（计算数学专业论文）组合杂交有限元方法对zienkiewicz薄板元的高精度改进.pdf

：。l 婴型查兰堡杰兰垡堡苎!z z 5 9 2 2 组合杂交有限元方法对z i e n k i e w i c z 薄板 元的高精度改进 计算数举专堑 研究生葫建成指导老师谢小平 组含杂交露限元法( c h f e m ) 具有增强低阶位移格式程丽格精度静内在辊 制。能量误差为零的组合杂交格式可以得到改进的粗网格精度，丽其中越关键作 用的两个因素是：能量协调b u b b l e 函数和组合参数口( o 甜 1 ) 的选择。对 手霆陵薄教弯魏润题，缀合杂交法可敬浆建投撬度模式黢板弯辍模式弱任意缝 合。本文引入了一个新颖的基于薄板弯曲问题的组合杂交格式以阐明这一方法 熬内在枫维l 一增强低除位移格式盼襁弼格精度和稳寇性。骰设短移模式给 定，适当的选择弯矩模式和组合参数口可以获锝精确的能量估计，进而褥到商 精度的位移和弯矩估计。 利趱维台杂交方法躲这一瓠割，本文绘出了对z i e n k i e w i c z 三角簿援元款 改进。俄移模式采用z i e n k i e w i c z 不完企三次多项式插值，弯矩模式分别采用 睽下三莘孛牾式：3 参掌弯簸模式、5 参 线性弯簸模式露9 参线瞧弯短模式。由 于假设弯矩模式的参数可以在单元水平上消去，z i e n k i e w i c z 三角薄板元的组 台杂交改进鍪静计算量与转统z i e n k i e w i c z 三角薄板元籀当。数篷试验寝貉这 种组合杂交型改进了z i e n k i e w i c z 三角簿板元，克服了传统的z i e n k i e w i c z 薄 板元的收敛性要依赖网格割分的缺点，遮到粗网格高精度。 关键镶：有隈无纽舍杂交薄板元绝量误燕 强大学礤士学位论文 i m p r o v e m e n t o fz i e n k i e w i c zp l a t e - e l e m e n tb y c o m b i n e dh y b r i dm e t h o d s m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t ej i a n c h e n gh ua d v i s o rx i a o p i n gx i e t h ec o m b i n e dh y b r i df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( c h f e m ) i so ft h em e c h a n i s mo f e n h a n c i n gc o a r s e - m e s ha c c u r a c yo fc o n v e n t i o n e ld i s p l a c e m e n t e l e m e n t s t h e c o m b i n e dh y b r i ds c h e m ew i t h o u te n e r g ye r r o rl e a d st oe n h a n c e m e n to fa c c u r a c ya t c o a r s em e s h e s ，f o rp l a t eb e n d i n gp r o b l e m s ，i ta l l o w sa r b i t r a r yc o m b i n a t i o n so f d e f l e c t i o ni n t e r p o l a t i o na n db e n d i n gm o m e n ta p p r o x i m a t i o n s an o v e le x p r e s s i o no f t h ec o m b i n e dh y b r i dm e t h o df o rp l a t eb e n d i n gp r o b l e m si si n t r o d u c e dt oc l a r i f yi t s i n t r i n s i cm e c h a n i s mo fe n h a n c i n gc o a r s e m e s ha c c u r a c ya n ds t a b i l i t yo fl o w e ro r d e r d i s p l a c e m e n ts c h e m e s 。f o rag i v e nd i s p l a c e m e n ta p p r o x i m a t i o n ，a p p r o p r i a t ec h o i c e s o ft h eb e n d i n gm o m e n tm o d ea n dt h ec o m b i n a t i o np a r a m e t e ra ( 0 ，1 ) c a nl e a dt o a c c u r a t ee n e r g ya p p r o x i m a t i o nw h i c hg e n e r a l l yy i e l d sn u m e r i c a l l yh i g ha c c u r a c yo f t h ed i s p l a c e m e n ta n db e n d i n gm o m e n ta p p r o x i m a t i o n s b yv i r t u e o ft h i s m e c h a n i s m ，i m p r o v e m e n t o fz i e n k i e w i c zt r i a n g u l a r p l a t e - e l e m e n ti sd i s c u s s e d n ed e f l e c t i o ni sa p p r o x i m a t e db yz i e n k i e w i c z i n c o m p l e t e c u b i c i n t e r p o l a t i o n a n d t h r e ek i n d so f b e n d i n g m o m e n t s a p p r o x i m a t i o n sa r ec o n s i d e r e d ：a3 - p a r a m e t e rc o n s t a n tm o d e ，a5 - p a r a m e t e r i n c o m p l e t el i n e a rm o d e ，a n d a9 - p a r a m e t e rl i n e a rm o d e s i n c et h ep a r a m e t e r so ft h e a s s u m e db e n d i n gm o m e n t sm o d e sc a l lb ee l i m i n a t e do u t 越a l le l e m e n tl e v e l ，t h e 四大学硕士学位论文 c o m p u t a t i o n a lc o s to ft h ec o m b i n e dh y b r i dc o u n t e r p a r t so fz i e n k i e w i c z st r i a n g l e a r ea ss a m ea st h a to fz i e n k i e w i c z st r i a n g l e n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e c o m b i n e dh y b r i dv e r s i o n sa r ec o n v e r g e n ta td i f f e r e n tm e s h e sa n dc a l la t t a i nh i g h a c c u r a c ya tc o a r s em e s h e s k e ”v o r d s ：f i n i t ee l e m e n t c o m b i n e dh y b r i dm e t h o d p l a t eb e n d i n g e n e r g ye r r o r 蹬川大学硬士学位论支 1 萼l 言 板结构是重蒙的结构形式之一，在工程中有蘅广泛的应用。用协调元解二 除稀霜边擅淘题效果程好，毽在解鳝输椭藩透毽闽题对筑出现了不少酌闯题。 比如处理薄板薄巍等c 1 类连续憾闽题要求甜日2 国) ，构造h 2 ( 躏中的爨数要 求函数分片连续两次可微，在赠个区域上一次连续可微。对三角剖分，为了使 分片多王援式在三角形交弊线上一次连续研微，姗需要西次以上的多项式。铆如 a r g y r i s 三凫元驳三角形三顶点处的函数傻、一阶导数售、二阶导数蠖以及三角 形三个边中点处的法向导数值等2 1 个参数，插值出的綦函数魑一个五次多项 式，虽然这样构造的分琦多项式藩子铲 o ( 4 5 ) 很容易得到满足。再根据( 4 4 ) ，通过调节参数口就可以得到( 4 3 ) 如果势能 n p ( “? ) 1 7p ( “) ， ( 4 6 ) 则根据命题4 1 ，选取弯矩子空间v 6 足够大使不等式 m f 口- - 上口( r 一( d 2 v ) ，f m ( d 2 v ) ) + 6 l ( r ，v i ( v ) ) 0 ( 4 7 ) 再调节参数口亦可以得到( 4 3 ) 注4 1 能量不等式( 4 4 ) 对协调元也成立，即u 6 cc 1 ( 西) 时。不过对于一些非协调 元，比如a d i n i 四边形元和z i e n k i e w i c z 三角形元，不等式( 4 6 ) 成立 四川大学硕士学位论文 5 缀合杂交元改进z i e n kj e w i c z 薄簸元 设夏= 噱硒怒区域q 静+ - - n n n # ，嚣且 壬意三跫形芷瓦n n , a 设为q ，( x ，y ) ，( f = 1 , 2 ，3 ) 。令 譬l = x 2 一x 3 ， 叩l = y 2 一y 3 ， 受一x 3 一气，岛= 鼍- - x 2 ； 习22 乃y 1 ， 砚= 岁1 一y 2 ； l 2 z 2 y 3 一x 3 y 2 ，缈22x 3 y l 一一y 3 ，0 9 3 。x l ，7 2 一z 2 y l 三角璐骇o ：g 翡瑟辍坐标五，( i = 1 , 2 ，3 ) 定义为： 名，。2 - ( r l x - 孝，+ 甜。_ f = l ，2 ，3 其中a 为三角形的筒积。 z i e n k i e w i c z 兀蠢q 犹度子空间取为 u ：= v e u n c 。( 竭v i x e s p 蝴n g ，五，五，a 五，& 五，五五， 矸如 霹，霹冯一如碍，舒 一冯矸) ，v k e ) v 芒u 6 在三角形鬈主魏节点参数嶷为 u 。( v ) = ( v ( q ，) ，a l v ( q ，) ，a ：v ( q 。) ，i ；l ，2 ，3 ) 为了麓纯记v ；= v ( 窖；) ，v ( 0 = o ，暖g ) ，弓= 嘎 辔) 。鬟辩予在意懿v w ， 有 其中 ”0 级 十 、，d咚y 卜 峰纡 ，j l ，商 i | 射 一一一婴删盔兰堡主兰焦煎塞 缈= 管( 3 2 矗，) + 2 2 l 冀2 蠢3 ， t = 专+ 。( 帮 + ：十；矗如冯) 一专+ ：( 砰以州+ j 1 如乃) ， 职= 壤+ t ( 簧丑+ 。+ ；五是五) 强+ ：( 帮五+ ，+ ；焉五五) ， 冀，= 五 ，毒，+ ，；孝 ，誓，+ j 。野l ，i + 歹k ( m o d3 ) 考虑下面的三种弯矩模式：3 参分片常弯矩模式唁、5 参不完全线性 夸矩模式缘；和9 参分片线毪弩怒模式嚣6 。它稻分溺定义皴下：对v 声，舆， v z - 喈，f k = v f f 毒】，# j 互= | 1 v r 秽，r k = | 0 0 雕 ：。0 o1 1 00 1 3 凇p 一- ；， 敬缀合杂交格式3 8 ) ( 3 。9 ) 孛戆 ( 5 2 ) f 曩3 ) = v ：， 矿= 瑶和矿= 矿得到三种组合杂交三角元记为：c h z 3 ( a ) ， ) 和a 下蕊我们将以c 飘z 3 国) 为例涕缨说明组台杂交元改进的z i e 呔话w i c z 元鲍 单位刚度矩阵是如何推导的。组合杂交元c h 粉( 叻的变分形式为： 求( 仃 ，) 喈u ? 使得， a a ( c 7 h ，f ) 一a b 2 ( v ，稚 ) + 包( 彳，“ 一t a u ) ) = o ，v 彳蹭 、；t， 反；愿 ，f，l，；，；j y 0 o o x 0 o 0 1 鸯 ， 九 ， 取 展；屈 壤 r；，l，l n 埒凇捌 摸 o y o 短 y o o 弯 0 o z p ， 四j i l 大学硕士学位论文 a b 2 ( 吼，v ) 一b l ( o - h ，v t ( v ) ) + ( 1 口) d ( “ ，v ) = ( v ) ，v v 乙雪( 5 5 ) 由注3 1 ，6 ，( t ，v - - t ( v ) ) = i m 。( f ) v ( v - l ( v ) ) d s 在单位元k 上，( 5 4 ) ( 5 5 ) 中的积分项分别为 其中 口( o - ，f ) i = j m - l ( 盯) ：v d x = ( 。) 1 ( 。) 7 f j l 。d x1 7 = ：( 卢。) 7 h 7 kk b 2 ( r ，v ) l 。= - - ：d ：v d x = ( q ) 7 f 6 7 中。d xl 7 = ：( q ) 1 g ：卢7 kk b l ( z _ ，v - l ( v ) ) l k = 叮m 。( f ) v ( v t ( v ) ) n d s = ：( 7 ) 1 g ，q ” m ，v ) 忙k 扣( d ：计。：俄= ( q ) t ( k 卢7 帆酝 q ”叫q 甲a q ” 厂( v ) l 。= j 厂v d x 2jf u d x q = ：q q ” k yo i一睁 1 o f ，胪 屯l 0 i - _ ：z j l 玛：j n = ( 妒l ，少l ，p 1 ，妒2 ，y2 ，p 2 ，妒3 ，少3 ，p 3 ) 和q ”= ( v ( 1 ) ，v ，( 1 ) ，v ，( 1 ) ，v ( 2 ) ，v ，( 2 ) ，v ，( 2 ) ，v ( 3 ) ，v ，( 3 ) ，v y ( 3 ) ) 1 由方程( 5 | 4 ) 得 “：! h ，- ( 口g 。一g 。) t q h 口 一 一 = 凹川大学硕士学位论文 把( 5 6 ) 带入( 6 4 ) 就得到单元刚度矩阵 1 口( a g 2 - g 1 ) h “( a g 2 - g 1 ) 7 + ( 1 一口) a q “= q ( s ，) i 口i 6 数值算例 本文主要计算了板长l = 1 的简支和固支方板，在均布荷载和中心集中荷 载作用下的能量、扰度和弯矩，取p o i s s o n 比v = 0 3 。 yf w _ u ：o 。o l | i 一 ! i i l + x (i)(111 图6 1 四分之方板 ( i ) 四分之一简支方板( i i ) 四分之一固支方板 由于对称性，只取四分之一板进行计算，并考虑3 种不同的网格，如图 6 一l 和图6 2 所示：图6 1 ( i ) 、( i i ) 是四分之一方板的边界条件，即简支方板 和固支方板：图6 - 2 ( a ) 、( b ) 、( c ) 是三角形单元的网格剖分。对于网格( a ) ， 三角形的三边分别平行于三个固定的方向，z i e n k i e w i c z 三角板元是收敛的；对 于网格( b ) 和网格( c ) 就是所谓的鱼骨型网格和交叉型网格，z i e n k i e w i c z 三角板元 是发散的。 四川i 大学硕士学位论文 ( a ) ( a ) 三平行网格a2 x 2 c o ) 图6 2 网格剖分 ( b ) 鱼骨网格b2 x 2 ( c ) ( c ) 交叉网格c 2 x 2 表7 一l 表7 4 分别给出了方板在不同网格下的能量、中心扰度和中心弯 矩的计算结果。表中列举的组合杂交元c h z 3 ( 0 5 ) 、c h z 5 ( 0 5 ) 、c h z 9 ( 0 5 ) 和 杂交元c h z 9 ( 1 ) 的结果显示这些元计算出来的能量与命题3 1 是相符的，例如 兀9 ( 1 ) n 9 ( 0 5 ) 和兀3 ( 0 5 ) + a ( 3 ) ) a ( 3 ) 幸( 2 + 1 ) 一3 + a ( 2 ) ) 2 + b ( 3 ) + ( 1 ) * 2 + a f 2 ) ) 十a ( 3 ) 埯( 2 ) 4 3 ) a ( 3 ) + ( 2 ) * 1 ) ) a o ) 4 ( b ( 2 ) 书( 1 ) ) 】+ h ( 2 4 + a r e a ) ； c c 3 = 4 + ( b ( 1 ) - “1 ) ) ( a ( 2 ) - “3 ) ) ( b ( 1 ) “1 ) ) ( b ( 1 ) - a ( 1 ) ) + c o ( 2 ) - b ( 3 ) ) 4 + ( 3 吣( 2 ) 一3 + a ( 2 ) 均( 1 ) 一1 ) ) a ( 2 ) + ( b ( 1 ) 十a ( 1 ) ) + 2 + 1 ) + ( b ( 3 ) + a ( 1 ) - 2 + b ( 2 ) + 2 + a ( 2 ) ) - b ( 2 ) ( 1 ) + b ( 1 ) ) + 2 岫( 1 ) + ( - 3 ) _ b ( 1 ) + 2 + 2 ) - 2 喝( 2 ) ) 4 ( 3 埯( 3 ) w 3 4 3 ) 十b ( 1 ) 一1 ) ) a ( 3 ) + ( a ( 1 ) 十b ( 1 ) ) + 2 a ( 1 ) + ( * 2 + 3 ) + 2 ( 3 ) - a ( 1 ) - b ( 2 ) ) b ( 3 ) 枣( b ( 1 ) + 1 ) 涉2 埯( 1 ) + ( * 2 3 ) + 扩b ( 3 ) + b ( 1 ) + a ( 2 ) ) 】+ h ( 2 4 + a r e a ) ； s w i t c hg r i d c a s e 1 ， i f i 媚m “2 s w i t c hm o d e c a s e 5 ， 5 - p a r a m e t e r c c - - c 1 + c 3 2 ；c 2 + c 3 2 ；一c 3 ；( x x ( 1 ) + x x ( 3 ) ) 幸c 2 2 + ( x x ( 2 ) + x x ( 3 ) ) 4 c 3 4 ： o y ( 1 ) + y y ( 2 ) ) + c 1 2 + ( y y ( 2 ) + y y ( 3 ) ) + c 3 1 4 1 ； c a s