（计算数学专业论文）曲面造型中的blossoming方法及其应用.pdf

摘要 本文主要讨论b l o s s o m i n g 方法在曲面造型中的应用。 利 用b l o s s o m i n g 方法实现了有理b d z i e r _ 三角片和有理b 6 z i e r 矩形片之 间的相互转换。通过应用，我们对双变量多项式的b l o s s o m i n g 有 t 一个全面、统一的认识同时还总结了多元多项式的b l o s s o m i n g 具体章节安排如下： 第一章是对自由曲面造型的概述。介绍了曲面造型的研究领域 和研究方法。 第二章介绍t b l o s s o m i n g 的概念，综述了已有的结果，叙述了 多元多项式及其微商的b 1 0 8 8 0 m i n g 表示。着重叙述了b 包i e r 三角片 和矩形片b l o s s o m i n g 的表示和它们的b l o s s o m i n g 齐次化的定义。 第三章中，讨论t b l o s s o m i n g 方法在曲面造型中的应用。首 先讨论了有理b d z i e r - - 角片细分为四个子有理b d z i e r 三_ 角片，并 由b l o s s o m i n g 算法给出了细分的饲子。然后讨论了曲面转换的问题， 一方面是将有理b d z i e r 三角片转换为有理b d z i e r 矩形片，分别对一 个有理b d z i e r - - - 角片转换为三个非退化的有理b 钇e r 矩形片和一个 退化的有理b d z i e r 矩形片进行了理论推导另一方面是将非退化的 有理b d z i e r e 矩形片转换为两个有理b d z i e r t m 角片。用b l o s s o m i n g 方 法得到了相互转换的公式，给出了转换算法并且用数值例子表明 了算法的有效性。 第四章是对本文的总结。 关键词：b l o s s o m i n g ，有理b 6 z i e r 三角片，有理b d z i e r 矩形片，转换 自由曲面造型 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u g s 4 蕾s o m ea p p l i c a t i o n so fb l o s s o m i n gi ns u r f a c e m o d e l i n g s p e c i f i c a l l y , w ea p p l yb l o s s o m i n gm e t h o di nc o n v e r t i n gb e t w e e n r a t i o n a lb d z i e rt r i a n g u l a ra n dr a t i o n a lb 6 z i e rr e c t a n g u l a r t h e s ep r o b l e m s h e l pn st ou n d e r s t a n dt h et h e o r yo ft h eb l o s s o m i n gi nt w ov a r i a b l e sp o l y - n o m i a li nau n i f i e dw a y a n di n t r o d u c e dt h eb l o 略o m i n gi nm u l t i v a r i a t e p o l y n o m i a l i nt h ef i r s tc h a p t e r w ei n t r o d u c e dt h es t u d y i n gf i e l d sa n dm e t h o d 8o f s u r f a c em o d e l i n g i nt h es e c o n dc h a p t e r w ei n t r o d u c e dt h ee x p l i d tr e p r e s e n t a t i o n s0 fm u l - t i v a r i a t ep o l y n o m i a la n di t sd e r i v a t i v ei nb l o s s o mf o r m ，e s p e c i a l l y , i n t r o d u c e d t h er e p r e s e n t a t i o no ft r i a n g u l a ra n dr e c t a n g u l a rb & i e rp a t c h e si nb l o s s o m f o r ma n dt h e i rh o m o g e n o u so fb l o s s o m i n g i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ea p p l yt h eb l o s s o m i n gm e t h o di ns u r f a c em o d - e 珏n g f i r s t ，w ed m c u s s e dt h es u b d i v i s i o no fr a t i o n a lt r i a n g u l a rb d z i e rp a t c h i n t of o u rs u b p a t c h e sb yb l o s s o m i n gm e t h o d s e c o n d ，w ei n v e s t i g a t e dt h e p r o b l e mo fs u r f a c ec o n v e r s i o n o nt h eo n eh a n d ，w ec o n v e r t e dat r i a n g u l a r r a t i o n a lb 包i e rp a t c hi n t ot h r e en o n d e g e n e r a t ea n dad e g e n e r a t er e c t a n g u l a r r a t i o n a lb & z i e rp a t c h e sr e s p e c t i v e l y o nt h eo t h e rh a n d ，w ec o n v e r t e dan o n - d e g e n e r a t er a t i o n a lb d 口i e rp a t c hi n t ot w ot r i a n g u l a rr a t i o n a lb 6 z i e rp a t c h e s e x p l i c i te x p r e s s i o n sa n da l g o r i t h m sa r eo b t a i n e db yb l o s s o m i n gm e t h o d a n ds o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h e b l o s s o m i n gm e t h o d i nt h ec h a p t e rf o u r lw es u m m a r i z e dt h i sp a p e r k e y w o r d s ：b l o s s o m i n g ，r a t i o n a lt r i a n g u l a rb & i e rp a t c h ，r a t i o n a lr e c t a n g u - l a xb & i e rp a t c h ，c o n v e r s i o n ，f r e e - f o r ms u r f a c em o d e l i n g 中国科学技术大学学问论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行 研究工作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。 与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已经在论文中 作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用 权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位 论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名；缢纽豳 加回年歹月叫日 致谢 本文是在导师冯玉瑜教授悉心指导下完成的。 在导师冯玉瑜教授和邓建松教授的指导下，我从2 0 0 4 年开始了 计算机辅助几何设计的学习和研究。在这三年的学习中，冯老师渊 博的知识，谦逊的为人，平易近人的作风；邓老师敏锐的洞察力和 严谨的治学态度，都给我留下了非常深刻的印象，并将会始终激励 着我。作者谨向他们致以崇高的敬意和衷心的感谢! 在此，我还要感谢陈发来教授，他讲授的专业知识使我受益匪 浅；感谢陈效群副教授对我的帮助：感谢陈祖墀教授对我学习和生 活上的帮助。感谢应用几何与科学计算实验室的每位成员，特别是 李秀英，贾晓红，宋兴华，李莹，童伟华师兄等；还有舍友汤芬斯 蒂和郭朝晖，感谢他们给予我的所有帮助。 同时，数学系的系领导和老师在日常生活中也给我了很多帮 助，在此一并表示感谢。 最后。我要向我的父母和家人朋友表示深深的感谢，感谢他们 一直以来对我的支持和鼓励，使我能够安心学习并顺利完成学业。 第一章c a g d 中曲线曲面造型方法的概述 1 1 概述 计算机辅助几何设计( c a g d ) 的研究内容是在计算机图形图像系统的 环境中表示和分析各种自由曲线、曲面以及立体，主要侧重于计算机设计和 制造( c a d c a m ) 系统的数学理论和几何体的构造方面。是随着船舶设计、 汽车制造，航空航天等现代工业的发展和计算机的出现与应用而产生并发展 起来的一门学科，经过数十年的研究和发展，特别是伴随着计算机技术的日 新月异，现在它已不再局限于原有的几何形状信息的计算机表示、分析与综 合而是更广泛地被实践应用于机械制造、影视制作、建筑业、虚拟场景生 成、网络传输、各种场合的可视化、甚至时装工业等众多领域。它推动了许 多领域的技术革命，同时其自身的研究对象和方法又由于这些领域的发展而 被不断更新和推进。只要有新的造型理论或方法出现，就会立即产生相关的 应用；而随着应用对象的日益复杂化，随着实际应用g 寸c a d c a m 系统的要 求日趋多样化，作：为c a d c a m 系统理论基础和技术关键的曲线曲面造型理 论和技术也相应地得到了长足的发展，并将继续沿着不断完善已有理论和技 术以及不断开拓新的理论和方法的道路迈进。曲面造型是计算机辅助几何设 计和计算机图形学的核心内容 1 2 曲面造型的研究领域和研究方法 曲面造型是计算机辅助几何设计和计算机图形学的一项重要内容，主要 研究在计算机图像系统的环境下对曲线、曲面和实体的表示、设计、显示和 分析。它起源于船舶、汽车、飞机等的外形放样工艺，后由c o o n s 、b e z i e r 等 大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过近半个世纪的发展，曲面造 型技术经历了从二维线框绘图，到三维实体造型再到特征、参数化建模的 逐步完善的过程。耳前已形成了以有理b 样条参数化特征设计和隐式代数曲 面表示这两类方法为主体，以插值、拟合和逼近这三种手段为骨架的理论体 系 曲面造型的核心问题是计算机表示，描述形状信息的数学方法既要适合 计算机存储和处理，又要有效地满足形状表示与几何设计的具体要求，以及 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 第一幸c a g d 中曲线曲面造型方法的概速 1 2 曲面违型的研究领域和研究方法 便于形状信息传递和产品数据交换等。随着计算机图形显示对于真实性、实 时性和交互性要求的目益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓 扑结构复杂性靠拢的趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体 化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技 术和硬件设备的日益完善，曲线曲面造型技术在近几年来得到了长足的发 展这些发展主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新上 从研究领域来看，曲线曲面造型技术已从传统的研究曲线曲面的表示、 求交和拼接，扩充到曲线曲面的变形、重建、简化、形式转换以及等距性等 闯题。 曲面变形( d e f o r m a t i o no rs h a p eb l e n d i n g ) ：传统的非均匀有理b 样 条( n u r b s ) 曲面模型，仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状， 至多利用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作；一些简单的基于参数曲 线的曲面设计方法，如扫掠法( s w e e p i n g ) ，蒙皮法( s k i n n i n g ) ，旋转法和拉伸 法。也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状。计算机动画业和实体造型业迫 切需要发展与曲面表示方式无关的变形方法或形状调配方法，于是产生了自 由变形( f f d ) 法，基于弹性交形或热弹性力学等物理模型( 原理) 的变形法， 基于求解约束的变形法，基于几何约束的变形法等曲面变形技术和基于多面 体对应关系或基于图象形态学中m i n k o w s k i 和操作的曲面形状调配技术 曲面重建( r e c o n s s r u c t i o n ) ：是从曲面上的部分采样信息来恢复原始 曲面的几何模型，按重建曲面的形式，分为函数型和离散型曲面重建。采样 用的工具为：激光测距扫描器，医学成像仪，接触探测数字转换器，雷达或 地震勘探仪器等 曲面简化( s i m p l i f i c a t i o n ) ：是从三维重建后的离散曲面或造型软件 的输出结果中去除冗余信息而又保证模型的准确度，以利于图形显示的实时 性、数据存储的经济性和数据传输的快速性。具体的方法有；网格顶点剔除 法，网格边界删除法，网格优化法，最大平面逼近多边形法以及参数化重新 采样法。 曲面转换( c o n v e r s i o n ) ：一张曲面可以表为不同的数学形式。在同一c a d 系统中，有时只需要一种形式，因此。考虑曲面之间的转换是非常必要的 曲面位差( o f f s e t ) ：也称为曲面等距性，从数学表达式容易看出，一条 平面参数曲线的等距曲线不再是有理曲线，这就越出了通用的n u r b s 系统 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 3 第一章c a g d 中曲线曲面造型方法的概速1 。2 曲面违型的研究领域和研究方法 的使用范围，造成了软件设计的复杂性和数值计算的不稳定寻找具有精确 有理等距曲线的某种参数曲线是一个重要问题。 从表示方法来看，曲面造型中的曲面主要有多边形网格、隐式曲面、参 数曲面等表示方法以阿洛表示、细分( s u b d i v i s i o n ) 等为特征的离散造型 与这些传统的连续造型相比，大有后来居上之势，这类造型方法在生动逼真 的特征动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水得到了高度的运用。 多边形网格表示方法 此方法是最直接的表示方法，在计算机图形学诞生之时就已开始使用， 其最大优点是造型速度快，它直接使用点、直线段和平面面片来逼近真实的 形体，因此便于显示、可以表示任意拓扑。但该方法表示的曲面精度、曲面 光顺性及可修改性不及参数曲面方法，从而限制了它的应用范围 参数曲面表示方法 参数化表示方法由来已久，是曲线曲面造型技术的一种重要方法，也是 传统的c a d c a m 系统采用的标准表示方法。 因为多项式作为插值或逼近函数具有一定的局限性，人们开始研究所 谓的分段多项式。在1 9 4 6 年，样条函数的创始人s c h o e n b e r g 提出了b 样条理 论。这种方法可方便地用来构造整体达到一定光滑连续的曲线和曲面。后 来，随着计算机技术的飞速发展，计算机图形学的初具规模，样条函数开始 被广泛应用于数据拟合、函数逼近、曲线曲面造型等领域，并在理论上逐 步得到完善。1 9 6 8 年，美国波音公司的f e r g u s o n 首先提出了将曲线曲面表示 为参数的矢函数方法，他引入了三次参数样条曲线，并构造t f e r g n s o n 双三 次曲面片，用以解决自由型曲线曲面的表示和设计问题。1 9 6 4 年，美国麻省 理工学院的c o o n s 给定围成封闭曲线的四条边界就可以定义一张曲面片( 称 为c o o n s 曲面) ，c o o n s 双三次曲面片在实践中应用广泛。但这两种方法都存 在形状控制与连接问题，不利于交互设计和整体造型。而在法国，雪铁龙汽 车公司的d ed e c a s t e l j a n 于1 9 5 9 年和雷诺汽车公司的b 白i e r 于1 9 6 2 年分别独 立地发展了后来被称为b d z i e r 曲线的参数曲线表示方法后来又陆续得到了 矩形域上的张量积b & i e r 抽面和三角域上的b d , z i e r 曲面等表示形式。b d z i e r 方 法简单易用，而且具有很好的交互性，漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲 线曲面的设计向前推进了一大步，为自由曲线曲面造型的进一步发展奠定了 坚实的基础。但是，b d z i e r 方法仍然存在拼接问题和局部修改问题。1 9 7 2 年d e 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文4 第一章c a g d 中曲线曲面造型方法的概速i 2 曲面追型的研宽领域和研览方法 b o o r 、c , o x 和m a n s f i e l d 分别独立地给出了计算b 样条的标准算法即d eb o o r 递 推公式，该方法使b 样条的计算简便而稳定1 9 7 4 年，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 发 现d eb o o r 递推算法是d ec a s t e l j a u 算法的自然推广，将b 样条函数推广到参 数形式的b 样条曲线曲面。b 样条方法几乎继承了b 6 z i e r 方法的一切优点，同 时克服了b 6 z i e r 方法存在的一些缺点，较成功地解决了局部控制问题，并在 参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题 得到了较好解决。但它却不能精确( 只能近似) 表示除抛物线和抛物面外的二 次曲线曲面。1 9 7 5 年，v e r s p r i u e 提出了有理b 样条方法。克服了上述缺陷。后 来在p e g e l 和t i l l e r 等学者的努力下，在上世纪8 0 年代后期发展起来非均匀有 理b 样条( n u r b s ) 的一整套方法，把有理和非有理b 也z i e r 曲线曲面与b 样条 曲线曲面以及圆锥曲线和初等解析曲面统一于一种表示，最终使n u r b s 方 法成为现代几何造型中最为广泛流行的技术 瞎式曲面表示方法 隐式曲面是通过隐函数定义的曲面。相对于传统的参数曲线曲面表示方 法，隐式曲面具有众多优点：很容易判断给定的点与曲线曲面的位置关系。 隐式曲线曲面在求交、求并、o f f s e t 等几何操作之后仍为隐式曲线曲面，这 样就可以由一些相对简单的体素构成较为复杂的形体隐式曲面简单灵活 的表达形式，更易于表示立体形状，理论上隐式曲面可以用于表示任何形体， 而且对于用有理参数表示的代数次数很高的曲线和曲面，通常可以用分片低 次代数曲面去研究来避免高次给造型带来的困难。在插值或逼近给定点和 曲线时，隐式曲线曲面较之参数表示更加方便和自然，并且在b - b 表示下代 数曲面的b 包i e r 纵标对曲面形状的控制很直观 细分方法 细分方法是把参数曲面的逐片构造方法推广到任意拓扑结构的网格模 型，克服了参数曲面处理任意拓扑曲面时存在的困难。与其它方法相比，细 分方法具有如下特点：表示的一致性：传统的造型方法，其曲面表示要么 是多边形网格，要么是参数曲面。而细分曲面既可以看作是由控制网格定义 的连续曲面。又可以看作是离散网格曲面。可伸缩住：细分方法是基于递 归细化控制网格，这使得细分曲面本身具有多分辨性质，使其在编辑、显示、 月格传输方面具有其它造型技术和曲面表示方法所无法比拟的优势。简 洁、高效性：常用的细分方法所定义的细分规则都很少，而且规则比较简单， 细分计算只是反复迭代，可以高效地计算出新的顶点。仿射不变性：如对 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 5 第一章c a g d 中曲线曲面违型方法的概速1 2 曲面造型的研究顿域和研克方法 初始控制网格做线性变换，如平移、缩放或者旋转等，所得的细分曲线或者 曲面也会做相应的变换任意拓扑适应性：能够建立任意拓扑结构的曲面。 任意拓扑不仅指网格的亏格和相应的拓扑结构是任意的，而且由网格的顶点 和边所构成的图形是任意的。目邑够很好的解决任意拓扑问题是细分方法获得 广泛应用的最主要原因之一 而且还出现了一些新的曲面造型方法，比如： 基于物理模型的造型方法 该类方法与建立在纯数学理论基础上的传统方法大相径庭，它基于物理 模型( 而不是单纯的几何体) 对变形曲面进行仿真或构造光顺曲面，具有以 下特点( 见文献1 2 1 ，2 8 1 ) ：曲面形状的改变服从物理准则，在计算机模拟过 程中，可以一种自然、可预测的方式对模型施加仿真外力进行变形，而且可 以动态地显示模型在外力作用下的变形；模型的平衡状态是模型在外力和 约束条件作用下的具有势能最小的状态，可以建立满足局部或整体设计要求 的势能函数和规定与形状设计有关的几何约束；能量模型建立在传统的标 准纯几何模型的基础上，这样就可以同时应用传统的几何造型和基于物理的 造型两类方法去设计曲面形状。 基于偏微分方程( p d e ) 的曲面造型方法 p d e 曲面是由一组椭圆偏微分方程生成的，它的形状由边界条件和所选 择的偏微分方程确定。其思想起源于将过渡面的构造看作一个偏微分方程的 边值问题，面后发现该方法可以方便地构造大量实际问题中的曲面形体。该 方法具有以下特点( 见文献【2 j ) ：构造过渡面简单易行，只需给出过渡线并 计算该处的跨界导矢；所得曲面自然光顺，但是曲面由超越函数表示而 不是简单的多项式；可通过修改边界曲线和跨界导矢即方程中的一个物理 参数来调整曲面形状；便于功能曲面的设计；用户的输入工作量较小， 确定一张曲面只需少量的参数。 流曲线曲面造型 该方法是一种以流体力学为背景的流蓝线曲面的造型方法。由流体力学 理论可知，流曲线曲面上任一点的切线与该点的水流或气流的流动矢量方向 吻合，因此用流曲线曲面设计的外型具有良好的物理性能，同时外型也十 分美观。该方法的思想以流体力学中的平面定常理想不可压缩无旋动为力学 背景，将流体力学中流函数的概念引人到c a d 中，从而建立流曲线曲面的数 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 6 第一章c a g d 中曲线曲面造型方法的概述1 3 本文主要内客 学模型 另外，还有许多其他的造型方法，如教乱点的曲线曲面的造型方法、小 波曲线曲面的造型方法等，这里不再赘述。 = 十世纪八十年代，d ec a s t l j a u 在文献【4 】中和r a m s h a w ；在文献f 2 2 _ 2 4 1 中提出了一种研究样条曲线的新方法- - b l o s s o m i n g 方法。它的基本思想 可以追溯到代数几何中的极形式( p o l a rf o r m ) 这种方法成功的再建和拓宽 了单变量样条的理论，在曲线造型中的应用已经比较成熟f 1 ，9 ，1 0 ，1 4 ，2 4 ， 2 5 1 。b l o s s o m i n g 方法在曲面造型中的应用仍需要迸一步的研究。之后g o l - d m a n 在文献【1 1 1 中探讨了负指数b e m s t a i n 基的性质和相应的多仿射b l o s s o - m i n g ，以及在文献1 2 。1 3 1 中将b l o s s o m i n g 从多项式扩展到解析函数，s e i d e l 在 文献 2 6 1 中引进了多变量多项式b l o s s o m i n g 的概念。 1 3 本文主要内容 本文主要讨论b l o s s o m i n g 方法在曲面转换中的应用。矩形片和三角片 是b d z i e r 曲面的两种主要表示形式它们有着很多共同的性质，例如角点插 值性、凸包性、仿射不变性等，但这两种形式的曲面有着不同的基函数和不 同的几何拓扑结构，又由于在同一c a d 系统中。常常仅包含某一种表达形 式，这就有必要从一种形式转化为另一种形式。b & i e r 矩形片与三角片之间 的相互转换方法已有不少工作。 本文是利用b l o s s o m i n g ，y 法实现了有理b d z i e r 矩形曲面片和三角曲面片 之间的相互转换。一方面，将有理b d z i e r 三角片转换为有理b d z i e r 矩形片，首 先对一个n 次有理b d z i e r 三角片转换为三个非退化的( n ，n ) 次有理b 铴e r 矩形 片的情况进行了讨论，是将给定的有理b d z i e r 三角片的定义域剖分为三个四 边形，再将三角片限制在这三个四边形上的曲面片重新参数化得到所求的矩 形片；其次，由同样的理论推导过程将一个n 次有理b & i e r = 角片转换为一个 退化的( n ，n ) 次有理b d z i e r 矩形片。本文利用有理b d z i e r 三角片的b l o o m i n g 形 式直接生成所求有理b d z i e r 矩形片的控制顶点另一方面，将一个( m ，n ) 次 有理b z i e r 矩形片转换为两个m + 礼次有理b d z i e r - - 角片，通过连接四边形 对角线的方式把有理b 6 z i e r 矩形片的定义域化成两个三角形，然后给出有 理b b z i e r 三角片控制顶点的计算公式。本文利用b l o s s o m i n g 方法得到了相互 转换的公式，给出了转换算法。并且用数值例子表明了算法的有效性。 第二章曲面b l o s s o m i n g 的定义及其性质 2 1 一元多项式b l o s s o m i n g 的定义及其齐次化 2 1 1 一元多项式b l o s s o m i n g 的定义及其表示 本节介绍b l o s s o m i n g 的定义和一些基本性质，这些可在文献1 7 ，8 ，2 4 r p 发现。设b 为一向量空间，i i ，i ( t ) 为不超过n 次的单变量多项式的全体。 定义2 1 。l 设p o ) m ( t ) t r e 的一元多项式，把个变量的对称、仿射 且满足对角性质的多项式i k 酬( t l ，u n ) ：r n e 称为多项式p ( t ) 的肋船一 o m i n g 其中对称是指对t l ，n ) 上任一置换排列一有 玩纠( 珏i ，) = & 嘲0 一( 1 ) ，珏一m ) ) ， 仿射是指对所有的咄，i = 1 ，几都是一次的，即满足 取纠( 让1 ，t “一l l ( 1 一a ) 让+ a v ，地+ l ，t ，i ) = ( 1 一a ) 鼠纠( 让1 ，啦- i ，缸，t 1 ，) + a 点k 纠( t l ，m 一1 ，撕+ l ，) ， 对角性质是指当t l = = ；t 时有 b 。 p l ( t ，t ) = v ( t ) 性质2 1 2 定叉2 1 j 中的b l o s s o n v i n g b n 洲( u l ，) 是唯一存在的。 性质2 1 3 设定，淮f 0 ，1 _ k b g z i e r 曲线c ( 让) = 只霹( u ) ，其日沁鲫砌础的 i ；0 对偶泛函性为 只= 鼠旧蛐掣， n - i 从而得到 圾f 霹( ”) 】也二二三2 二o 。& ， ( 2 1 ) in - k 其中= j ：埠。f f i i , 7 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文8 第二章曲面b 1 瑚眦i n g 的定义及其性质2 1 一元多项点b l o s s o m l u g 的定史及其齐次化 给定p ( t ) 风( t ) ，它的b l o s s o m i n g b n p ( u x ，) 有不同的表示形式， 下面介绍三种应用最广泛的显式表示形式( 见文献f 2 7 ) 性质2 i 4 甩时称的初等函数表示： n 设( t ) = 啦驴，刖它b l o s s o m i n g 为 i = o 风嘲( ，) = 砉毗鼠“”) q ) ，i = 0 、。7 其中最( u 1 ，t ，1 ) =砰睹，0 o ，l ，为a q - u ”。u n 的 第女个初等函数。 例如，当p ( 幻= c 3 庐一c 2 铲+ c i t + 印，其中c f r 或c i e ， 岛纠( t l ，砌，撕) 2c 3 让l t 2 锄一；饧1 忱+ t l 地+ t 2 钧) + ；c l ( u 1 + v a + u 3 ) + c o uu 性质2 1 5 用d eb o o r - f i x 公式表示： 设p ( t ) r 1 ( d ，并且m ( t ) = ( 让l 一力( t h t ) ，则的b l o s s o m i n g $ 风m ( u ”，) = n _ _ l 卜、n - k p ( r ) 皿协 且上式右边不依赖于r 若已知p ( t ) 的根及它的最高次的系数，即 北) = 学”小吨_ t ) ， 那么就可以用矩阵的积和式来表示p ( t ) 的b 1 0 8 珀i n g 。 下面先给出积和式的定义： 定义2 1 6 谩坛。= ( 豫，) 为死阶方阵，则称 p e r m ( m ) ：= m 1 n ，h h ， 为矩阵 f 的积和式，简记为p e r m ( m ) ，其中口是1 ，2 ，n 的置换排列。 性质2 , 1 7 用多项如( t ) u s 根表示： 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文9 第二章曲面b 1 0 s m g 的定义及其性质2 1 一元多项式b 1 0 酗o m i n g 的定义及其齐旋舶 尾纠( t l i ，) = ( - 可1 ) - 矿p c - ) ( o p e r m ( r 一吩) ， &rm纯一蚴，=凫啪(三二-1：1：?1二-：“2；!：二rl二-兰 b l o s s o m i n g 的齐次化： n i 殳p ( t ) = ea k t ，记它的b l o s s o m i n g 为鼠脚( 乱“，) ，对该b l o s s o m i n g 的 k = o 齐次化是对每个变量分别齐次化，表示形式为 鼠嘲( ( 让z ，v 1 ) ，) ) ，( 2 2 ) 易知( 2 2 ) 式的每一项中关于因子锹，讥只能有一个，即关于每一对变量( 饥，强) 都是一次的t 从而既纠( ( 乱- ，v 1 ) ，c ( u k ，讥) ，( t ，i ，) ) 是多线性的，有 岛纠( ( 口- ) ，c ( u k ，仇) ，( 钍。，) ) = c 晶剀( ( l ，u 1 ) ，( u b 饥) ，( ，) ) 令地= 1 ，后= 1 ，n 可将( 2 2 ) 式去齐次化，即 风埘( ( 钍l ，1 ) ，1 ) ) = 风m ( u l ，“d 齐次化的b l o s s o m i n g ： 是指先将p ( t ) 齐次化再进彳 y b l o s s o m i n g 。p ( t ) 的齐次化形式为 n p ( t ，”) = g t k 如j j n - k - = - - o 当t = 1 时p ( t ，伽) 还原为p ( t ) 。即p ( t ，1 ) = p ( t ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 0 第二幸曲面b l 唧m i n g 的定义夏其性质2 2 多元多项式b l 8 曲虹n g 的定叉及其表示 定义齐次多项式p ( t ，w ) 的b l o s s o m i n g 是唯一的、对称且多线性的多项式， 记为日捌( ( ”- ， ) ，( ，) ) ，并且满足对角性质风嘲( ( t ，埘) ，( t ，伽) ) = p ( t ，加) 多线性是指多项式风纠( ( t l ，仇) ，( t ，) ) 关于每对变量( i ，他) 七= l ，璐5 是线性函数g 口有 晶嘲( ( u l ，饥) ，( ，) + 以，巩) ，( ，) ) = & 嘲( ( 暂l ，t ，1 ) ，o , k ，) ，( ，) ) + 最嘲( ( “l ，u 1 ) ，以，s k ) ，( u 。，) ) ， 风纠( ( t 1 ，仇) ，c ( 钍i ，v k ) ，) ) = c 且k 驯( ( 让l ，v 1 ) ，( u ，) ，( u 。，) ) 2 2 多元多项式b l o s s o m i n g 的定义及其表示 2 2 1多元多项式b l o s s o m i n g 的定义 由于单变量多项式的b l o s s o m i n g ) j - 法为样条曲线及多项式曲线的研究提 供了一种非常有效的、快捷的工具。很自然地，希望将其推广到多变量多项 式的情形，文献【2 6 1 中，引进了多变量多项式b l o s s o m i n g 的概念。文献f 5 1 介 绍了定义在单形上的多元多项式b l o s s o m i n g 的表示形式和性质。对于多元样 条。借助于b l o s s o m i n g 方法进行研究也已取得了部分成果( 见文献【6 ，1 9 】) 。现 仍处于不断发展之中下面我们对多变量多项式的b l o s s o m i n g 做一下总结。 首先介绍一些记号， 对任何的多重指标a ： 口：= ( o l ，m ) z ? ， j a i ：= o l + + n h ， 口! ：= 口l ! b m ! ， x a ：= z ；1 z 静，x = ( x i ) i m l r m 对多重指标口，反它们的二项式系数定义为： 铲铲四：东三 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文1 1 篓三圭皇苎至里竺鎏! 竺垒兰圣苎兰堡! ! 量耋垄兰矍塑壁竺堡! 竺兰兰垒叁查重 特别地，记 ：；j f i = 1 黔a j 设i i ，i ( r 4 ) ：= 所有次数不超过n 的m 元多项式的全体 定义2 2 1 设p ( 甸。( r ，) 为r ，一e 的多项式，若存在一个礼仿射的，对 称的多项式风纠( d ”，扣) ，其中捌r 仇， = 1 ，t i ，且满足对角性 质，t t f b 纠( 为，磅= p ( 动，茁舻，弼称b 。剜( d ”，列) 为p ( 动的b ： s o m i n g 其中对称是指对f l ，2 ，n ) 上的任一置换排列，有 晶溯( x ，x 似) = 且k 纠( x p ( 1 ) ) ，x p 加) ) ， n _ 仿射是指对任意l t s n ，有 岛纠( x ( ，x a 一1 1 ，( 1 一c ) x + c y ，x o + t ) ，x n ) = ( 1 一c ) b 。嘲( x n ，x “一n ，x ，x 0 + ，x ( ”) ) + c b 矗【翻( x ( ，x “一n ，y ，x 0 + ，x ( 砷) ， 而对角性质指，当x ( ) = x ，1 i n 时，有 晶纠( x ，x ) = p ( x ) 性质2 2 。2 定义2 ，2 j 中多元多项式的8 如s 卯仍钢& 嘲( g ”，) 是唯一 存在的 类似2 1 1 节，同样有多变量对称初等函数的表示 ( x o ，x ) ：= ( x ( 1 ) 小，( x 加) ”， l + + e h _ 4 其中n ，a z ? ，e o ：= 0 酽，1 s l 讯，是r ，中的单位向量。 记 d ：= ( 去，击) ：= ( 去) “( 去) “， 由多元多项式的t a y l o r 公式，有 p ( x ) = 击d 印( o ) x 口 0 1 4 e f - z $ “ 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 2 苎量童竺重呈! ! 竺些! 丝墨兰垒塞兰丝! ! ：! 兰垄兰堡查型! ! ! 竺垫! 篁奎叁圣兰叁重 所以p ( x ) 的b l o o m i n g 为 风嘲( x ( ”，如) = 三刍。勺( 。) ( ：) 一“( x ( ”- ，如) ) i 例如设二元二次多项式p 2 ( ，) 为 忱仕，暑，) = a o + 口l + 0 2 可+ d 3 + a 4 x y + a s y 2 ， 其b l o s s o m i n g 为 岛矧( ( 钍，讥) ，( t 2 ，忱) ) = d o + n l 竺! 音丝+ n 2 塑音旦+ 。3 u ，坳+ 弛丝! 兰；! 丝+ 口s ”- 忱 2 2 2 m 维单骺上多元b b 多项式b l o s s o m i n g 的表示 设 ：= ：= a ：o ，；1 、t = lt = l 7 为标准m 维单形，其顶点 ( ”，口( ，口1 ) r m 定义在标准m 维单形上的次数不超过n 的多元b b 多项式为 p ( x ) = ：c 。磁( a ) = ( e 1 a l + + + 1 k + l r c o ， l a l = “ 其中壤( a ) ：= 等舻，a z ? + 1 ，且a ；( , h i ，k + 1 ) 是x 关于的重心坐 标，即x = 口( i ) ，丸= 1 性质2 2 3 设( 动是m 维单形上的次数不超过n 的多元b 占多项式，且圾嘲 ( d ”，矗”) ) 是p ( 动b l o s s o m i n g ，其中 ( 盯i 舢，积1 ) 满足熏| l 蠢肺：1 ， ：1 ，2 ，n ) 是d ) 关于幺的重心坐 = l 标，则 最捌( o ”，) ，) = ( 书目+ 毋易+ + 堪。风+ - ) c d = l 其中置龟= c 口+ 一，i = 1 ，2 ，m + 1 因而此日? d 鲫o m 讥9 即是将口b 多项式 曲面片的全字塔算法的每一层用不同的参数) 代替弘 ” 斟 蠢 州：l = 知 彩 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文 1 3 量三童皇重塞竺矍竺垫! 竺奎兰圣叁丝丝! ! 星兰垄兰堡苎丝查竺呈窒矍竺! 查重 性质2 2 4 对偶泛函性? 设n z r l ，i 口i = n ，则 风纠( ! 竺：1 9 2 竺：! ! = ：，- ：兰= ! ：! 竺：) = 岛 口i口2 + 1 性质2 2 5m 雏单形上多元口b 多项式p ( 磅的肋卵o ，l 锄7 尻酬( d ”，。m ) 是唯一存在的。 2 3 多元多项式微商的b l o s s o m i n g 表示 2 3 1 m 维单形上b b 多项式微商的b 1 0 8 s o n l i n g 表示 记m 维单形上b b 多项式为 p ( x ) = p ( a 1 ，a m + 1 ) = ( j a a l + + 五1 m + 1 凡。+ 1 ) ”c o ， 其中九并不是独立的自变量，真正独立的自变量r m - i - 。不失一般性，不妨 设九( 1 i m ) 是独立的自变量，因= 1 知，凡l = 1 一a 1 一k 所以对1 s m 有 袅= 付( e z a l + + l k l ) ”1 慨一+ 1 ) c 0 ， d p ( i - ，k + t ) = 石芒斋a l + + 蜀五t a 叶，) ”慨一+ z ) c o ， 。啊( b ，k + 1 ) = 石南a - + _ + e 时t k + 1 ) 叫1 1 垂( 岛一晶+ 1 ) m c o 因为 = 争至耍g ) 垂释，鼢量m c o 2 薹( 砷刊c t ， 其中u = 0 l ，i ，y 一可i ) ，目= ( ，7 l ，) ，7 = h ，) ，由上式及多 元多项式的对偶泛函性质2 2 4 ，可得m 维单形上& b 多项式p ( x ) 的1 7 l 阶导数 饥 o 一 日 m “ 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文1 4 董三兰竺里曼窒些竺垒兰垒叁兰矍l ! 量兰童兰堡苎丝童竺垒竺塑查重 为 叻( n ，k - ) 2 若薹眠+ + k 一飞叫卜州c u = 志善晶嘲唏警p ， 芝竺生t j 竺! ( m + n 卅( m + 1 ( 2 3 ) 、- - v - - 、- _ - - - _ ，v _ 二_ _ 7 由