（计算数学专业论文）基本解方法求解各向异性热传导方程及其反问题.pdf

浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向异性热传导方程及其反问题 基本解方法求解各向异性热传导方程及其反问题 摘要 在许多自然科学和工程技术领域不可避免地要碰到偏微分方程反问题。鉴于各向异性材料 在实际应用中的重要性，本文考虑的是有关各向异性热传导方程的反问题。 本文的第二章和第三章将分别讨论求解各向异性材料中的热传导方程的两类反问题， 剐i h c p 问题( i n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ) n b h c p 问题( b a c k w a r dh e a tc o n d u c t i o n p r o b l e m ) 。本文在求解该i h c p 问题 i i b h c p 问题时，用到了基本解方法。该方法的基本思路 是，先通过变量变换得到控制方程的基本解，使各向异性继续保留在数值格式中，然后用基本 解方法直接在整个时间空间区域r 对问题进行求解。由于使用基本解方法后得到的插值矩阵是 高度病态的，再加上问题本身( 不论是i h c p 还是b h c p ) 的高度不适定性，所以最终得到的 线性方程组是极为病态的。氍于此，必须采用正则化方法，本文中选用的是截断奇异值分解， 其正则化参数用l 一曲线准则来确定。最后给出了一些数值算例，从数据精确和含有噪音两种情 形来验证这种方法求解各向异性热传导方程反问题的有效性，同时还分析了该方法的收敛性、 对数据中噪音的稳定性以及对常参数t 的相对无关性。 第四章给出了基丁- 测地距离的基本解方法求解各向异性热传导力程。该基本解方法跟前面 的基本解方法基本相同，都将各向异性继续保留在数值格式中，然后直接对问题求解：不同之 处在于，它在得至g 控制方程基本解的时候不再采用变量变换，衙是借助测地距离直接得到。在 后面同样给出了数值例子以说明方法的优越性，不同的是这里考察了分片光滑的几何区域，并 加上了配置点数目对数值结果的影响以及该方法对各向异性的稳定性分析。 论文的附录部分介绍了径向基函数方法。包括通用的径向基函数以及基于算子的径向基函 数配置点方法即基本解方法和边界节点方法。除此之外还列出了常见的径向基函数以及常见微 分算子的基本解和非奇异通解，方便读者查找。 关键字：反问题、正则化方法、热传导方程、各向异性、基本解方法、i h c p 、b h c p 、测 地距离、径向基函数 第贞 浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向异性热传导方程及其反问题 am e t h o do ff u n d a m e n t a l h e a tc o n d u c t i o np r o b l e m s o l u t i o n sf o ra n i s o t r o p i c a n di t si n v e r s ep r o b l e m s a b s t r a c t i n v e r s ep r o b l e m so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nm a n ys c i e n t i f i ca n de n - g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s t h i st h e s i sf o c u s e so ni n v e r s ep r o b l e m so fh e a tc o n d u c t i o ni n a a f i s o t r o p i cm a t e r i a l sw h i c ha r eo fg r e a ti m p o r t a n c ei np r a c t i c e i nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，w ew i l ls o l v et w ok i n d so fi n v e r s ep r o b l e m so fa j f i s o t r o p i c h e a tc o n d u c t i o n ，n a m e l y , i h c p ( i n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ) a n db h c p ( b a c k w a r d h e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ) ，r e s p e c t i v e l y f o rt h e s et w oi n v e r s ep r o b l e m s ，t h em e t h o do f f u n d a m e n t a ls o l u t i o n s ( m f s ) i sp r o p o s e da n de m p l o y e dt h eb a s i ci d e ao ft h ep r o p o s e d m e t h o di s ：a tf i r s t ，t oo b t a i nt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o no ft h eg o v e r n i n ge q u a t i o nt h r o u g h v a r i a b l e st r a n s f o r m a t i o na n dm a k et h ea n i s o t r o p yr e m a i ni nt h en u m e r i c a ls c h e m e ；t h e n t oa p p l yt h em f st os o l v et h ep r o b l e m si nb o t hs p a t i a la n dt i m ed o m a i n sd i r e c t l yt h e i n t e r p o l a t i o nm a t r i x e sa r i s i n gf r o mt h em f sa r eh i g h l yi l l c o n d i t i o n e dd u et ot h eh i g h l y i l l p o s e dp r o b l e m s ( b o t hi h c pa n db h c p ) t h u s ，ar e g u l a r i z a t i o nm e t h o ds h o u l db e e m p l o y e d i nt h i st h e s i s ，w ec h o o s et r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o nt os o l v et h e r e s u l t i n gm a t r i xe q u a t i o n s ，w h i l et h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e ro ft s v di sd e t e r m i n e db y t h el c u r v ec r i t e r i o ni nt h ee n d s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oc e r t i f yt h e e f f i c i e n c ya n de f f i c a c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o df o rt h ea n i s o t r o p i ci n v e r s ep r o b l e m sw i t h b o t he x a c ta n dn o i s yd a t a m e a n w h i l et i l ec o n v e r g e n c yo ft h em e t h o da n dt h es t a b i l i t y w i t hr e s p e c tt ot h ed a t an o i s e ，a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m e r i c a lr e s u l t sa n d t h ep a r a m e t e rta r ea l s oa n a l y z e d t h eg e o d e s i cd i s t a n c eb a s e dm e t h o do ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n sf o ra n i s o t r o p i ch e a t c o n d u c t i o ni sp r e s e n t e di nc h a p t e r4 t h i sm f si sg e n e r a l l ys i m i l a ra st h em f si n e n - t i n n e da b o v eb o t ho ft h e ma r et oe m b e dt h ea n i s o t r o p yi nt h en u m e r i c a la l g o r i t h r n a n dt h e ns o l v et h ep r o b l e m sd i r e c t l y t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e mi st h a ta n yv a r i a b l e s t r a n s f o r l n a t i o ni sn o tr e q u i r e dt og e tt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o ni nt h i sm f sw h e r et h e e u c l i d e a nd i s t a n c ei sr e p l a c e db yt h e g e o d e s i cd i s t a n c e s i m i l a r l y ，n u m e r i c a le x p e r i m e n t s a r ep e r f o r m e dt od e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c ya n de f f i c a c yo ft h eg e o d e s i cd i s t a n c eb a s e d m f sf o rp i e c e w i s es m o o t hd o m a i n i na d d i t i o n ，t h ee f f e c to ft h en u m b e ro fc o l l o c a t i o n p o i n t sa n dt h es t a b i l i t yw i t hr e s p e c tt ot h ea n i s o t r o p ya i ed i s c u s s e d i na p p e n d i xa t h er a d i a lb a s i st k l n c t i o n ( r b f ) m e t h o d sa r eb r i e f l yi n t r o d u c e d 浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向异性热传导方程及其反问题 t h e s em e t h o d si n c l u d et h et r a d i t i o n a lr b fa n dt i md i f f e r e n t i a lo p e r a t o r - g e a r e dr b f c o l l o c a t i o nm e t h o d s ，i e ，t h em f sa n dt h eb k m ( b o u n d a r yk n o tm e t h o d ) f o rt h es a k e o fs e a r c hc o n v e n i e n c e js o n i cp o p u l a rr b f ，a n df u n d a m e n t a ls o l u t i o n sa n dn o n s i n g u l a r g e n e r a ls o l u t i o n st os o m ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa r ea l s ol i s t e d k e y w o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ，r e g u l a x i z a t i o nm e t h o d ，h e a tc o n d u c t i o n ，a n i s o t r o p y ，m e t h o d o ff l m d a m e n t a ls o l u t i o n s ，t h c p ，b h c p ，g e o d e s i cd i s t a n c e ，r m i mb a s i sf u n c t i o n 甑江丈学颟学位论文摹本解方法求解各囱异性热传导方程聂蒸反目题 1 1偏微分方程反问题 第1 章绪论 崔许多塞然辩学霸王褪接末领域不可遵兔圭l 羹要磋到缡擞分方程反目题。掰镶镳徽 分方程反问题，是相对于偏微分方程正问题而言的。通常我们用偏微分方程描述某种 物理过程或现魏，并根据系统的状杰变量的初始条件或边界条件等朱确定整个系统的 装态变量熬交纯窥律，这藏跫镶镦分方程歪溺趣研究静内容；另方嚣，蓑镳微分方 程的正问题中檠些原来条件变成未知条件，而原方程未知函数可能仍然是未知的，或 者只知道与这个未知函数的一些相关信息，我们要通过方程，定解条件和某贱附加条 舞来确定这些未知量，这类运嚣称为馕擞势方程静反运麓团。一黢堍，镳徽分方程反 问题肖五类1 1 ： ( 1 ) 确定偏微分方程的某些结构参数，即微分算子识别问题。如确定熟传导方程 中懿热传导系数或毙蒸系数等。 ( 2 ) 确定过程的过去状态，即时间反演问题。比如我们将在第三章要求解的热传 导方程的时间反向问题( b a c k w a r dh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ，b h c p ) 。 ( 3 ) 确定努赛过程的作用。 ( 4 ) 确定状态变量在物体边界上的变化规律。例如我们将在第= 章中要求的在未 知边界上的温度分布和热遇量。 ( 5 ) 确定物体静透癸形状。 在实践中，许多反问题可归结为第一类算孑方程，其形式如下： a z 器锤，o 最嚣u 其中f 和u 都最度量空间，a ：f u 是从f n u 的算子，它可以是积分算予、微分算 子或矩阵等。这里n 羁盈已妇，。是要确定熬泰躲元素。 反问题通常是不适定的。按t t a d a m a r d 2 在2 0 世缎初引入的概念，如柴方程 ( 1 1 ) 的解均满足存在性、唯一性和稳定性，就称为该问题( 1 1 ) 是适定的；反 之，菪上述三令条静中至少鸯一个蠢；溃足，躐稼其鸯不逶定熬。这里绘窭懿三个逶定 性条件都非常煎要。在实际问题中，我们自然期望其解怒存在且啭一的。但擞重要的 是，实际问题的己知数据通常是测黛数据，测量误差和台入误差均不可避免。所以我 稻实耩处理麴怒近鑫冀数撰。菪覆始羧据兹微小静误差蕊导致了_ i 曩钕解静严黧偏离卖 解，则计算所褥的数值结柴就毫无意义。所以，在计算当中，我们嫩关心的怒近似解 对数据扰动的稳定性。 鬟j ，是 浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向始性热传导方程及其反问题 1 2正劐纯方法 若算子a 是正则的，即存在有界的避续的遂算子a - 。，则我们马上可以求得方程的唯 一解，。= a o “。但对于反问题，其不适定性告诉我们通常碰到的算子是非正则的。 所以在水解反问题时，我们并不主张用标准方法，而是采用正则化方法。在这节当 中，我们以算子a 怒矩阵为例介绍几癸正姗化方法以及如秘逡联合适的正则化参数。 本苇中熬太部分资料嗣以杰专著圈中找到。 1 2 1正则化方法 在这里，我们将上一节中的空间f 和u 取为有限维，即f = 彤4 ，u = p ”，而算 予a ：酽一矗m 就艘为m n 阶的矩阵，它是线性有界算予。于是，第一类算子方程 ( 1 1 ) 交为蠡下线瞧方程缍： a x = b 俨，b r ” ( 1 + 2 ) 需要指出的是，我们在计算机上求近似的数值解时，必须进行将问题离散化，离散后 就得到上面的线性方程组( 1 2 ) 。由于反河题的不适定性，使得方程( 1 2 ) 中的矩 海a 是奁度病态的。求勰该藏态线性方程缀熬时候，逶常意义上魏标准方法，躲藏麟 涟去法、l u 分褥嚣j 缀小二乘法等，可藏不褥逶用。麓了戆畜效建求解，我镅奔鲻以下 几类正则化方法： ( a ) t i k h o n o v 正则化方法 t i k h o n o v 正则化将问题转换为极小化t i k h o n o v 泛函 m 蒜 i t a x 一如| 1 2 + q 【。】 ：a 0 ( 13 ) 其中 l t 是e u c l i d e a n 范数；n j 是一( 非负) 稳定泛函，可以根獬算子a 的具体特性选 取为恒等算子或正定线性可微算子等；d 是方程( 1 2 ) 右端向缴与精确的右端之间的最 大偏差，而如足其相应的右端。式中数值参数n 是正则化参数，控制着残差ie a x 一蚓l 和 正则项n 矧之间的权重。当稳定泛函n h 敬为” 1 时，则称为标准形式t i k h o n o v 正则化 方法。 ( b ) 截断奇异德分解 对于矩阵a 砑m ( 即秩为r 的m n 阶矩阵) ，我们有如下的奇异德分解 ( s i n g u l a rw i n ed e c o m p o s i t i o n ，简称为8 v d ) ： a = = = u e v 2 f 1 , 4 ) 蔸2 页 浙江大学硕士学位论文熬本解方法求解各向异性热传导方程殿其反问题 熟e e u = ( “1 ，“”一，u 。) ，v = ( u 1 ，地，w 。) 均是列正交矩阵，即其列向量满足 霹嘶= 西，t 乒= ( 1 5 ) 这里奶是k r o n e c k e r 记号。的形式为： = ( 言：) c 1 6 ， 熟中，= d i a g ( 8 l ，8 2 ，s ，) 是一+ 对角阵， o 是矩阵a 的街异值，且按非升序排列： 8 l 艺5 2 t 禺 0 。 根据奇异值分解，方裰( 1 2 ) 的最小二柴解可以写成； 嚣= 砉警毪 f 1 7 ) 当矩薄a 鹣癌态短阵辩，褥有大量瓣，l 、静奇舅j 鎏聚纂在零驸近；另一嚣，在窟壤含衣 议差时，误差具有随机性，所以上式中后面几项可隧很大。这样，得到的盛d - - 乘解 照赢度振荡的。为了得到令人满意的解，我们在第p 步对上式进彳亍截断，称之为截断奇 辨值分解( t r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，简称为t s v d ) 牡妻譬毽 i 嚣1 。o ( 1 8 ) 这里p 墨r 是待定躲正则化参数，妒是其褶废躲解。 ( c ) 迭代正则化方法 迭代法在签骥套静委藏题露秀缓多鹣捷点，毙絮：对于求嬲大援摸闫题，诗 簿量和存储量等都比直接法要节省很多。同样，在求解大规模不适定问题的情况 下，强壹接正则能方法如t i k h o n o v ：则化方法和截断奇异照分解避行求解时，可能 不可行。这时，簸有效的方法是迭代正剃亿方法。常见的迭代正则亿方法有如下几 种：l a n d w e b e r 迭代法、藏则化的半迭代法、共轭梯度( c g ) 法和遮代t i k h o n o v 正则 纯等。有芙这些方法的迭 疆式及箕介绍，请参阕专著淘中静第五章。 1 2 2 羹三建耽参数的选择 我们在用正则化方法求解一i 适定问题时，选择合适的正则化参数是非常藿要的。 歪鲻铯参数的选取，基本二要满足这样酶象舞：对予待乘麓豹闻蠢藏加定髓静( 蠡光 滑性要求) 或定量的信息，以便使正则化参数与原始数据资料的误麓水平相匹配。但 楚刭基1 ；蓍为止，逮镬的委则纯参数选取方法还没找爨。觋在，通常鸯先验豹稻后验瓣 第0 负 浙江大学硕士学位论文 基本解方法求解各国弊性热传导方程及其艇润题 两耱策雍。诲多纂予兔骚挂策隆豹准爨，矮子逶嚣理论分嫒，毽一毅来浚难敷骏潺 敌后验的方法较多。 ( a ) t i k h o n o v 先验估计 该方法属于先验性方法，在求出正则解以前就已经将正则化参数确定下来。这里 我们不作赍绍。 ( b ) 编差蘸理移广义偏差蘸理 偏差原理 圭| m o r o z o v 在1 9 6 6 年提出，现已广为采用。偏差原理的基本思想是，当原 始数据中的误差水平6 已知时，由下面的方程： f | a z 一如j | = 6 ( 1 9 ) 寒确定歪赠纯参数。上述方程穆蔻m o r o z o v 缡差方程，选取豹歪鬟l | 诧参数薤是葵缀。 广义偏差愿瑷蹙对k o r o z o v 的偏差原璃透行改造窝推广褥劐的。设算子及表端璞都 近似地己知，即：i l a a h l | h ，i i b b i l 6 。将偏差方程( 1 9 ) 推广为： 岛( 盘) = i i 4 z ：1 1 2 一( 6 + h t l x ；l i ) 2 0 ( 1 1 0 ) 其中零= 辑毳) ，岛强) 为广义馈差。类 娃地，该方程称为广义偏差方程，正簧l 化参数由 该方程魂定。 ( c ) e n g l 误差极小化准则 e n g l 的误差极小化准则基于下面的考虑：从逼近的角度，成使残差| j a z 一6 6 i i 越小 越好；从数值稳定的角度，参数n 应越大越好。于是，选取邀榉的n ，使得 瓷器番( 8 ) 一| | a z 一琵l ，函 ( i 1 1 ) 或 嚼a ( n ) = 怫z 酬而 ( 1w 1 2 ) 就很自然了。 。 ( d ) a r c a n g e l i 礁则秘广义a r c a n g e i i 嘏煲l j 在a r c u n g e l i 漆剃燕，由下式： 惮。一f i 一熹= o ( n 3 ) 来确定i e 贝j j 化参数；而在3 ( a r c a n g e l i 准则里，正则化参数甜成满足下式： 岛( 矗) 一| | 且i a 靠髫：一a i 玩j | = 酽+ 是) 棵一4( 1 1 4 ) 第0 磺 浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向黪性热传导方程及其艇蝌题 其中弘r ， 0 ，7 i 一( 5 ，毳) ，豆缀定a 4 b 0 ，篮颡0 。器装指塞酶是，逶当戆逡 敬致r ，g ，可髓使惩则解精度进一步提高。 前面的偏差原域、e n g l 误差极小化准则和a r c a n g e l i 准则锋都是在原始数据的误差 水平r = ( 6 ，h ) 已知的前提下得到的。但魁，在有些情况下，谈差水平是很难估计的。 这时，我们可以采用启发式方法。该炎方法无需对已知数据作任何的先验假设，并且 在实际应爱中性裁不错。以下绘出3 个基予癌发式戆准刚： ( e ) 搭最优准赠 当数据误差水平5 或”未知时，可根据下面的拟最优准则： 晰= 咖舭篆盼 ( 1 1 5 ) 来礁定正喇毒 二参数。英基本思想是：诖燕璺越纯参数融及正受l l 勰对该参数静变纯率瓣辩 稳定在尽可麓小耱承擎上。 对于标准形式t i k h o n o v 正则化方法，容易得到： 。石d x a = 一d ( a + n 矿护 ( 1 1 6 ) ( f ) 广义交互检骏( g c v ) 准则 该方法添予统诗辛鑫诗理论中选择最稳横型静p r e s s 准翻。酱遴豹交互捡验漆剿熬 基本思想是，一个合适的正则化参数应该可以较好地预测舍弈的数据的值。但是臀通 的交互检验依赖于数据点的顺序，而广义的交互检验则具有正交不变性【4 l 口由于准确 解未知，广义交互梭验使用下面的g c v 黼数： 喇；意蒜斋= 糕尝鞘 奶 其中t r ) 表示矩降a 的逑。这样，可以逡取正猁亿参数+ 满怒： y ( d + ) 一r a i ny ( o )( 1 1 8 ) ( g ) l - 曲线准则 l 一趋线雄裂怒一耱被广泛应爱魏爨发式选取王羹 l 诧参数熬方i 塞。它l 薹l o 争l 。g 足魔 来描述f | z 8 i - 与t l a x “一硼的蓝线对比，避黼根据该对比结果来确定正则亿参数。 对t i k h o n o v 正则化和截断奇异值分解，分别定义如下曲线： 上= ( 1 0 9 ( 1 l a x a b i d ，l o g ( i l z 。，o o ) ，( 1 1 9 ) 五一 ( t o g ( 1 l a x 9 一酬) 。l o g ( t l x p ! 1 ) ) ，p = 1 ，2 ，。 ，( 1 2 0 ) 簿5 页 浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向擀性熟传导方程及其魇阉题 囊于该夔线 睾嚣鼓爱遂常呈褒二澎，散稼之为。麴线。运矮厶叠线准弱豹关键麓确 定厶曲线的拐角舱的参数。一般在该曲线的拐角，近似解的范数和残差范数之闻达到 了较好的折衷，因此我们可以采用拐角处的参数作为最终的难则化参数。由于对厶曲 线的拐角的数学定义的不同，出现了几种不同的确定拐角点的方法。用得较多的熄以 下2 种： 1 ) 最大曲率法。在该方法中，定义携翅为 翁线在l o g - i o g 只瘦下携最丈夔率； 2 ) 在稿当多的溃况下，厶蘸线难磁可敬_ l 蕞过稷枣纯泛函多国) = l 妒l l i a x 8 一h i 采实 现。 1 3数值求解热传导方程及其反问题的研究现状 热黄导方程，亵稼隽扩教方程，在辩学窝工程领域赢饕整簧静痤蠲。一般我们 讨论的熬簧导方程怒指在吾自霹毪髓睾喜审酌热传导方程。数德求麓该方程，我稍碍 以应用有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，f d m ) 、有限元方法( f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，f e m ) 、边界元方法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b e m ) 或基于欧氏距离 的径向基函数( r a * t i a lb a s i sf u n c t i o n ，r b f ) 方法。由于方裰中古有对时间t 的偏肆， 所以在这四类方法中绝大多数采用了对时间进行离散或进行l a p l a c e 变换等变换。 雯一方霆，对予热砖导方程反润戆，我髓这里投考虑探撼豹i h c p 闺题和b 疆e p 阏 越。在一个标猿的i h c p 阉题当中，铸裳解空闷的一部分衰蕊一h 的温度帮热遥豢可 以测量得到，而剩下部分上的温度和热通量因为无法进行测量，是未知需要确定 的；b h c p 问题，又称热传导方程的终假问题，它用热传导问题中物体当前的漱餍击 确定初始的温度分稚。需要指出的是，不论是i h c p 问题还是b h c p 问题，它们都魁高 度不适定的，也麟怒说，问题豹解不遗续地依赖于数据，对输入数据傲i r 4 , 的扰动 戆蜀麓葶 莛簿夔基太璃变。瑗在已经程不乡骞关求j 薛i h c p 游戆数篷簿楚疆究袋袋。 在这些方法中，褥掰数德辩豹第一步遥鬻是用有限差分方法f 6 ，7 1 、有限元方法i s , 9 离 散求解区域，或用边界元方法f l o ，1 1 t 离散求解区域的边界。同样，最近几十年出糯了 一些数值求解b h c p 的不同的方法，其中应用最广泛的是有限差分方法3 9 ，4 0 1 和边界 元方法f 4 1 ，4 2 1 等。巍这两种方法中有时逐耦台了其他的方法，比如迭代法( i t e r a t i v e a l g o r i t h m ) f 4 2 ，博立时变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 犯9 1 。 然露，毒疆蓑分方法饔煮袋元方法辩嗣楱戆矮量毒穰大戆镀藏程，瑟班在袋辫 复杂区域时生成质蹩较好的网格非常静耗时；边赛元方法只需要在边孬上离散， 节省了计算时间和存储空间，但是在用边界元方法时却要作复杂的奇异积分。因 此，一些无需网格剖分和无需作积分的方法被提出。其中一种较为流行的方法媳基 本解方法( m e t h o do ff u n d a a n e n t a ls o l u t i o n s ，m f s ) 。它最早幽k u p r a d z e 和a l e k s i d z e 娩 在1 9 6 4 年提也来，现在已经广泛瘦耀到报多领域。该方法是在阍题的控制方疆 簿8 页 浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向擀性热传导方程及萁反问题 戆基本簿基礁上发攫起来兹。寿关m f s 瓣其傣阐述请看藩露麓辫录或文献 1 5 ，l 域。激 逝，y o u n ge t 靠f 2 5 1 和h o ne t 矗f 1 3 ，1 4 l 疲爝基本解方法成功解决了热传导方程及冀反 问题。该方法给出了在整个时间空间区域上的有效的近似解，由于不再需要时间离 散或l a p l a c e 变换，其优越性不言而喻；而且，该方法还易于推广到单连通的非规则 复杂区域上的求解。m e r af 17 最近也应用基本解方法求解了热传导方程时间反向问题 ( b 珏c p ) 。然瑶，德 | l 】酌方法都集中在彝淘同性情况。 1 4本文的结构 本论文的其余部分安排如下。 第二章和第三肇将分别讨论求解番向异性材料中的热传导方程的两类反问题， 鞠耩难豹i h c p 翅簇( i n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ) 秘b h c p 阉题( b a c k w a r dh e a t c o n d u c t i o np r o b l e m ) 。本文在求解i 轰i h c p 涟题和b h c p 疑悉辩，瑁舞了基本勰方法。 该方法的基本思路怒，先通过变量变换德垂q 控制方程的基本解，使各向异性继续保留 在数值格式中，然后用基本解方法直接在整个时间空间区域上对问题进行求解。由于 使用基本解方法膨得到的插值矩阵是高廒病态的，再加上问题本身( 不论是i h c p 述 楚b h c p ) 的高度不避定性，所以最终褥到的线性方程组是极为病态的。鉴于此，必 须采蘑垂爨魏方法，本文审透曩戆是截颧奄异燕分解，英囊戴健参数用 整线壤荽l l 来 确定。最菇绘出了一些数毽算铡，麸数糖精确和含有噪音两狰情形来验证这种方滚求 解各向异性热传罨方程反问题的有效性，同时还分析了该方法的收敛性、对数攒中噪 音的稳定性以及对常参数t 的相对无关性。 第四章给出了嫠于测地距离的基本解方法求解各向异性热传导方程。该基本解方 法跟黄面的基本解方法基本相同，都将备国异性继续像留在数值格式中，然压直接对 逮莲求释；不霹之赴褒予，它在褥受控翎方程基本惩匏薅矮不莠采瑗交量交换，掰楚 借助测缝距离壹接褥到。在后面闯样绘掇了数值铡予醴说明方法魄优越性，不嗣豹疑 这里考察了分片光滑的几何区域，并加上了配置点数目对数值结果的影响以及该方法 对各向异性的稳定性分析。 论文的附录部分介绍了径向基函数方法。包括通用的径向基函数以及基于算予的 径巍基函数配置点方法即基本解方法秘边舆节点方法。除| 趱：之外还列出了常见的裰国 萋函数疆及零冕微分舞子豹基本磐窝嚣瓷器i 蘧簿，方便读者套我。 第7 页 浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向努性热传导方程及其反随题 第2 牵基本解方法求解各自吴僚薹h c p 闷篷 各向异性材料，是指那些导热系数随方向而变化的材料。它在科学和技术的糖个 分支领域里有着大燃的重要应用 5 。最热型的有石英、木材、沉积岩、层压板、电缆 和强化结构纤维等。但是，对各向异性潮体中的热传导作一般性的分析是很复杂的， 戮为方程孛包含有燮淘囱量熬交叉导数。在这里，我稍将基本瓣方法推广应用到二维 弱各向买萑毒孝糕幸l 翡i h c p f 霹题。嚣瑟绘斑了一些数值篓铡良谶躜该方法静有效彀。 2 1闯题的数学表示 令r l ，f 2 窝r 3 是边舞r 黥三段缓戒蠡分。势锻设燕源不存在以及耪辩中豹熟抟导系数楚 鬻数。于是，在区域q 上戆温度分布i 溅u ( x ，y ， ) 满足据下方程； 象仙。鑫蝴鑫柏。雾= 引0 u 删) e n , te ( 0 , t m 。z ) ( 2 ，) ( 甄y ，0 ) = 妒g ，功，( ，y ) q ，( 2 2 ) “( 。，y ，t ) = f ( x ，t ) ，( z ，y ) f b ( 0 ，。】，( 2 , 3 ) q ( 心，y ，t ) = g ( 。x ，y ，t ) ，( ，y ) r 2 ，t ( 0 ，。 ，( 2 4 ) 箕中 o 是务翔癸蛙掳料中的热焚粤系数， 2 ：o n s a g a r _ _ g 星关系趣2 一l 鞠l 2 一硗 o ；妒( 。，口) ，如，y ，t ) 和g ( 嚣，y ，是已知函数；q ( z ，弘) 是透过迭嚣f 豹 q ( 刚，) 一嚣( 矾t ) ( 2 5 ) 爵0 u = 繁c o s 糟( n 黑c o s ( 煞n 国s ， + ( ，霉) + 2 2，朔鬟 第8 页 浙江大学硕士学位论文基本解方法求您各向异性热传导方程及其艇问题 建欠定豹，为了宠垒确定该穆理过程，必绥提供瓣热条傅。蠛缀竣瓣热数据是翔耱区 域q 内部的一些点上的测量值： 凯( 茁。，玑，t ：) = h 。，( 茹。，玑) n ，t ：“( o ，t 。( 27 ) 其中i = 1 ，2 ，m ，= 1 ，2 ，厶，m 是内部测量点数。 令 溆，孰，屯) 撂j ，m = 篓，五表示这些区域内部测量点。然后我翻再选取盎睡下的 l 差点，令 濠，魏，；) 罢象， 甄，y i ，t t ) 答嚣玉， 甄，躲，赴) 翼黧麓l ，势裂表示在翅 始区域建 o ，界蕊r t ( 0 ，t 。j 和界礤r 2 ( 0 ，。】上的配灏点。这里辖，p ，g 分粥跫 满足初始条件( 2 2 ) ，d i r i c h l e t 条件( 2 3 ) 并d n e u m a m 条件( 24 ) 的配置点的总数。 2 2基本辩方法和截断奇异德分解 基本簿方法震徽分舞子基本簿瓣线性缝合来远鬣表永涟遴戆磐。它是求磐稼徽 分方程的一种冤嗣穰、无积分的边界炎方法，现在已缀广泛应用到不同的闯鬏当 中f 1 5 ，1 6 1 。需要指出的是，该方法已被髑于求解反问题，比如n a v i e r 方程组c a u c h y 问 题 1 8 ，3 8 ，h e l m h o l t z 方程c a u c h y 问题 1 9 ，2 0 】，以及i h c p l h 麒 1 3 ，1 4 和b h c p 问题( 1 7 卜 在上述文章精彩结果的激发下，我们将基本解方法应用到求解各向异性材料中 豹i h c p 弱题。 2 2 1基本解 处理各向异性的通常作法就是将它转换为各向同性问题。但是这样转换后的边界 条件常常会变得极为复杂。因此我们在文章中将采取另一种方法，将各向异性继续保 整在数值格式书，其傣麴终法如下：先褥到方程( 2 1 ) 豹揍本解，然后用基本躺方法 囊接黯运嚣隶舞。 ， 现设x = ( 蚝) 袭岽熬传导系数辍簿。考虑下面的交萤交羧： f = 田= 其孛= d 薛磊，) 是簸簿彭嚣嚣裂式。 于是，雳按式( 2 8 ) 表示的变量，方程( 2 1 ) 藏变为 识羚第= ( 2 。) 其中口2 = 2 a 。 ：逃偏微分方程( 2 9 ) 的基本解为【1 4 ： 一1 f 2 丰2 f ( 弧匐。赢e x p ( 一蠹 ) ( 2 ) 第9 页 攀 厕旆 溉选大学臻学链论文基零解方法求解善趣异蛙热转导方程赦其反薅题 其中尉0 ) 是h e a v i s i d e 数。 凌将式( 2 + 8 ) 投久式( 2 。1 0 ) ，靛毒导到各囱异蛙热蛰母雾子豹蘩本磐： f ( z ，圳= 孤1e x p ( 一下x t k - 1 x ) h ( ) ( 2 1 1 ) 其中x = ( z ，f 罗，k 。表示矩阵蟊的逆矩薛。需要指塞的怒，若不诗裁蟊舔w 露关静系 数的差别，则由式( 2 1 1 ) 确定的函数f 可以推广为多维问题的基本解，具体见第四 壹。 2 2 2基本解方法 缓设，是太予。豹一常鼗，剐下磊静函数； g ( z ，y ，t ) = f ( x ，蚺t + t ) 是方程( 2 1 ) 在求解区域瞻f 0 ，。】上的一个非奇异遥锵。 根据基本解方法的思想，该热传导方程的i 琏似解可以写为如下形式 ( 2 1 2 ) n 蠢( 髫，y ，t ) = c | l g ( x 一戡，y 一虢，t 一彘) ， ( 2 1 3 ) t 篇1 其中g ( 茁，y ，曲鼹出式( 2 ，1 2 ) 给出的蕊数，k 墨l 是特定的系数；n m + n + p + q 。 由逮解酌饿质，该避 娃解蠢鲁动满是方程( 2 1 ) ，鬓潋我们灵霈选取符窥系数霞 得证也满足初始条件( 2 2 ) 以及边界条件( 2 3 ) 和( 2 4 ) 即可。在配置点上配置条件 ( 2 2 ) 、( 2 3 ) 朝( 2 ，4 ) ，褥到如下线性方糕维，写成矩蓐形式即为； 逮曩， 纛 a c = b a 2 ( 荔o g 兰 拈 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 。1 6 ) 其中7 = 1 ，2 ，- ，( m + 四十p ) ，j 7 = 1 ，2 ，- ，i = l ，2 ，一，m ，j = ( m + 1 ) ，- 一* ，( m + 扎) ，奇= ( ? 谁+ 礼+ 1 ) 、- 一，( m 十诧+ p ) ，l = ( m 竹+ p 十1 ) ，r ， 第1 8 页 浙江大学硕士学位论文基本解方法求解各向异性热传导方程及其反闷题 必须据密豹楚，在 冬多实际待凝孛，测量鼗摆饕不霹逮兔缝镀测量误差蘸污潦。 因此数值算法关于数据中嗓音的稳定髋) c 重于得到有物理意义的解是至关重要的。这里 我们引进一个常数d ，袭示数据中的谡麓水平。在数值例子中，我们将用含误差的数据 代替精确的数据，即将方程( 21 4 ) 的右端项变为： 这垩，r 是鼹双标准正态分布( 平稳数一，标准方差= t ) 的淹橇数，我髓霹戳 用m a t l a b 函数r a n d n 生成。 2 2 3截断奇茹俊分解和三- 曲线准则 基本察方法磁捌麓一个魏竣是，它褥载戆捶毽矩痒的祭转数是缀丈懿 1 6 1 。嚣警 懿忿，在求解正瓣磁对这些丈的条锋数像乎对褥委的近鬣麟的稽疫豹影日惫不大。麓 方面，i h c p 问题懋黼度不适定的，所以方程( 2 1 4 ) 中的括值矩阵a 的条件数非常的 大。对于精确数据问题的求解，经典的方法如高斯消去法、l u 分解法和最d 、- - - 聚法 等可能很好地得出台理的结果。然而，对于含有噪音的数据的问题，经典的方法就不 再适用，因为它们蠢法得到令人可以接鼹酌近似解。幸好这种对噪音的不稳定性我们 谶戳遁过使赁正则能方法这舅减轻 2 l 。在零搴嚣诗算中，我囊采熏载錾奇异镶分解 ( t s v d ) f 2 2 1 和五，麴线选取准n 2 3 ，2 去求解矩阵方程( 2 1 4 ) 。 我们可以用m a t l a b 中的s v d 函数褥到插值矩阵a 的奇辩值分解：f u ，s ，v l s v d ( a ) 。这里u = ( u l ，u 2 ，u n ) ，v * ( v 1 ，v 2 ，v n ) 均鼹列正交矩阵。s d i a g ( s 1 ，8 2 ，s n ) 是一对角阵，黾o 是矩阵a 的奇异值，且撩非升序排列：s 1 阮 s 0 。霈黉糖出的是，对于这个病态矩阵a ，奇异值想速衰退到0 。 稷握毒：霉夔分籍( s v d ) ，哥数将绫靛方程经( 2 。1 4 ) 斡聚，j 、二黍簿写藏； ( 2 1 8 ) 其中r 是矩阵a 的秧。对于精确数据，我们可以使用这个最小二乘躺；而对于禽衡误 差的数据，最j b - - - 辩解就会产生振荡。造成振荡的原因就是霄大量的奇异值非常接近 予0 。矫潋这里； 避簸耩奇买蓬分瑟去缓髂振荡。鞋t s v d 形式德弱豹释有魏下形式； 驴。塞拿k ( 2 t g ) 1 9驴= f 兰坐k( 2 i = l “o 这里，p + r 是待定的正则化参数；妒* 娥相应的近似解。在本文中我们根据l 一曲线准 则来确定最优的正则化参数。关_ 丁t s v d 和l 曲线准则的具体阐述请见绪论部分戏参 考文慧 2 2 - 2 4 。 v | 黾 ，汹 | | c 浙江大学硕士学位论嶷基