（应用数学专业论文）时标意义下脉冲泛函微分方程正周期解的个数.pdf

摘要 本文研究了时标意义下一类脉冲泛函微分方程 jz ) = a ( t ) z ( t ) + m ( t ，z ( t ) ，茁( 一r ( t ) ) ) ，t t ，t 巧，j z ， 【z ( 才) = z ( 可) + a 易( z ( 如) ， 其中a 0 利用锥不动点指数理论给出了正周期解的存在性，多重性和不存在性 关键词t 时标；泛函微分方程；脉冲；锥不动点指数；正周期解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yas y s t e mo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e e f f e c t so nt i m es c a l e s j x a ( t ) = a ( t ) x ( t ) + a f ( t ，z ( 亡) ，z ( 亡一7 - ( 亡) ) ) ，亡t ，t 岛，歹z ， lz ( 寸) = z ( 可) + 入己( z ( 巧) b yt h et h e o r yo ft h ef i x e dp o i n ti n d e x m u l t i p l i c i t ya n dn o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v e o i lc o n e s ，w eg i v et h ee x i s t e n c e ， p e r i o d i cs o l u t i o n s k e yw o r d s ：t i m es c a l e s ；f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；i m p u l s e ； t h ef i x e dp o i n ti n d e xo nc o n e s ；p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范 大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：曼她指导教师签名：苎簦笙i ! 钮 ， 日 期；a 醴：淄日期：出蟹：劭 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第一章引言 在事物的发展过程中，许多实际问题会出现迅速的变化，这种瞬间突变现象通常 被称为脉冲现象脉冲现象在现代科学领域的实际问题中普遍存在，例如，机械钟摆 运动，电流中的电脉冲，生态种群中的周期受孕现象，飞船飞行中的脉冲控制等，其 数学模型可归结为脉冲微分系统由于脉冲微分系统充分考虑瞬时突变现象对状态 的影响，能更精确反映事物的规律，其研究日益受到人们的重视近二十年以来，脉冲 泛函微分方程理论受到了越来越多的数学工作者的青睐，脉冲微分方程理论( 基础 理论，稳定性理论，周期解理论，边值问题等) 成果日益丰富( 见【l 一9 】) ，在诸如航天技 术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学、医学、经济领域均得到广泛应用 时标上动力系统的研究可以追溯到它的创始人一s t e f a nh i l g e r s t e f a nh i l g e r 为 了统一连续和离散的分析结果，在1 9 8 8 年的博士论文【1 0 】中创立了时标意义下的微 积分理论，他的开创性工作使得这个理论具有巨大的应用潜力，近来引起学术界的广 泛关注时标意义下动力方程的结果不仅与实数集或整数集有关，而且可能与更一 般的时标有关用时标上的动力方程就可恰当的给出这些现象的数学模型美国彼得 森和托马斯用时间测度动力方程弥合了西尼罗河病毒传播的离散方面和连续方面的 空隙托马斯认为这种数学模型是理解和控制这种疾病的最有效工具除了生物学 上有应用，这种数学工具也可以用来改进股票市场的计算模式近年来，时标上的动 力系统由于广泛的应用前景，受到数学工作者的广泛关注 近期，j i a n g 11 】研究了下面脉冲微分方程 圣( t ) = a ( t ) x ( t ) + 入，( ，z t ) ，( 1 1 ) 正周期解的存在性、多重性和不存在性，其中，参数入 0 受其启发，本文将运用锥不动点指数理论研究下面具有参数和脉冲的泛函微分 方程正周期解的存在性、多重性和不存在性 ， j x a ( t ) = a ( t ) x ( t ) + 入， ，z ( t ) ，z 一丁( t ) ) ) ，t t ，t 巧，j z ， ，o 、 iz ( t 于) = z ( t 7 ) + 入0 ( 巧) ) ， 其中，参数入 0 ，t 是周期时标且o ，u t z ( 苷) 和x ( t - ) 代表z ( 巧) 在时标意 义下的右极限和左极限b p c 代表具有范数恻i = s u p o te 坠1i 如( p ) i 的有界泛函 咖p c ( t ，r n ) 构成的b a n a c h 空间，p c 定义如( 3 2 ) ，= ( 4 , 1 ，也，) t 1 东北师范大学硕士学位论文 在系统( 1 2 ) 中，我们做如下假设： ( h 1 ) a ( 舌) = d i a g a 1 ( t ) ，眈( 孟) ，o n ( 亡) ，c ( t ，r ) 是u - 周期的，定义在 t rxr 上，7 c ( t ，r ) 是u 周期的且满足t 一 - ( t ) t ，i a x ) = ( ，l j ( z 1 ) ，( z 2 ) ， ，厶巧( z n ) ) t ，z = ( x l ，x 2 ，z n ) t ，c ( 酞jr ) i = 1 ，2 ，佗 ( h 2 ) 存在正整数m 使得t j + m = 巧+ u ，易+ 仇= 易，j z 不失一般性，我们假 设 【0 ，u ) tn t j ：j z ) = t l ，t 2 ， 记r + = ( 0 ，+ o 。) ，r + = 【o ，+ 。c ) 对任意z = ( z 1 ，x 2 ，z n ) t r n ，其范数定义 为i z i = 銎1i 巧i r 罩= ( z 1 ，x 2 ，z n ) t r n ：吻0 ，j = 1 ，2 ，扎) z r t _ 贝0 称z 是正的 2 东北师范大学硕士学位论文 第二章正周期解的个数 2 1 时标的预备知识 本节首先我们不加证明地给出时标方面一些基本的定义和微积分结果更详尽 的内容可参阅 1 2 一1 4 】 时标是一种特殊的测度链，是定义在r 上的非空闭子集，本文用t 表示时标定 义中的区间h ：= int ，其中区间icr 定义2 1 1 【1 2 】对于t - ，定义前跃算子和后退算子正p ：t _ t 为 口( t ) = i n f s t ：s t 】，p ( t ) = s u p s t ：s i n f t 且p ( t ) = 亡称 t 是左散的，如果p ( t ) t 如果t 有左散最大值m ，则t 尼= t m ) ，否则旷= t 定义2 1 2 1 1 2 】称函数f ：t r 是正则的，如果它在t 中右稠密点处存在有 限的右极限，且在所有左稠密点处存在有限左极限称函数f ：t r 是r d - 连续 的，如果它在t 中右稠密点处连续，左稠密点处存在有限左极限所有r d - 连续函数 f ：t _ r 组成的集合记为g d = c r a ( t ) = c r a ( t r ) 称函数f ：t _ r 是连续的，如 果它在t 中左稠密点和右稠密点处都连续所有连续函数f ：t _ r 组成的集合记 为c ( t ) = c ( t ，r ) 引理2 1 1 1 1 2 1 设函数f ：t _ r ( a ) 若，是连续的，则，是r d - 连续的 ( b ) 若，是r d - 连续的，则，是正则的 ( c ) 若，是连续的，g ：t _ r 是正则的或r 出连续的，则f o g 也是正则的或r d - 连 续的 ( d ) 紧区间上的正则函数是有界的 定义2 1 3 1 1 2 】设z ：t _ r ，t 水称z 在t t r 处( ) 可微，如果存在 口r ，使得对于任意g 0 ，存在t 的邻域哳，对任意s u t 有 i z ( 矿( t ) ) 一z ( s ) 一引口( 亡) 一s 】i i 伊( t ) 一8 1 3 东北师范大学硕士学位论文 事实上，0 被称为z 在t 的( ) 导数，记p = z ( t ) 如果f ( ) = ，( t ) ，则定义积分 小s ) a s = f - f ( 毗 引理2 1 2 1 1 2 1 若，：i 一r 在t 廿处可微，则，( 盯( t ) ) = ，( t ) + p ( t ) ，( t ) 引理2 1 3 1 2 1 若，g d ，且t t 咒，则f f ( s ) a s = p ( 亡) ，( 亡) 引理2 1 4 【1 2 1 设a ，b ，c t ，g g d ，则 ( a ) f bf ( t ) a t = f ：f ( t ) a t + f bf ( t ) a t ( b ) 若i ，( t ) i 9 ( t ) ，t 【o ，6 ) ，那么if ：f ( t ) a t l f bg ( t ) a t ( c ) 若f ( t ) 0 ，n t 0 jt t ) 定义2 1 7 1 1 2 1 若p 冗，则指数函数可定义为 e p ( ，s ) = e x p 缸( r ) ( p ( 7 ) ) 丁) ，s ，t t ， ， ，8 其中， ，= 0 ，t t 引理2 1 9 赋予上确界模的c ( 【口，b l r ，r ) 空间为完备空间 证明：设【，n ) cc ( 【o ，b l r ，r ) 为柯西序列，则对任意 0 ，存在正整数n ，使得 对任意m ，他 n ，有 i i 一y i i = s u pi y m ( t ) 一，n ( 亡) i e t e a ，b i t 那么对任意t 【a ，b i t 有i ( t ) 一厶( t ) i 0 ，存在t 的邻域巩ct ，使得对任意8 巩有 i ( 亡) 一 ( s ) i 1 有 l y n ( t ) 一m ) i 1 有 i ，( t ) 一厂( s ) l i ，( z ) 一厶( t ) l + i 厶( t ) 一厶( s ) i + l ，n ( s ) 一，( s ) i 0 使得对于t t 有t + p t 对于 t r ，最小的正数p 称为时标的周期 定义2 1 9 1 1 4 1 设t r 是周期为p 的时标称函数，：t _ 豫是u 周期的，如 果存在自然数佗使得u = n p ，f ( t + u ) = f ( t ) ( vt t ) ，并且u 是使f ( t + u ) = f ( t ) 成立的最小数若t = r ，称函数，是u 周期的，如果u 是使f ( t + u ) = f ( t ) ( vt t ) 成立的最小正数 注2 1 i 1 4 l 设t r 是周期为p 的时标，则仃( 亡+ n p ) = 盯( 亡) + n p 于是，粒函数 p 满足p + n p ) = 伊( t + n p ) 一( t + n p ) = 盯( t ) 一t = 肛( t ) ，因此肛是周期为p 的周期函 数 6 东北师范大学硕士学位论文 2 2 预备结果 本文中，我们始终假设脉冲点t j 是右稠密的，歹= 1 ，2 ，m 设f = ( f l ，f 2 ，厶) t ，并且假设 ( h 3 ) i n f t e o ，叫t p ( t ) o i ( 圳- - 1 ，i = 1 ，2 ，佗 ( h 4 ) e n t ( o ，u ) 1 ，i = 1 ，2 ，n ( h 5 ) 对于任意牡r + ，( t ，咖) t xb p c ( t ，r 华) ，有 ( t ，咖( ) ，咖( 一7 - ( t ) ) ) ( e a i ( o ，u ) 一 1 ) 0 ，( u ) ( e o t ( o ，u ) 一1 ) 0 ，i = 1 ，2 ，n ( h 6 ) 对于任意z b c ( ( t j ，岛+ 1 ) t ) ，j z ，有f ( t ，z ( ) ，x ( t f ( t ) ) ) 关于t 连续 ( h 7 ) 对任意l 0 和s 0 ，存在6 0 ，使得当，妒b c ，i i 咖1 i l ，i i 妒1 i l ，i i 一妒0 正0 s u 时 l ，( s ，咖( s ) ，( s 一丁( s ) ) ) 一，( s ，妒( s ) ，矽( s 一下( s ) ) ) i 0 有 忡i n 忙f r o ui ，( s f 删州s 叫s ) ) ) i s + 地襄) t i 砌( 训 。 设x 是b a n a c h 空间，k 是x 中的锥假设q 是x 中的有界开子集，其边界为 a q ，并且设t ：knq k 是全连续算子如果对任意仳kna q 有t u u ，则可 以定义不动点指数i ( t ，knq ，k ) 若i k nq ，k ) 0 ，则t 在knq 中有不动点 为了研究( 1 2 ) 的周期解，我们首先介绍本文证明所使用的重要工具，然后证明 一些预备结果 定理2 2 i i 5 - 1 7 设x 是b a j l a c h 空间，k 是x 中的锥对r 0 ，定义坼= u k ：l l u l i o 设a i 冗+ ，那么 e “s = e x p , 8 钰灿灯) ) 0 一 厶嘶沁+ 厶蛐掣七 = = e x p laq(，)，7r。：p。，萎。f+!j：!：掣，r) = e x p =以吣i。i(1州。舡唧厶口打)下)tt o ，一。8 、。o7 ( a ) 设a i c ( - ，r + ) ，贝! jl e a i ( s ，t ) e a i ( u ，o ) 从而， e 口t ( o ，u ) e 以吾) 2 看矗1 ( b ) 设a i c ( t ，r 一) ，贝0e a i ( u ，0 ) e a i ( s ，t ) 1 从而，1 e a i ，8 ) e a i ( o ，u ) 口 注2 2 1 设g i ( 亡，s ) 的定义如引理2 2 2 中( 2 2 4 ) ，则对于任意s i t ，t + u ) t ， 0 p i i g i ( t ，8 ) i q ( 2 2 5 ) 其中， 一 堂：篙葛：l 瓦乃硐，叫七u 虬瓜一， 一。1 蠡：o 一4 e c ( t , r 叫+ ) , 对( t ，s ) t 2 ，i = 1 ，2 ，亿，我们定义 e a ( t ，s ) = ( e a l ( ，8 ) ，e a 2 ( t ，s ) ，e ( ，s ) ) t ， g ( ，s ) = d i a g g l ( t ，s ) ，g 2 ( t ，s ) ，g n ( t ，s ) 显然，g ( t ，s ) = g ( t + u ，s + u ) ，且由( h 5 ) 知对于任意( u ，咖) t b p c ( t r 华) 有 g i ( js ) ( t l ，咖( 乱) ，砂( u 一丁( u ) ) ) 0 东北师范大学硕士学位论文 x 中锥k 定义如下： 这里， k = z ex ：z i ( t ) 盯i l x i l l ，te 【o ，u 】t ，z = ( z 1 ，z 2 ，z n ) t ) ， 0 口：= m i n p i q i ，i = 1 ，2 ，佗) 1 不难证明k 是x 中锥 由定义2 2 1 和引理2 2 2 ，我们定义x 上的算子如下： f t + 一 ( 圣a z ) ( t ) = 入g ，s ) 厂( s ，z ( s ) ，z ( s 一丁( s ) ) ) s j t 其中，z k ，t t 令 + a g ( t ，t j ) e a ( 盯( 巧) ，岛) 易 ( 巧) ) ， j ：t ce t ，+ u ) t ( i ) x x = ( 圣z ，( i ) 2 x ，圣爻z ) t 引理2 2 4 圣入：k k 证明：设z k ，则( 西 z ) ( 亡) j p c 且 ，t + 2 u ( 亚a z ) ( 亡+ u ) = 入一g ( 亡+ u ，s ) f ( s ，z ( s ) ，z ( s 一丁( s ) ) ) s j t - i - “， + 入 歹：幻耻+ u ，+ 2 u ) t c ( t + u ，t j ) e a ( o ( t j ) ，乞) 易( z ( 巧) ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) g ( t + u ，乱+ w ) f ( u + 叫，x ( u + u ) ，x ( u + u 一下( u + u ) ) ) u g ( t + u ，u + w ) f ( u + u ，z ( t + u ) ，x ( u + u 二r ( u + u ) ) ) u + 入 g ( + u ，t k + u ) e a ( 口( 轧+ u ) ，t k + u ) 厶( z ( t 七十u ) ) k ：t k e t ，t + o j ) r ，i t + u = 入 g ( t ，u ) f ( u ，z ( u ) ，z ( 仳一下( 乱) ) ) “ l ，t + a k ：t k e t ，t + a o r = ( 圣a z ) ( t ) g ( t ，t k ) e a ( 盯( t k ) ，t k ) i a ( x ( t a ) ) 因此，西入z x 显然，对任意8 【t ! t + u ) t 有 于是，对z k 有 p i 0 ，存在 6 0 ，使得当砂，妒b c ，i i i l l ，i i 妒i i l ，0 咖一妒i ls 正0 s 叫时 ，( s ，西( s ) ，咖( s - - i - ( s ) ) ) 一，( s ，妒( s ) ，妒( s 一丁( s ) ) ) i 2 a 三n q w ， i j ( 咖( 岛) ) 一j ( 1 f ，( 岛) ) i 2 a n s q - - - - - m ， 其中q = m a , x l 一 i 一 m 吼) ，歹= 1 ，2 ，m 如果z ，y k ，i i x l i l ，i - l 且忙一y l l 6 ， 则由( 2 2 5 ) 和( 2 2 8 ) 知 i ( 垂又z ) ( t ) 一( 圣爻) ) i l 入z t + wg t ，s ) ( s ，z ( s ) ，z ( s 下( s ) ) ) a s - - ) 、f t t + wv i ( t ，s ) 五( s ，可( s ) ，( s r ( s ) ) ) s + 卜 g i ( t ，t j ) e a i ( 盯( 巧) ，t j ) ( 1 i j ( x i ( t j ) ) 一( 们( 巧) ) ) l j ：t j e t ，t + u ) t 入俄 j ( s ，z ( s ) ，z ( s 一丁( s ) ) ) 一 ( s ，秒( s ) 矽( s 一丁( s ) ) ) j a s + a q i i ( z i ( 巧) ) 一( 玑( 岛) ) i 歹：幻旺，t + u ) t 入口i ( s ，z ( s ) ，z ( s f ( s ) ) ) 一兀( s ? 矽( s ) ，( s r ( s ) ) ) l a s + a q i ( 耽( 巧) ) 一( 狮( 岛) ) i j ：t j e o ，u ) 。r 0 ，( 1 2 ) 有一 个正u 周期解 定理2 3 2 设( h i ) 一( h 8 ) 成立 ( a ) 若( i ) 如= 0 ，i o = 0 ，或( i i ) = 0 ，j 。0 = 0 ，则存在a o 0 ，使得对任意 入 a o ，( 1 2 ) 有一个正u 周期解 ( b ) 若( i ) o = o c 或而= o o ，或( i i ) = o 。或k = o o ，则存在a o 0 ，使得对 任意0 a o ，( 1 2 ) 有两 个正u 周期解 ( d ) 若( i ) o = o c 或而= o c ，( i i ) 氏= o c 或k = o c ，则存在a o 0 ，使得对任 意0 入 a o ，( 1 2 ) 有两个正u 一周期解 ( e ) 若( i ) o o 。，产 o c ，( i i ) 。，j o o 0 ，使得对任意 0 0 ，( i i ) 氏 0 或k 0 ，则存在a o 0 ，使得对任意 a a o ，( 1 2 ) 没有正u 一周期解 引理2 3 3 设( h 1 ) - ( h 7 ) 成立若存在叼 0 使得对任意咖k 有 小( s ，船m ( s 刊) ) i s + 讹邑) t l w ( 洲圳， 贝0 对z k 有i | 圣入z 0 入册i i z l i ，其中，p = 1 1 m l 0 ，使得对任意kna q r 有 ， z u i ，( s ，咖( s ) ，咖( s 一1 ( s ) ) ) i s + j ：t ，e o , w ) t i 易( ( 岛) ) l r ， 贝0 对z k n 0 1 2 r 有i | 西a z 0 旭q l l x l l 证明：由西a 的定义，当z kna q r 时， i i 圣入x l l 2 嚣蚤 一 万 “ 垂 、- ， 1 l ，、l ， z 1 、 垂 ，i l 0 引理2 3 6 设( h 3 ) 一( h 8 ) ，r 0 ，则对z kna q ，有忙a z 0 a q 3 l r ，其中， 磊= s u p 4 , e k n a f l ，t 片i f ( 8 ，( s ) ，( s 一下( s ) ) ) l s + 歹：t ，e o ，u ) ti 易( 西( 勺) ) l ， 定理2 3 1 的证明 ( a ) 设y o = 0 ，i o = 0 ，则对任意 0 ，存在r l 0 ，使得当咖k ，0 i i l i r l 时 ，山 正i f ( 8 , 荆：( s 一丁( s ) ) ) i s + i i j ( ( t a ) l 洲is 饥 “ j ：t j e o ，u ) t 取足够小满足入钾 r l 0 使得当k 恻i r 2 时， a f ( s ，帕脚刊) ) i s + 埔蠹) t | w ( t j ) ) l 洲i i 取叩满足切 1 ，由引理2 3 3 可知，当z k f 3a q r ：时， j j 圣a zj i a 聊i i zj j l i zj | 那么，由定理2 2 1 知 z ( 圣a ，q mk ) = 1 ， ( 垂入，q r 2 ，k ) = 0 ， 因此， i ( 圣a q r ：囝，。，k ) = 一1 故叭在knq r ：珥。中有不动点从而，( 1 2 ) 有一个正沙周期解z 且r l 0 ，存在入o 0 使得当z kno f t m 入 入。时 忡入z 0 i i x l l 若o = 0 ，i o = 0 ，则存在0 7 - 2 7 1 ，使得当咖k ，0 i r 2 时， i(8，咖(s)，(sr(s)is+ij(咖(tj)lgjo j ：岛雨u ) t 取g 满足入钾 7 1 ，使得当咖k ，0 7 3 时， l，(s，咖(s)，咖(s一下(s)is+i易(咖(岛)igo|jo 鹏币u ) t 取g 满足入叼 0 ，由引理2 3 6 知，存在入o 0 ，使得当z kna q 0 入 入。 时，忙a z 0 0 ，存在0 i i x l l 若氏= o c 或k = o o ，则对任意，7 0 ，存在i 3 7 1 ，使得当咖k ，俐i 7 3h 寸， -i，(s，咖(s)，咖(s一7-(s)|s+ij(o(tj)l,711011jo 地雨u ) t 取叩满足) l r r p 1 ，由引理2 3 3 知，当z kna q r 。时忙a z 0 a 卯恻i i i = 1 1 再由 定理2 2 1 得， i ( 圣入，q r 。，k ) - w - - _ - 1 ，t ( 圣入，q ，2 ，k ) = 0 ，i ( 垂a ，q r 3 ，k ) = 0 东北师范大学硕士学位论文 故t ( 圣 ，珥，q r 2 ，k ) = 1 ，z ( 垂入，q r 。研。，k ) = 一1 从而，圣a 在kn ( q n q r 。) 或kn ( q r 。q r 。) 中有不动点因此，对任意0 入 入o ，( 1 2 ) 有一个u 周期解 ( c ) 固定r 3 ，r 4 且0 入o ，z kna q n ，i = 3 ，4 时，0 西a z l i i i z 0 若f o = 0 ，i o = 0 ，氏= 0 ，k = 0 ，由定理2 3 2 ( a ) 可知，存在0 r l r 4 ， 使得当z kna q i = 1 ，2 时，忙a z i i 入o ，( 1 2 ) 有两个 正u 凋期解且满足r l j i x l i j r 3 r 4 l l z 2 i i r 2 ( d ) 固定r 3 ，r 4 且0 r 3 0 ，使得当0 a 入o ，z kf 3a q n ，i = 3 ，4 时i i 圣a z i i 恻i 若( i ) y o = o 。或o = 0 0 ，( i i ) 氏= o c 或 k = o 。由定理2 3 2 ( b ) 得，存在0 i i x l l 再由定理2 2 1 得 i ( 圣入，q r l ，k ) = 0 ，t ( 垂a ，q r 。，k ) = 0 ， i ( 圣a ，q 他? k ) = 1 ，i ( 圣a ，q 心，k ) = 1 。 故i ( 圣a ，q ，。霭。，k ) = 1 ，t ( 圣入，q n q r 4 ，k ) = 一1 从而垂入有两个不动点z 1 ( ) 和 z 2 ( t ) 满足z 1 kf 3 ( q r 。q r 。) ，z 2 k n ( q r ：q r 4 ) ，因此，对任意入 知，( 1 2 ) 有两个 正弘周期解，且满足r 1 忙1 h r 3 r 4 | f z 2 f f r 2 ( e ) 因为( i ) f o o 。，o o c ，( i i ) 氏 o o ，j o o o 。，所以存在正数g l ，e 2 ，r 1 和 r 2 ，且r l r 2 ，使得当咖k ，i i 砂1 l r l 时 zi ，( s 。l 认s 一。”) i 5 + 蠹) t 防 心”| 0 其中 p 。一 。，。，笪i 丛s ：咖( s ) 咖( s 一7 ( s ) ) ) i s - 4 - j ：白【0 ，u ) ti 易( ( 岛) ) l1 幻2 忙k 喜t 丽厂尘掣一，妒j o r l i i 毋i l r 2 、 9 j 东北师范大学硕士学位论文 贝! j i ，( s ，砂( s ) ，痧( 占一f 0 ) ) ) f s + j ：岛【0 ，。) ti i j ( 咖( t j ) ) l e l l f | k 假设z ( t ) 是( 1 2 ) 的一个正u 一周期解当0 入 a o = 1 e q 时我们将得到矛盾 事实上，对0 入 0 ，( i i ) 氏 0 或k 0 ，所以存在正数吼，仡，r 1 和 r 2 且r l 0 ，其中 。一 l r 片i ，( 8 ，咖( 8 ) ? 咖( s 一7 ( s ) ) ) i s + j ：岛【o ，u ) ti 易( 咖( 巧) ) i1 铂2 4 , e 即。i n 驯f 陋：t 1 而二工竖l 一歹 贝0 i f ( 8 ，砂( s ) ，砂( s 一丁( s ) ) ) sj + 歹：幻【o ，) tj 易( ( 岛) ) l2 , 7 1 1 1 1 ，k 假设z ( t ) 是( 1 2 ) 的正u 一周期解当a 入o = 1 卯时将得到矛盾事实上，对 入 入o ，因为c x x = z ，z k ，所以 i i z i i = l l 垂a z i i a p ( i f ( 8 , z ( s ) ，x ( s 一下( s ) ) ) l s + i i j ( x ( t a ) 1 ) jo j ：t j e 0 , w ) t a 卵p o z i i z l l ， 得到矛盾 1 9 口 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 l a k s h m i k a n t h a mv ，b a l n o vdd ，s i m e o n o vps t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r - e n t i a le q u a t i o n m s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ，1 9 8 9 b a i n o vdd ，s i m e o n o vps i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：p e r i o d i cs o l u - t i o na n d a p p l i c a t i o n s m h a r l o w ：l o n g m a ns c i e n t i f i ca n dt e c h n i c a l ，1 9 9 3 f r i g o nm ，o r e g a nd i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ed e l a y j n o n l i n e a ra n a l ，1 9 9 6 ，2 6 ：1 9 1 3 - 1 9 2 2 n i e t ojj i m p u l s i v er e s o n a n c ep e r i o d i cp r o b l e m so ff i r s to r d e r j a p p lm a t h l e t t ，2 0 0 2 ，1 5 ：4 8 9 4 9 3 f r a n c od ，l i ze ，n i e t ojj ，e ta 1 ac o n t r i b u t i o nt ot h es t u d yo ff u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s j m a t hn a c h r ，2 0 0 0 ，2 1 8 ：4 9 - 6 0 f r i g o nm ，0 r e g a nd f i r s to r d e ri m p u l s i v ei n i t i a la n dp e r i o d i cp r o b l e m sw i t h v a r i a b l em o m e n t s j jm a t ha n a la p p l ，1 9 9 9 ，2 3 3 ：7 3 0 7 3 9 d u b e a uf ，k a r r a k c h o uj s t a t e - d e p e n d e n ti m p u l s i v ed e l a y - d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s j a p p lm a t hl e t t ，2 0 0 2 ，1 5 ：3 3 3 - 3 3 8 l ix y ，l i nxn ，j i a n gdq e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n st of u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s ee f f e c t s j n o n l i n e a r a n a l ，2 0 0 5 ，6 2 ：6 8 3 - 7 0 1 l iwt h u oh e x i s t e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s o ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s j n o n l i n e a ra n a l ，2 0 0 4 ， 5 9 ：8 5 7 - 8 7 7 【1 0 】h i l g e rs a n a l y s i so nm e a s u r ec h a i n s - au n i f i e da p p r o a c ht oc o n t i n u o u sa n d d i s c r e t ec a l c u l u s j r e s u l t sm a t h ，1 9 9 0 ，1 8 ：1 8 5 6 【11 】j i a n gd ，o r e g a nd ，a g a r w a lrp ，e ta 1 o nt h en u m b e ro fp o s i t i v ep e r i o o d i cs o l u t i o n so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp o p u l a t i o nm o d e l s j m a t h e m a t i c a lm o d e l sa n dm e t h o d si na p p l i e ds c i e n c e s ，2 0 0 5 ，4 ：5 5 5