（运筹学与控制论专业论文）holey+mendelsohn+triple+system+of+type+gtu1for+g≡0（mod+3）.pdf

摘要 有向完全多部图d 珞。，他靠 ，是指这样的图，它的顶点集x 可以分解为h 个 ( 非空) 子集，x = u 1 0a n dt 3 ，o rt 芸2a n dt = g ，o rt 盘1a n dt = 0 o rt = o ； 2 矿t ( t 一1 ) 一矿t 兰0 ( r o o d3 ) ； 3 t t g ( t 一1 ) o r 旷= 0 p r o o f ：s u p p o t h a t ( x ，9 ，召) i sa nh m t so ft y p eg t u ，w h e r elx 降 秒，a n dt h el o n gg r o u ps e ti sd e n o t e db yyw i m l yl 篁饥b yt h ed e f i n i t i o no f ， 一 a nh 吣f r s ，n ob l o c ki n 召c a nc o n t a i nt w oo rm o r ep o i n t sf r o my c o n d i t i o n1m o u n t st os a y i n gt h a tt h e r ec a nn o tb ee x a c t l yt w o g r o u p s a n d i ft h e r ee r e e x a c t l yt h r e eg r o u p s t h e y m u s tb ee q u a li ns i z e t os e et h ef i r s t ，o b s e - r y et h a ta n y b l o c ki n t e r s e c t se x a c t l yt h r e ed i f f e r e n tg r o u p s ；f o rt h es e c o n d ，o b s e - i v et h a tt h en u m b e ro fb l o c k sm e e t i n gt w os p e c i f i e dg r o u p se q u a l st h ep r o d u c t o f t h et w og r o u ps i z e s ，t h a ti s9 2 = g u i ri se a s yt os e eg = 饥 f o r2 ，t a k ea n y 可y ，t h e ra r ee x a c t l y 夕tb l o c k si n 召c o n t a i n i n g 暑，c o m e - q u e n t l y ，t h e r ea r e 旷ub l o c k si nbi n t e r s e c t i n gy a n dt h e s eb l o c k sc o n t a i na l t o - g e t h e ra t u o r d e r e dp a i r sw i t ht w op o i n t sb o t hi nx h o w e v e r ，t h e r ea r e9 2 t ( t 一1 ) o r d e r e dp a i r sw i t ht w o p o i n t sb o t h i nxa n dt h er e m a i n i n g 9 2 t ( t 一1 ) - a t uo r d e r e d p a i r sm u s ta p p e a r i ns o m eb l o c k s ，e a c ho fw h i c hc o n t a i n s3o r d e r e dp a i r s t h u s t h ec o n d i t i o n2i so b v i o u s f i n a n y ，f i xa ne l e m e n t xo fa g r o u po fs i z eg ，a n do b s e r v et h a te a c h e l e m e n t i nym u s ta p p e a ri nt w ob l o c k sc o n t a i n i n gza n ds o m eo t h e re l e m e n tn o ti ny c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 4 s i n c eza p p e a r si n2 9 ( t 一1 ) s u c ho r d e m d p a i r s ，t h ei n e q u a l i t yf o l l o w s 1 c h a r l e s 工c o l b o u m ，d e a ng h o f f m a n ， t e n c eo f 3 - g d do ft y p eg t ui n 【3 】 t h e o r e m 1 5 【2 】2 l e tg ，ta n dub en o r m e g a t i v ei n t e g e r s t h e r ee x i s t sa 3 - 1 3 d d o fg r o u p - t y p e 矿t i fa n do n l yf it _ h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ea l ls a t i s f i e d ： 1 i fg 0 ，t h e nt 3o rt = 2a n d t = g ，o rt = 1 a n dt = 0 ，o rt = 0 ； 2 t g ( t 一1 ) o r 矿= o ： 3 g c t 一1 ) + 珏兰0 ( r o o d2 ) ； 4 旷童0 ( r o o d2 ) o ru = 0 ； 5 壶p t ( t 一1 ) + 咖兰0 ( r o o d3 ) f r o mt h e o r e m1 5 ，w eh a v et h ef o l l o w i n gl e m m a l e m m a1 2i ft h e r ei sa 3 一g d do fg r o u p - t y p eg 缸1 ，t h e na x l h 姗o ft y p eg t u l e x i s t s p r o o f ：f r o ma 3 - g d d o fg r o u p t y p e 矿u ，w ec a ne a s i l yo b t a i na nh m t s o ft h es a m et y p e i nf a c t ，i fe v e r yb l o c k 口，b ，c ) o ft h eg d di ss u b s t i t u t e db y t w o3 - c i r c u i t s ( 口，wc ) a n d ( b ，口，c ) ，t h e nt h eg d db e c o m e sa l lh m t so ft h e s a m e t y p e 1 w ee m p l o yb o t hd i r e c ta n dr e c u r s i v em e t h o d st op m v et h em a i nr e s u l t si n t h i s p a p e r ： t h e o r e m1 6l e tg ，t ，a n dub en o n n e g a t i v ei n t e g e r sa n dg 兰0 ( r o o d3 ) ，u 夕 一1 ) t h e nt h e r ee x i s t sa nh m t s o ft y p e g t 1 c h a p t e r 2 p r e l i m i n a r i e s t op r o v et h em a i nt h e o r e m ，w er e c a l ls o m e p r e l i m i n a r yr e s u l t st h a ts e t t l e p a r t so fo u rp r o b l e m f i r s to b s e r v et h a tw h e n 旷= 0 ，t h ed e s i g ni st r i v i a l i t h a sn ob l o c k s h e n c ef o r t hw ea s s u m et h a tga n dta r ep o s i t i v e w ea l s oa s s u m e t h a tui sp o s i t i v e is i n c et h ee x i s t e n c eo fa nh m t so f t y p e 寸i sc o m p l e t e l ys e t t l e d i nt h e o r e m1 1 ee b e n n e t ta n dc h e nm a o r o n g 【2 】2 p r o v e dt h ef i r s te s s e n t i a lr e s u l ts e t t l i n g p a r to ft h es u f f i c i e n c y ，t h a ti sh m t s o ft y p el t u lw h e r e 让t l ： t h e o r e m2 1 2 t h e n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fa ni n c o m p l e t em e n d e l - s o h nt r i p l es y s t e m ，d e n o t e db yi m t s 扣，n ) ，n a m e l y ，( t ，一n ) ( t ，一2 n 一1 ) 亳0 ( m o d3 ) a n du 之2 n + 1 a r ea l s os u f f i c i e n t ，e x c e p tf o rt h ec a s ew h e r e ( t ，n ) = ( 6 ，1 ) l e m m a2 1t h e r ee x i s t sa nh m t so ft y p e2 3 u 1 ，w h e r eu 4 p r o o f ：f o ra n y 缸兰0 ( r o o d2 ) ，t h e r ee x i s t sa 3 - g d d o ft y p e2 s u 扣4 ) b yt h e o r e m 1 5 t h e nf r o ml e m m a1 3 ，a nh 椰o ft h es a m et y p ee x i s t s n o w ，f o rt h ec a s e 牡兰1 ( r o o d2 ) ，n a m e l yh m t s s o f t y p e2 3 1a n d2 s 3 ，w e n e e dt h ef o l l o w i n gd i r e c tc o n s t r u c t i o n s h m t so ft y p e2 3 1 ： p o i n t s ：磊u o o ) h o l e s ： b l o c k si ： ( 037 ) ( 095 )+ 1 ( r o o d1 2 ) b l o c k si i ： ( 012 ) ( 0 1 11 ) ( o o02 ) ( o ol1 1 )+ 2 ( m o d1 2 ) h m i so ft y p e2 6 3 ： p o i n t s ：z 1 2uo o ii1 i 3 ) h o l e s ： a ，i + 6 l0 i 5 ) u o o ii1 i 3 ) b l o c k s h 0 0 105 ) ( 0 0 208 ) ( 0 0 307 ) ( 0 13 ) ( 01 19 ) + 1 ( r o o d1 2 ) b l o c k si i ： ( 048 )+ 3 ( m o d1 2 ) h m t so ft y p e2 e 5 ： c h a p t e r2p r e l i m i n a r i e s 7 p o i n t s ：z 1 2u0 0 ii1 i 5 ) h o l e s ：t 矗，t4 - 6 ) l05i 5 uo o ii1 i55 ， b l o c k s i ： ( 0 0 109 ) ( 0 0 208 ) ( 0 0 3 07 ) ( 037 ) + 1 ( r o o d1 2 ) b l o c k s ： ( 0 0 423 ) ( 0 0 402 ) ( 0 0 411 1 ) ( 012 )( 01 11 0 ) ( 0 0 524 ) ( 0 0 501 0 ) ( 0 0 510 )+ 3 ( r o o d1 2 ) h m t so ft y p e2 6 7 ： p o i n t s ：z buo o ii1 i 7 ) h o l e s ： a ，i4 - 6 ) l0 冬i 5 ut i1s l57 ) b l o c k si ： ( 0 0 101 )( o o , 202 )( 307 ) ( 0 0 408 )( 0 0 509 ) ( 0 0 801 0 ) ( 0 0 7 01 1 ) ( 0 37 ) + 1 ( r o o d1 2 ) h m t so ft y p e2 6 9 ： p o i n t s ：z 1 2u 。o o ii1 i 9 ) h o l e s ： a ，l + 6 ) 10 t 5 ) uo o ii1 i 9 ) b l o c k sh ( o o l01 ) ( 0 0 202 ) ( 0 0 303 )( 0 0 405 )( 0 0 507 ) ( 0 0 608 ) ( 0 0 r09 ) ( 0 0 801 0 ) ( 0 0 901 1 )+ 1 ( r o o d1 2 ) b l o c k sl h ( 048 )+ 3 ( m o d1 2 ) l e m m a2 3l e tt 量0 ( r o o d3 ) ，t 3 ，6a n d0 t 2 ( t 一1 ) t h e nt h e r ee x i s t s a nh m t so ft y p e2 t u l p r o o f - f o ra n y ts a t i s f i e dt h ec o n d i t i o n ，t h e r ei sa ( 3 - r g d do ft y p e2 f r o m t h e o r e m1 4 a n da nh m t so ft y p el s uw h e r eu 2a l s oe x i s t sf r o mt h e o - 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r g d do ft y p e 户 f r o mt h e o r e mi 4a n da nh m t so ft y p el uw h e r eu 盂一1a l s oe x i s t sb yt h e o r e m z 1 。 s t a r tw i t ha 3 - r g d do ft y p et 3 s e l e c tap a r a l l e lc l a s sa sag r o u ps e to fa 【3 ，t - g d do ft y p e3 。d e n o t i n gb y ( x 0 ，9 0 ，b 0 ) 衍mt lt r i p l ep a r a l l e lc l a s s e s 只，恳，最一1a n do n ep a r a l l e ld a s s 最o f s i z et f i r s t ，f o re a c h t r i p l ep a r a l l e lc l a s s e s 只( 1 i t 一1 ) ，a d d t l ii d e a lp o i n t s ( d e n o t e t h e s e t b y 阢w i t hl 阢i = 2 ) ；f o r e a c h b l o c k b 最，p l a c e a n h m t s o ft y p e1 3 t io nt h ep o i n ts e tbu 矾w i t ht h eg r o u ps e t ( 口) ：口毋) u 阢a n d d e n o t i n gt h eb l o c ks e tb yc a s e c o n d l y ，t o 晟，a d d t ti d e a lp o i n t s ( d e n o t et h e s e t b y 阢w i t hi 仉1 t f t 一1 ) ；f o re a c hb l o c ka 最，p l a c ea nh m t s o f t y p e 1 。t io nt h ep o i n ts e tau 阢w i t h t h eg r o u ps e t 口】- ：d a ) u 阢a n dd e n o t i n g t h e b l o c k s e t b y c c h a p t e r2 p r e l i m i n a r i e s 9 t t n o wl e tu 蛊u 阢，t h e n lul = t = 坂2 ( t - 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