（计算数学专业论文）求解非线性区间方程和极大极小问题的区间算法.pdf

同防科学技术大学研究牛院学位论文 摘要 本学位论文在区间分析的基础上研究了非线性区间方程的求解问题和连续函数 的m i n i m a x 问题。论文首先介绍区间分析产生的背景，研究现状以及区间分析的基本理 论，符号说明等，重点介绍了区间扩张理论和形式区间理论，为后文奠定基础。 非线性区间方程求解在许多科学领域都是一个基础且关键的问题，如计算机图形 学，机器人技术，控制理论等。非线性区间方程的求解大多被当作扰动问题处理，不 能保证得到方程的可靠解。因此，论文研究了其中的连续非线性区间方程并提出了一 种保证得到所有解的新算法。论文提出区间零点的概念，并通过分别求解区间零点的 上、下界来得到区间零点。这与传统区间方法将区间当作一个整体有所不同。论文还 基于区间斜率扩张理论建立了一系列定理来求解区间零点并保证算法的收敛性。论文 通过对光滑区间方程和非光滑区间方程分别进行数值试验，验证了算法的可靠性和有 效性。特别是对于非光滑区间方程，该算法是对此类问题的首次尝试。 连续函数的m i n i m a x 问题一类重要的数学规划问题，现实生活中有许多问题都能转 化成连续的m i n i m a x 问题。m i n i m a x l h 题在c h e b y s h e v 近似，游戏理论，工程设计等领域有 着广泛的应用。论文利用形式区间理论，基于分支定界的思想，提出了求解该问题的 新算法。算法能得到函数的m i n i m a x 值和所有的m i n i m a x 点。论文还在形式区间理论的基 础上建立了一系列定理来保证算法是可行且收敛的，也通过数值算例说明了这一点。 论文最后对全文的工作进行了总结，并对将来的研究工作做了几点展望。 关键词：区间分析；区间斜率扩张；形式区间；m i n i m a x 问题；非线性区间方程 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o rs t u d yt h en o n l i n e a ri n t e r v a le q u a t i o n sa n dc o n t i n u o u sm i n i m a xp r o b - l e m sb a s eo ni n t e r v a la n a l y s i s t 1 1 i sd i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo fi n t e r v a l a n a l y s i s ，t h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，t h eb a s i ct h e o r yo ft h ei n t e r v a la n a l y s i sa n ds y m b o l sw h i c hw i l l b eu s e di nt h i sp a p e r i n t e r v a le x t e n s i o na n dm o d a li n t e r v a l sa l ep r e s e n t e dp a r t i c u l a r l yw h i c ha r e p r e p a r e df o rt h em a i no ft h i st h e s i s i nm a n yf i e l d so fs c i e n c e ，f o re x a m p l ec o m p u t e rg r a p h i c s , r o b o t i c sa n dc o n t r o lt h e o r y , s o l v i n g n o n u n e a ri n t e r v a le q u a t i o n si sab a s i ca n dc r u c i a li s s u e t m sp r o b l e mi sa l w a y st r e a t e da sap e r t u r b e d p r o b l e m ，w h i c hc o u l dn o tg u a r a n t e et h ec r e d i b i l i t yo ft h er e s u l t i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o rs t u d i e s t h ec o n t i n u o u sn o n , n e a ri n t e r v a le q u a t i o n sa n dp r o p o s e san e wm e t h o dw h i c hp r o m i s et oo b t a i na l l o ft h ez e r o s t l l i sm e t h o di sb a s e do nt h ei d e ao fi s o l a t i n gt h ee n d p o i n t so fi n t e r v a lz e r o s i ti s d i f f e r e n tf r o mt r a d i t i o ni n t e r v a la n a l y s i s i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o ra l s od e v e l o p st h et h e o r yo ft h en e w m e t h o dt op r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o da n da p p l yi to i las e to fs m o o t hf u n c t i o n sa n das e to f n o n s m o o t hf u n c t i o n sr e s p e c t i v e l y t oo u rb e s tk n o w l e d g e ，t h em e t h o di st h ef i r s to n ew h i c hd e a lw i t h t h en o n s m o o t hi n t e r v a le q u a d o n s c o n t i n u o u sm i n i m a xp r o b l e mi sac r u c i a lm a t h e m a t i cp r o b l e m w ec o u l dt r a n s f o r mm a n yp r o b l e m si nt h er e a lw o r l di n t oc o n t i n u o u sm i n i m a x p r o b l e m i ti sw i d e l yu s e di nc h e b y s h e va p p r o x i m a t e ， g a m et h e o r ya n de n g i n e e r i n gd e s i g ne t c i nt h i st h e s i s ，an e wa l g o r i t h mi sp r o p o s e df o rs o l v i n gs u c h p r o b l e mb a s e do nm o d a l i n t e r v a lt h e o r y t i l i sa l g o r i t h mc o u l do b t a i nt h em i n i m a xv a l u eo ft h ef u n c - t i o na n da l lo ft h em i n i m a xp o i n t s t h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o di sp r o v e da n dt h en u m e r i c a lr e s u l t s a l ea l s os h o w n t h e ya l li n d i c a t et h ec r e d i b i l i t ya n dt h ee f f i c i e n c yo ft h ea l g o r i t h m f i n a l l y , t h ea u t h o rs u m su pt h er e s e a r c he f f o r t si nt h i st h e s i sa n dg i v e sp r o s p e c t so ft h ef u r t h e r r e s e a r c hi nt h ef i e l d s k e yw o r d s ：i n t e r v a la n a l y s i s ；i n t e r v a ls l o p ee x t e n s i o n ；m o d a li n t e r v a l s ；m i n i m a xp r o b - l e m s ；n o n l i n e a ri n t e r v a le q u a t i o n s 第1 i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 插图目录 定理3 2 1 几何意义图1 7 定理3 2 3 几何意义图2 0 区间斜率下界大于0 的情形2 3 区间斜率上界小于0 的情形2 3 区问斜率包含0 的一种情形2 5 区间斜率包含0 的另一种情形2 6 不存在示例2 6 非光滑函数3 2 第i i 页 l 2 3 4 5 6 7 8 3 3 3 3 3 3 3 3 国防科学技术大学研究牛院学位论文 第i i i 页 独创性! 声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技 术大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：求解非线性区间方程和极大极小问题的区间算法 学位论文作者鲐卅扯吼一钋月莎日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人 授权国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：求解非线性区间方程和极大极小问题的区间算法 学位论文作者签名：垄麟 日期： 作者指导老师签名：_ j 牡日期： 扩驴6 月月年年 川川 国防科学技术大学研究牛院学位论文 第一章绪论 1 1 区间分析产生背景及研究现状 在科学计算中，存在着各种各样的数值计算误差。测量误差，截断误差，舍入误差 等都造成了数据的不精确。尤其是在大型复杂的科学计算当中，由于计算机的有限表 示，导致舍入误差的积累，计算结果的可靠性都可能无法保证。因此，不仅是计算结果 的精度，计算结果的误差范围也引起了人们的重视。为了提供由误差和不确定性造成 的计算结果的上下界，美国学者r e m o o r e 于上世纪6 0 年代提出了区间算术的概念并初 步建立了对应于实分析的区间分析理论 1 】。自提出后，区间分析理论受到了广泛的关 注并逐渐被越来越多的人所接受。此后，关于区间的各种各样算法不断增加，区间分 析也开始从理论走向实际，在越来越多的领域发挥其作用。时至今日，区间分析方法 己成功应用于科学工程计算的很多领域。 自1 9 6 2 年m o o r e 的博士论文引起区间算法研究热潮之后，区间算法很快就成了计 算数学的一个活跃分支。国际性杂志r e l i a b l e c o m p u t i n g 专门发表区间算法的最新研究成 果，由俄罗斯和西欧合办，每年刊载的文献约有3 0 多篇，作者大多来自西欧。其它相 关的杂志还有c o m p u t i n g ，g l o b a lo p t i m i z a t i o n ，s i a mj o u r n a lo nn u m e r i c a la n a l y s i s 等等。此 外，每年都有很多涉及区间算法的国际会议。 美国学者h a n s e n 全面地讨论了求解全局最优化问题的区间算法【2 】，r b k e a r f o t t 研究 了区间线性非线性方程组求解并开发 f o r t r a n 区间软件库i n t l i b 3 1 ，德国学者s m r u m p 研究了区间的基础理论并开发维护了一个m a f l a b 区间计算工具箱i n t l a b 4 ，a l e f e l d 将 区间分析应用于确定实多项式函数的界 6 】，奥地利学者n e u m a i e r 系统地讨论了区问线性 方程组和区间非线性方程组的求解【5 】。此外，俄罗斯学者s h a r y 7 1 ，英国学者w o l f e 8 等 也对区间分析理论做了深入、系统的研究。 我国许多学者也对区间理论做出了积极的贡献。南京大学教授沈祖和与n e u m a i e r 合作研究了区间线性方程组及m i n m a x 问题 9 1 ， 1 0 1 ，上海大学教授王德人讨论了非线性 方程的区间算法【l l 】。在区间分析的应用上，曹德欣研究了m i n m a x ，m i n m a x m i n 等问 题的区间算法【1 2 】，【1 3 】，申培萍讨论了用区间理论求解最优化问题 1 4 】，魏一民建立了 求m o o r e p e n r o s e 逆的区间算法【1 5 】。 由于区间分析应用于越来越多的领域，它的一些不足也显现出来，如区间的保 守性 1 6 1 ，这使得区间算术的应用受到很多的限制。因此，很多学者致力于解决这个 问题：e k a u c h e r 在7 0 年代就提出的广义区间1 7 】的概念，l a n f o r d 于1 9 8 0 年提出的区间 第1 页 国防科学技术大学研究牛院学位论文 的t a y l o r 模型【1 8 】，s t o l f i 于9 0 年代提出的仿射区间算术【1 9 】，以及1 9 9 9 年i 扫s i g l a x 研究 小组提出并完善的形式区间理论等【2 0 】。这些新的区间分析理论在某一方面对传统区 间分析理论进行了完善和改进。随着区间分析理论的完善和发展，其应用领域将越来 越广泛。 1 2 本文的主要工作 本文可分大致为四部分： 第一部分是绪论，主要介绍区间分析产生的背景，研究现状以及全文的组织结构， 从而便于了解全文的组织结构。 第二部分为基础知识一一第二章，介绍了区间分析的基本知识，为以后内容的讨 论做好准备。这一章详细地介绍了区间分析的基本理论，符号说明等，重点介绍了区 间扩张理论和形式区间理论，为论文的第三部分奠定基础。 第三部分是本文的主要内容一一第三章和第四章。第三章首先介绍了求解非线性 区间方程的研究现状，然后基于区间斜率扩张提出了一种求解非线性区间方程的新算 法。作者建立了一系列定理用以保证算法的收敛性并通过数值试验说明了算法的有效 性。第四章首先介绍了 m i n i m a x 问题的研究现状，然后基于形式区间理论提出了一种求 解连续m i n i m a x 问题的新算法。同样地，作者为了证明算法的收敛性建立了一系列定理， 并通过数值试验说明算法是可靠的。 第四部分是总结与展望一一第五章，该部分对全文的工作进行了总结，并展望了 一些需要深入开展和将要继续研究的方向。 总结起来说，本文所做的工作主要有以下几个方面： ( 1 ) 提出了求解非线性区间方程的新算法，给出了保证算法收敛的一系列定理； ( 2 ) 提出了求解连续m i n i m a x 问题的新算法，并给出了保证算法收敛的一系列定理； ( 3 ) 给出了数值实例来说明上述算法的有效性； ( 4 ) 讨论了用区间算法求解区间方程和连续m i n i m a x 问题的可行方向和一些需要完 善的理论； 第2 页 同防科学技术大学研究生院学位论文 第二章区间分析简介 在上个世纪五十年代，随着计算机在科学计算中的广泛应用，计算机有限表示导 致舍入误差累积的问题越来越引起人们的重视。为了分析舍入误差，m o o r e 在他的博士 论文中第一次系统的介绍了区间分析的基本概念和原理，这宣告区间分析正式进入了 历史舞台。m o o r e 先后发表了两本关于区间的专著 1 】， 2 l 】，并与该领域的其他著名学者 进行了广泛的合作，o i h a n s e n ，k r a w c z y k 等，极大地推动了该领域的发展。区间分析理论 自m o o r e 提出来以后，经过五十多年的发展，理论越来越成熟，并成功应用在越来越多 的领域。本章将简要介绍一些关于区间分析的基本概念、基本原理以及最近区间理论 的进展。其他详细内容，请参见有关区间的专著【l 】，【2 ，【5 】， 2 l 】。 2 1 区间分析的基本定义与符号 对于给定的数墨，虿r ，若满足星_ ，则称x = i x _ ，虿1 为有界闭区间，其中堡，虿分别称 为区间x 的上、下端点。r 上所有有界闭区间构成的集合记为r ；同时我们称分量是区 间的向量为区间向量，舻上所有区间向量构成的集合记为肿；称以区间为元素构成的 矩阵为区间矩阵，r m x n 上所有区间向量构成的集合记为r m 加。可以看到区间分析理 论的基本运算单元是区间，故可从集合的角度来看待区间分析的基本运算和定义。区 间( 数) 也可以看作实数的推广，因为任意的实数z = k z l ，所以实数z 又可称为退化的 区间。下面介绍区间分析的一些基本定义和符号。 定义2 1 1 对于区间x i r , f j f ) 区间的下界：堡= i n f ( x ) r 2 j 区间的上界：虿= s u p ( x ) r 圳区间的中点：摩= m i d ( x ) = + 动2 一) 区间的宽度：w ( x ) = 虿一星 仰区间的半径：r ( x ) = ( - 一蓟2 f 6 ) 区间的绝对值：| x l = m a x i z _ l ，i - l r 7 j 集合的外壳：设s 为实数r 中的非空有界子集，则称 3 s = 【i n f ( s ) ，s u p ( s ) 】为s 的 外壳，及包含集合s 的最小的区间，我们称算子口为外壳算子 定义2 1 2 对于区间向量x 胖以及区间矩阵y m m 黼，x 和y 的上界，下界，中点 以及外壳和区间的定义相同。对于区间向量x 和区间矩阵y 的宽度，半径，以及范数则 分别定义为： 第3 页 国防科学技术大学研究牛院学位论文 f f j 区间向量x 的宽度：w ( x ) = m a x l i n 伽( x d ； f 2 ) 区间向量x 的半径：r ( x ) = m a x l t nr ( x d ； r 圳区间向量x 的范数：i i x l i = m a x l _ i _ ni 咒1 f 卅区间矩阵y 的宽度：w ( y ) = m a 磁，jt j ( k ，j ) ； f 5 j 区间矩阵y 的半径：r ( r ) = m a 磁，jr ( k ，) ； f 6 ) 区间矩阵y 的范数：i i y i i = m a x i ，歹i k ，站 定义2 1 3 对于区nx ，y m , x ，y 的距离定义为：q ( x ，y ) = m a xl 星一v l ，l 虿一可i ，同样 可以定义区间向量和区间矩阵的距离：设区间向量x ，y 舯，则口( x ，y ) = m a x q ( x i ，y d ； 设区间矩阵x ，y m 似n ，则q ( x ，y ) = m a x ，j 口( 韵，) 有了距离的定义，( m ，口) ，( p ，口) ，( m m 煳，口) 便分别构成了完整的度量空间。这使 得区间分析与实分析一样能够讨论连续性，收敛性等问题。我们将在第2 3 节作具体 介绍。 2 2 区间运算及其代数性质 区间作为一种特殊的集合，也可以进行交、并、比较，包含等运算。 定义2 2 1 对于区间x ，y 吣 区间的交：xny = 【m a x ( ( x ) ，( 秒) ) ，m i n ( ( x ) ，( 秒) ) 】 区间的并：xf ly = f m i n ( ( x ) ，( 耖) ) ，m a x ( ( x ) ，( 拶) ) 】 区间的比较：x 茁的区间x = 险，虿】也并入区间的集合中，记为藏= x = 【星，3 1 1 z ，虿 r ，互 虿) 。称r = 瓜u 原为广义区间集合，其中m 中的元素称为p r o p e r 区间，厩中的 区间称为i m p r o p e r 区间。广义区间的一些基本符号如广义区间的上、下界，中点，宽度， 半径，绝对值以及外壳等与传统区间的定义一致，只是将其推广到广义区间中。广义 区间同样可以进行交、并、比较，包含等运算。 定义2 4 1 对于区间x ，y 腿 区间的交：xay = f m a x ( _ z _ ，秒) ，m i n ( 3 ，功1 区间的并：xvy = 【m i n ( z _ _ ，可) ，m a x ( 3 ，功】 区间的比较：x 0 ，满足, x c f f 意区间向量x k 矿，有i i w ( c ( x ) ) 一( f ( x ) ) i i ，y ( i i w ( x ) 1 1 ) 口 命题2 4 4 考虑局部l i p s c h i t z 连续函数，：r n 舻，f 是，的最小a e 扩张，则对任 意d n 舻，存在p 0 ，使得对任意x 砌旷，下式成立：i i w ( f ( x ) ) i i p l i w ( x ) l l 。 第1 3 页 国防科学技术大学研究牛院学何论文 推论2 4 2 连续函数的a e - 扩张如果是局部却s 砌故连续的，则它有线性收敛阶 证明：由命题2 4 1 0 和命题2 4 4 易得。口 2 4 4 中值a e 扩张 本节定义了中值a e 扩张，它提供了一种线性化实函数的方法，可用来计算函数的 内近似和外近似，并且对实函数具有二阶收敛性。特别地，对于函数，：舻_ 黔，可 以用中值a e 一扩张建立一个函数内近似的平行六面体。 命题2 4 5 设，：舭一r 为连续可微函数，x ，c ：职_ r 满足c ( x ) x f a 及g ：皿妒_ 瓜1 n 为，7 ng n l f - g ( f r a 1 血o r o x ) 2 若，9 ( p r d x ) ，k = 1 ，n ，。定义区间 函数日为： h ( x ) = ，( c ( x ) ) + g ( p r o x ) ( x z ( x ) )( 2 4 7 ) 则h 是，的a e 扩张，称为，的e f f 4 直a e 扩张。 命题2 4 6 设，：r n _ r 为连续可微函数，x 脚，c ：舻一r 满足c ( x ) x f a 及g ：科m 1 n 为，7 的区间扩张f 即g 1 南( o x ) 2 联，。( p r d x ) ，七= 1 ，佗，。定义区间 函数，为： t ( x ) = ，( c ( x ) ) + ( d u a l g ( p r o x ) ) ( x z ( x ) )( 2 4 8 ) 则，f + ，为，+ 的内近似。 由上面两个命题，中值a e 扩张可以用来计算实函数的内近似和外近似，举例如 下： 例：设函数f = z 2 ，x = 【1 ，1 2 】，在x 上是严格递增的，值域显然为f 1 ，1 4 4 1 。考虑 区f n - j a = 【2 ，2 4 12 ( x ) ，由中值a e 扩张， 9 ( x ) f ( m i d ( x ) ) + a ( x m i d ( x ) ) = 【0 9 7 ，1 4 5 】 由命题2 4 6 ， f ( m i d ( x ) ) + ( d u a l a ) ( x m i d ( x ) ) = 【1 4 1 ，1 o l 】，p r o 1 4 1 ，1 0 1 】矗9 ( x ) 本节最后给出中值a e 一扩张的收敛阶。 命题2 4 7 设厂：黔_ r 为连续可微函数，x k p ，c ：r r 满足c ( x ) x 以 及g ：酣_ m l x n 为，7 的区间扩弧则，的中值a b 扩张日具有二阶收敛阶。 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章基于区间斜率扩张求解区间方程 本章基于第二章第2 3 2 节介绍的区间斜率扩张理论，建立了求解区间方程的新算 法。本章结构如下：第一节首先描述了本章要研究的问题，并介绍了区间方程的研究 现状；第二节基于区间斜率扩张理论建立了些定理，为第三节求解区间方程新算法 的建立提供理论基础；第四节通过数值实验检验了算法的有效性和可靠性。 3 1引言 含参数非线性方程的求解在许多科学领域都是一个基础且关键的问题。许多基于 区间分析理论的算法都能够给出包含所有零点的小区间序列，即给出零点的给定精度 的上下界【2 】 2 l 】。但在现实世界中，参数常常是不能精确给出的，因此方程的参数形式 只能是包含参数可能值的区间。因此，需要定义含区间参数的非线性方程： 定义3 1 1 ，( z ；p ) = 0 ，z x ( 3 1 1 ) 称为区间方程，其中，：r 瓜n _ r 连续，p m n 包含了所有可能的参数值。 注：本文将区间方程的定义1 3 6 1 推广到连续函数，不要求函数可微。后文将建立求解非 光滑区间方程的新算法。 定义3 1 2 对每个p p ，( z ；p ) 每个零点将随着p 连续变化，组成一个连续集合。定义 这个连续集合为区间零点。若区间零点只包含一个点，则称该区间零点为退化的区间 零点。 注：，( z ；p ) 的零点将随着参数p 在p 上连续变化而连续变化。因此，区间零点的个数是 有限的。区间方法就是寻找包含连续变化零点的区间零点。 求解区间方程的方法不多【2 】【2 l 】【3 6 】，它们都是基于区间牛顿方法。m o o r e 用原始 的牛顿方法对区间方程的求解作了首次尝试【2 l 】；h a n s e n 将( 3 1 1 ) 当作扰动问题处理，提 出了具有启发式停止条件的区间牛顿方法。最近，n i k a s 示l j 用区间外壳运算提出了外壳 区间牛顿算法。它的优点是不再将区间零点当作一个整体来处理，而是分别求解区间 零点的上、下界，从而得到区间零点。但是，这些方法因为都是基于区间牛顿方法，因 此要求函数可微。 利用区间斜率扩张不要求函数可微的优点，本章提出了求解非光滑区间方程的算 法。在此之前，先建立一些基于区间斜率扩张的定理，为算法提供理论基础。 第1 5 页 国防科学技术大学研究乍院学位论文 3 2 一些基于区间斜率扩张的定理 受至u n i k a s 的启发，本章的算法也将分别求解区间零点的上、下界，由此得到区间 零点。为此，需要建立界定区间零点上、下界的定理。 定理3 2 1 考虑连续函数，：d rx = k ，虿】，c x d r p 7 7 z s = ，司= s a c ，x ) ， 其中量 0 。令y = ：c 一，( c ) 虿， 当，( c ) o 时，有 耖 o 扣rz ( 可，_ 】 矿笙耖 ( 3 2 2 ) 、s ( z ) o f o ，z xi fy 堡 u 。 当，( c ) c ( 3 2 3 ) jm ) 0 弦朕( 缃】 矿耖 oh _ s 0 ，所以拶= c 一，( c ) 厣 0 ，8 2 s 使得f ( x ) = s ( c ) + 8 ( z c ) ，因 此，比( c ，_ 】，( z ) s ( c ) o 成立。 当z ( y ，c l o t ，令，：= xn ( y ，c 】，则比i ，3 s s 使得 f ( z ) = s ( c ) + 8 z ( z c ) 厂( c ) + 否一c ) ，( c ) + 否( y c ) = s ( c ) 一s ( c ) 即，( z ) 0 。 ( 2 ) ，( c ) c ，即( 3 2 3 ) 成立。 第1 6 页 国防科学技术大学研究牛院学f 7 ：论文 当坛防，c ) 时，由( 2 3 5 ) 和( 2 3 8 ) ，：i s z o ，s t 吏得f ( z ) = ，( c ) + 如( z c ) ，因 此，比【- ，c ) ，f ( z ) f ( c ) 0 成立。 当。i t , 秽1 时，令，：= xn 【c ，引，则v 髫f ，3 s s 使得 f ( x ) = f ( c ) + s ( z c ) si ( c ) + 否( z c ) 0 的点 的下界。因为“和f 在x 上都是单调的，又因为仳是，在【箜，c