（计算数学专业论文）伪极傅立叶变换理论及应用研究.pdf

摘要 摘要 图像处理和计算机视觉一直是计算机技术发展的重要领域，目前，它们的应 用已经渗透到生产和生活的许多方面。在图像处理的发展过程中，数学始终起着 举足轻重的作用，并渗透到图像处理的各个分支。本文对小波分析理论和脊波理 论进行了归纳总结，介绍了小波变换理论、多分辨分析的概念及常见的脊波变换、 伪极坐标快速傅立叶变换的原理。讨论了伪极坐标快速傅立叶变换的计算复杂度； 叙述伪极坐标快速傅立叶变换的应用。 脊波变换可以看成是r a d o n 域的小波变换。脊波变换算法关键在于离散r a d o n 变换的快速实现。最近提出了一种新的脊波算法，即伪极快速傅立叶变换。它是 通过一维分数傅立叶变换和一维标准傅立叶变换得到，每一个变换均有其快速算 法，所以，伪极傅立叶变换可快速求得，但是它不是真正意义上的脊波变换，仍要 研究从伪极傅立叶变换到极坐标傅立叶变换的转换。d o n o h o d 等人提出用零填充 零填充过采样的p p f f t 算法实现两者的转换。 本文基于零填充过采样的p p f f t 算法提出了一种新的过采样算法，该算法用 小波零高频放大图像代替零填充实现过采样。 关键词：伪极快速傅立叶变换过采样小波变换脊波变换 a b s t r a c t a b s t r a c t c o m p u t e rt e c h n o l o g yh a sb e e ni m p o r t a n t l yd e v e l o p e di ni m a g ep r o c e s s i n ga n d c o m p u t e rv i s i o nf i e l d a tp r e s e n t ，t h e i ra p p l i c a t i o nh a si n f i l t r a t e dm a n ya s p e c t so fl i f e a n dp r o d u c t i o n m a t h e m a t i c sa l w a y sp l a yad e c i s i v er o l ei nt h ed e v e l o p m e n to fi m a g e p r o c e s s i n g ，i th a si n f i l t r a t e dt h ev a r i o u sb r a n c ho fi m a g ep r o c e s s i n g i nt h i st h e s i sw e s u m m a r i z e dt h ew a v e l e ta n a l y s i sa n dr i d g e l e tt h e o r y , w ei n t r o d u c e dt h ew a v e l e t t r a n s f o r m ，t h em u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ，s e v e r a lc o m m o nr i d g e l e tt r a n s f o r ma n d p s e u d o - p o l a rf f t p r i n c i p l e ，w e d i s c u s s e dt h e c o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y o f p s e u d o - - p o l a rf a s tf o u r i e rt r a n s f o r ma n dt h ea p p l i c a t i o no fp s e u d o - p o l a rf a s tf o u r i e r t r a n s f o r m s r i d g e l e tt r a n s f o r mc a nb es e e na st h ew a v e l e tt r a n s f o r mi nr a d o nd o m a i n t h e d i s c r e t er a d o nt r a n s f o r mi st h ek e yt or i d g e l e tt r a n s f o r ma l g o r i t h m r e c e n t l y , d o n o h o a n do t h e r sp r o p o s e dan e wr i d g e l e tt r a n s f o r ma l g o r i t h m ，k n o w na sp s e u d o - p o l a rf f t p s e u d o - p o l a rf f ti so b t a i n e db yt h e1df r a c t i o n a lf f ra n dt h e1df a s tf o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ，e a c hh a sf a s ta l g o r i t h mt r a n s f o r m s op s e u d o p o l a rf a s t f o u r i e r t r a n s f o r mc a nb eo b t a i n e d h o w e v e r ，i ti sn o tt h et r u er i d g e l e tt r a n s f o r m ，w es t i l lh a v et o s t u d yt h ec o n v e r s i o nf r o mt h ep s e u d o - p o l a rf o u r i e rt r a n s f o r mt op o l a rf o u r i e rt r a n s f o r m d o n o h oa n do t h e r sp r o p o s e dt h eo v e r - s a m p l i n gp p f f ta l g o r i t h mw i t hz e r op a d d e dt o r e a l i z et h ec o n v e r s i o n i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s ean e wo v e r - s a m p l i n ga l g o r i t h mb a s e do nz e r o sp a d d e d p p f f t t h i sa l g o r i t h mr e p l a c e sz e r op a d d e dw i t ht h ew a v e l e tz e r oh i g h - f r e q u e n c y a m p l i f i c a t i o ni m a g et or e a l i z et h eo v e r - s a m p l i n g k e y w o r d s ：p s e u d o - p o l a r f f t o v e r - s a m p l i n g w a v e l e tt r a n s f o r m r i d g e l e t t r a n s f o r m 创新声明 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名：虚抱遂 导师签名： 葺 期 期 日 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 据统计，人类获取的信息，大约6 0 来至于视觉，2 0 来至于听觉。另外2 0 来至于触觉等其他途径。由此可知视觉信息的重要性，图像作为视觉信息获得 和传递的主要载体，随着计算机技术的飞速发展，越来越受到人们的重视，未来 的时代是处理信息、获取信息的年代，也更是图像处理、图像应用的时代。在图 像处理的发展过程中，数学始终起着举足轻重的作用，并渗透到图像处理的各个 分支。 过去几年，在数学分析、计算机视觉、模式识别、统计等不同的学科中，分 别独立的发展着一种相似的理论，称为多尺度几何分析。发展多尺度几何分析的 目的是为了检测、表示、处理某些多维空间数据。目前，人们提出的多尺度几何 分析方法主要有：脊波变换( r i d g e l e t ) 1 1 - 7 】、曲线波变换( c u r v e l e t ) 、单尺度脊波 变换( m o n o s c a l er i d g e l e t ) 、c o n t o u r l e t 变换、数字脊波【7 洳1 等等。 这些新方法的提出是因为，对于含点奇异的一维信号，小波达到了最优的非线 性逼近阶，而在处理二维或高维线奇异的信号时，虽然由一维小波张成的高维小 波基在逼近性能上要优于三角基，但仍达不到最优的逼近效果。 同时，其它非线性数学工具的应用也取得了显著的成果。特别的，基于偏微 分方程的图像处理方法已经成为近年来图像研究的一个热点，它从分析图像去噪 的原理入手，结合变分思想、数学形态学、微分几何等数学工具，建立了滤波和 偏微分方程相关的公理体系，在图像恢复、图像分割、边缘检测、图像插值、医 学图像处理、图像修补等方面得到了一定的应用。 另一方面，图像处理的实际需要和工程背景也刺激了一些数学分支的发展， 如小波理论的研究动力来源于信号处理中对于时频局部化分析的需要，而且在理 论体系建立起来之前已经有了广泛的应用，偏微分方程的粘性解概念的提出也是 因为在图像处理的应用中应用条件不满足各种微分学中的假设。 简要介绍一下图像处理的概念【1 4 - 1 6 1 。 常见图像是连续的，一幅图像可以用一个二维数组s ( x ，y 1 来表示，即f ，x ， y 的值可以是任意实数。为了应用计算机对图像进行加工，需要把连续的图像离散 化，即在图像域上离散的取样点，在每个像素上的灰度值也是离散的，常分成1 2 8 或2 5 6 个等级。这种离散后的图像是数字图像。本文以后主要讨论数字图像，即厂， x ，y 都在整数集合中取值。由于人的视觉能区分的等级有限( 小于1 2 8 ) ，所以 2 伪极傅立叶变换理论及应用研究 对于数字图像在视觉上的效果近似于连续图像。 所谓图像处理，就是对图像信息进行加工以满足人的视觉心理或应用需求的 行为。图像处理的手段有光学方法和电子学方法。光学方法已经有很长的发展历 史，从简单的光学滤波到现在的激光信息技术，光学处理理论已日趋完善，而且 处理速度快，信息容量大，分辨率高，又很经济。但是光学处理图像精度不够高， 稳定性差，操作不便，随着计算机技术的发展，数字图像处理近年来得到了极大 的重视和发展。数字图像处理就是用计算机来代替人脑对视觉系统获得的图像进 行加工处理的一门科学。 1 2 研究背景 笛卡尔坐标系中二维信号的旋转对应于极坐标系中极角的偏移，信号的尺度 变换对应于极坐标系中极径的伸缩，利用离散极坐标傅立叶变换( d p f t ) 在旋转和 尺度变换上的良好性质，很好的解决图像配准中的图像旋转变化和尺度伸缩问题； 在基于内容的图像检索( c b i r ) 中，若要提取图像的频域特征，将傅立叶频谱用 于极径和极角表示有时更便于处理，故在图像配准、图像检索等领域内常常在极 坐标域上表示二维信号的离散傅立叶变换( d f t ) 。r a d o n 变换的属性，可以构造 一些旋转、平移、尺度不变量，由投影切片定理建立r a d o n 变换和二维傅立叶变 换间的联系。 在笛卡尔坐标系中，二维的d f t 具有行、列可分性，分别对行、列进行一维 快速傅立叶变换就可以得到快速算法一二维的快速傅立叶变换( f f t ) 。而二维的 d p f t 行、列不可分离，不能直接应用f f t ，对二维n x n 图像信号，其运算复杂 度为o ( n 4 ) ，为降低计算复杂度，在不降低计算精度的情况下，1 9 9 8 年， a a v e r b u c h ，r r c o i f m a n 等人提出了伪极快速傅立叶变换【，7 】( p p f f t ) 算法，把二 维信号分为基本平行点和基本垂直点两部分，分别对这两部分计算，以提高计算 速度，以求得到一个快速算法。基于伪极快速傅立叶变换【3 2 3 3 , 3 4 , 3 5 】的这些优点，使 它在图像处理中得到了很好的应用。 对旋转扫描干涉式微波辐射计成像算法进行研究中，张成【4 8 】等提出了基于伪 极网格傅立叶变换的成像算法。利用传统的二维插值算法直接将圆周极坐标采样 点插值到矩形笛卡尔网格上引入的误差较大，尤其是对于高频稀疏采样点的插值， 会造成反演图像出现剧烈的混叠现象。伪极网格更接近于圆周采样点，利用一维插 值及一维f f ，r 可实现图像重建，既提高了成像精度，又保证了成像速度。基于伪极极 坐标傅立叶变换的成像算法，将采样数据插值到伪极网格点上后直接利用伪极极 坐标傅立叶变换进行成像。更重要的是仅通过一维插值即可实现圆周伪极坐标到 极坐标的转换，因此具有很高的精度，并且伪极坐标傅立叶变换也存在快速算法， 利用f f t 实现快速变换，因此伪极网格傅立叶变换法是解决旋转扫描综合孔径成像 第一章绪论 3 的一种非常有效的反演算法。 进行图像匹配的研究过程中，肖刚【4 6 】等人先对图像进行伪极坐标快速傅立叶 变换，根据旋转和平移的不变性，利用相位相关对图像进行快速匹配。他们提出的 基于相位相关的快速指纹拼接算法通过极坐标快速傅立叶变换和相位相关，能够 快速、准确的对同一指纹的两个样本进行配准。因为伪极坐标通过类似极坐标的 方法对图像进行采样，同时，它的坐标具有可分性从而实现快速傅立叶变换。根据 图像的旋转不变、平移不变的性质，利用相位相关可以准确找到图像间的旋转和平 移大小实现拼接。 玄剑辉等人【4 7 】在抗旋转、尺度和平移攻击数字水印算法研究中，根据r a d o n 变换的属性，从p f t 推导出一种旋转平移不变量，利用p p f f t 进行快速运算。 虽然伪极傅立叶变换提高了算法的计算速度，实现了对极坐标傅立叶变换较 好的近似，提高了精确度，也在一些研究领域得到应用。但是伪极傅立叶变换只 是脊波变换的近似，不是真正意义上的脊波变换。极坐标傅立叶变换是标准的脊 波变换，因此，研究从伪极坐标快速傅立叶变换到极坐标傅立叶变换的转换是非 常有价值的。 1 3 图像处理的常见方法 到现在为止，数学主要从概率统计、小波分析和偏微分方程三个方面来研究 图像处理。这里主要介绍后两个方面的研究概况。 1 3 1 小波分析方法 小波分析l 8 - 1 3 j 是8 0 年代后期发展起来的一个应用数学分支，是近十几年来图 像研究领域的热点，是继f o u r i e r 分析的一个突破性进展。给图像处理带来了崭新 的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度重视。它既包 含了丰富的数学理论又是工程应用中强有力的方法和工具。 小波( w a v e l e t ) 分析属于时频分析的一种，小波分析为函数空间提供了一套 逐渐逼近的子空间，这些子空间有不同的逼近度，但逐渐逼近于全空间，从而可 以用具有不同精度和分辨率的一系列函数来逼近原函数，而且不同逼近之间的误 差是正交的。从信号处理角度看，它提供了一种时间一频率的局部化分析【5 1 5 2 1 ，而 且时一频窗在整个时频平面上移动时，时宽和频宽会随着频率的变化自适应的变 化。由于它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意 细节，因此小波分析具有“数学显微镜的美称【2 0 忽】。而f o u r i e r 分析是纯频域分 析，加窗f o u r i e r 分析的时一频窗也是固定的。为了分析和处理非平稳信号，人们 对傅立叶分析进行了推广，提出并发展了系列信号分析理论，其中，小波分析 4伪极傅立叶变换理论及应用研究 就是为了弥补傅立叶变换的不足而发展起来的一门数学学科，其思想方法可以追 溯到2 0 世纪，1 9 1 0 年h a a r 提出的小波规范基，构造了紧支撑的正交函数系一h a a r 函数系，是最早的小波基。然而，小波分析的真正发展起源于八十年代中期，是 由法国科学家m e r l e t 和c r o s s m 锄在分析研究地震波局部性质时，发现传统的傅立 叶分析难以达到要求，因而引入“小波 概念对信号进行分解。他们首先提出了 “小波 的概念，建立了完整的连续小波变换的几何体系，其基础是平移和伸缩 变换下的不变性。1 9 8 5 年，法国数学家m e y e r 首次提出光滑的正交小波基【1 7 】，后 来被称为m e y e r 基，对小波理论做出了重要贡献。1 9 8 6 年，m e y e r 创造性的构造 了具有一定衰减性的光滑函数沙( f ) ，证明了确实存在小波正交系其二进制伸缩平 移 r、 沙，。( f ) = 2 j z 缈( 2 7 t - k ) ，j ，k z ( 1 - 1 ) 。 j “ ， 构成了r ( 尺) 的规范正交基。 m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。之后，b a t l e 给出了具有 指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年，m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想 引入了小波分析中小波函数的构造并提出了多尺度分析的概念，用多分辨分析来 定义小波，从尺度函数出发构造出了正交小波基，从而统一了之前由 s t r o m b e r g ，m e r y e r , l e m a r i e 和b a t l e 等提出的具体小波的构造。另外将离散小波变 换与d a u b e c h i e s 紧支集正交小波相结合提出了m a l l a t 塔式分解算法，为离散小波 变换建立了快速算法，并把它应用到图像处理中。m a l l a t 算法的作用和地位相当于 f o u r i e r 分析中的f f t 算法。m a l l a t 算法的提出宣告了小波分析从理论研究阶段走 向应用研究阶段。 m a l l a t 还提出了对小波分析起重要作用的快速算法- m a l l a t 算法，用于图像的 分析与重构。1 9 8 7 年底，在法国马塞召开了第一次小波国际会议，有力的推动了 小波分析的发展。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 构造了具有紧支撑的正交小波基，至此， 小波分析的系统理论初步建立起来。1 9 8 9 年，g o i f m a n m e y e r 和q u a k e 等引入了 小波包的概念。1 9 9 0 年，崔景泰和王建忠构造了基于样条函数单正交小波函数。 同年，b e y l k i n 和c o i f m a n 等将小波变换应用于算子理论。1 9 9 1 年，j a f f a r d 和 l a u r e n c o t 将小波变换应用于偏微分方程数值解。1 9 9 2 年，c o h e r , d a u b e c h i e s ， f e a u v e a u 提出了具有紧支撑的双正交小波基。1 9 9 2 年，d o n o h o 等提出了“内插小 波”的概念【1 8 】，他们把正交小波的细分过程和迭代对称内插泛函相结合【1 9 1 ，使小 波的构造更为灵活简单。内插小波的重要作用是可以有效的消除所谓的m a l l a t 误 差。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人基于r 元多分辨分析建立了多小波的基本理论框架【2 0 1 。 1 9 9 5 年，s w e l d e n s 2 l j 提出了通过“提升方法”( l i f t i n gs c h e m e ) 构造第二代小波的 第一章绪论 5 新思想。1 9 9 6 年，d o n o v a n ，g e r m i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 将分形理论中的迭代 函数系统用于双尺度差分方程组，再次利用分形差值构造了所谓的d g h m 多小波。 至此，小波分析的系统理论基本形成，形成了一门新的数学学科。 1 3 2 偏微分方程方法 偏微分方程方法是一类比较精细的图像分析和处理方法。在图像分析和处理 中具有重要的作用。一般图像的分析和处理关心如下的几个方面：图像预处理、 边缘检测、图像分割、形状模型、图像校准、特征提取、目标识别以及图像可视 化等。常见的偏微分方程处理图像的方法有以下几种。 ( 1 ) 偏微分方程用于图像处理的理论起源于m a r t 和h i l d r e t h ，m a r t 和h i l d r e t h 首先使用以下方法进行图像分片。 将与高斯函数 1 奸 g ，( x ) = 与p 4 4 万f - 进行卷积。这里，称为尺度。由此得到一个多尺度函数“( x ，t ) 。找出所有使 得l v “l 彳艮大并且“改变符号的点，这些点即为尺度t 时的“边界点。通过一系列 的尺度t = f 。，t 2 ，f 3 ，来获的各个尺度下的“边界 。w i t k i n 指出信号与具有不同方差 ( 尺度) 高斯函数卷积等价于求解以原始图像为初值的热传导方程： i 蚝= a u ( x ，t ) 【u ( x ，0 ) = ( 工) 这个方程的解恰好为：u ( x ，t ) = q * u 0 。于是，“边界点”即为那些使得i v “”艮 大并且“改变符号的点。这个方法的缺点是会导致不正确的边界，因为它进行的 是“各向同性的扩散”( i s o t r o p yd i f f u s i o n ) ，在进行去噪的同时也会对边界进行磨 光，没有很好的保持边界。p e r o n a 和m a l i k 改进了w i t k i n 的方法，引入了“各向 异性扩散 ( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 的思想，第一次将非线性扩散方程引入该领域。 ( 2 ) p e r o n a - - m a l i k 模型： f u t ：d i v ( g l v u la u ) 【u ( x , 0 ) - u 0 ( x ) g 是一个光滑的非增函数，起到选择性光滑的目的。满足：g ( o ) = l ，g ( x ) 0 ， 且： g ( x ) _ o ( x o o ) 。g ( o ) = l ，函数g 通常有形式g 。( x ) = p 。h 或 6 伪极傅立叶变换理论及应用研究 g k ( 石) - - ( 1 + k x 2 ) 。g 一般取为： g ( x ) = 专 “务 名是一个大于0 的参数。 这个方法的基本思想“有条件地进行图像的光滑，在图像的处理中引入了 反馈，使g 根据v “( x ) 不是根据( x ) 进行调整，从而较好地保持了边界。这个模 型也是存在着缺点：首先，如果图像的噪声非常严重，导致v “无界的时候，该方 法无效；其次，该方法是不适定的。 ( 3 ) 认识到p e r o n a - - m a l i k 模型的缺点，c a t t e ，l i o n s ，m o r e l 和c o i l 提出来 新的模型： u t - d i v ( gv g , , 事ua u ) = 0 【”( 工，0 ) = u 0 ( x ) 该模型克服了p e r o n a - - m a l i k 模型的不适定性，但却无法证明当仃专0 时的稳 定性，且没有明确的几何意义。 ( 4 ) a l v a r e z ，l i o n s 和m o r e l 改进了p e r o n a - - m a l i k 模型提出具有自适应选择 光滑能力的模型： 旷( 帆i 叫) 挑= 。 u ( x ，0 ) = l f o ( x ) 此方程是中曲率流模型的变形，因此具有明显的几何意义，并且可以证明粘 性解( v i s c o s i t ys o l u t i o n ) 的存在唯一性。 1 4 本文的主要工作 论文主要讨论了伪极坐标的傅立叶变换的理论和从伪极坐标到极坐标的 变换。提出了一种新的过采样的方法，应用于极坐标变换。 论文内容分为五个章节：第一章绪论，首先介绍了图像处理的概念；然后， 在伪极傅立叶变换的研究背景和应用中论述了伪极傅立叶变换的优缺点；研究 极坐标傅立叶变换的必要性。处理图像常用方法的发展概况中详细地介绍了小 波变换的发展过程，从小波概念的提出到小波变换理论的完善。简要介绍了偏 微分方程在应用于图像处理中的四个重要模型。 第二章介绍了小波变换的基本理论，包括连续小波变换和离散小波变换， 多分辨分析等。小波变换是脊波变换的基础，脊波变换可用伪极快速傅立叶变 换来实现。 第一章绪论 7 第三章脊波变换中详细介绍了r a d o n 变换的理论和连续脊波变换，在r a d o n 变换中给出了连续r a d o n 变换的定义和投影切片定理的内容，在连续脊波变换中 主要介绍的是二维的连续脊波变换。 第四章伪极快速傅立叶变换，本章罗列了几种常见的离散脊波变换。重点 介绍了伪极快速傅立叶变换的理论、算法的计算复杂度及其应用。， 第五章伪极坐标到极坐标，在参考文献【3 0 的基础上提出了一种新的极坐标 傅立叶变换，应用测试图像对新算法仿真，比较新的过采样方法和已有的过采 样方法，给出评价结果。 第二章小波变换 9 第二章小波变换 小波变换是把某一些具有特殊性质的函数沙( f ) 当作基小波( 或母小波) ，平移 f 后，再在尺度a 下与待分析的信号x ( t ) 作内积： 暇( 口加忑1i ：m ) 汐( 等脚 。 ( 2 1 ) 的过程。 小波是一种特殊长度有限的波形，平均值为零，小波具有两个显著的特点： 首先，小波在时域有紧支集或者近似紧支集；其次，直流分量为零。 小波变换包含连续小波变换和离散小波变换，多分辨分析是小波分析的基本 的概念，会依次给出介绍。 2 1 连续小波变换 设x ( t ) r ( 尺) ，缈( f ) 为母小波，则： w t x ( ) = j 1 “e x ( f ) 痧( 等渺= ( 碱) ( 2 - 2 ) 称为x ( t ) 的小波变换，其中a 0 为尺度因子，f 表示波形位移。上式中的f ，a ，f 均为连续变量，故称式( 2 2 ) 为连续小波变换。 2 1 1 一维连续小波变换 设y ( f ) r ( 尺) ，其傅立叶变换为汐( 刃) ，当汐( 万) 满足允许条件： c 妒= e 肾 ( 2 3 ) 时，称y ( f ) 为一个基本小波( 或母小波) 。将母小波w ( t ) 经伸缩或平移后得到： 呲) 2 丽1 少( 争叩咄口0 ( 2 4 ) 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，f 为平移因子。 对于任意的函数x ( f ) r ( r ) 的连续小波变换为式( 2 2 ) ，其重构公式为： m ) 5 2 1 ，e a 2 x ( 口，咖( 等删f ( 2 5 ) 1 0伪极傅立叶变换理论及应用研究 由于母小波y ( f ) 生成的小波虬，( f ) 在小波变换中对被分析的信号起着观测窗 的作用，所以妙( f ) 还应该满足一般函数的约束条件： e ) i 出 故少 ) 是一个连续函数。这意味着， 原点必须等于0 ，即 ( 2 6 ) 为了满足完全重构条件( 2 3 ) ，沙( 缈) 在 汐f 0 1 ：r 沙“1 出：0 ( 2 7 ) 痧( o ) = i y ( f ) 出= ( 2 - 7 ) 为使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条件，还要求小波沙( f ) 的傅立叶变换满足稳定条件： 彳艺弦，缈) j 曰( 2 - 8 ) 其中，0 r 2 虬 6 p ( 工) = 口一归y ( 五c o s o + x ts i n o - b a ) ( 3 - 2 ) 这个函数沿着直线五e o s o + x , s i n o = c o n s t 是常数，沿着脊波线是一个小波函 数。给定一个可积函数厂( x ) ，定义它的脊波系数为： b ( a , b ，0 ) = j 虬 ( x 沙( 石) 出。 ( 3 - 3 ) 因此有精确的重构公式： 厂( z ) = f 窟er 髟( 口，6 ，秒耽 。( 石，d 口a ，d 4 d 万o ( 3 _ 4 ) 这个重构公式对于可积和平方可积的函数都成立。而且，这个公式与p a r s e v a l 公式相联系： j 1 m ) 1 2 出= r ”er l q ( 啪o ) 1a 口a ，a b a 0 4 万 ( 3 - 5 ) 脊波虬，6 ，一不属于寥( r 2 ) ，这给相关的理论分析和脊波变换的数字实现带来了 困难。因此d o n o h o t 3 q 构造了口f r 2 卜组规范正交基，并称为正交脊波。与c a n d e s 构造的脊波不同，正交脊波已经不再是脊函数，不再具有基函数。不再具有 虬耶( x ) = 口叫2 ( 五c o s o + x 。s i n o - b a ) 的形式。正交脊波多了局域化的特点，在 空域光滑并且快速衰减，在频域中其支撑区间为某个局部的“径向频率角度频率” 区间。正交脊波可以看成在r a d o n 域中反对称小波基的等距同构。 第四章伪极快速傅立叶变换 1 9 第四章伪极快速傅立叶变换 4 1 离散脊波变换 对于二维离散数据 ( 忌。，屯) ) e 1 2 ( 岛，如= o ，1 ，2 ，以一1 ) ，分别对三个参数口，b ，0 离散化，即g ，f = 2 万2 i ，口，= 2 - s , b s i = 2 n k x2 ，则： j ( 毛，如) = 毛2 7c 0 s 嘭j + k 2 2 s i n a i ， 其中，岛乞【o ，刀一l 】，歹，f = o ，2 川一1 。 从而： 蚧 ，( 毛，屯) ：2 ；y2 7 ( 。，( 向，包) 一哆，。) ) 令离散脊波变换系数为： 则离散重构