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高等数学第一章综合练习题（一）参考答案一、填空题1函数的定义域为 。提示：即解不等式组，可得2设函数的定义域为，则的定义域为 。提示：即解不等式：。3若函数的定义域为，则函数的定义域为 。提示：即解不等式。4若函数的定义域为，则函数的定义域为 。提示：即解不等式5若函数的定义域为，则函数的定义域为 。提示：即解不等式，可得6函数的定义域为 。提示：即解不等式组，可得7若极限，则 2 ，。提示：要使此极限存在，则，即，所以； 又，所以。8若时函数与是等价无穷小，则， 2 。提示：由于所以，。9若时函数与是等价无穷小，则 ， 3 。提示： =，由提示知，所以。10若，则 1 ， 5 。提示：因为，即则11若，则 2 ，。提示：要使此极限存在，则，即，所以； 又，所以，。12. 极限 3 。提示： 第一个极限用的是有界函数与无穷小的乘积还是无穷小;第二个极限用的是第一个重要极限。13. 极限 3 。提示： 注意与第六题的不同之处。14若时，是比高阶的无穷小，则的取值范围是 。提示： 由题意是比高阶的无穷小知，所以。15若，则的取值范围是。提示：16函数的反函数是 。17. 函数的反函数是 。18 如果，则 。提示： 所以：。19 如果，则= 。 提示：设，则 所以。20设，则。提示：提示：令可得，在把带入即可。高等数学第一章综合练习题（二）参考答案一、单项选择题1下列结论不正确的是（ C ）。 A基本初等函数在其定义域内是连续的 B基本初等函数在其定义区间内是连续的C初等函数在其定义域内是连续的 D初等函数在其定义区间内是连续的2. 下列说法正确的是（ D ）A无穷小的和仍为无穷小 B无穷大的和仍为无穷大C有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大 D. 收敛数列必有界3若无穷小量与是等价的无穷小，则是（ D ）无穷小A与同阶不等价的 B与等价的 C比低阶的 D比高阶的4 设函数在闭区间上连续，则下列说法正确的是（ C ）A必存在 B必存在 C必存在 D. 必存在5. 下列说法不正确的是（ B ）。A两个无穷小的积仍为无穷小 B两个无穷小的商仍为无穷小C有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 D. 在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小6偶函数的定义域一定是（ B ）A.包含原点的区间 B.关于原点对称 C. D.以上三种说法都不对7若是奇函数，是偶函数，且有意义，则是（ A ）。偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数或偶函数8下列函数中,( B )是奇函数. A B C D9若在内单调增加,是单调减少,则在内( B )A.单调增加 B.单调减少 C.不是单调函数 D.无法判定单调性10函数的图形对称于直线（ C ）A. B. C. D.11若是奇函数,且对任意实数,有,则必有( B )。A. B. 0 C.1 D.212下列各式中正确的是（ A ） 13若，则（ C ）A B C D提示： 14设，则等于（ D ）。 提示：设，则 （因为，所以） 所以15设，则（ C ）。 提示：，令，则 故16极限（ B ） 不存在17当时，的极限是（ D ）。A0 B C D不存在提示：，所以当时，的极限不存在18当时，的极限是（ D ） 不存在提示：；当时，的极限不存在。19设，则（ D ）。 A1 B不存在 C D提示：?20若时，则（ ）提示： 高等数学第二章综合练习题参考答案一、填空题1若在处可导，且，则 。提示：根据导数的定义 所以可得： 2设在处可导，且，则 。提示：3若，则 。提示：由题意知：且 4设函数在处二阶可导，且，则。提示：5若曲线与曲线相切，则 。提示：两条曲线相切，说明有一个交点，所以还说明他们具有共同的切线，所以切线的斜率相同，即所以可以得到：，即。所以可得6若极限，则 。提示：7设函数在处可导，且，则 1 。提示：8若，则。提示：9设，则 提示：由知： 10设，则微分 。提示：用对数求导法求的导数为： 所以二、单项选择题 1若。则（ D ）。提示：2已知为可导的偶函数，且，则曲线在处的切线方程为（ A ）。提示：3设曲线在处的切线是水平的，则当时，较之 为（ D ）无穷小。A同阶不等价 B等价 C低阶 D高阶提示：因为曲线在处的切线是水平的，所以 即，所以较之为高阶无穷小。4设，则（ B ）提示：令，则，则，所以5设可导，则（ C ）提示：6函数在处是（ C ）。A连续且可导 B不连续不可导 C连续不可导 D不连续但可导提示：，所以所以该函数在不可导。但是从图形上看该函数在点连续。7下列函数中在点处连续但不可导的是（ C ）。解：根据连续与可导的关系，可导一定连续，知，不连续一定不可导。所以下面的函数中， 在处没有定义，所以一定不连续，所以一定不可导 在处没有定义，所以一定不连续，所以一定不可导 处即可导也连续 ，所以，所以不可导。8设函数在处可导，且，则（ C ）。 提示： 9函数在点处可导，下列极限等于是（ C ）。 提示： 10设在处可导，当由增至时，极限（ A ）.A0 B1 C D不存在提示：根据在处可导知在处可微，由可微的性质知： 是的高阶无穷小，所以（计算）10.设，求导数解：当时，当或时，又 所以及均不存在 所以高等数学第三章综合练习题（一）参考答案一、填空题1曲线的垂直渐近线方程为。提示：垂直渐近线是：若，则称直线为曲线的垂直渐近线。 所以对本题有：当时， 即为其垂直渐近线。2曲线的渐近线方程为。提示：显然根据垂直渐近线的定义知道，该曲线没有垂直渐近线 斜渐近线是指：若，则直线为曲线的斜渐近线。其中中的参数和是由极限和确定。所以对本题 所以有渐近线为直线又，所以时无渐近线。所以该曲线仅有一条渐近线为3曲线的斜渐近线方程为。提示： 所以斜渐近线为与4曲线的斜渐近线方程为。提示： 所以斜渐近线为5曲线的斜渐近线方程为。提示： 所以斜渐近线为6曲线的斜渐近线方程为。提示： 所以斜渐近线为与7曲线的垂直渐近线方程为 。提示： 所以垂直渐近线为8函数在区间上的最小值为 ，最大值为 10 。提示： 令，得， 计算9若点为曲线的一个拐点，则 ，。提示：因为点为曲线的一个拐点，所以有：，且在该点处 即：，所以解之得：10设有连续导数，且，则 。提示： 倒数第二个等号用到了条件有连续导数，所以且。二、单项选择题1设在上可导，且，则在内至少有一点，使得（ B ）。不存在提示：因为在上可导，所以由拉格朗日中值定理知：在内至少有一点，使得 又，所以2设，且当时，有，则当时，有（ B ） 以上都不对提示：令，所以，且 所以当时，即3若二次可微，且是它的一个拐点，则处必有（ A ）成立。 取得极值 切线不存在 取得极值 以上都不对提示：因为二次可微，则存在，又是它的一个拐点，所以可知，所以在该点取得极值。4设函数可微，则当时，较之为（ D ）无穷小A同阶不等价 B等价 C低阶 D高阶 提示：因函数可微，所以由定义知：，且，所以。5若，则点一定是函数的（ B ）。A极大值点 B极小值点 C最大值点 D最小值点提示：由知，根据极值的第二判别定理知，函数在该点一定取得极小值。6 下列各函数在上满足罗尔定理条件的是（ A ）提示：在点没有定义 在点不可导 时，7设在上连续，在内可导，且，则在内曲线上至少有一条切线平行于直线（ D ）。 提示：设在上连续，在内可导，且，由拉格朗日中值定理知：在内至少存在一点，使得即该点的斜率为。8. 下列各函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是（ B ）提示：的定义域为 的定义域为 的定义域为9若，且，则上（ D ）成立。 单调递增 单调递增10曲线 （ C ）。 仅有垂直渐近线 有斜渐近线 有斜渐近线 没有渐近线提示：见第一题第四小题。11设点是曲线的拐点，则（ A ）。 为任意实数， 提示：点是曲线的拐点，说明：（1） （2）,即 （3）若，则曲线为直线，无拐点。12. 是偶函数，且在内有，则在内有（ C ）。A， ， ，提示：利用偶函数图像关于轴对称可得13. 是奇函数，且在内有，则在内有（ D ）。A， ， ，提示：利用奇函数图像关于原点对称可得14提示：高等数学第四章课外综合练习题参考答案一、填空题1若不定积分，则 。解：记则所以2已知的一个原函数为，则 。解：=3若不定积分，则 。解： 4若不定积分，则 。解：5不定积分= 。解：6不定积分= 。解：=7不定积分 。解：8已知的一个原函数为，则 。解：=9若，则不定积分 。解：记则10不定积分= 。解： = （）二、单项选择题1设，且，则=（ B ）。 . . . .注意：不定积分的定义2设，则的结果是（ C ）。A B C D 注意： （）3若，则下列等式中一定成立的是（ B ）。A B（C为某常数）C D注意：原函数的有关性质4 等于（ A ） A B C D注意：性质有5下列等式中不成立的是（ C ）。A. B. C. D. 注意：不定积分的性质6（ C ）。A B C D注意：分部积分公式7设，则（ D ） 。A. B. C. D. 注意：三、计算题1求不定积分：解：设，则原式= =2求不定积分：解： = （）3求不定积分：解：令 ，则 原式=4求不定积分：解：令 ，原式5求不定积分：解： 6求不定积分：解：= =7求不定积分：解：令，则 8求不定积分： 解：令，则： 原式=+=+-所以：原式=9求不定积分：解：设 原式= =10求不定积分：解：令 ，则高等数学第五章课外综合练习题（一）参考答案一、填空题1设为连续函数，且，记，则 。提示：因为 所以2设为连续函数，则= 0 。提示： 3设为连续的偶函数，且，则_ _ 。提示：因为为连续的偶函数，所以4设为连续的奇函数，且，则_ _ 。提示：因为为连续的奇函数，所以05设是的一个原函数，则定积分 。提示：因为为的原函数，所以 所以=16由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。提示：（草图略）以为积分变量，则所围成的平面图形的面积7由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。提示：（草图略）以为积分变量，则所围成的平面图形的面积8由曲线与直线及直线所围成的平面图形的面积为 。提示：（草图略）以为积分变量，则所围成的平面图形的面积9由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。提示：（草图略）以为积分变量，则所围成的平面图形的面积10由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。提示：（草图略）以为积分变量，则所围成的平面图形的面积11定积分= 。提示：令，则所以12定积分 。提示：13定积分_ _ 。提示：14极限= 。提示：原式=15设可积，且有，则 。提示：= 所以二、单项选择题1极限（C）。A B0 C1 D2提示：2设，其中是连续函数，则（ C ）。.0 . . .不存在提示：3设是可导的连续函数，则等于（ D ）A. B. C. D.提示：4设，则下列不等式成立的是（ D ）。A B C D提示：利用奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为零，可以得到，所以：5下列定积分中，其值为零的是（ D ） A B C D提示：因为是奇函数6设，其中是连续函数，则（ D ）。.0 . . .提示：7提示：因为定积分是一个确定的数，所以其导数为零。8设为连续的偶函数，且，则等于（ B ）。A. B. C. 0 D. 2提示：9设为上的连续函数，则曲线，及轴所围成的曲边梯形面积为（C）A B C D 提示：利用定积分的几何意义。10设为连续函数，记，其中，则的值（ C ）A依赖于和 B依赖于、和 C依赖于和，不依赖于 D依赖于，不依赖于提示：定积分只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。高等数学第五章课外综合练习题（二）参考答案一、计算下列极限1 解：2解：原式=3 解：原式= =24 解： 二、计算下列积分1 解：令，则原式=所以：原式= 2 解： 所以 3 解：原式= = = =4 解：令，则：原式=所以：原式=5 解： 所以6 解：令，则 7 原式= = =8 解：令，则 9 解： 10解：原式= = =高等数学第五章课外综合练习题（三）参考答案一、设，试求积分：解： =二、设，试求定积分：解： 三、 已知及，求定积分解： 四、设具有二阶连续导数，证明证明：因为 ） 所以：五、 设函数在区间，上连续，且，记，证明方程在区间（，）内有且仅有一个实根。证：因为 所以 从而在上可导，且在上是单调增的 又， 所以， 即方程在区间内有且仅有一个根六、 设函数在区间0，1上连续，证明证：令，则时， 时， = = 所以 七、 设二阶可导，证明：证明：左式=右式 八、 设，其中为正整数，证明：证明： 九、 设函数在区间，上连续，证明：，并计算。证明：因为 所以：因此十、设在上可导，且满足条件，证明：在区间内至少存在一点，使得等式=0成立。证明：设则 其中且在上可导所以由罗尔定理得：在内至少存在一点，使得又， 故结论成立。高等数学第六章课外综合练习题参考答案一、求下列方程的通解1 解：原方程可改写为 分离变量得： 上式两边同积分，得： 即