（应用数学专业论文）线性奇异系统的稳定性及h∞控制问题.pdf

线性奇异系统的稳定性及h 。控制问题 刘丽丽 摘要稳定是实际系统正常运作的前提，稳定性问题是系统控制理论研究 的一个重要课题通过对李亚普诺夫方程的讨论来实现对控制系统的稳定性分析 和综合，是处理系统稳定性问题的一个重要方法多年来众多的学者提出多种不 同的广义李亚普诺夫方程，用来研究奇异系统的稳定性本文提出一种新的广义 李亚普诺夫方程，用于判定离散时间奇异系统的稳定性 h 。控制理论能够成功的解决鲁棒稳定及干扰抑制等问题，因此在控制领域 得到了广泛重视和充分发展h 。控制问题的讨论源于带外干扰的线性系统， 它的具体要求是通过为其设计动态补偿器，使得闭环系统对外干扰有一定的抑制 作用，且当外干扰不存在时，该动态补偿器仍能使闭环系统是渐近稳定的线性 系统在利用r i c c a t i 方程和r i c c a t i 不等式设计h o 。控制器方面得到比较完善的结 果在奇异系统中，早期的研究者用广义瞰c c a t i 方程和广义r i c c a t i 不等式设计 h o 。控制器，但广义p d c c a t i 方程本身的求解也还存在一定的问题由于线性矩 阵不等式有成熟的软件包可供使用，近年来线性矩阵不等式处理方法已成为研究 h o 。控制问题的一种主要方法本文用线性矩阵不等式处理方法研究了连续时间 奇异系统的h 。性能，状态反馈h o 。控制，动态输出反馈h 。o 控制，离散时间奇 异系统h o 。性能等问题 本论文中得到的主要结论有： ( 1 ) 给出了一种广义李亚普诺夫方程，来判定离散时间奇异系统的稳定性 类同于文献f 1 4 中所给出的判定连续时间奇异系统的一种广义李亚普诺夫方程的 构造，本论文构造了一种新的广义李亚普诺夫方程来判定离散时间奇异系统的稳 定性，并由其推出了离散时间奇异系统稳定的广义李亚普诺夫不等式条件 ( 2 ) 讨论了连续时间奇异系统的h 。控制问题首先把连续时间常规系统h 。 性能推广到连续时间奇异系统，给出了连续时间奇异系统正则、脉冲自由、稳定 及传递函数矩阵h 。范数界为7 的条件；其次给出了连续时问奇异系统状态反馈 h 。控制器存在的线性矩阵不等式条件及控制器的求解；最后讨论了连续时问奇 异系统动态输出反馈h 。控制器存在的线性矩阵不等式条件及反馈控制器的求 解，将问题转化为线性矩阵不等式的可行性问题 ( 3 ) 研究了离散时间奇异系统的h 。控制问题将离散时间常规系统中h 。 控制的结论推广到离散时间奇异系统；然后给出了离散时间奇异系统传递函数 h 。落数界为，y 的线性矩阵不等式条绊；最后给出了状态反馈h o o 控制器及动态 输出反馈h 。控制器的存在条件 关键词；奇异系统；稳定；李亚普诺夫方程；线性矩阵不等式；h o 。控制 s t a b i l i t yo f l i n e a rs i n g u l a rs y s t e ma n dh o oc o n t r o l p r o b l e m a b s t r a c t ：s t a b i l i z a t i o ni st h ep r e m i s eo f p r a c t i c a ls y s t e mn o r m a lo p e r a t i o n ， a n ds t a b i l i t yi sa ni m p o r t a n tt a s kf o rs y s t e mc o n t r o lt h e o r y , i ti saf u n d a m e n t a l t e c h n i q u ef o rs t a b i l i t ys t u d y t oa n a l y s i sa n d s y n t h e s i z es y s t e ms t a b i l i t yb yc o n s i d e r i n gt h el y a p u n o ve q u a t i o n f o rm a n yy e a r s ，n u m e r o u ss c h o l a r sh a v ep r o p o s e dm a n y k i n d so f g e n e r a l i z e dl y a p u n u ve q u a t i o nt os t u d ys t a b i l i t yo fs i n g u l a rs y s t e m t h i s p a p e rp u t sf o r w a r dak i n do fn e wg e n e r a l i z e dl y a p u n u ve q u a t i o n ，w h i c hi su s e dt o s t u d yt h es t a b i l i t yo fd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m h o oc o n t r o lt h e o r yc a ns u c c e s s f u l l ys o l v er o b u s ts t a b i l i t ya n dd i s t u r br e s t r a i n ， h e n c ei th a sb e e na b r o a d l yr e g a r d e da n df u l l yd e v e l o p e di nc o n t r o ld o m a i n t h e d i s s c u s s i o no ft h eh o 。c o n t r o lp r o b l e ms t e m sf r o mt h el i n e a rs y s t e mw i t he x t r a p e r - t u r b a n c e ，a n di t sd e t a i li st od e s i g nd y n a m i cc o m p e n s a t o r s ot h a tc l o s e dl o o ps y s t e m h a ss t a t e di n h i b i t o r ya c t i o nt oe x t r ap e r t u r b a n c e ，a n di fn os u c he x t r ap e r t u r b a n c e e x i s t s ，t h ed y n a m i cc o m p e n s a t o rs t i l lm a k e st h ec l o s e dl o o ps y s t e ms t a b l e u s i n g r i c c a t ie q u a t i o na n dr i c c a t ii n e q u a l i t y , m a n yp e r f e c tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e dt o d e s i g nh o oc o n t r o l l e r i ns i n g u l a rs y s t e m ，e a r l i e rs c h o l a r sd e s i g nh o oc o n t r o l l e ru s i n g t h eg e n e r a l i z e dr i c c a t ie q u a t i o na n dg e n e r a l i z e dp d c c a t ii n e q u a l i t y , b u tt h es o l v i n g o fr i c c a t ie q u a t i o ni ss t i l lap r o b l e m a sl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yh a sr i p es o f t w a r e p a c k a g et ou s e ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt h e o r yh a sb e c o m eam a i nt e c h n i q u et o s t u d yh o 。c o n t r o lp r o b l e mi nr e c e n ty e a r s i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s sh o 。 p e r f o r m a n c eo fc o n t i n u o u ss i n g u l a rs y s t e m ，h o os t a t ef e e d b a c kc o n t r o l ，h o oo u t p u t f e e d b a c kc o n t r o l ，h o 。p e r f o r m a n c eo fd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m ，e t c t h em a i nc o n c l u s i o n si nt h ep a p e ra r e ： ( 1 ) ag e n e r a l i z e dl y a p u n o ve q u a t i o ni sg i v e nt ov e r d i c ts t a b i l i t yo fd i s c r e t e s i n g u l a rs y s t e m i nc o m m o nw i t hc o n s t r u c t i o no fl y a p u n o ve q u a t i o nw h i c hc a n v e r d i c ts t a b i l i t yo fc o n t i n u o u ss i n g u l a rs y s t e mi np a p e r 1 4 ，w ec o n s t r u c ta g e n e r a l - i z e dl y a p u n o ve q u a t i o nt ov e r d i c ts t a b i l i t yo fd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m m o r e o v e r ， t h r o u g h i tw eg e tt h eg e n e r a l i z e dl y a p u n o v i n e q u a l i t yc o n d i t i o nt ov e r d i c ts t a b i l i t y o fd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e mw i t ht h a te q u a t i o n i i i ( 2 ) h c o n t r o lp r o b l e mo fc o n t i n u o u ss i n g u l a rs y s t e mi s d i s c u s s e d a b o v e a l l ，w eg e n e r a l i z et h eh o 。p e r f o r m a n c eo fc o n t i n u o u sl i n e a rs y s t e mt oc o n t i n u o u s s i n g u l a rs y s t e m ，a n dg i v e t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yc o n d i t i o nf o rr e g u l a r ，n o i m p u l s em o d e s ，s t a b i l i t yo fs y s t e ma n dh o on o r mb o u n d ，y ；a f t e r w a r d ，t h ee x i s t e n t l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yc o n d i t i o no fh o 。s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra n ds o l v i n go f c o n t r o l l e ra r eg i v e n ；a tl a s t ，w eg i v et h ee x i s t e n tl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yc o n d i t i o n o fh 。d y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e ra n dt h es o l v i n go fc o n t r o h e r ，a n dt r a n s f e r i ti n t ot h ef e a s i b i l i t yo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( 3 ) h 。oc o n t r o lp r o b l e mo fd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e mi sd i s c u s s e d w eg e n e r a l i z e h p e r f o r m a n c e o fd i s c r e t el i n e a rs y s t e mt od i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m ，a n dt h el i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t yc o n d i t i o no fh o on o r m b o u n d 7 i sg i v e n ，t h e ne x i s t e n tc o n d i t i o no f h s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra n dh ad y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r 扪g i v e n k e y w o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m ；s t a b i l i z a t i o n ；l y a p u n o ve q u a t i o n ；l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ；h c o n t r o l i v 学位论文独创性声明 7 2 8 7 6 8 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期； 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名： 一 日期： 第一章绪论 1 1 奇异系统的结构特性及应用背景 系统控制的理论和实践被认为是2 0 世纪对人类生产活动和社会活动产生重 大影响的科学领域之一建立在状态空间模型基础上的现代控制理论发展于2 0 世 纪5 0 年代末6 0 年代初，其主要特征是对系统分析和综合系统的状态空间模型 主要是通过状态变量理论来获得的，即：选择一些能充分刻画系统性质的变量， 按照这些变量之间的关系建立微分或代数方程，这样就形成了系统的数学模型 在众多的模型中有一种特殊的形式t e 壬o ) = a z ( 亡) + b “o ) ( 1 1 - 1 ) 【y ( t ) = c x ( t ) 其中x ( t ) 是系统的状态变量，u ( t ) 是系统的输入变量，y ( t ) 是系统的输出变量， a ，b ，g ，e 为适当维数的常量矩阵若e 为可逆矩阵，则上述系统方程可以写为 j 圣o ) = e - 1 4 。o ) + e - 1 b u ) ( 1 1 2 ) 【( t ) = c x ( t ) 就是经典的线性系统模型，在此我们把它叫做线性常规系统，若e 奇异，则我们 把这种模型所描述的系统称为线性奇异系统若e = f ，则上述奇异系统退化为 常规系统一般说来，奇异系统的结论完全适用于e 菲奇异的情形因此说，奇 异系统是比常规系统更具有广泛意义的系统 奇异系统首次被提到是在1 9 7 3 年【1 】，对其研究开始于2 0 世纪7 0 年代 末在许多文献中，奇异系统又被称为广义状态空间系统( g e n e r a l i z e ds t a t es p a c e s y s t e m s ) 、半状态系统( s e m i s t a t es y s t e m ) 、微分代数系统( d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a r i e s y s t e m s ) 、退化系统( d e g e n e r a t es y s t e m s ) 、约束系统( c o n s t r a i n e ds y s t e m s ) 等 2 - 8 系统( 1 1 1 ) 表示连续时间奇异系统，类似地线性时不变离散奇异系统表示 为 j e z 陋+ 1 ) = a z ( 七) + b 札( 忌) ， ( 1 1 3 ) i 口( k ) = g z ( ) 1 离散系统尽管区别于连续系统，却与之有众多相似的概念和平行的性质，因此许 多关于离散系统的研究都是建立在连续系统的平行研究的基础上无论是连续时 间奇异系统还是离散时间奇异系统，都是来源于许多实际的系统模型，对它们的 研究有着普遍的理论意义和实际意义 奇异系统广泛存在于工程系统、社会系统、网络分析、生物系统、时间序列 分析等系统中 例1 f 9 】：经济系统动态l e o n t i e f 模型 b x ( k + 1 ) = ( j a + b ) 。( k ) 一d ( k ) 其中x ( k ) 是n 个部门的产量组成的n 维向量，ae r “是输入输出矩阵， b o r 一是投资系数矩阵，d ( k ) 是表示需求或消费的向量这是一个离散时间 奇异系统模型 例2 1 9 】：包含管理在内的石油裂化模型 峦l = a 1 1 2 1 + a 1 2 x 2 + b l u + 乃， 0 = a 2 l o l + a 2 2 x ：+ b 2 u + f 2 ， 其中z - 表示裂化过程中新生成温度，阀门位址，增压器能量等的向量， 示商业利益、管理、政策等的向量，是调整值向量，代表外部扰动 个连续时间奇异系统模型 1 2 奇异系统稳定性的研究现状 0 2 是表 这是一 稳定性问题是各种控制问题都要面对的一个首要问题，无论是一般系统还 是奇异系统，对其施加控制的第一目标要使系统稳定1 8 9 2 年，俄国著名学者 l y a p u n o v 在其所完成的具有深远影响和划时代意义的博士论文运动稳定性的 一般问题中，对稳定性问题进行了深入的研究，建立了迄今为止仍起着主导作 用的稳定性理论的一般研究框架与方法由著名的l y a p u n o v 定理知道，线性时 不变系统的渐近稳定性与l y a p u n o v 方程之间有一种对应关系，通过对l y a p u n o v 方程的讨论来实现对控制系统的稳定性问题的分析与综合，是处理稳定性问题的 2 一个重要方法多年以来，利用l y a p u n o v 方法来研究稳定性一直都是一个热门课 题而对于常规系统稳定性的研究已趋于完善，人们将目光放在奇异系统上来 近几年来人们对奇异系统的稳定性研究而得到l y a p u n o v 方程和不等式就有十几 种，其中著名的l y a p u n o v 方程和l y a p u n o v 不等式如下z ( 1 ) l e w i s 1 0 j ( 1 9 8 6 ) 给出了广义l y a p u n o v 方程： a t v e + e t v a + e t e t c e = 0 并有结论t 正则系统是可观测的，则系统脉冲自由、稳定的充要条件是l y a p u n o v 方程有正定解v ( 2 ) m a s u b u c h i 1 1 ( 1 9 9 7 ) 给出广义l y a p u n o v 不等式 e v t t y a + ：a y r r v e o ，l y a p u n o v 方程有半正定解 ( 4 ) 张庆灵 1 a ( 1 9 9 9 ) 给出了广义l y a p u n o v 方程 y t a + a t v = 一w l e r y = y t e o 并有：奇异系统正则、脉冲自由、稳定的充要条件是对任给的w 0 , l y a p u n o v 方程有解 ( 5 ) i s h i h a r ap 4 ( 2 0 0 2 ) 给出了广义l y a p u n o v 方程 a t ( p 目+ e o q ) + ( p e + e o q ) t a + g = 0 并有：若连续时间自治奇异系统强可观测，岛舻( n - r ) 为满足e t 岛= 0 的列 满秩矩阵，则奇异系统正则、脉冲自由、稳定的的充要条件是l y a p u n o v 方程有解 ( p q ) e r ”“x r ( n - r ) ”，其中p 0 上述均为连续时间奇异系统的成果，类似的也有离散时间奇异系统的相应结 论 ( 6 ) 张庆灵 1 s ( 1 9 9 4 ) 给出了广义l y a p u n o v 方程 ia t y a e t y e = 一e r w e ， 【r a n k ( e t v e ) = r a n k e 并有；奇异系统正则、因果、稳定的充要条件是对任给的w 0 ，l y a p u n o v 方程 有半正定解 ( 7 ) 张庆灵 1 6 ( 2 0 0 2 ) 给出了广义l y a p u n o v 方程 a t v a e t v e = 一w ： 并有：若a 非奇异，奇异系统稳定的充要条件是对任给的w 0 , l y a p u n o v 方程 有对称解v 满足i n 十( 矿) = r a n k e ，i n + ( 矿) + i n 一( y ) = 住 文献 1 7 - 2 1 】中也对稳定性做了研究，理论研究的目标是寻找较好的李亚普 诺夫方程，使得从较少的已知条件可以得到系统较多的信息 1 3 奇异系统h 。控制的研究现状 1 9 8 1 年z a m e s 首次提出了著名的h o 。控制思想【2 2 z a m e s 考虑了这样一个 单输入单输出的设计问题，即对于属于一个有限能量集的干扰信号，设计一个控 制器使闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小由于传递函数的h o o 范数 可以描述有限能量到输出能量的最大增益，所以表示上述影响的传递函数h 。范 数作为目标函数对系统进行优化设计，这就可使具有有限功率谱的干扰对系统期 望输出的影响最小 h 。控制理论的研究主流可分为两大阶段到1 9 8 4 年为止是第阶段在 此阶段，人们更多的是考虑多变量系统，把在使控制系统内部稳定的控制器集合 中寻找一个使传递函数矩阵的h 。范数最小的解的问题通过稳定化的控制器的 4 y o u l a r 参数化变换成模型匹配或一般距离问题然后再将其变换为n e h a r i 问题 来求解到1 9 8 8 年为止是第二阶段在此阶段，人们不采用输入输出传递函数矩 阵的描述，而是直接在状态空间上进行设计此类方法不仅设计过程简单，计算 量小，而且所求的控制器的阶次数较低，结果特征明显这一阶段的标志是1 9 8 8 年d o y l e 和g l o v e r 等在全美控制年会上发表了著名的d g k f 论文，文中给出了 标准h 2 和h 。问题的状态空间解法。证明了h o 。控制问题的解可以通过求解两 个适当的r i c c a t i 方程得到随着常规系统h 。控制问题理论的完善【2 3 2 5 ，奇异 系统h o o 控制理论也得到了发展f 2 6 3 7 m o r i h i r a 和t a k a b a 分别于1 9 9 3 和1 9 9 4 年用j 谱分解法解奇异h 。控制问题f 2 6 ，2 7 ，w e n 和y a l i n g 用广义特征值来解奇 异h 。控制问题【2 8 】这两种方法都是在满足一定的假设条件下，用广义黎卡提 方程给出控制器的解1 9 9 7 年，m a s u b u c h i 等人提出了用两个广义黎卡提不等 式来解决h o 。控制问题，才从本质上克服了以上两种假设条件所带来的限制【2 。 国内有学者将奇异系统状态反馈h o 。控制问题等价于一个常规系统状态反馈h 。o 控制问题，并用l m i 方法给出了控制器的存在条件及解f 3 7 1 目前，理论研究主 要集中在进一步寻找行之有效的解法，使控制系统设计更加精确，更加实用，更 加符合实际的需要 5 1 4 本论文的主要工作及结构安排 本论文主要研究了离散时间奇异系统的稳定性及奇异系统h 。o 控制问题， 其中包括离散时间奇异系统的稳定性的判定；连续时间奇异系统的h o 。性能，状 态反馈h 。控制，动态输出反馈h 。0 控制；离散时间奇异系统h 。性能等得到 的主要结论有t ( 1 ) 类同于文献 1 4 】中所给出的判定连续时间奇异系统的一种广义李亚普诺 夫方程的构造，构造了一种新的广义李亚普诺夫方程 a t ( 岛q + p + q t 瑶) a e r p e + c t c = 0 来判定离散时间奇异系统的稳定性 ( 2 ) 推广了常规系统h 。性能，给出了奇异系统h 。性能界为7 的条件；讨 论了连续时间奇异系统存在状态反馈h o 。控制器及动态输出反馈h o 。控制器的 5 线性矩阵不等式条件，以及反馈控制器的求解，并将问题转化为线性矩阵不等式 的可行性问题 ( 3 ) 将离散时间常规系统中h 。o 控制的结论推广到离散时间奇异系统，给出 了离散时间奇异系统传递函数h 。范数界为叮的线性矩阵不等式条件 本论文结构安排如下； 第一章，绪论首先给出了奇异系统的结构特性及应用背景；其次给出了本 论文中所讨论的奇异系统的两个问题一稳定性问题和h 。控制问题的研究现状； 最后给出本论文的主要结论 第二章，离散时间奇异系统的l y a p u n o v 稳定性首先给出了离散时间奇异 系统正则、因果、稳定等概念；然后介绍了离散时间常规系统的李亚普诺夫稳定 性；最后构造了一种广义李亚普诺夫方程，用于离散时间奇异系统稳定性的判定 第三章，连续时间奇异系统h o 。控制首先给出了连续时间奇异系统正则、 脉冲自由、稳定等概念；然后给出了连续时间奇异系统传递函数矩阵h o 。范数界 为7 的条件；最后给出了连续时间奇异系统存在状态反馈h o 。控制器和输出反馈 h o 。控制器的线性矩阵不等式条件 第四章，离散时间奇异系统h o 。控制首先给出了离散时间奇异系统中e e 增益性能指标及传递函数h o 。范数的定义；然后给出离散时间奇异系统传递函数 矩阵h 。7 芭数界为7 的线性矩阵不等式条件；最后给出了可h 。状态反馈和可 h o 。输出反馈的条件 6 第二章离散时间奇异系统的l y a p u n o v 稳定性 5 2 1 系统描述和预备知识 离散时间奇异系统是一类变量在瞬时点取值的系统，它与连续时间系统的不 同在于系统信号是样本数据的形式随着数字计算机的发展，离散系统在控制理 论中起着重要的作用 考虑离散时间奇异系统 ie x ( k + 1 ) = a x ( k ) 【可( 膏) = g z ( 七) 其中x ( k ) 即是状态向量，y ( k ) 础是输出向量 是常数矩阵，e 为奇异矩阵 ( 2 1 1 ) ec r “，a r | n “，cc 1 p 。“ 离散时间奇异系统的正则和因果是通过时间序列( 2 1 2 ) 来定义的 e ( 2 + 1 ) = a 2 ( “) ，：o ，1 ，l ，( 2 1 2 ) iy ( 南) = g ( ) 其中x ( k ) e r 是状态向量，y ( k ) r p 是输出向量，ee r ”，ae r “，c 舯” 是常数矩阵，e 为奇异矩阵 定义2 。1 1 1 9 时间序列( 2 1 2 ) 称为正则的，如果矩阵束陋，a ) 是正则的， 即存在8 c 使d e t ( s e a ) 0 、 l u e n b e r g e r 指出只有在时间序列正则的条件下，才可以选择完全条件使状态 唯一的由完全条件和输入决定为保证解的唯一性，一般要使得其正则离散时 间奇异系统为一无穷时闻序列，故时间序列正则。则奇异系统正则 在正则性条件的假设下，有以下引理 引理2 1 1 9 1矩阵束，a ) 是正则的，当且仅当存在两个非奇异矩阵 q ，p r ，“使 q e p = d i a g ( i 。，) ，q a p = d i a g ( a 1 ，k ) 其中nl + 扎2 = a 1e r i ”- ，ne r “。“2 是幂零的 7 定义2 1 2 【9 】时间序列( 2 1 2 ) 称为是因果的，如果它的状态。( ) ( o k 玉l ) 在任何点k 都唯一的由初始条件x ( o ) 和输入u ( o ) ，乱( 1 ) ，u ( k ) 完全决定否则， 称为非因果的 命题2 1 1时问序列( 2 1 2 ) 是因果的充要条件是d e g ( d e t ( s e a ) ) = r a n k e 命题2 1 。2时问序列f 2 1 。2 ) 是因果的充要条件是n = 0 ，系统没有无穷远 点极点 定义2 1 3 【9 1时间序列( 2 1 2 ) 称为 ( 1 ) 可观测的，如果它在任何点k 的状态z ( 南) 都可以由 u ( i ) ，v ( o ，i = 0 ，1 ， ，q 唯一决定 ( 2 ) 因果可观测的，如果它在任意时间点k 的状态z ( 南) 都可以由初始条件 x ( o ) 和前k 个输入钍( i ) 及前k 个可测输出v ( i ) 唯一决定 定义2 1 4 【9 1离散时间奇异系统( 2 1 1 ) 是 ( 1 ) 因果的，如果时间序列( 2 1 2 ) 是因果的 ( 2 ) 有限动态可观测的，如果对任意充分大的l 之行，时间序列( 2 1 2 ) 是可 观测的 ( 3 ) 因果可观测的，如果对任意充分大的l 礼，时间序列( 2 1 2 ) 是因果可 观测的 引理2 1 2 1 9 离散时间奇异系统( 2 1 1 ) 是可观测的( 因果可观测的) 当且 仅当连续时间奇异系统 r 酬。刊“o 邶叫曲 ( 2 1 3 ) iy ( t ) = 仇( t ) 是可观测的( 脉冲可观测的) 命题2 1 3离散时间奇异系统( 2 1 1 ) 是 1 ) 有限动态可观测，如果 r i s e a r a n kl f口 l 8 = n ，v s c 2 ) 因果可观测，如果 ea 0e 0g = n + r a n k e 3 ) 强可观测，如果系统( 2 1 1 ) 是有限动态可观测和因果可观测的 定义2 1 5 9 1 离散时间奇异系统( 2 1 1 ) 称为是稳定的，如果它的自治状态 响应可容许初始条件x ( o ) 和k o 满足 i i x ( k ) l l o 卢i i x ( o ) l l ，k = 0 ，1 ，a 0 ，0 0 ，因此v t a t 2 p n a l 2 v 0 ， t 四c 2 v 0 表明岛= o ，v k e r c 2 又由( e ，a ，c ) 是强可观测，故因果可观 测， 如c 2 2 列满秩，故= 。，因此k r a 。z = 。，亦即a z z 是非奇异的 下面来证明稳定性对式c 。2 z ，右乘 一a 三如，； ，左乘 ：一a 砻 ， 融卜 。卸 其中 v l = ( a 1 1 一a 1 2 a 身a 2 1 ) t p l l ( a l l a 1 2 a 嘉如1 ) 一p 1 1 十( g 1 一c b a 者a 2 1 ) t ( q g a 爿a 2 1 ) ， v 2 = ( 4 l l a 1 2 a 署a 2 1 ) t p 2 l a l 2 + ( a 1 1 一a 1 2 a 署a 2 1 ) r ( p 1 2 + q ) a 2 2 + ( b c j a 看4 2 1 ) t 岛 v 3 = v ， v 4 = a 琶p 1 1 a 1 2 + a 易( 尸2 1 + q i ) a 1 2 + a 毛( 尸1 2 + q t ) 4 2 2 + a t 2 ( p 2 2 + q 2 + q t ) a 2 2 + c t c 2 ( e ，a ，o ) 是强可观测，- 。一a 1 2 a 三；i a 2 i ，c - 一g 2 a 暑a 2 1 ) 在常规状态空间 意义下是可观测的，只1 0 为v l = 0 的解，故( a l l a 1 2 a 暑a 2 1 ) 是稳定的。 ( 1 ) ： ( 2 ) 由( e ，a ，c ) 是正则、因果和稳定的， a 2 2 是非奇异的，( a 1 一 a 1 2 a 矗a 2 1 ) 是稳定的容易验证g l e ( 2 2 1 ) 的一个解可以给出 尸= s ：1 三。 s r , q = w - 1 q - q 。 酽 p 1 1 0 为v 1 = 0 的解； p 2 2 0 为任意正定阵； q 1 = 一a 砻c 罗( a c 2 a 者a 2 1 ) ( a 1 1 一a 1 2 a 丢a 2 1 ) 一1 一a 2 - 2 t n t l 2 q l ， q 2 从x 7 4 = 0 中可解出 ( 2 ) 辛( 3 ) 易得。 口 引理2 2 1 i 14 】对系统( e ，a ，g ) ，考虑同定理2 2 1 证明中的奇异值分解，则 下列命题等价； ( 1 ) 岛= 0 c z ，r a n t 考 = r 。札。e ( 3 ) 存在矩阵d ，使c = 0 e 此外，若r a n m 三 = r 肌m e ，系统，a ，回正则、因果的充要条件是系 统因果可观测 推论。2 系统c e ，a ，g ，强可观测，a 非奇异，满足r 。础 言 = r 。n * e ， 则系统因果、稳定的充要条件是广义李亚普诺夫方程 a t p a e w p e + c t c = 0 ，( 2 2 4 ) 有解p 满足e 丁p e 之o , r a n k ( e t p e ) = r a n k e 。 证明充分性t 系统强可观测，故因果可观测由引理2 , 2 1 、系统因果系 统稳定性可由定理2 2 1 ( 3 ) 辛( 1 ) 证明过程得 必要性：可以验证 p = s 一a 茅p 4 1 1 琶只。a 砻- a p 艺n 只a l 。2 a a 。f 。) a 爿 s t ， 为c l e ( 2 2 4 ) 的解，其中p 1 l 0 为v 1 = 0 的解显然满足 e r p e = t _ 1 ：1 ： t 。，r 帆* c e r p e ，= r 帆m e 推论2 2 2 奇异系统( 目，a ，c e ) 因果，有限动态可观测 统( 最a ，c e ) 稳定的充要条件是广义李亚普诺夫方程 a t p a e r p e + e t c t c e = 0 a 非奇异，则系 ( 2 2 5 ) 有解p 满足e t l 尸e o , r a n k i e t p e ) = r a n k e 证明a 非奇异，系统( e ，a ，c e ) 正则，( e ，a ，c e ) 因果，有限动态可观 测，由引理2 2 1 ，旧，a ，c e ) 强可观测，由推论2 2 1 得结论 推论2 2 ，3 奇异系统，a ) 中，a 为非奇异矩阵，e oe r “( 一) 为满足 e r e o = 0 的列满秩矩阵，其中r = r a n k e 则下列命题等价： ( 1 ) 系统( 目，a ) 正则、因果、稳定 ( 2 ) 下列广义的李亚普诺夫不等式有解( p iq ) e r ”x r ( n - r ) ”，其中p 0 a t ( e o q + p + q t 瑶1 ) a e t 尸e 0 ( 1 2 7 ) ( 3 ) 下列不等式组合有解 a t x a e t x e 0 满足 a t ( e o q + p + q t 霹) a e t 尸e + c t c = 0 ， a t ( e o q + p + q t 瑶) a e t p e = 一c r c 0 1 3 ( 2 ) 辛( 3 ) 显然。 ( 3 ) j ( 1 ) 定理2 2 i 证明中，令q = 0 可得 5 2 3 小结 本章首先给出了离散时间奇异系统正贝f j 、因果、稳定等定义；接着介绍了离 散时间常规系统稳定的李亚普诺夫方程；最后将李亚普诺夫方程方法延伸到奇异 系统的情况，给出了一种广义李亚普诺夫方程，将离散时间奇异系统正则、因果、 稳定的的判定归结为这种广义李亚普诺夫方程的求解问题，同时给出了离散时间 奇异系统正则、因果、稳定的的李亚普诺夫不等式条件 1 4 第三章连续时间奇异系统h 。控制问题 3 1 系统描述和预备知识 考虑线性奇异系统 j e 圣= a 。+ b