非线性性假设加强，而这个加强的条件在实际问题中几乎不能验证为克服 此困难，引入了l e p s k i j 型后验停止准则，给出了v ( o ，胡un 时的最优速率证明 最后，值得一提的是，由于非线性不适定问题求解的难点之一是内层正则化 参数的选取，针对此问题，在最后一章我们提出了一种新的内层正则化参数的选 求解非线性不适定闸题的几种双参数n e w t o n 型正则化方法 取准则，它能更好地拟合线性化方程右端项的误差水平。这个新的准则结合在内 层采用隐式迭代法，由此得到的新方法与t i k h o n o v 方法和b a k u s h i n s k i i 方法进行了 比较，结果显示了该方法的优越性最后我们分别对内层的线性化方程采用隐式 迭代法或t i k h o n o v 方法，把这个新准则与h a n k e 准则和b a k u s h i n s k i i 准则进行了数 值比较，这个准则的优越性再次突现出来 关键词；非线性不适定问题；非线性反问题；收敛性；收敛速率；带双参数渐 近简化n e w t o n 型方法；n e w t o n 隐式迭代法；带双正则化参数的n e w t o n 一型方法； b a k u s h i s k i i 准则；h a n k e 准则；新准则；k a l t e n b a c h c r 型后验停止准则；l e p s k i j 型后 验停止准则；先验停止准则；参数识别问题 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 i l l a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w eh a v ed i s c u s s e dh o wt os o l v et h en o n l i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m s t h ep r o b - l e m si nm a n ya p p l i e dd o m a i n so f t e nc a nb ef o r m u l a t e da san o n l i n e a ri n v e r s ep r o b l e m , f o re x a m p i e ，p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e m ，i n v e r s es c a t t i n gp r o b l e m , i n v e r s es t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m a n dt h ef i r s tn o n l i n e a rf r e d h o l me q u a t i o n , e t c p r e s e n t l y , t h et h e o r yo fl i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m h a sb e e nr e l a t i v e l yp e r f j e c ta n dh a sf a v o r a b l eo t e c ti nt h ea c t u a la p p f i c a f i o n h o w e v e r , t h et h e o r y a n dt h ep r a c t i c eo f n o n l i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e mn e e dt ob ep e r f e c t e d t h e r ea r cf i n i t ea s p e n t st o u s ef o rr e f e r e n c eb c c a l l s co n l yf e wt h e o r i e so f n o n l i n e a ri n v e r s ep r o b l e m sh a v eb e e nd e v e l o p e d t h ed i f f i c u l t i e si nt h er e s e a r c ho f t h en o n l i n e a ri n v e r s ep r o b l e m sa r ct h en o n l i n e a r i t y , i l b p o s e d a e s s a n di n f i n i t y n o wt h ek e yf o rs o l v i n gt h ep r o b l e m si sh o wt oc o n s t r u c tt h er g i l l a 3 咖i 锄o p e r a t o r a n dh o wt oc h o o s et h ep a r a m e t e rt om a k em em e t h o di n t oar e g u l a r 函t i o nm e t h o d s e v e r a ln e w t o n - t y p er e g u l a r i z a f i o nm e t h o d sw i t hd o u b l ep a r a m e t e r sa r cp r e s e n t e di nt h e t h e s i s f i r s f l yw ep r e s e n t e dn e w t o n - i n a p l i e i ti t e r a t i v em e t h o da n dt h ei n n e rr e g u l a r i z a t i o np 啪m a 【盯i s i n n e r i t e r a t i ：v e n u m b e r w h i c h i s d e t e r m i n e d b y h a n k c m l e a t t h es 扣n e t i m e a n e w l o n - t y p o m e t h o dw i t hd o u b l er c g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r si sg i v e n t h ed o u b l er e g u l a r i z a t i o np a g a m e t e r sa r e d e t e r m i n e db yt h em o d i f i e dh a n k e sr u l e a n dn e w t o n i m p l i o ti t o r a t i v em e t h o dc a nb er e g a r d e d a sas p e c i a lc a s eo ft h i sn e w t o n - t y p om e t h o dw i t hd o u b l er c g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r s t h ec o n - v c c g e n c ea n dt h es t a b i l i t yo ft h et w om e t h o d sa l ep r o v e d a n dt h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o w t h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o dw i t hd o u b l ep a r a m e t e r s h o w n v e l , t h ec o n v e r g e n c er a t e so ft h e r e g u l a d z a f i o nm e t h o dw i 血h a n k er u l ec a n n o tb ep r o v e dn o w s e c o n d l y , a f t e rw em et h et i k h o n o vr e g u l m i z a f i o nt os o l v et h el i n e a r i z e de q u a t i o na n di l s e t h e i d e a o f s a m a n s k i i t oc o m b i n e t h e e - 咖p n e w t o n i t e r a t e w i t h t h e m o r e s t e ps i m p l i f i e d n e w - t o ni t v r a t e w ec d e r i v et h ea s y m p t o t i cs i m p l i f i e dn e w t o nm e t h o dw i t hd o u b l ep a r a m e t e r s t h e r a t i oo f t h et w op a r a m e t e r si sd e t e r m i n e db yb a k u s h i n s k i ir o l e i nt h eo u t e ri t e r a t i o n , w ef i r s t l y a d o p tap r i o r ir u l ed e t e m 讧n i n gt h eo u l 鼢 i t e r a t i o nn u m b e ra n da n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo ft h e a p p r o x i m a t i o ns o l u t i o na n dt h eo p t i m a lc o n v e r g e n c er a t e so f t h ea p p r o x i m a t i o nu n d e rt h ep r o p e r s o u l c gc o n d i t i o n t h i r d l y , u n d e r t h ec o n d i t i o n w i t h l l o a p r i o r is m o o t h n e s s i n o r d e r t oo b t a i n t h e o l y d n n l o o m v e r g e n c er a t e s ，i t i s n o t p r a c t i c a l t o u s e t h e 口p r i o r i n i l e a n d n i s n e c s a r y t o l l 暑c t h e a p o s t e r i o r i s t o p p i n gr u l ew h i c hn o to n l yd e p e n d so nt h el - t r o rb o u n d6b u ta l s oo nt h ev e r t u r b c dd a t a 少i n 求解非线性不适定问题的几种双参数n e w t o n 型正则化方法 t h ef o l l o w i n g ，w ei n t r o d u c et h ek a l t e n b a c h e r - t y p ra p o s t e r i o r is t o p p i n gr u l ea n dt h et e p s k i j - t y p e ap o s t e r i o r is t o p p i n gr u l e i nt h ek a l t a n b a c h e r - t y p eap o s t e r i o r is t o p p m gr u l e w ec a no n l yg i v e t h eo p t i m a lc o n v e r g e n c er a t ei ny ( 0 ，姐u n d e rt h i ss t o p p i n gr u l e ，i no r d e rt oo b t a i nt h e0 口1 1 - v e r g e n c er a t ei ny ，t h ea s s u m p t i o n so i lt h en o n l i n e a r i t yo f t h en o n l i n e a ro p e r a t o rh a st ob e m e n g t h o d h o w e v e r , t h es t r c n g , t h e n e dc o n d i t i o nc a nn o tb ev e r i f i e di nt h ea c t u a lp r o b l e m s t oc o n q u e rt h i sd i f f i c u l t y , w ei n t r o d u c et h et z p s k i j - t y p eap o s t e r i o r is t o p p i n gr u l ea n dp r o v et h e o p t u n a lc o n v e r g e n c er a t e si ny ( 0 ， un i nt h ee n o , i ti sw o r t h w h i l et om e n t i o nt h a tw ep r e s e n tab e wi n n e rs t o p p i n gr u l ei nt h el a s t c h a p t e rb e c a u s eo l l eo f t h ed i f f i c u l t i e st or e s o l v et h en o n l i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e mi sh o w t oc h o o s e t h ei n n e rr e g u l a r i z a t i e np a r a m e t e r a n dt h en e wr u l ec ms i m u l a t et h ee i t o yl e v e lo f t h er i g h t h a n d i nt h el i n e a r i z o de q u a t i o nn i c e l y c o m b i n et h en e ws t o p p i n gr u l ea n du s i n gt h ei m p l i c i ti t e r a t i v e m e t h o di nt h ei n n e ri m a t i o n , w eg e tan e wm e t h o d w ec o m p a r et h e m e t h o dw i t ht i k h o n o v m e t h o da n db a k u s h i m k i im e t h o da n dt h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h es u p e r i o r i t yo ft h en e w m e t h o d f i n a l l y , w eu s ei m p l i c i ti t e r a t i v em e t h o d0 1 t i k h o n o vm e t h o df o rs o l v i n gt h el i n e a r i z o d e q u a t i o na n dc a ) i n p a y et h en e wr u l ew i t hh a n k er u l ea n db a k u s h i n s k i ir u l e t h es u p e r i o r i t yo f t h e n e wr u l ei st a k e no i l k e yw o r d s ：n o n l i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m ；n o n l i m m ri n v e r s ep r o b l e m ；c o n v e r g e n c e ；c o n - v e r g e n c er a t e ；m y m v t o t i cs i m p l i f i e dn e w t o n - t y p em e t h o dw i t hd o u b l ep a r a m e t e r s ；n e w t o n - i m p l i c i t i t e r a t i v e m e t h o d ；n e w t o n - t y p e m e t h o d w i t h d o u b l e r e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s ；b a k u s h i s k i i s t o p p i n gr u l e ；h a n k es t o p p i n gr u l e ；n e ws t o p p m gr u l e ；k a l t e n b a c h e r - t y p eap o s t e r i o r is t o p - p i n gr u l e ；t e p s k i j t y p eap o s t e r i o r is t o p p m gr u l e ；ap r i o r is m p p i n gr u l e , p a r m n e t e ri d e n t i f i c a - t i o np r o b l e m 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名_ 易季j i z 日期：知吖，；，矽 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留，使用学位论文的规定，即；学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 导师签名发闭7 匆日期；加7 ；钞 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 第一章前言 近二十多年来，数学物理反同题已成为应用数学与计算数学中发展和成长最 快的领域之一；之所以如此，在很大程度上是受其他学科与众多工程技术领域的 应用中产生的迫切需求所驱动【2 2 】在许多应用科学与工程技术研究领域，如生命 科学地球物理，地质勘探、图像重建与恢复，材料科学，遥感技术、最优控制和最 优设计中都存在反问题( i n v e r s ep r o b l e m s ) 1 0 4 2 7 11 7 11 9 1 1 1 2 2 】那么什么是反问题 呢? 粗略地说，反问题是相对于正问题( d i r e c tp r o b l e m s ) 而言的按照j b k e l l e r 6 3 】 的提法，若在两个问题中，一个问题的表述或包含了有关另一个问题的全部或部 分的知识，我们称其中一个为正问题，另一个为反问题进而，我们称一个先前被 研究得相对充分或完备的问题为正问题，而称与此相对的另一个问题为反同题 反问题的有效求解对数学学科本身以及相应的应用科学都有着十分重要的意 义，有时还是闯题的关键所在，因此，对反f 弓题求解的理论和方法的研究已经成 为当代应用数学与计算数学学科中重要且活跃的领域 反问题具有一个共同的特征，就是所谓的“不适定性”关于。适定”( w e l l - p o s e d ) 和。不适定”( i l l - p o s e d ) 的概念是h a d a m a r d 为了描述数学物理问题与定解条件的合 理搭配，于2 0 世纪初引入的【2 9 设和y 均为度量空间( 分别称之为解空间与数据空问) ，算子彳：x y 映x 到y ，反问题可写成如下算子方程形式； a x = y ，x e 咒y e y( 1 0 1 ) 其中4 可为积分算子、微分算子或矩阵，或者说爿可为线性或非线性映射 定义1 o 1 称问题( 1 0 1 ) 为适定的，如果它同时满足下述三个条件： c l tv y ，都存在j x 满足方程( 1 1 0 。1 ) ( 孵的存在性) ； c 2 ；设y l ，咒ey ，若札鲍分别是方程( 1 | 0 1 ) 对应于如) ，2 的解，则衲砣 ( 解的唯一性) ； c 3 ：解x 连续地依赖于数据，懈的稳定性) 反之，若上述三个条件中，至少有一个不能满足，则称其为不适定的 上述的三个适定性条件无疑具有深刻的实际背景首先，对于实际问题而言， 我们自然期望其解是存在且唯一的。更重要的是，实际获取的数据资料都是近似 的，即我们实际处理的是近似数据( 爿“，) ，而不是。精确”数据似，力，因为。精 2隶解非线性不适定问题的几种双参数n e w t o n 型正则化方法 确”的数据往往是未知的若原始数据的小的误差将导致近似解对于真解的严重 偏离，则计算所得的结果将毫无意义 反问题的不适定性是问题本身所固有的一种特性如果没有关于欲求解的附 加信息( 例如，单调性，光滑性或有界性。或原始数据的误差界等等) ，这一本质 性的困难是无法克服的【明我们的任务就是要依据所能提供的关于解的附加信 息，尽可能多、尽可能稳定的恢复原问题的部分信息 2 8 】 我们首先粗略地从原则上探讨一下求解反问题的基本思路或可能的途径大 而言之，我们可以从算子一，饵空间x 和数据空间等几个方面做文章例如： 拓广或缩小解空间的范围，常常可增加问题的可解性( 例如，当上述算子方 程的古典解不存在时，可考虑所谓的最佳逼近解或最小二乘解) ；当问题的解不唯 一时，可对欲求解附加一些必要和可能的限制( 例如，取按某种度量为“最小”的 解) ，以建立解的单值性将这两点结合，可使适定性条件c l ，c 2 得到满足 o 熟知，紧集和定义在其上的连续算子具有很好的性质因而一个自然的想 法是：对于算子彳的定义域d “) c x 和值域r “) 施加一定的限制( 例如，将d 似) 缩 小为一紧集村，而将其值域r 似) 缩小到a m ) ，可能使得原问题变成在某一新的空 间偶( 例如，( 腿4 加) 上成为适定的 另一个途径是；将第一类算子方程转化为与之等价的第二类算子方程；因 为后者一般来说是适定的 固另一个更普遍的框架是采用正则化方法，即：用一族与原问题相。邻近”的 适定问题的解去逼近原问题的真解例如，若a 为正定算子，则第二类算子方程 a x + a x = y q 0( 1 ，0 2 ) 当参数a 较小时与第一类算子方程( 1 0 1 ) 是相“邻近”的；而此枣j - g t 子方程( 1 0 2 ) 对 于任何口 0 都是适定的又如，若令麒五蚰= i m x y l l z ，胪o ，力= l 眦一川2 + a l l - , t 1 2 ， 则最小化问题 r a i n ，膨。o ，y ) ，口 0( 1 0 _ 3 ) # “ 当参数a 较小时与问题m 硒m ( x ，力是相“邻近”的显然从逼近的角度来看，参数 a 不能取得太大，否则，辅助问题将与原问题相差太远然而，从数值稳定性的角 度来考虑，参数。又不可取的太小，否则，将因把原问题的不适定性。继承。的太 多而难于处理剩下的闯题是如何把参数a 选得大小适当以及如何确定选择参数 的原则，是否存在。最优参数。等 今后，我们将把式( i 0 1 ) 当作处理反问题的一般数学框架；当彳为线性算子 时，称其为线性不适定问题或反问题，否则称其为非线性不适定问题或反问题( 此 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 3 时般记为只曲) 常用的几种求解非线性问题的正则化方法将在下一章介绍，本 论文发展了几种新的求解非线性不适定问题的方法，因此下面简要介绍一下非线 性反问题 1 1 非线性反问题简介 关于线性反同题理论工作已经相对比较完善，在实际应用中也取得良好效果； 而非线性反问题的理论和实践都还有许多需要完善的地方，而且非线性反问题的 理论工作开展的少，相互借鉴的地方有限，因此需要回到线性正则化方法中寻找 灵感，我们将在下一章简单介绍几种线性正则化方法。 许多实际应用领域也常导致非线性反问题( 比如说参数识别问题，反散射问 题，逆s m m a - l i o u v i b e 问题以及第一类非线性f r e d h o l m 方程的求解问题等) 的求解 这类问题的一般形式是 f = y 其中f ：一为非线性算子，x ，均为h i l b e r t 空间我们希望：任取y y ， 存在x 使得以耐= y 在实际问题中，由于r ( 即未必是闭的，因此定义1 0 1 中 的c l 和c 3 难以得到保证，故问题( 1 1 1 ) 通常是不适定的我们假设f 关于i f 是 f r h e t 可微的，并记其导数为，( 曲，+ 为，o ) 的伴随算子 问题( 1 1 1 ) 的一个典型例子是第一类非线性积分方程： 一 h 】力= ih 丁，m ) ) d l口t b ，x x ，( 1 1 2 ) 其中，：一y ，t 是关于x 的非线性函数，鬟e ( 口6 h 明r 1 ) ，= 2 k 6 】， 并且x = h 1 “= i x ( r ) ，口 0 是定义于”上的一族分段连续的有界函数，如果它 满足下面的条件 i ) c 0 =s u p枷【鼬似) f 0 ； , e f o i m t 1 2 “) 记珞( ) = 1 一岛( 肌l ，有l i n k 川珞u ) ；0 ， o ； i i i ) 存在正常数c 0 ，使得 b a m c o ，y a , 0 成立，则称g 口q ) 为正则化逼 近函数，七u ) 为残量函数 设踟u ) 是一个正则化逼近函数，定义y x 的线性算子族 一叫l | 2 如= 踟似爿m = i 踟( ) d 日， 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 7 其中毋是爿的谱系，我们可以证明凡是一的正则化算子 ( 一) 连续型正则化方法 1 r m h o n o v 1 t , j 化方法( t i k h o u o vr e g u l a r l z a t i o n ) 2 7 1 0 3 2 2 】 按原始定义，它是由变分法导出的对于口，0 ，定义x 上的二次泛函 中。0 ) = i i a x 一，1 1 2 + n l l x l l 2 ，( 2 1 1 ) t i k h o n o v 正则化方法是以垂。( x ) 的极小点露作为方程( 1 0 1 ) 的正则化解，其中a 称 为正则化参数对于h i l b c r t 空间x ，和有界线性算子a ：爿一，由( 2 1 ，1 ) 的凸 性可知满足方程a + 村磁= 彳y ，从而有 = 似a + f 川一1 爿吵， ( 2 1 2 ) 忍= 叫_ + 竹1 a 称为硼蝴正则化算子，对应的逼近函数为g 口( ) = ：再i ； 2 a - 光滑正则化方法( a - s m o o t hr e g u l a r j t i o n ) 11 6 】 设p 20 ，x 弛，则x 的阶爿一导数定义为如) ；a ) - g x 在拖上定义泛 函 ，= ) l a x 一少1 1 2 + 删i p 。 ( 2 1 3 ) 其中是一的p 阶彳一导数一光滑正则化方法是以西。的极小点磕。作为方 程( 1 0 i ) 的正则化解对于h i l b e r t 空间x ，和有界线性算子a ：”y ，我们可证 在心上存在唯一的极小元也，它满足方程【( 4 一广“+ 卅= q 。爿y f y 由此可得 乇= 阻爿) f + 1 + 加_ 1 叫+ a y a y # 如， ( 2 i 4 ) 其中为p 阶一光滑正则化算子，对应的逼近函数为鼬。( _ ) = 万箬毛当_ 【f = 0 对，上式退化为t 茁h o n o v 正獬化遥近函数，此时即为t i k h o n o v 正则化方法 3 n 次迭代t i k h o n o v 正则化方法 2 4 】 迭代t i l 幽o n o v 正则化方法定义如下 。= 0 往1 5 ) 叫a + a 毋= 爿? ) ，+ a z 2 ( 2 1 6 ) 在( 2 1 6 ) 成立时，其解乇也就是下列问题极小化的解 ( 刁= i i a x 一，1 1 2 + a l l x 一= = ；i p ，( 2 1 7 ) 由此可得 = ，= 口“纠a + a 1 ) - i a ， ( 2 | 1 8 ) 8 求解非线性不适定6 可题的几种双参数n e w t o n 型正剥化方法 h 则其正则化算子如= 圣。矿1 似4 + a ) - i a + 。逼近函数为& = 口“1 0 + a ) - = 埠o i 0 4 ( + 口) ” 。 ( 二) 迭代型正则化方法 用迭代法处理各种正问题( 无穷维或有限维的适定问题) 已有悠久的历史，因 两开发了许多有效的求解正同题的软件可引用面且，迭代法还有这样的优点， 当将无穷维的问题转化为有限维问题( 线性代数方程组) 后，迭代过程不会破坏 系数矩阵彳的结构，而且存储量较之直接法要节省；这对于求解大规模的阿题是 相当有利的能否用迭代法来求解反问题? 回答是肯定的人们发现，用迭代法 求解反问题时会出现所谓的。半收敛”现象，即，在迭代的早期阶段，近似解可稳 定地得到改进，展现出。自正则化”的效应，而迭代次数超过某一阀值后便趋向 发散因而关键的问题是寻找一个合适的终止原则，使得迭代次数与原始数据的 误差水平相匹配研究表明，迭代指数，即迭代步数正好起到了前述连续正则化 方法中的正则化参数。的作用，而这个终止准则正对应着正则参数的某种选择方 法。下面我们介绍几种线性不适定问题的常用迭代方法。 1 l a n d w e b e r 迭代法 2 2 1 2 2 】 l a n d w e b e r 建议使用如下的迭代格式： 般= 珏1 + 洲+ ( ) 一一址1 )