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高维中子输运方程的离散格式与并行算法研究 摘要 针对高维中子输运方程的数值模拟，基于在应用中提出的问题和未来发展的 需求，本文研究了二维离散格式的“对称性”问题，并对三维差分方程作了离散 解的先验估计以及并行和加速收敛算法的设计、应用，得到了若干具有理论和实 际意义的成果。 全文共分八章。 第一章为前言，介绍了粒子输运计算方法的研究背景和发展动态。国际上介 绍了美、俄等国的一些研究状况，其中以美国l o sa 1 a m o s 国家实验室半个多世 纪以来在相关算法研究和程序研制方面的代表性成果为重点；特别是结合并行计 算机的发展简述了输运问题并行算法的研究发展动态；关于国内的动态，以我所 为主作了简要叙述；同时还概述了本文的研究工作及其创新。 第二章介绍了中子输运方程及其离散格式。从粒子输运的基本概念和输运方 程的般形式入手，重点讨论了三维直角坐标中子输运方程和隐式差分格式，以 及二维柱坐标中子输运方程和间断有限元格式。 在第三章中，运用离散泛函分析的手段，对三维中子输运方程的差分解及其 时问、空间差商进行了先验估计，从而得到了差分解的稳定性和收敛性，也为三 维问题的应用研究打下了初步的理论基础。 第四章深入讨论了二维柱几何非定态中子输运方程离散格式的“一维球对称 性”问题，这是多年来在实际应用中存在的疑难问题。通过理论上的探索，得到 了对实际应用具有指导意义的成果。 第五章研究了基于几何空间区域分解的三维非定态中子输运差分方程的并 行迭代算法，该算法达到了多处理机并行的高并行度和可扩展性。同时，还给出 了串、并行迭代的算法实现方式和误差估计。 为加速迭代收敛，第六章研究了三维非定态中子输运差分方程的多重网格算 法，给出了细致的算法描述和算法实现步骤。在此基础上，将几何区域分解与多 重网格算法相结合，提出了多重网格的区域分解并行算法，这也是本文的重要成 果之一。 高维中予输运方程的离散格式与并行算法研究 第七章介绍了实现以上算法的串、并行程序编制和计算的情况，给出了多个 模型的串、并行数值计算结果以及对相关数值结果的分析和比较。 第八章为本文研究工作的主要结论。 关键词：中子输运方程，离散格式，先验估计，并行算法，多重网格 高维中子输运方程的离散格式与并行算法研究 a b s t r a c t m o t i v a t e d b y i s s u e sf r o m a p p l i c a t i o n sa n dr e q u i r e m e n t si nt h ef u t u r e ，t h i sp a p e r i sf o c u s e do ut h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sf o rt h em u l t i - d i m e n s i o n a ln e u t r o nt r a n s p o r t e q u a t i o n f i r s t l y , t h e “s y m m e t r y 7p r o p e r t yo f t h et w o d i m e n s i o n a ld i s c r e t es c h e m e s a n dt h ep r i o re s t i m a t e so ft h et h r e e d i m e n s i o n a ld i s c r e t es o l u t i o n sh a v eb e e ns t u d i e d i nt h e o r y t h e n ，t h ep a r a l l e la l g o r i t h m sa n dt h ec o n v e r g e n c ea c c e l e r a t i o nm e t h o d s h a v eb e e nd e s i g n e da n da p p l i e ds o m e s i g n i f i c a n tr e s u l t sh a v eb e e na c h i e v e d e i g h tc h a p t e r sa r ei n c l u d e d i nt h i sp a p e r t h eb a c k g r o u n da n dt h ed e v e l o p m e n to ft h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a n i c l e t r a n s p o r ta r ei n t r o d u c e di nt h ef i r s tc h a p t e r t h e r e s e a r c hs t a t u so f u s aa n dr u s s i ae t c a r e i n v e s t i g a t e d ，w i t h t h e e m p h a s i s o nt h e r e p r e s e n t a t i v e a c h i e v e m e n t so l tt h e m e t h o d sa n dc o d e si nl a n li nr e c e n t5 0y e a r s e s p e c i a l l y , t h ed e v e l o p m e n to ft h e p a r a l l e la l g o r i t h m s f o r t r a n s p o r tp r o b l e m s c o m b i n e dw i t ht h a to ft h e p a r a l l e l c o m p u t e r si s d e s c r i b e db r i e f l y t h ed o m e s t i cs t a t u s ，m a i n l yb e i n gi ni a p c m ，i s i n t r o d u c e d ，f u r t h e r m o r e ，t h ew o r ka n di n n o v a t i o no f t h i sp a p e ra r es u m m a r i z e d t h en e u t r o nt r a n s p o r t e q u a t i o n sa n dt h e i rd i s c r e t e s c h e m e sa r ei n t r o d u c e di n c h a p t e r2 ，s t a r t i n gw i t ht h eb a s i cc o n c e p ta b o u tp a r t i c l et r a n s p o r ta n dt h eu n i v e r s a l f o r m o f t r a n s p o r te q u a t i o n ，t h ed i s c u s s i sc o n c e n t r a t e du p o nt h et r a n s p o r te q u a t i o na n d t h e i m p l i c i t d i f f e r e n c es c h e m eu n d e r3 - dc a r t e s i a nc o o r d i n a t e ，a sw e l la st h e t r a n s p o r te q u a t i o na n dt h ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n ts c h e m eu n d e r 2 一dc y 2 i n d r i c a l g e o m e t r y - i n c h a p t e r3 ，t h ep r i o re s t i m a t e s a b o u tt h e3 - dd i f f e r e n c es o l u t i o na n di t s d i f f e r e n c eq u o t i e n t so nt i m es p a c ea n dg e o m e t r y s p a c e a r em a d e b y m e a n so fd i s e r e t e f u n c t i o n a la n a l y s i s ，s ot h a tt h es t a b i l i t ya n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h e3 - dd i f f e r e n c e s o l u t i o na r eo b t a i n e d t h e “1 - d s p h e r es y m m e t r y ”p r o p e r t y o ft h ed i s c r e t es c h e m e sf o rt h e t i m e d e p e n d e n t n e u t r o nt r a n s p o r te q u a t i o nu n d e r2 - d c y l i n d r i c a lg e o m e t r y , w h i c h i sa 堕丝! 王塑堡查堡塑曼墼塑垄量茎! ! 竺鲨里塞 d i f f i c u l ti s s u e e x i s t i n g i n p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s f o r m a n yy e a r s ，i sd i s c u s s e d t h o r o u g h l y i nc h a p t e r 4 b yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s ，s o m er e s u l t sw h i c hc a n g u i d et h e a p p l i c a t i o n sa r ea c q u i r e d t h ed o m a i n d e c o m p o s i t i o np a r a l l e l i t e r a t i v e a l g o r i t h m f o rt h e3 - d t i m e d e p e n d e n tn e u t r o nt r a n s p o r td i f f e r e n c ee q u a t i o ni sp r e s e n t e di nc h a p t e r5 t h i s a l g o r i t h mi sh i g h l yp a r a l l e l i z a b l ea n ds c a l a b l e f u r t h e r m o r e ，t h ei m p l e m e n t a t i o na n d t h ee r r o re s t i m a t e sf o rb o t ht h es e r i a la n dt h e p a r a l l e li t e r a t i o na r ep r o v i d e d i no r d e rt oa c c e l e r a t ei t e r a t i v ec o n v e r g e n c e ，t h em u l t i g r i da l g o r i t h mf o rt h e3 - d t i m e d e p e n d e n tn e u t r o nt r a n s p o r td i f f e r e n c ee q u a t i o ni sr e s e a r c h e di nc h a p t e r6 t h e d e t a i ld e s c r i p t i o nf o r t h i sa l g o r i t h ma n dt h es t e p so f t h e i m p l e m e n t a t i o n a r e g i v e n c o m b i n i n gt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nw i t ht h em u l t i 鲥d a l g o r i t h m ，t h e d o m a i n d e c o m p o s i t i o nm u l t i g r i dp a r a l l e la l g o r i t h m i sp o s e d i nt h e7 t hc h a p t e r , t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sc o n c e r n e di nt h ea b o v es e r i a la n d p a r a l l e la l g o r i t h m sa r ei n t r o d u c e d ，a n dt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sa b o u tv a r i o u sm o d e l s a sw e l la st h ea n a l y s i sa n dc o m p a r i s o n a r e 百y e n t h ec o n c l u s i o n sf o rt h er e s e a r c hw o r ko ft h i s p a p e ra r es u r v e y e di nt h el a s t c h a p t e r k e y w o r d s ：n e u t r o nt r a n s p o r te q u a t i o n ，d i s c r e t es c h e m e ，p r i o r e s t i m a t e ，p a r a l l e l a l g o r i t h m ，m u l t i 【g r i d 4 独创性声明 y g 6 2 9 3 5 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国工程物理研究院或其他 教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：伟益一标 签字日期：勿一中年厂月岁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生部有关保存、使 用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授 权中国工程物理研究院研究生部可以将学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名 f 形秭 导师签名统f 渊 签字日期：2 。年月多n 签字日期：沙6 l 卜年幻3 日 高维中予输运方程的离散格式与并行算法研究 1日u 百 1 1 输运问题研究背景概述 动态核反应系统的物理行为主要由中子( 有时也要考虑光子和其它粒子) 在 几何空间、能量、相空间及时间上的分布决定，基于这些分布才能计算中子与核 的反应及热核反应，进而得到系统的主要能源。输运理论就是在这样的物理背景 下建立的，其研究对象是大量微观粒子的宏观运动规律。前面所说的相空间，即 为粒子运动方向亦称“角方向”的自变量空间，是输运理论的一个重要构件。 通过以输运理论为基础的物理建模，从粒子的分布与运动的物理量守恒关系出 发，就得到数学上的粒子输运方程。这里“粒子”的概念是一般性的，既可以是 中子、光予，也可以是分子、电子、离子等。 早期粒子输运理论是与分子运动论紧密相关的，其奠基性工作可追溯到十九 世纪中期的c l a u s i u s 、m a x w e l l 和b o l t z m a n n ，而以1 8 7 2 年b o l t z m a n n 导出反映 微观粒子在介质中迁移守恒关系的粒子分布函数随时间和空间演变的积分一微分 方程为重要标志。因此我们所说的输运方程也可称为粒子守恒方程或b o l t z m a r m 方程。1 9 1 0 年，h i l b e r t 论述了b o l t z m a n n 方程与第二类f r e e d h o l m 积分方程的等 价性，证明了解的存在唯一性，奠定了粒子输运理论的数学基础。 1 9 3 9 年中子被发现以后，随着对核反应堆和核武器的开发研究，中子输运 理论得到了迅速的发展。二战后由于电子计算机的问世，粒子输运方程的数值求 解方法进入了数学家的研究领域，并得以飞速发展和广泛应用。例如，由w i c k 等提出并由m a r s h a k 和m a r k 等发展的球谐函数法，由v o n n e u m a n n 和u l a m 建 立的第一个用随机模拟方法计算中子链式反应的程序，都是那个时代的产物。 中子输运方程数值求解最基本的方法就是多群能量近似方法，即把中子能区 划分成有限个称为“群”的小区间，再通过能量区间积分，将在连续能量下的输 运方程近似为有能量关联的有限个方程，这就是所谓的“多群输运方程”。对不 同的问题有不同的能群划分，也形成不同的中子物理参数。 半个多世纪以来，计算机条件的日益更新以及核武器和核能产业的需求，已 成为推动输运方程计算方法进展的主要动力。在各种有效、实用数值算法的基础 上，一大批应用程序软件得以产生并不断推陈出新。 商维中于输运方程的离散格式与并行算法研究 粒子输运方程的数值计算方法发展到今天，可归结为确定论方法和随机模拟 方法两大类。所谓“随机模拟方法”，也就是人们常说的m o n t ec a r l o ( 简称m c ) 方法，目前已成为模拟求解核物理系统特别是核反应堆问题的有效手段。由于该 方法不在本文所涉及的范围内，就不详述了。本文以下所论述和研究的内容都属 于确定论方法。 1 2l a n l 在确定论方法方面的发展动态 美国l o sa l a m o s 国家实验室( l a n l ) 从2 0 世纪5 0 年代以来，在粒子输运 确定论方法的算法研究和程序研制方面形成了系统和规模，以下是几个方面具有 代表性的工作和成果。 1 2 1c a r l s o n 离散纵标法( 即s n 方法) 与角方向离散 1 9 5 3 年，c a r l s o n 在计算维平板问题时首次提出一维离散纵标法【1 1 ，以后 l a t h r o d 和c a r l s o n 又发展了二维离散纵标法”。该成果至今仍作为确定论算法研 究的基本方法。8 0 年代以来，又有一些新的进展，主要有： 19 8 8 年，w a i t e r s 给出了多维c h e b y e h e v l e g e n d r e 乘积求积组，并证明了其数 学性质吼不久以后，m o r e l 针对多维强带电粒子散射提出 g a l e r k i n 求积技术1 4 】。 1 9 9 0 年，w a r e r s 和m o r e l 研究了在一维球几何下角微商项的线性间断差分口l 。 1 9 9 9 年d a h l 、g a s t a p 0 1 年 1 m o r e l 提出了一种基于最小二乘、用于生成正散射 源的离散方法【6 j 。 1 2 2 几何空间离散方法 1 9 6 9 年，l a t h r o p 用步特征方法绘出了s n 方程的第一个具有二阶精度的恒 正离散格式”。 1 9 7 3 年，r e e d 等提出了s n 方程的第一个线性间断空间离散方法嘲。 1 9 7 9 年，a l c o u f f e 、l a r s 如、m i l l e 碍w i e n k e 提出了第一个线性特征方法吼 1 9 8 1 年，w a l t e r s 和0 d e l l 针对x y 几何的离散纵标方程提出了箔一个高阶结 点格式【1 州。 1 9 9 4 年，w a l t e r s 和w a r e i n g 提出了第一个非线性指数特征方法和第一个非 高维中于输运方程的离散格式与并行算法研究 线性指数有限元法”1 。 19 9 9 年，w a r e i n g 、m c g h e e 、m o r e l 矛t l p a u t z 在三维非结构网格上给出y s n 程的间断有限元法”1 。 1 2 3 收敛加速方法 为加速s n 方程的源迭代过程，从2 0 世纪6 0 年代到7 0 年代初，扩散合成加速方 法( d s a ) 被提出，也在理论上为人们所接受，但在一些工程问题的实际计算中 却不稳定。 1 9 7 1 年，r e e d 从理论上论证了不稳定性，并提出了稳定加速方法【1 4 1 。 1 9 7 7 年，a l c o u f f e 证明了在s n 方程与扩散算子之间相容的差分离散可导出无 条件稳定的差分算法【1 5 】。 1 9 8 2 年，m o r e l 的工作表明，在各向异性散射计算中p n 方程既可以加速标量 通量的计算，也可以加速流的计算” 。同年，l a r s e n 研究了针对线性间断空间离 散的平几何方程的d s a 方法1 ”。 1 9 8 4 年，针对热辐射输运计算的外迭代，m o r e l 、l a r s e n 和m a t z e n 提出了一 种被称为“线性多频灰度方法”( l m f g ) 的基于扩散的合成加速技术【埔 。 1 9 9 1 年，m o r e l , 1 m a n t e u f f e l 针对带强各向异性散射的一维s n 计算提出了一种 角多重网格算法【1 9 l 。 1 9 9 3 年，a d a m s $ ! m o r e l t t 。对在低吸收介质中含有多能群热中子的s n 中予计 算，提出了一种基于扩散的向上散射加速技术【2 们。同年，m o r e l 、w a r e i n g s d d e n d y 针对在x y 几何矩形网格上作双线性间断离散的s n 方程提出了一种d s a 方法【2 1 1 。 1 9 9 6 年，w a r e i n g 、w a i t e r s 和m o r e l 的工作表明，线性d s a 方法能够有效地应 用于求解非线性s n 方程。 1 2 4 射线效应处理方法 射线效应是多维s n 计算中出现的非物理的异常现象，也是s n 方法的一大缺 陷。 1 9 7 1 年，l a t l l r o p 首先提出了“虚源”方法以减轻多维s n 计算的射线效应【2 3 j 。 一年后，r e e d 给出了基于将s n 解转换为真实p n - l 解的投影算子的一种虚源【2 4 1 。 高维中于输运方程的离散格式与并行算法研究 1 9 7 7 年，m i l l e r 和l r e e d 细化_ r r e e d 的投影技术，使之达到具有s n 方程最小摄 动的球谐等价”1 。 1 2 ，5 并行求解技术 1 9 9 0 年，第一个大规模三维无结构网格的s n 计算在l o sa l a m o s 的“连接计算 机”( c o n n e c t i o nm a c h i n e ) 上进行。1 9 9 1 年，m o r e l ，m c g h e e ，o l v e y _ 手f i c l a i b o r n 的文章对此做了讨论。 1 9 9 8 年，第一个用源迭代方程的直接解法( 与迭代解法相反) 求解标准一阶 s n 方程的大规模并行算法，哇l b a k e r 和k o c h 绘出【2 ”。 1 2 6 离散纵标程序的研制和应用 从2 0 世纪6 0 年代到9 0 年代，l a n l 开发研制了一系列离散纵标程序。所 有这些程序都采用s n 角方向离散和多群l e g e n d r e 能量处理，其中代表性的程序 有： 曲d t f i v ：第一个现代s n 程序，一维几何，带修正项的菱形差分格式，求 解定态源项问题和特征值问题，在6 0 年代和7 0 年代初使用。 b ) t w o t r a n ：二维几何，矩形网格，带修正项的菱形差分格式，求解定 态源项问题和特征值闯题，在6 0 年代末和7 0 年代使用。 c 1t r a n z i t ：t w o t r a n 的非定态版本，在6 0 年代末和7 0 年代使用。 d ) t h r e e t r a n ：三维直角几何，长方体网格，带修正项的菱形差分格式， 求解定态源项问题和特征值问题，在7 0 年代中、后期使用。 e ) o n e t r a n ：d t f 的后续版本，一维几何，线性间断空间差分，在7 0 年 代和8 0 年代使用。 f ) t i m e x ：o n e t r a n 的非定态版本。 g ) t r i p l e t ：二维直角几何，半结构三角网格，任意阶间断有限元空间离 散，求解源项问题和特征值问题，在7 0 年代和8 0 年代使用。 h ) t r i d e n t ：t r i p l e t 的r z 几何版。 i ) o n e d a n t ：一维几何，带修正项的菱形差分格式，d s a 方法，求解定态 源项问题和特征值问题，在8 0 年代和9 0 年代使用。 高维中子输运方程的离散格式与并行算法研究 j ) t w o d a n t ：二维几何，带修正项的菱形差分格式，d s a 方法，求解定态 源项问题和特征值问题，在8 0 年代和9 0 年代使用。 k ) t h r e e d a n t ：三维几何，带修正项的菱形差分格式，d s a 方法，求解定 态源项问题和特征值问题，在9 0 年代使用。 近年来，l o sa l a m o s 的x t m 研究室开发了多个用于中子和辐射输运的确定论 方法程序，大部分形成了软件包。主要程序( 程序语言均为f o r t r a n9 0 ) 有： 1 ) p a r t i s n ：含d s a 方法的并行三维长方体网格s n 程序，求解标准一阶输运 方程，可计算非定态问题、定态闯题和特征值问题。 m ) d a n t e ：含多种高级扩散加速技术的并行三维无结构混合有限元网格的 s n p n s p n 程序，求解不同二阶形式的输运方程，可计算非定态问题、定态问题 和特征值问题。 mp e r i c l e s ：含d s a 方法的串行三维无结构混合有限元网格的s n 程序，求 解标准一阶形式的输运方程，可计算定态问题和特征值问题。 o ) a t t i l a ：含d s a 方法的串行三维无结构四面体网格的s n 程序，求解标准 一阶形式的输运方程，可计算定态问题和特征值问题。 1 3 其它国内外发展动态 俄罗斯( 前苏联) 在军用和民用的动态核反应系统的研究和应用方面也颇有 成就。也是从2 0 世纪5 0 年代开始，苏联核物理研究结构( 现全俄实验物理研究 院) 就集中了一批优秀的数学家，进行中子输运数学理论和数值计算方法的研究， 并取得了一批具有当时国际先进水平的成果，相关情况可见翻译文献【2 8 】。 近几年，我们同俄罗斯科学院k e l d y s h 应用数学所( k i a m ) 进行了二维辐 射流体力学与中子输运计算方面的合作和交流。在中子输运方程的研究方面，他 们已有了三、四十年的经验。上世纪9 0 年代前期，v o r o n k o v 和s y c h u g o v a 在二 维和三维平几何的菱形差分( d d ) 格式基础上，提出了具有二阶精度的新方法 c d s n f 2 9 】【3 0 】。9 0 年代后期，他们和其它同事又基于d d 格式，构造了加权菱形差 分( w d d ) 格式和适应性加权菱形差分( a w d d ) 格式，并研究了相应的加速 收敛算法【3 ”。此后还研制完成了能与流体力学耦合、模拟复杂结构区的二维非 定态柱几何中子光子输运程序n p t q t 3 ”。在这期间，国际上对求解高维输运方 高维中子输运方程的离散格式与并行算法研究 程的各种结构和非结构网格的空间离散方法的研究，也是层出不穷 3 3 j t 3 4 。 国内较为全面地介绍粒子输运理论和计算的专著由杜书华等人编著【3 孔。其 它如杜明笙等人研究的三角网格间断有限元方法【6 8 1 ，郭柏灵、沈隆钧研究的针 对非线性中子输运方程的g a l e r k i n 有限元法 3 6 】，也反映了国内在一个时期的研 究方向。近年来，对p n 球谐近似方法特别是简化p n ( 即s p n ) 方法的研究是 个热门方向，国内有袁光伟、沈智军等人的工作i ”】【” ，国外的研究可见于m o r e l 等人吲及s h i n 和m i l l e r t 5 即的文章。 在9 0 年代中期以前的二维中子计算方面，由于受到计算方法和软件研制难 度以及计算机条件的限制，国内还没有成熟的二维中子输运的计算软件，只是简 单地代之以二维扩散近似的计算。从1 9 9 5 年开始，我所在的研究小组承担了二 维非定态中子输运方程的数值计算方法研究与应用程序的研制设计工作，到 1 9 9 9 年编制完成了在二维柱几何l a g r a n g e 网格上的非定态中子一光子输运程序 2 d s n d f e 。 我们对二维非定态中子输运方程的离散，采用全隐或半隐差分的时问离散、 s n 离散纵标法以及任意三角形单元和四边形单元组合的几何空间间断有限元法 的综合方式进行【5 “1 7 5 1 ，其针对的动态物理系统具有以下特点： ( 1 1 系统的几何结构是二维轴对称的； ( 2 1 系统中的物质界面是运动的，界面运动速度及物质区的质量密度随时间 变化： f 3 1 系统核反应剧烈、增殖很快，各物质区的温度及各种核素的核子密度随 时间变化； f 4 ) 在高温物质区，低能中子在其中的输运行为受到核热运动的影响； ( 5 ) 粒子的输运行为影响到系统的流体力学效应。 上述因素的考虑使得粒子输运计算与流体力学紧密关联，成为十分复杂和规 模巨大的计算问题。要完成这样的计算，需要高性能的计算机和高效率的计算方 法，特别是需要高效的并行计算。 不可否认，近十多年是并行计算机和并行技术发展最快的时期。就并行机而 言，已从阵列机、流水线向量机，发展到具有共享存储或分布式存储的多处理机 和大规模并行处理系统( m p p ) ，直到超级并行计算机。并行实现方式可依赖于 6 高维中子辕运方程的离散格式与并行算法研究 并行语言指导环境o p e n m p 7 0 l 、消息传递并行环境m p i l 4 0 1 ；n n并行环境p v m 4 1 】 等。 在国内，并行计算机的发展和应用也逐步紧跟国际先进潮流。随着国内大型 并行机的开发和引进，我们针对二维多群中子输运方程作了多方面的并行算法研 究，如群并行迭代算法、几何区域分裂算法等，并首先将群并行迭代算法应用于 实际计算中，设计了适应并行多处理系统的二维非定常多群中子输运并行程序， 在我所两台大型并行机的并行测试中得到较好的总体线性加速比【6 4 】 6 5 1 【6 6 1 。 并行算法与加速收敛的结合，更是给高维中予输运的大规模计算带来广阔前 景。如前面提到的d s a 方法，应用范围更多地扩展到高维数值计算1 4 2 】 4 3 1 【4 5 】。 此外，针对高维非结构网格的并行扫描( s w e e p ) 算法m 1 5 9 1 6 0 l ，对角空间和几 何空间的区域分解法【4 7 】，以及基于共享和分布存储的并行迭代算法【4 8 】【4 9 1 等，也 都是输运并行计算的重要手段。最近，我们也在非结构网格上对中子输运方程的 并行扫描算法进行了实用性研究和实际应用，取得了较为满意的结果【3 ”。 目前，国际上对高精度、高效率计算方法的研究正在不断深入和实用化，在 微分方程的数值算法方面提出了“将实用性和可扩展性放在首位”的观点，并且 更加重视大规模并行计算的算法研究和实际应用。因此，我们针对高维输运问题 的并行算法研究，首先立足于算法的高并行度，然后考虑算法在不同并行环境下 的适应性和可扩展性，并且注重高效并行算法和加速收敛算法的结合。这是本文 在算法研究方面的一个重要指导思想。 1 4 本文的工作及创新 本文针对高维非定态中子输运方程，开展了以下几个方面的工作： f 1 ) 首先给出了粒子输运的概念及一般形式的非定态粒子输运方程定解问 题的提法，重点讨论了在s n 离散纵标下的三维直角坐标隐式差分方程和二维柱 坐标问断有限元方法。 但) 对三维输运方程，进行了差分解基本性质的研究，包括对差分解、差分 解的时间差商、差分解的几何空间差商均得到了它们的先验估计，并进而得到了 差分解的稳定性和收敛性。这些工作为进一步应用奠定了相应的理论基础。鉴于 该类问题方程性质的特点以及边界条件提法的特殊性，差分解空间差商的估计有 高维中子输运方程的离散格式与并行算法研究 较大的难度。本文通过相关的估计技巧，解决了这一难题，得到了完满的估计。 这是一项新的成果。 ( 3 ) 深入讨论了二维柱几何非定态中子输运方程离散格式的所谓“一维球对 称性”问题。本文从二维中予输运方程的时间离散形式着手，利用其特征线性质 证明了时间离散方程在一定条件下满足某种定义的一维球对称性：对二维中子输 运相空间离敖方程阐述了不具备对称性；对间断有限元方程证明了其左右对称 性。该项工作是从实际应用中提出来的一项重要课题，也是多年来没有解决的 个疑难问题。我们从理论上作了探索，得到了较深刻的结果，因而在理论和应用 上都具有重要意义。在国内外的文献中尚没有见到这样的成果。 f 4 ) 在并行算法和加速收敛算法研究方面，主要有两项工作。一是通过几何 区域分解实现了三维非定态中子输运差分方程的并行迭代计算，达到了多处理并 行的目标，同时给出了串、并行迭代误差竹计；二是为了提高收敛速度，研究并 实现了三维非定态中子输运差分方程的多重网格算法，取得了加速收敛的良好效 果。将几何区域分解与多重网格算法相结合，使三维输运方程达到了高效并行计 算，这是本文获得的重要成果之一。 f 5 ) 在数值实验方面，完成了若干功能性的串、并行程序设计，在此基础上 进行了多个模型的串、并行数值计算。通过对相关数值结果的分析、比较和总结， 得到了规律性和启示性的认识，并验证了理论分析。 高维中子输运方程的离散格式与井行算法研究 2 中子输运方程及其离散格式 2 1 粒子输运的基本概念 在输运理论中，粒子由其所在位置瓦和速度舌来描述。 速度通常表示为移= y q ，其中v = i 矿i 为速率，即速度大小，与粒子能量 e 相对应，单位向量五为速度方向。 下面介绍有关输运理论的几个基本物理概念。 2 1 1 粒子密度和通量 粒子分布涉及的主要概念是粒子密度。 粒子密度n ( r ，e ，壳，f ) 表示t 时刻在位置兵、能量e 和速度方向而处，每 单位体积、单位能量间隔和单位( 方向) 立体角的粒子可几数。 这样，( 天，e ，西，f ) 撕钽d 而表示t 时刻在位置豆邻域的d r 体积中、速 度方向在壳的厕立体角邻域内、具有e 的d e 邻域范围能量的粒子数目。 对所有( 方向) 立体角q 积分得到粒子体密度 尸( 豆，e ，r ) = f ( 厦，e ，而，f ) 蕊 矗 定义粒子角通量为 妒，e ，q ，f ) = v n ( r ，e ，q ，f ) 对所有( 方向) 立体角q 积分得到粒子体通量 中( 五，e ，) = v ，( 五，e ，f ) = 肠( 再，e ，壳，f ) 口而 矗 2 1 2 外源 粒子的外源用函数g ( 豆e ，壳，f ) 来掐述，g ( 五，e ，壳，t ) d r d e d f i 表示单位时 间内在体积段撕、能量段把和立体角段施产生的粒子数。 高维中子输运方程的离散格式与并行算法研究 2 1 3 输运截面 粒子在位置j i i 和能量e 处的单位里程上与介质相互作用的几率用宏观输运 截面仃( 五，e ，f ) 来描述，i i o - 为粒子的平均自由程。 2 1 4 散射截面 粒子的散射过程由函数盯5 ( j i ，而斗e ，壶， ) 描述，称为( 宏观) 散射截面。 它表示一个具有能量f 和方向而的粒子在位置豆的单位里程内经散射( 碰撞) 作用后转为具有能量e 和方向q 的可几粒子数。 2 2 输运方程的一般形式及定解条件 根据中子守恒关系，得到非定态积分微分中子守恒方程为p 5 1 百o n + v m ( 五，e ，f ) ( j i ，e 鳓= 瓶e ，壳， ( 2 1 ) + 小盯5 ( 五，e ，壳 e ，西，t ) n ( r ，e ，壳，t ) d e 庙 或者以中子角通量为未知函数的等价形式 塑o t o t 西v 妒( 弛郴 h ( j i ，聃，( 2 2 )v【z zj + j p 5 ( j i ，e ，磊e ，西，f ) 妒( j i ，e ，叠，t ) d e d f i ( 2 1 ) 或( 2 2 ) 在几何空间一个有界区域d 上的定解条件为 初始条件： ( p ( j i ，e ，西，f ) l ，：。= q ) o ( j i ，e ，西) 外边界条件( 无进流) ： 妒( r ，e ，q ，f ) i = 0 其中r n 为对应角方向磊的进流边界： f n = 瓶c 3 d ；而元 v 6 0 。 输运截面表示式为盯：= 盯：( x ，y ，z ，f ) 。 我们取源项q 。的表示式如下： g 2 专以( t 弘z 点，f ) + 去妻略+ 。i d r ff 4 纷( x , y , z , r f , w , t ) d 。 高维中于输运方程的离散格式与并行算法研究 第一项外中予源中s 。= v 。q 。，表示单位时间内在单位体积、单位能量间隔 和单位立体角产生的中予角通量。 第二项散射源中的散射截面盯；机= 盯；( t y ，z ，f ) ，与相空间自变量无关， 称为各向同性散射。 i v ) 在三维几何空间的长方体内讨论方程( 2 3 ) ，即几何空问自变量的取值范 围为 x e 【o ，x 。】，ye 【o ，y 。】，。e 【0 ，z 一 其中x 。，_ y 。，为常数。 因绞含有未知函数p i 一，妒。，所以( 2 3 ) 是g 个方程的耦合方程组。 方程( 2 3 ) 的定解条件为： 初始条件 妒。( x ，y ，z ，善，o ) = 缈g ( x ，y ，z ，善，) ，g = 1 ，2 ，一，g 边界条件( 无进流) ( o ，y ，z ，f ，f ) b = 0 妒。( x 日，y ，z ，告，r ) l 。= 0 吼( x ，o ，z ，孝，f ) k 0 20 妒。( x ，_ y 。，z ，孝，f ) l 0 20 妒g ( x ，y ，0 ，f ，o l 咖20 妒。( 五y ，z 。，善，f ) l 。20 2 4 三维直角坐标下的输运问题的差分方程 对上节中定解区域的离散，包括以下几个方面 1 1s n 角方向离散 壳。= f 。瓦+ 。i ，+ ，7 。；：，m = l ，m 其中 壹丝! 三塑垩塑堡竺苎墼堂塞兰苎堑竺鲨竺窒 其中 善。= 1 一叩。2c o s o ) 。 。= l 一2s i nc o 。 2 1 几何空间离散 ( 一，y j ，z k ) = ( i a x ，j a y ，k a z ) ；i = 0 , 1 ，20 , 1 ，j ，七= 0 , 1 , - - , k 血= 等，缈2 等，血2 睾 3 1 时间离散 t ”= n a t ，n = 0 ，l ，- ， 在以上离散变量环境下，三维中子输运方程( 2 3 ) 的隐式迎风差分格式为 其中 盟盘a t + v p 蝶n 。+ l ，。一蝶嬲，。 制学 缈“n + 。l 。，。一矿；j ! ；l ，。 + t , n + l 妒篡，。= 古s 寰舭，。+ 薹略n 一+ l 薹m 既慨n 。+ l 一 m i = ，。+ 1 ，- 一，l + ，一1 ， j = i ，。，j 。+ 1 ，j 。+ ，一1 ( 2 4 ) k ：k 。，k 。+ 1 ，k 。+ k 一1 ，m = 1 ，m ，9 2 1 ，g ，n = o ，1 ，。= l ，：，妒；j ：翟，。= 1 妒i n + l ：i ：，z ： j 。：器，：三二暑，妒g “+ 1 , l j 【 , k 。= l 【妒；n + j t ! ： 牛骶0 蠓翟， 毅裂 求积权重满足 o 及e 既= 1 m m 2 l 对应于上节中初、边界条件的离散条件为： 离韵初始条件： 高维中于输运方程的离散格式与并行算法研究 吼o j m t ，。= l f ，j ，。 离散边界条件： 妒：釜， 。= 0 ，善。 0 ，妒；， 。= 0 ，