（概率论与数理统计专业论文）次高斯变量的判别准则及其应用.pdf

中文摘要 摘要 本文主要研究了次高斯变量的判别准则及其在随机三角级数性质的研究中 的应用全文分为四章，在第一章，介绍了随机级数理论的发展历程和本文的研究 结果在第二章，列举了本文所需要的预备知识在第三章，以实次高斯变量和复 次高斯变量的定义为基础，得到了次高斯变量的判别准则第四章讨论了次高斯 变量的应用首先讨论了由次高斯序列决定的一维随机三角级数的一些性质，包 括：可积性、收敛性及连续模的估计，然后将上述关于收敛性和连续模的估计的 结论推广到由次高斯序列决定的一类无穷维随机三角级数的情形 关键词：次高斯变量；随机三角级数性质；可积性；收敛性；连续模的估计：无穷维 随机三角级数 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ec r i t e r i o n so fs u b g a u s s i a nv a r i a b l ew i t hs o m eo ft h ea p p l i c a t i o n s i nr a n d o mt r i g o n o m e t r i cs e r i e sa r es t u d i e d t h ep a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i n c h a p t e rl ，t h eh i s t o r yo ft h et h e o r yo nr a n d o ms e r i e sa n dt h ec o n c l u s i o n so ft h ep a p e r a r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，p r e v i o u sk n o w l e d g ei s g i v e n i nc h a p t e r3 ，f o u rt r i t e r i o n so fs u b g a u s s i a nv a r i a b l ea r eo b m i n e d ，w h i c ha r eb a s e do nt h ed e f i n i t i o n so fr e a l s u b g a u s s i a nv a r i a b l ea n dc o m p l e xs u b g a u s s i a nv a r i a b l e 1 1 1 e4 t hc h a p t e ra r ed e v o t e d t oa p p l i c a t i o n s ，s o m ep r o p e r t i e so f1 - d i m e n s i o n a lr a n d o mt r i g o n o m e t r i cs e r i e sd e f i n e d b ys u b g a u s s i a nv a r i a b l ea r ed i s c u s s e da tf i r s t ，i n c l u d i n gi n t e g r a b i l i t y , c o n v e r g e n c ea n d e s t i m a t i o no ft h ec o n t i n u o u sm o d u l u s ，t h e nt h ec o n c l u s i o n so nc o n v e r g e n c ea n de s t i m a t i o no ft h ec o n t i n u o u sm o d u l u sa r ee x t e n d e dt ot h em o r eg e n e r a ls e t t i n go fal d n do f i n f i n i t ed i m e n s i o n a lr a n d o mt r i g o n o m e t r i cs e r i e sd e f i n e db ys u b g a u s s i a nv a r i a b l e k e yw o r d s ： s u b g a u s s i a nv a r i a b l e ；r a n d o mt r i g o n o m e t r i cs e r i e s ；i n t e g r a b i l i t y ；c o n - v e r g e n c e ；e s t i m a t i o no ft h ec o n t i n u o u sm o d u l u s ；i n f i n i t ed i m e n s i o n a lr a n d o mt r i g o n o m e t r i cs e r i e s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：胡辱 日期：2 一口于年月- 乏e t 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务：学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵 守此规定) 作者签名：动军 指导教师签名：同饿 日期：互。孝年6 月工e 1 日期：硼年6 月多日 1 序言 1 序言 e m i l eb o r e l 于1 8 9 6 年提出了随机级数这一概念，到2 0 世纪3 0 年代开始作为理 论进行研究，p a l e y 和z y g m u n d 在所发表的、题为论若干函数项级数的几篇 论文中对这一理论加以阐述到2 0 世纪6 0 至7 0 年代以后随机级数理论有了较大 的发展，在调和分析、复分析、分行几何等数学分支中已有重要的应用随机级 数理论主要研究三角级数及泰勒级数：a n e 机。及k 磊，其中 n n ) 是常 数序列，【k ) 为r a d e m a c h e r 序列，s t e i n h a u s 序列或正态随机序列这些级数性质的 研究已由下列数学家得到重要成果：j e 1 i t t e r w o o d ，p a l e y , h s t e i n h a u s ，z y g m u n d ， pb i l l a r d ，j pk a h a n e ，m a r c u s ，p i s i e r 等他们的研究应用了对称原理、比较原理 等、简化原理等 在随机级数的理论中，r a d e m a c h e r 序列是一个重要的概念，j ek a h a n e 在文 献【1 】中研究了随机三角级数 c o s ( n t + 妒n ) n = o ( 1 1 ) 的可积性、收敛性及连续模的估计，其中z n 和妒n 是给定的实数， e n ) 是r a d e n 砒h e r 序列，他还研究了随机三角级数 c o s ( n t + ) n = 0 ( 1 2 ) 的连续模的估计，其中z 。和妒n 是给定的实数， 厶) 是次正态序列谢清在文献【2 】中 研究了一类无穷维随机三角级数 厶z n c o s n 。t n e l ( 1 3 ) 的收敛性，其中z n 是给定的常量，是一多元指标集，n = ( n l ，n 2 ，) ，t = ( t l ，t 2 ，) ，佗ot = r z l t l + n 2 2 + ， 厶) 是次正态序列 j pk a h a n e 在文献 1 l d f l 指出存在一种更一般的随机变量一次高斯变量， 而r a d e m a c h e r 变量和次正态变量都是它的一种特殊形式一个自然而然的想 湖北大学硕士学位论文 法就是：能否将级数( 1 1 ) 中的r a d e m a c h e r 序列和级数( 1 2 ) ，( 1 3 ) 中的次正态 序列都替换为次高斯序列，也能得到上述一系列的结论本文探讨的正是这一问 题，讨论了随机三角级数 ：厶z nc o s ( n t + 妒n ) ( 1 4 ) n = 0 和无穷维随机三角级数 厶c o s 佗。t n e i ( 1 5 ) 的可积性、收敛性及连续模的估计，其中1 ，已，靠，都是服从参数 为丁1 ，吃，的次高斯序列，且满足s u p - r o o 研究内容分为四部分 n 第一部分，以次高斯变量的定义为基础，分实变量和复变量的情形给出了次 高斯变量的四个判别准则 第二部分，利用f u b i n i 定 和s c h w a r z 不等式等工具，研究了当j z n l 2 0 ，使得对任意复数入，都有 e ( e 黜c m ，) e 犁， 则称是服从参数为7 的复次高斯变量当r = 1 时，称是复次正态变量 3 2 次高斯变量的判别准则 引理3 2 1 1 4 】若是服从参数为7 的次高斯变量，则；是次高斯变量 引理3 2 2 【4 】设f 是服从参数为7 - 的复次高斯变量，则r 和i m 都是服从参数 为7 - 的实次高斯变量 引理3 2 3 【3 】若r e 和i m 分别是服从参数为7 1 ，他的实次高斯变量，则f 是服 从参数为7 - = 2 ( 砰+ 卺) 的复次高斯变量 定理3 2 1 若实随机变量的数学期望为0 ，则下列命题是等价的 ( 1 ) 是次高斯变量； ( 2 ) 存在口 0 ，使得对任意的p 1 ，都有【e ( p ) 1 刍口伽； ( 3 ) 存在b 0 ，使得对任意的t 0 ，都有p ( t ) e 一舻； ( 4 ) 存在c 0 ，使得e ( e 。) 0 ，使得 对任意的实数a ，都有 e ( e 挺) e 下r 2 , 2 一6 一 3 次高斯变量的判别准则 令口：e 孚，取a ：伽，则对任意的p 1 ，都有 所以就有 e ( i f i p ) s u p ( t p e 一何) e ( e 屈) t 0 ( 譬) p e 孛， e ( i x i p ) 】； 伽 o e 2 e 二三一】一 e2 v p 令。= e 萼，则存在n 0 ，使得对任意的p 1 ，都有【e ( 1 i p ) 】；。伽 ( 2 ) 爿( 3 ) ，对任意的亡 0 ，选嘶使得竿= e ，则 叫 躯学竽 = e 一， t 2 = e 一：形 令6 = 露1 ，则存在6 0 ，使得对任意的t 0 ，都有p ( t ) e 一舻 ( 3 ) 哥( 4 ) ，取常数c 使得0 口时，可选取常数m 0 ，使得d e 百n a d , 2 ，此时可得 令 e ( e m ) d e 笔e 掣 则对任意的实数a ，都有e ( e m ) e 竿 对于复随机变量的情形，也可以得到类似的结果 定理3 2 2 若复随机变量f 的数学期望为0 ，则下列命题是等价的 ( 1 ) f 是次高斯变量； ( 2 ) 存在n 0 ，使得对任意的p 1 ，都有【e ( 蚓p ) 】三口伽； ( 3 ) 存在6 0 ，使得对任意的t 0 ，都有p ( t ) e 一配2 ； ( 4 ) 存在c 0 ，使得e ( e c 坪) 0 ，使得对任意 的复数a ，都有 e f e r e ( 1 e 掣 ， 由引理3 2 1n - - i 知f 。和f 2 均是服从参数为7 - 的实次高斯变量根据定理3 2 1 可知存 在口1 0 ，叱 0 ，使得对任意的p 1 ，都有 e “f l l p ) ( 0 1 施) p ，e ( i 已i p ) ( a 2 v 伍) p 8 3 次高斯变量的判别准则 令a = 2 m a x ( a 1 ，叻) ，则 e ( i j p ) = e ( j i + 娩l p ) e 【( i i + i 已i ) p 】 e 【( 2 m a ) ( ( i f - i ，i e i ) ) p 】 2 p m a x ( e ( ( 1l p ) ，e ( i 2 i p ) ) 矿( 竽) p ( o 、，乍) p ( 2 ) 哥( 3 ) ，对任意的t 0 ，选取p 使得竿= e ，则 叫 蠊丁e ( j j p ) 竽 = e p t 2 = e 一：孕 令6 = 秤1 ，则存在6 0 ，使得对任意的t 0 ，都有p ( t ) e 一舻 ( 3 ) 爿( 4 ) ，已知对任意的t 0 ，都有 p ( j 矗i 芒) p ( i i t ) e 一舻，i = 1 ，2 根据定n 3 2 in - - 知存在c l 0 ，c 2 0 ，使得 令c = 2 m a x ( c 1 ，c 2 ) ，则 e ( e 2 c l 钌) o o ，e ( e 2 c 2 铝) ， e ( e 2 ) ，e ( e 2 程) 盯1 时，可选取常数m 0 ，使得d e 丑4 c ，此时可得 令 e ( e k t ) d 色罢e 掣 n = 则对任意的实数a ，都有e ( e k ，) e 掣，所以l 是实次高斯变量同理可证已也是 实次高斯变量根据引理3 2 3 可知是复次高斯变量 1 0 4 随机三角级数的性质 4 1 引言 4随机三角级数的性质 在这一章，我们将研究次高斯序列决定的随机三角级数的可积性、收敛性以 及连续模的估计我们首先介绍一个与无穷维随机三角级数有关的概念，以便于 我们下面进行讨论 定义4 1 1 称一整数序? l j ( n 1 ，r t 2 ，) 是一多元指标，如果诸n i ( i = 1 ，2 ，) 中只有有限个不等于0 记这样的多元指标( 礼1 ，扎2 ，) 组成的集 为 i = ( n 1 ，r 9 2 ，扎七，) n ：只有有限个凡七o ) o o 对于任意将j 分成有限子集的划分a ( t = 1 ，2 ，) ，有j = ua 记s ( a ) 为存 在( 佗1 ，n 2 ，) a 使得唧0 的j 的个数，令 ： n ( a i ) = s u p( t t l i + i r t 2 i + ) = s u p ， ( n 1 n 2 ，) a t t l j 4 其中n = ( n 1 ，礼2 ，) ，i n i ：垒l ( n 1 ，r $ 2 ，) l = n 1 + r t 2 + 我们首先讨论随机三角级数 o o 靠z n c 。s ( m + 妒n ) ， n = o ( 4 1 ) 其中z n 和是给定的常量，f 1 ，巳，矗，是服从参数为n ，7 2 ，的 次高斯序列，且满足s u p ) n 然后讨论无穷维随机三角级数 靠o s 佗。t ， n e l ( 4 2 ) z 帆 = 忱mq 氐k 一 n = a 7 及以 湖北大学硕士学位论文 其中是给定的常量，是一多元指标集，佗= l ，n 2 ，) ，t = ( t l ，t 2 ，) ，扎o t = n l t l + n 2 t 2 + ，f 1 ，已，厶，是服从参数为n ，吃，的次 高斯序列，且满足s u p ) ( 3 0 n 4 2 随机三角级数的可积性 定理4 2 1 设厶是r 上的连续一致有界的函数，z n 是复数列，i z n l 2 0 使 得对每个n 以及每个t r 都有i 厶( t ) i 尬 首先设靠是实次高斯序列，z n 是实数列令7 - = s u p r n ，则 e c e ，= e ( e x p c 耋a z n 矗厶c t ，) 令r ：量z ：，m ：7 - m ，则上式可以转化为e ( e a f ) e 壁乒 n = 1 又 e ( e a r - 1 - e - x f ) 2 e 学， 即 薹( 南) 日哪腿2 e 学 1 2 盐0 鼻一 丝 o r 。i篓2 竿瞽 嫩p 孚 眯 唧 唧八r 言言脚唧 = 4 随机三角级数的性质 取入2 = 丽2 9 1 2 ，则有 e ( f 2 m ) 鲫m ) i ( 黑) 一e m c m ! ( 2 r m 2 ) m ， 其中c 为常数所以当a 赤时有 又对每一个t ，上面的不等式成立，于是取积分再利用f u b i n i 定理可得 e f b e a f a ) d t ) = e ( e ) 认， 其中【口，6 】为任意有界区间( 下同) ，故对a 赤有 考虑 b e x l f ( t ) f f d t = f b e x f 2 ( t ) d t 0 ，( 4 3 ) 式仍然成立，选取u ，使得 2 a m 2 z n 2 吒2 1 ， 二未篇 1 3 2 ， 胀 卜 e m 妥l 删 (妁-、l卸 氢嚷 = 0 ，e a i f l 2 在每个有界区间上是几乎必然可积的 因为函数y 0 c o s ( n t + 妒n ) ( n = 1 ，2 ，) 是连续且一致有界的，我们可以得到 以下推论 推论4 2 1 设z n 是复数列，l z 。1 2 0 ，e n f 严在每个有界区间上是几乎必 然可积的 推论4 2 2 【l 】若z 。2 0 ，由该级数定义的函 数f ( ) ，几乎必然满足条件e f 2 l 1 ( 0 ，2 7 r ) 1 5 厶 厶 咖 跏 厶 矗 e n 心 h 脚脚 = = g g 令 湖北大学硕士学位论文 4 3 随机三角级数的收敛性 引理4 3 1 【1 】考虑随机三角多项式p ( t ) = e 厶厶( t ) ，其中，n 是次数不超 过n 的实或复三角多项式，矗是次正态序列，是有限和，则 p ( 1 l p 怯c ( 蝥l n ) ) 丽1 ， 其中c 为一绝对常数、 引理4 3 2 f 1 】考虑s 个变量的随机三角多项式 v ( t m t ， ) = 厶厶( 圮t 2 ， ) ， 其中厶是次数小于等于 r 的复三角多项式， 厶) 是一个次正态序列，是有限和， 则 p ( 1 i p i | c ( s 蝥l n ) 1 7 2 ) n e 一， 其中c 是一绝对常数 引理4 3 3 考虑随机三角多项式v ( t ) = e 厶厶( t ) ，其中厶是次数不超过的 实或复三角多项式，1 ，已，靠，是服从参数为7 1 ， r 2 ，的实次 高斯序列，j l s u p r n c ( ee l f h i l nn ) ) p ( 1 l p l l a ( l i 厶| j 乙l n ) ) 1 n 2 类似地，对于含有多个变量的随机三角多项式，我们有以下结论 引理4 3 4 考虑8 个变量的随机三角多项式 p ( t l ，t 2 ，厶) = 厶厶( m t ，t o ) ， 其中厶是次数小于等于的复三角多项式，f l ，已，厶，是服从参数 为n ，死，的实次高斯序列，且s u p 【) ，是有限和，则 n p ( 1 l p l l c ( s i i 厶。蝥l n v ) 1 2 ) 一2 e 一， 其中c 是一绝对常数 若厶是复变量，则有以下结论 引理4 3 5 考虑随机三角多项式p ( t ) = e 厶a ( t ) ，其中厶是次数不超过 的实或复三角多项式，f 1 ，已，厶，是服从参数为n ，死，的复 次高斯序列，且s u p ) ，e 是有限和，则 n p ( 1 l p i i c ( 蝥l n ) ；) 丽2 ， 其中c 为一绝对常数 证明首先设厶是实三角多项式， p ( t ) = r e 厶厶( t ) + i m 厶厶( ) 1 7 湖北大学硕士学位论文 由引理3 2 2 口】知r e 厶和i 嘛都是月匣从参数为的实次吊斯变量，则由引理4 3 3 - i 得 p ( 1 l r e p ( t ) l l c , ( y _ i i f 1 1 2 l nn ) ；) 丽1 ， p ( 1 l l m p ( t ) l l c 2 ( e1 f n h 乙l n ) ) 丽1 ， 故 p ( 1 l p 怯c ( 乙h l ) ；) 丽2 ， 其中c = a + c 2 为一绝对常数当厶是复三角多项式时，证明方法与上述过程类 似，故略去 类似地，对于含有多个变量的随机三角多项式，我们有以下结论 引理4 3 6 考虑s 个变量的随机三角多项式 p ( t m t ，以) = 矗厶( t 1 ，t 2 ，以) ， 其中厶是次数小于等于的复三角多项式，l ，已，矗，是服从参数 为乃， r 2 ，的复次高斯序列，且s u p ， o o ，是有限和，则 n p ( 1 l p l l c ( s i i a l l 21 n ) 垆) 2 n 一2 e 一， 其中c 是一绝对常数 引理4 3 7 【1 】在复b a n a c h 空间中，考虑随机级数e n p 扎及e 2 ”，其 中是b a n a c h 空间中的向量，l ，e 2 ，是r a d e r a a c h e r 序列，u 1 ，忱，是s t e i n h a u s 序列如果它们中有一个a s 收敛( 或有界) ，那么另一个也是a s 收敛( 或有界) 从现在起，对于一般的随机三角级数kc o s ( n t - i - 如) ，我们记 勺：睡。叫5 泸叭_ ， 1 8 4 随机三角级数的性质 在级数( 4 1 ) 的情形下，我们有 = b 。z ：卜叭， 定理4 3 1 若 岛：j = 0 ，1 ，2 ，) 数( 4 1 ) a s 表示一连续函数 是单调递减序列，且岛 c ( 毗。篙1 z 粉去， i 主i b o r e l c a n t e l l i ：ji 理，我们有 此即 因此若 。篷z n s ， r “= 。( 2 ；( 2 k + l - - 1 c s j ，2 ) 5 ) a s ， 壹2；k+1-1k=lj = 2 驴卜 2 5l ( 岛) 2l o o ， 膏 ( 4 4 ) 则级数r ( t ) a s 致收敛所以( 4 4 ) 式是级数( 4 1 ) a s 表示一连续函数的 1 9 芝一 = r 湖北大学硕士学位论文 一个充分条件 若 岛：j = 0 ，1 ，2 ，) 是单调递减序列，则 2 知罐+ 2 ；( 2 薹1 譬) 5 2 七s 堂， 从而( 4 4 ) 等价于2 七罐 ，后者又等价于岛 o o 这便对复次高斯序列 情形证明了定理 现在设e 为无限维圆环，对于级数( 4 2 ) 也有类似的结论，即下面的定理 定理4 3 2 记e 上所有连续函数构成的b a n a c h 空间为c 考虑级数( 4 2 ) ，对 于将，分成有限子集的划分a 0 = 1 ，2 ，) ，若 ( ( a ) ) 一2e x p ( - s ( a j ) ) o o ， j = l ( s ( 鸟) 7 ( a ) l n ( 如) ) ) 时有 i i 弓i i c ( s ( 如) 7 ( 如) i nn ( a j ) ) ， 故 ) i i p j l l = 蚓i 。+ i i p j l l j = li = l j = ) + 1 ( u ) i i p j l l + c ( s ( a i ) 7 ( a j ) i nn ( a j ) ) 1 7 2 山 剐 一 冷如 以 触 呜 以 触 湖北大学硕士学位论文 则弓a s 一致收敛，即级数( 4 2 ) 在c 中收敛 j = 1 由于r a d e m a c h e r 序列为特殊的次高斯序列。可以得到以下推论： 推论4 3 3 考虑e 上所有连续函数构成的b a n a c h 空间c 中的随机三角级数 p ( t ) = - i - x n c o s t t 。t ， n e l ( 4 7 ) “士”号的选择是r a d e 咖c h e r 序列对任意将，分成有限子集的划分如0 = 1 ，2 ，) ，若 ( ( 如) ) 一2e x p ( - s ( a j ) ) ， j = l z ( s ( a i ) r ( a j ) l nn ( a i ) ) 1 2 0 0 j = l 则级数( 4 7 ) 在c 中收敛 由引理4 3 7 及推论4 3 3 可得到 推论4 3 4 考虑e 上所有连续函数构成的b a n a c h 空间c 中的随机三角级数 p ( t ) = e 2 椭“z n c 0 8 n 。t ， ( 4 8 ) n e i w 是s t e i n h a u s 序列对任意将j 分成有限子集的分划a i ( j = 1 ，2 ，) ，若 o o ( ( 如) ) qe x p ( - s ( a j ) ) o o ， j = l ( s ( 山) 7 ( 也) l n ( 如) ) 0 的一个函数 下面，我们假设级数( 4 1 ) 和级数( 4 2 ) 分别满足定理4 3 1 和定理4 3 2 的条件，由4 3 节的讨论可知级数( 4 1 ) 和级数( 4 2 ) 均a s 表示一连续函数， 用f i 乖f l p 分别表示级数( 4 1 ) 和级数( 4 2 ) 所代表的随机函数在附加一定的条 件后。我们可以得到关于f 和p 的连续模的结论 定理4 4 1 对于级数( 4 1 ) ，使得 b 。z ：卜2 嘲仉 ”， ( i ) 若p = 0 ，7 - 1 ， ( i i ) 若0 p 一 ， ( i v ) 若p = 1 ，- 1 7 1 + 7 ) ， 证明给定一正整数8 ，定义h 。= 2 一，v o = 0 ，u 1 = s ，讥= 8 2 七，帆= 2 仉及 r ( ) = n x n c o s ( 优+ 妒n ) k = 0 ，l ，2 ， 2 3 湖北大学硕士学位论文 p o ( t ) n 导数是 由于 我们有 根据引理4 3 5 知 名( ) = n n x nc o s ( 耐+ + 乏) 1 n c ( nm 淞舞， p 协c ，篙1z 淞去， 除开一4 概g d 、于2 ( 走+ 碍1 + ) ，从而小于2 2 - 2 5 的事件外，有 对每一个k ， 拈删；( 争z ：卜， 州；k 一。z ：卜， 这里以及下面的c 都是正整数，不依赖于8 或k ，每次都不一定相同m ( 4 9 ) 式得 n c ( s 壹j = l2 2 c p 一1 ，歹j z 7 ) 5 ， 4 随机三角级数的性质 若0 p 一 ，则 若p = 1 ，y 0 ，则 呱c v + 柳争励广 a c 8 1 + 1 2 8 ( 1 一所 a c 8 1 竹 n c s b k c ( s 2 七) 押2 呐2 c ，+ ；2 k = l 七= 1 若卢= 0 ，y 1 + 7 ) 类似地，我们可以得到无限维随机三角级数( 4 2 ) 也具有同样的性质 2 5 竹 ，c2 竹 勺 2 p 脚 c k 胁 湖北大学硕士学位论文 定理4 4 2 对于级数( 4 2 ) ，使得 ( i ) 若p = 0 ，7 - 1 ， ( i i ) 若0 p 嚣z ：) l = d ( 2 仉 ( i v ) 若p = 1 ，- 1 7 1 + ，y ) 证明令 日( t ) = c n x nc o s n0t n a l n e a t l = 1 ，2 ， 0 n 毛a t ( 4 1 0 ) 给定一正整数s ，定义h 。= 2 一，i ) o = 0 ， 3 1 = s ，仇= 8 2 七一，眠= t , k ，及 由于 毋七= n k r l n l 机+ l 厶z nc o s 0t k = 0 ，1 ，2 ， =8up i t - m l h 。 m t ) o 仉e , 。o ( m )m 仉t 【m ，) 黑卜叫妻i = 1i i 鲁( m ，) i i 厶一m i k u i a 局o ，、i 瓦1 2 6 ，1 一n 一 mp一 p b p 舌；训 = 0 r u 汹 k 4 随机三角级数的性质 其中m 7 = ( m ；，m ：，) 在t = ( t 1 ，t 2 ，) 与m = ( m l ，m 2 ，) 的连线上记 又 所以 o o 反忙 l = 1 由引理4 3 6 知 釉l = 1 蒹m ( 纠x 荨c o s ( 2 吮 w p , ( h ，) u 局o ( 危。) + u 毋l + 局2 + ( 。) ， w p , ( h 。) h 8 i i 磁恢+ 2 i i p l k l l p ( ”i l c ( s c a ，h m 0 0 除开一个概率小于2 对每一个七， l cls ( f ( 忐+ 南 知= 1 厂厂 t 乙o 一 l r i n l n , i = i 5 卜e 叫川 剐i n n 七+ - 引25)2nk+21ehi= 叫 a ) - li 胡i j 、n k l + ) ，从而小于2 2 2 8 的事件外，有 尸i i c c n m ，；( 。蒹。妻i = 1n ；z i ) 5 ：n ， 蜀七“c c n k + ，；( n k 、l n l n k + xz i ) 5 ：6 奄， 这里以及下面的c 都是正整数，不依赖于s 或七，每次都不一定相同由( 4 1 0 ) 式得 叩2n 2 = l r l n l n li = 1j = o i n i 力+ 1 2 7 z ： 砖 谚 渊 。 湖北大学硕士学位论文 ， 所以 若0 卢 1 ，则 f ，z ：、) ( ， v i n i v “ 0 0 2 j 川 2 j + 1i = 1 ( 2 - 2 0 歹铆s ( a ) 2 巧) ， 七+ 1 2 = 2 帆r l n l 一 ，则 若p = 1 ，y 0 ，则 l a cis f j = v k2 j m n l 2 a + 1 ”k + 1 2 一打 j = 铆七 k + l c ( s 2 七) 柳2 一捌 j = v k j = l2 叫肚n 矿 6 七c ( ( s 2 铲蚋 1 7 k + l j = - - v k 2 - 2 彩) a c 8 1 + 1 2 。( 1 一仂 a c 8 1 竹 n c s j l l 2 6 七c ( s 2 k ，_ z 1 + 1 2 卸2 c s 1 + 2 呐 k = 0 2 8 一 他； 舢。舢 脚 4 随机三角级数的性质 若p = 0 ，y 一1 ，则 在上述估计中用l n ( 丢) 代替s ，则在( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，( i v ) 的情形中除了一个概率小 于2 2 2 8 的事件外都有 。( k ) c 醒l n ( 6 ) 瓦1 ( 丸= 2 8 ) ， 6 分别为1 + 7 ， + 7 ，1 + 7 ，互1 ，由b o r e l c 柚t e l l i 引理，当七充分大时，上述不等式a s 成立 由于u 只( ) 是h 的增函数，我们a s 有：当九充分小时， u 只( 九) c 九p l n ( 6 ) 去 又 p ( t ) = 只( t ) ， 则 w p ( h ) = s u p ，。i p ( t ) 一p ( t ，) i = 。l 喇一 ，) it 7 = ( 巧，t )