（概率论与数理统计专业论文）几类再保险风险模型的研究.pdf

摘要 风险理论是金融学和精算学的基础，其核心问题是破产理论的研 究现代风险理论主要是借助随机过程等数学工具发展起来的，它为 各金融风险部门的经营管理提供了理论依据和实际操作指导本论 文应用经典鞅论和随机点过程等理论研究分析常利率下带干扰的超 额再保险风险模型和保费随机收取的再保险风险模型，得到了最优 自留额及与破产相关的一些重要变量的表达式或性质 本文由五章组成 第一章是绪论，介绍了风险理论与经典风险模型，重点介绍古典 风险模型，并给出本文的结构 第二章介绍一些预备知识，包括齐次p o i s s o n 过程、m a r k o v 过程、 鞅等在本文中需要用到的一些基本知识 第三章到第五章是本文的主要部分，介绍我们的研究结果 在第三章中，我们研究推广的再保险泊松模型：在经典的风险模 型基础上，构造了一种带干扰的常利率再保险风险模型对此模型进 行分析和研究，我们得到了其破产概率上界及最优白留额表达式 在第四章中，针对在经典风险模型中，假定不同单位时间内收取 的保单数是一样的这一局限性，将保单数量推广为一个随机变量，研 究带干扰的再保险p o i s s o n 风险模型，得到了有限时间破产概率上界 和l u n d b e r g 不等式 在第五章中，我们研究较第四章模型更一般的一类风险模型：每 张保单的保费是随机变量，研究带干扰的保费随机收取的再保险风险 模型，得到有限时间破产概率上界和l u n d b e r g 不等式 i 关键词鞅，破产概率，l u n d b e r g 不等式，最优自留额 a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h r e ek i n d so fn e wr i s km o d e l so ne x c e s s r e i n s u r a n c e t h eo p t i m a lr e t e n t i o na n ds o m eq u a n t i t i e sr e l a t e dt ot h er u i n p r o b l e m t ot h em o d e l sa reo b t a i n e d t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ef i r s tr e c a l ls o m er i s kt h e o r ya n dc l a s s i c a lr i s k m o d e l si ne x c e s sr e i n s u r a n c e t h e nw eg i v eas i m p l es k e t c ho fs t r u c t u r e i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ep r e s e n ts o m ep r e l i m i n a r i e so np o i s s o n p r o c e s s ，m a r k o vp r o c e s s ，a n dm a r t i n g a l e s i nt h et h i r dc h a p t e r , w es t u d yt h er e i n s u r a n c er i s km o d e lw i t hc o n s t a n t r a t e sa n dr a n d o md i s t u r b a n c e ，w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a l r i s km o d e l t h eu p p e rb o u n do ft h ef i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t ya n dt h e o p t i m a lr e t e n t i o na r eo b t a i n e dt h e r e i nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r , w es t u d yt h e d o u b l e p o i s s o n r e i n s u r a n c e r i s km o d e lw i t hd i s t u r b a n c e ，a s s u m i n gt h a tt h en u m b e ro fp r e m i u m si s r a n d o m t h eu p p e rb o u n do ft h ef i n i t e - t i m er u i np r o b a b i l i t ya n dt h e l u n d b e r gi n e q u a l i 哆o f t h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t ya r ed e v e l o p e d i nt h ef i n a lc h a p t e r , w es t u d yam o r eg e n e r a lr e i n s u r a n c er i s km o d e l w i t hd i s t u r b a n c e ，w h e r eb o t ht h en u m b e ro fi n s u r a n c eb i l l si nd i f f e r e n t t i m eu n i t sa n dt h ep r e m i u mo fd i f f e r e n ti n s u r a n c eb i l l sa r er a n d o m v a r i a b l e s s i m i l a rr e s u l t st ot h el a s tc h a p t e ra r eo b t a i n e df o rt h em o d e l i i i k e y w o r d s m a r t i n g a l e ，r u i np r o b a b i l i t y , l u n d b e r gi n e q u a l i t y , o p t i m a lr e t e n t i o n i v 硕士学位论文第一章绪论 1 1 破产理论简介 第一章绪论 当今社会人们已经习惯用“风险“这个词汇来描述各种不确定性事件，风险 从狭义的角度讲，就是可能产生不利后果的不确定性事件( u p 纯粹风险，排除了 投机风险) 在现实生活中，处理风险的一种手段就是保险“无风险，则无保险 ， 于是保险公司应运而生保险公司是经营风险的特殊金融服务机构尽管保险人 是风险的经营者但并不意味着保险公司就不存在风险，保险公司在考虑其实际资 产与实际负债的差额是否超过了“破产临界点时，往往强调的是“破产 这个 后果发生的概率，那么保单的定价、利率的波动、分红以及通货膨胀等等这些因 素都会对保险和理赔产生影响，这些问题解决的好坏对公司能否顺利运营起着至 关重要的作用破产理论就是通过建立和分析这些保险业务的随机风险模型来 回答这些问题的 目前，破产理论的问题已经成为保险精算学研究的重点，破产理论研究的是 保险人长期的财务状况的变化更确切地，使保险人的盈余随着业务的发展而产 生的变化，盈余为负成为破产破产理论的主要问题包括破产发生的概率，若可 能破产何时破产，破产时的负债会有多大，影响破产的因素有哪些，如何控制这 些因素进而控制破产的发生或者使得作为评价保险公司偿付能力的数量指标一 破产概率最小，等等这些问题的探讨有助于保险公司的赔付能力管理聚合风 险模型是将所有的保单视为一个整体，以每次理赔额作为基本对象来建模该风 险模型中，理赔的到达次数用一个随机点过程来表示，由保险人支付的每次个别 理赔额表示为一类随机变量( c 1 0 ， 1 2 ，【2 8 ， 4 7 1 ，【4 9 】) 为了维持公司正常经 营运作，保险人按照“相对安全系数附加”来收取保费此外，通常还假设保险 硕士学位论文第一章绪论 公司有一定的初始准备金在不考虑利率、通货膨胀、运营费用和支付红利等因 素的前提下，保险公司的盈余可以划分为两个部分：具有不确定性因素的理赔作 为负债部分，保费收入和初始准备金组成资产部分，保险人在某时刻的盈余表示 为该时刻保险人的资产部分与负债部分的差额当保险公司在某时刻的盈余小 于零的时候，我们称之为“破产”发生了虽然此时并不意味着实际情况中保险 公司真的即将倒闭，如保险公司可以通过追加资本、提高保费率来维持运营，但 是它确实能够作为保险公司财务预警系统的一个重要指标 在非寿险精算领域，风险理论是一个理论基础由于其对非寿险精算具有特 别重要的作用，国外保险业发达国家尤其北美和欧洲在有关这个领域的研究十分 活跃，专门研究非寿险精算的精算国际组织有非寿险精算研究会( a c t u a r i a l s t u d i e si nn o n - l i f ei n s u r a n c e ，a s t i n ) ，国际上有代表性的刊物主要有北美的 i m e ( i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ) 和欧洲的s c a n d i n a v i a na c t u a r i a l j o u r n a l 但我国在这个领域的研究有很大差距，无论理论上还是实际应用上。加 强在这方面的研究都具有十分重要的意义 1 2 风险模型简介 1 2 1l u n d b e r g - c r a m e r 经典风险模型 给定概率空间( q ，f ，p ) ，以下的随机变量均为该空间上的随机变量 ，( f 保险公司在f 时刻的盈余由下式给出：u ( o = u + c t - 五，f 0 ， 其中“为初始资本，c 是保险公司单位时间征收的保险费，以，( 七1 ) 表示第k 次索赔额，n ( t ) 表示至时刻t 为l l z 发生的总索赔次数 上述模型的第一个基本假设为独立性假定： 假定1 1 ( 独立性假定) 假定 鼍，七1 是恒正的、独立同分布的随机变量序列， 2 硕士学位论文第一章绪论 ( f ) ；f o ) 是以允u o ) 为参数的p o i s s o n 过程；且与 五；后1 ) 相互独立 记 f ( 功= 尸( 五功，坛0 = 研五】= f 【1 一尸 ) l a x ； 盈余过程缈( f ) ；f 0 ) 的一条样本轨道示于图1 - 1 中 j u 五互五7 n ( t ) 以下恒记s ( f ) = 五，v t _ o ， 图1 1 它表示至时刻t 为止发生的索赔总额由模型的独立性假定知 e s o ) 】= e 【o ) e 五】= 助f 保险公司为运作上的安全，要求 c t e s o ) 】= ( c 一五弘，t 0 ，即c 彳或c = ( 1 + 秒) 五，0 0 为此需要下述安全负载假定： 假定1 2 ( 相对安全负载假定) 秒= 一1 0 ，0 称为相对安全负载 a 4 t 由模型的独立性假定和p o i s s o n 过程具有齐次独立增量，知 c t s ( f ) ；f20 ) 为 齐次独立增量过程这样，由强大数定律便知： l i m u ( t ) = + o o ，口s f 不过，这并不排除在某一瞬时，盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破 产以下恒记t 为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令 t = i n f t ；u ( t ) o ) ，这里约定i n f 矽= 0 0 硕士学位论文第一章绪论 l u n d b e r g 和c r a m e r 研究的是保险公司最终的破产概率： 甲0 ) = p ( t o o l u ( o ) = ”) = 尸( u o ) o ) ，“0 以下简称w ( u ) 为破产概率若关注保险公司在某一确定时期内的经营状况，需定 义有限时间( o ，t 】内的破产概率： w ( u ，f ) = p ( t - f ) = 只u ( s ) o ，3 s ( o ，f 】) 记个体索赔额的矩母函数为： 。 一 尸 m x ( ，) = 研】= 【e r l d f ( x ) = l + rj 、e r 7 1 一f ( x ) d x ( 1 1 ) 在l u n d b e r g 和c r a m e r ( c 【3 ，【4 】) 的研究中要求m x ( ，) 至少在包含原点的某个邻 域内存在，并且，要求下述方程 m t ( ，) = l + 要， ( 1 2 ) 具有正解。 由于m x ( ，) 在【o ，o o ) 内是严格意义下的递增凸函数，故方程( 1 2 ) 若有正根， 必是唯一的，以下恒记为r ( 见图1 2 ) ，并称其为调节系数因此我们有 假定1 3 ( 调节系数存在唯一性假定) 假定m x ( ，) = 1 + 万c r 具有唯一正根r jl 虮( ，) 厶一 一 一 r 图1 - 2 由( 1 1 ) ，( 1 2 ) 两式知，调节系数r 满足下述等式： 鲁p 1 _ m ) 协_ l 4 ( 1 3 ) 硕士学位论文 第一章绪论 注意到 詈n 1 州瑚拈_ 2 cp = 而1 o 由( 1 3 ) 式知厂( x ) 为一概率密度函数，这解释了调节系数r 命名的由来 定理1 2 1 1 ( l u n d b e r g - c r a m e r ) 在假定1 1 ，1 2 ，1 3 下，有 ( 1 ) 甲( o ) = 而1 ( 1 4 ) ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 甲( ”) e - r u , v u 0 ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m e r 近似：存在常数c ，使得 即 l i m 。w ( 一u ) ：1 c“_ 。e 一 “ 1 2 2 破产理论研究中常用方法 w ( u ) ：c e - r u ，, u 寸o o i ) 更新论证技巧 我们以证明( 1 6 ) 来说明这一方法设 ) = 1 - u ( u ) = p ( u ( t ) o ；t 0u ( 0 ) = “) ， 表示初始盈余为u 时，保险公司永不破产的概率，也称为生存概率 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 首先，根据首次索赔额发生的时刻墨和首次索赔额五的大小，对生存概率 运用全概率公式，可得 硕士学位论文 第一章绪论 m ) = e 【似+ c 五一。墨) 】= f 3 , e - 山r 州 + c t z ) 扭( z ) d t ， ( 1 7 ) 在( 1 7 ) 式中，令x = u + c t ，作变量替换后得到 卿) = 爹j c o e r 吣一z 舻出， 上式两端对u 求导，可得 ( 小号叩) 一言r 吣吆矽( 巩 cc 哪 再对“从0 至f 积分，可得 ( f ) 一( o ) = 墨c c ( 啪，+ 兰cf r m ( “一z ) d o f ( z ) ) 咖， 化简整理便得 ( f ) = q ( 。) + 芸f o z ) 1 一，。) 出 因l i m ( u ) = 1 ，则在上式两端令t 专o o ，即得 “ 于是有 进而 从而得 又由于 1 = 叩) + 2 。j c o 1 一心) 尬旬( 0 ) + 昙， 甲( 。) = 1 一( 0 ) = 詈= 而1 j 从而( 1 4 ) 式得证 邮) = 1 一詈j c o 【l - 心) 姥+ 昙f 唧_ z ) 1 川z ) 出 = 1 一言r 卜心) 尬上c , t 1 - o 郇叫】【1 一心) 地c 雌 u j ( t ) = l 一( f ) = 芸r 【l f ( z ) 出+ 芸甲。一z ) 【1 一f ( z ) 龙 ( 1 8 ) c 竹c 哪 6 硕士学位论文 第一章绪论 昙f 1 _ 删出= 争南 ， r p 知( 1 8 ) 式为瑕疵更新方程为此在( 1 8 ) 式两端同乘以铲俾为调节系数) ，利用 调节系数的定义，即得到规范的更新方程 p m 甲( f ) = _ 3 , f e r , 1 一f ( z ) 】如+ 兰cf 矿( h ) 、王，o z 弦& 1 一f ( z ) 】出- 哪 于是，由关键更新定理就可以得到关于破产概率的渐进公式如下： 岭妒，一o o ， 其中 c l = 芸j c o p mj c o 1 一f ( z ) d z d t ， c 2 詈j c o 矿 1 _ 砟眦 从而( 1 6 ) 式得证 2 ) 鞅方法 l u n d b e r g 不等式( 1 5 ) 的鞅方法证明是由h a n sg e r b e r 给出的我们现在来 介绍这一方法令 x ( t ) = p 一胄u = x ( o ) e x p 一r v ( t ) ) 其中，x ( o ) = p 以“，r 为调节系数，y ( f ) = c t - s ( t ) 再令 y ( f ) = - r v ( t ) ，t 0 易知 y ( f ) ，t 0 ) 为具有零初值与平稳独立增量的随机过程，从而可得 研e r 1 】= e e 制1 】_ m y ( 1 ) ( 一1 0 = 1 于是 x ( f ) ，t 0 ) 为一正鞅由非负鞅的收敛性定理知 ! i m 。x ( t ) = x ( o o ) t ) = e 【x ( dit t p ( r f ) + e x ( t ) i 丁 t p ( r t ) ( 1 9 ) 注意到当r t 时，u ( t ) 0 ，我们有 x ( t ) = e 一置u 1 这样，在( 1 9 ) 式两端令t 专0 0 ，由单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理，即 得 e 娟“= e x ( t ) i t o o p ( r ) + e x ( o o ) i t = o o r ( r = 0 0 ) 又因为l i m u ( t ) = + 0 0 ，a s 故知x ( o o ) = 0 ，a 从而有 e 咄e x ( t ) i t o o p ( t o o ) 由此知 而= 斋 再注意到u ( t ) 1 ，由上式即知 甲( “) e 一舰，u 0 从而l u n d b e r g 不等式( 1 5 ) 式得证 1 3 再保险 随着社会经济的发展，巨额风险不断增多，保险公司要承保的标的金额有时 会很高为了分散风险，降低自己承受的财务压力，保险人可以再保险。再保险 提高了原保险人的承保能力，使其能以有限的资金接受更高额的风险，从而使资 8 硕士学位论文第一章绪论 金资源得以优化运用，使原保险人的财务状况保持稳定关于再保险的分析主要 包括风险评估、自留额的确定、费率的厘定等方面自留额( r e t e n t i o nl e v e l ) 指原 保险人再保后承担的风险额度如果保险人自留额定得过高，可能会因为承担过 多的风险而影响到财务的稳定性若自留额过低，则会丧失大量利润因此在一定 的标准下确定自留额是相当重要的 下面我们简要介绍一下再保险的分类 按照再保费和总保费之比是否等于再保险人分担的赔款和总赔款之比，可以 将再保险分为比例再保险和非比例再保险两种形式 比例再保险形式主要有成数再保险( q u o t as h a r er e i n s u r a n c e ) 和溢额再保险 ( s u r p l u sr e i n s u r a n c e ) 成数再保险指原保险人将每一风险单位的保险金额按约 定的比例向再保险人分保的方式这种再保险方式，无须考虑分出公司承包的每 一风险单位的保额，在和同规定的限额内均按照双方约定的固定比率进行保费分 配和赔款分摊再保险指原保险人给定一个最大保险金额作为自留额，当一个风 险单位的保险金额小于自留额时，原保险人承担全部风险；否则原保险人和再保 险人按照自留额和分出保额对总保额的比例来分摊赔款 非比例再保险主要有超额赔款再保险、停止损失再保险和最大赔款在保险 等 超额赔款再保险指在给定自留额6 后，再保险量为竺( z 一6 ) + ，这里 t = m a x x ，0 ) ，即当个别理赔额不超过6 时，原保险公司承担全部理赔；当个别 理赔额超过约定的自留额b 时，其超出部分由接受公司负责一定的额度若以原 保险人在一段时间内的总损失额为理赔基础，规定竺( 1 6 ) + 为时间【o ，f 】内的 再保险量，该种再保险称为停止损失再保险在这种再保险方式下，当理赔次数 很大时，小额的个别理赔额会很大程度的影响总理赔额 最大赔款再保险指再保险人仅承担一年内金额最高的若干次理赔额 q 硕士学位论文第一章绪论 1 4 论文的结构 本文的主要内容为第三章、第四章、第五章 在第三章中，我们研究推广的泊松模型：在经典风险模型的基础上，构造了 一种带干扰和带常利率的再保险风险模型此模型具有很好的实际背景我们对 该模型进行分析和研究，得到了破产概率上界及最优自留额表达式 在第四章中，我们首先指出了经典风险模型的局限性，即不同单位时间内收 取的保单数是一样的，这一条件与实际情况并不一致在现实情况中，不同单位 时间内收取的保险单数往往不一样，是一个随机变量在本章中，我们将保单数 量推广为一个随机变量，研究了带干扰的再保险双p o i s s o n 风险模型，得到了有 限时间破产概率上界和l u n d b e r g 不等式 在第五章中，我们给出了较第四章模型更一般的一类风险模型：每张保单的 保费是随机变量，即研究带干扰的保费随机收取的再保险风险模型我们得到了 有限时间破产概率上界和l u n d b e r g 不等式 1 0 硕士学位论文第二章预备知识 2 1 随机和 第二章预备知识 定义2 1 1 彳，y 是两个相互独立的随机变量，他们的分布函数是，( x ) ，g ( x ) ，则 z = x + 】，的分布函数是 日( z ) = e ( z 5 z ) = i jd f ( x ) d g ( y ) = i g ( z - x ) d f ( x ) = f g ， ，m ，m x + y z 称为f ( z ) ，g ( x ) 的卷积，记作h = ，宰g 设五，五e 是独立同分布的随机变 量，记墨的分布函数为f i ( x ) ( i = 1 ，2 ，刀) ，令x = 五+ 置+ + 以，设x 的分布 函数为毛( 功，有目( 功= 互( z ) 事e ( x ) * f a x ) 特别地，若一，t ，鼍具有相 同的分布函数f ( ) ，则瓦( 功= ，( ) 设n 是一个只取非负整数值的随机变量，其概率分布为p k = 研= 后】， k = o ，1 ，2 ，五，置，“是独立同分布的随机变量序列， 令 s = 五+ 五+ + k ，我们约定= 0 时，s = 0 ，且假设置与相互独立，则称 s 为随机和，为求和次数我们有： ( 1 ) e s 】= e n i e x 】 ( 2 ) v a r s 】- v a r n ( 研 ) 2 + 研朋v a r x ( 2 1 ) 证明：( 1 ) 设随机变量n 的矩母函数为聊( r ) ，则，z ( ，) = p 庸p k ；因为 五，五，k 独立同分布，所以它们有相同的矩母函数，记为m ( ，) ， m ( ，) = 研】= p 睹p k ；设随机和s 的矩母函数为m s ( ，) ， m s ( ，) = 研e 心】_ 研e ，l 】- 研( m ( ，) ) = r e ( 1 0 9m ( r ) ) ，( 2 2 ) 对上式两边求导，得m s ，( ，) = 扰，( 1 。g m ( ，) ) 笔等 令，= 0 ，, 贝l j m s ( 0 ) = m 7 ( 0 ) m ( 0 ) ，即e 【s 】= e e 【x 】 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 2 ) 对( 2 2 ) 式再次求导，得 ( r ) 刊( 1 0 洲呦，黼堋州( r ) ) 业铲， 令，= o ，则m s 。( 0 ) = m ”( o ) m ( 0 ) ，即 e s 2 】= 研2 】( 研x 】) 2 + 研加v a t x 又v a r s 】- e s 2 】一( 研s 】) 2 ，由( 2 1 ) 及( 2 3 ) ，得 v a r s = 砌，【】( 研】) 2 + 研 v a r x 】证毕 此外，随机和s 的分布函数计算如下： 0 0 b o ) = 尸【s j 】= e p ( s s i n ) i = p ( s _ s i n = k ) 仇= ，( j ) 既 特别地，次数服从参数为五的p o i s s o n 分布时，有 ( 1 ) e s 】- 2 e x ，v a r s 】= 允研x 2 】； ( 2 ) 聃) = 扫k = o 争1 5 五 ： ( 2 4 ) 式便是著名的复合p o i s s o n 分布 2 2m a r k o v 过程 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 设r 是一个有序集 定义2 2 1 ( m 列( o v 过程) 设有概率空间( q ，f ，尸) 上的以( 甲，) 为状态空间的随 机过程善= 偕( f ，) ；f 丁 ，及，上的一族子仃一代数 f ；f 研，使对v s f ， c c z 设孝对 c ；f r ) 是适应的，这时我们称( q ，f ，p 孝， e ) ) 是一个以) 为 参考盯一代数族的马氏过程，如果对v s t e t ，b ，都有下式成立： ( m k 1 ) 尸( ；孝o ，国) 曰1 只) = p ( 国；孝( f ，国) 曰眵o ，) ) ( m k 1 ) 又称为马氏性特别，当( = 盯( f ( “，) ； f ) ( v f r ) 时，称f 是( q ，f ，p ) _ 1 2 的马氏过程 1 2 硕士学位论文第二章预备知识 命题2 2 2 乎是( q ，尸) 上的一个马氏过程，当且仅当对v 刀1 及 f l 乞 乙 o i t ，都有下式成立： ( m k 2 ) p ( 孝( + ，t o ) b 善( t j ，) ，孝( 乞，) ) = 以孝( 乙+ 。，t o ) 曰i 孝( 乞，) ) 命题2 2 3 下列诸条件等价： 1 ) 善是( q f ，p ) 上的一个马氏过程 2 ) 对v s f t 及有界实函数f ( 甲，) ，下式成立 ( m k 3 ) e ( 厂( 善( f ，缈) ) i c ) = e ( 厂( 孝o ，缈) i 孝0 ，) ) ) 3 ) 令f 5 = 盯( 孝( “，) ；“s ) ( 将来的矿一代数) ，对任意有界实函数g ( 国) f 5 ，下式 成立 ( m k 4 ) e ( g ( w ) j f 5 ) = e ( g ( 彩) i 孝( s ，) ) 4 ) 对任意有界实函数f c 与g f 5 ( v s t ) ，下式总成立 ( m k 5 ) e ( 厂( 功) g ( 纠陟o ，) ) = e ( 厂( 彩) 眵0 ，) ) e ( g ( 功) 陟0 ，) ) 2 3 条件期望 定义2 3 1 令x 为一个定义在概率空l 司( q ，即上的随机变量，p 是在f 上的概 率，若x 为离散随机变量，则其数学期望为研x 】_ 。x ( r o ) p ( r o ) ； 若x 为连续随机变量，则其数学期望为研x 】- l x ( 缈) 护( 国) 记概率空间为( q ，f ，p ) ，g 是f 的某一个子代数，gcf f ( 缈) 是满足 e 蚓 o o 的随机变量 定义2 3 2 具有下面性质的随机变量e ( 善i g ) 成为关于f ( 缈) 的条件数学期望 ( 1 ) e ( 善i g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对于任意的彳g ，我们有e ( 孝i g 炉( d 缈) = 孝尸( d 缈) 定义2 3 3 设c f 为任一事件，则它的示性函数七( ) 为一随机变量，示性函数 i c ( ) 关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为p ( cg ) c 关于g 的条 硕士学位论文 第二章预备知识 件概率p ( c i g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) p ( cg ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意的彳g ，有工a p ( cg ) p ( d r o ) = p ( a c ) 注：在本文中，如无特殊说明，i c ( ) 均表示事件c 的示性函数，即 渺托：主三 条件期望有如下重要的性质： 性质2 3 4 参，孝，7 都是随机变量，且e 蚓 o o ，e 蚓 o o ( 1 ) 若乡刁，a 9 ，贝0 e 【乡i g 】研刁i g 】，a 2 ( 2 ) 若孝为g 一可钡4 ，则e 【孝i g 】= 孝，口j ( 3 ) i e 4 ：i g - 点- 1 4 1g ，口矗 ( 4 ) e e 孝i g 】= e 【孝】，口j ( 5 ) 若f 与g 独立，贝i j e 孝i g 】= e 【孝】，口j ( 6 ) e l f 咿i o o ，er 0 ，研l m ( f ) | o o ； ( 3 ) 对于任意的o 0 ) 不可能有跃度超过1 的跳跃即对应的点过程没有重点，可用如下数学式表达： p ( n t ) = 0 或l ，对每一f ( 0 ，) ) 2 1 或p ( 存在t o ( o ，) ，使得n t o ) 2 ) = 0 这里玩) 表示点过程 ( f ) ，t 0 ) 在时刻发生的点数 定理2 5 3 下列一组条件是有限记数过程 ( f ) ，t o ) 为齐次p o i s s o n 过程的充 要条件 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 1 ) p n ( o ) = 0 = 1 ： ( 2 ) 对任意的t o 和h 0 ，当j j l 0 时， p o + j 1 1 ) 一( f ) = 1 ) = a h + o ( h ) ， p n ( t + h ) - n ( t ) 2 ) = o ( h ) ： ( 3 ) 具有独立增量 1 6 硕士学位论文第三章带干扰的常利率超额再保险p o i s s o n 风险模型的最优自留额 第三章带干扰的常利率超额再保险p o is s o n 风险模型的最 优自留额 3 1 数学模型 再保险是一种分散保险公司风险的有效方法，是指保险人在原保险合同的基 础上通过签订再保险合同，将其承担的风险和责任部分或全部转化给其他保险人 的经营活动保险公司的再保险方式有两种：比例再保险和超额再保险风险的 分散可以定量地通过破产概率上界的减小来度量，研究再保险对破产概率的影响 是保险学中的二个重要研究课题保险公司的破产概率分为最终破产概率和有 限时间破产概率( c 【2 0 ， 21 ，【2 2 ， 2 4 ，【2 5 】) g e r b e r ( c 16 【l9 】) c e n t e n o ， h e s s e l a g e r 研究了如何选取最优自留额最小化保险公司的最终破产概率 c e n t e n o 5 考虑l u n d b e r g - c r a m e r 经典风险模型： ( f ) u ( f ) = u + c t - 五 ( 3 1 ) 其中u 0 是初始资本， ( f ) ，t 0 ) 是参数为兄 o ) 的齐次p o i s s o n 过程，表示 在时刻f 发生的理赔次数；五表示第i 次索赔额， 五，i 1 ) 是独立同分布的非负 随机变量序列，与 ( f ) ，t 0 ) 相互独立示保险公司单位时间内收取的保费，研 究超额赔款再保险与有限时间破产概率的关系，得到最优自留额 何树红【2 4 在l u n d b e r g - c r a m e r 风险模型的基础上，研究带常利率的经典风险 模型： u ( t ) = ( “+ c o o + f ) 一s l ( f ) 一最( f ) 其中u 0 ，c 0 如模型( 1 1 ) 所定义，i 是常利率； ( 3 2 ) m ( f ) 一= z 。7 ( = 1 ，2 ) 是第 歹种险种至时刻f 的总理赔额；z 。1 = l ，2 ) 第种险种第后次的理赔额；m ( f ) ( ，= 1 ，2 ) 第种险种在时刻t 以内的理赔次数： 乙气= 1 ，2 ) ，k 1 ) ， 硕士学位论文第三章带干扰的常利率超额再保险p o i s s o n 风险模型的最优自留额 m ( f ) ，f o ) ， 2 ( f ) ，f 0 ) 相互独立但是没有考虑保险公司签订再保险合同的 情况 张茂军【5 8 】考虑了超额赔款再保险，将c e n t e n o 的研究推广到带扩散扰动项 的风险模型，最小化保险公司的有限时间破产概率上界，从而得到最优再保险自 留额其风险模型： 掣 u ( m ，f ) = “+ c a ( m ) l t 一j l l ( 五) + w ( t ) ( 3 3 ) 其中c = 1 + 8 ，j j l ( x ) = m i n ( x ，m ) ，彳( m ) = ( 1 + 孝) e ( 1 一g ( x ) ) 出，g ( g 0 ) 是自 留额，p ( f ) 是参数为旯= 1 的齐次p o i s s o n j s 士，表示在时刻f 发生的索赔次数，与 独立同分布的非负随机变量序列舻( 五) ，i 1 ) 相互独立；矿( f ) 是一个w i e n e r 过 程，而且与篷j i l ( 置) ，f o ) 相互独立；x 。与x 同分布，其分布函数是g ( x ) ，期望 是1 本文研究带干扰常利率超额再保险风险模型； “) u ( m ，f ) = 似+ ( c 一彳( m ) ) f ) ( 1 + 万) 一 ( 五) + 仃( f ) ( 3 4 ) f = l 其中u 0 是初始资本，万是常利率，c 一4 ( m ) 是单位时间内的保费收入五表 示第f 次索赔额， 五，f 1 ) 是独立同分布的非负随机变量序列，其分布函数是 f ( 工) ，且f ( o ) = 0 ( f ) ，t 0 ) 是强度为名的齐次p o 汹o n 过程安全假设： 征【矗( 五) 】 ( c 一彳( m ) ) ( 1 + 6 ) e x j j l ( 五) 】_ e ( x m ) d f ( x ) = e ( 1 一f ( x ) ) d x l ，i m ，。e r x = o o ，( ， 乇 o ，m ( j ) ( ，) = 研j 】 引理3 2 1 对于盈余过程 墨( m ，f ) ，t 0 ) ， 1 ) 存在函数g ( ，) ，使得e p 一埚膨。) = p 留， 2 ) g ( ，) - - ，( c 叫圳( m ( d ，) - 1 ) + 等 证明e p 一心( j | i f f = e p 一 ( c 一州肼l + 町f - 警坝j r f ) + 州( f ：e e - r ( c - a ( m ) ) ( 1 + 8 ) t 】研研8 7 蔷6 剐in ( f ) ：，z 】 研e r 川】 心 ，2 c r 2 f = p 一斤( c 一4 ( m ) x l + 占) p m ( 膨 石) ( 7 ) 一1 ) p i 一 = e t g ( 7 ) 所以g ( ，) = 一r ( c 一彳( m ) ) ( 1 + 万) + 五( m 郴) ( ，一) 一1 ) + ；乒 引理3 2 2 方程g ( ，) = 0 称为调节方程，存在唯一正根 证明因为g ( o ) = o ，g ( 厂) = 一( c 一彳( m ) ) ( 1 + 万) + 胧：( j ) ( ，) + ，仃2 ， g ”( ，) = 胧缸) ( r ) + 仃2 o 知g ( ，) 是单调增函数，g ( ，) 是凸函数 由 e 墨( 枷) = r ( c _ 2 ( 1 + f ) e ( 1 川叫出) ( 1 埘一2 t e f h ( x ) o ， 可知 7 9 7 ( ，1 r = o - - - - - - 卜2 ( 1 + 孝) e ( 1 一f ( x ) ) 出) ( 1 旧+ 俎 j l z ( x ) ，时，g ( ，) g ( ，+ ) = o ； 1 9 硕士学位论文 第三章带干扰的常利率超额再保险p o i s s o n 风险模型的最优自留额 当o ， ，时，g ( ，) ( ，) = o a g ( ，- ) = o 存在唯一的正根，记为尺( m ) ， r ( m ) 称为调节系数 弓ij8里323令csh=cr5i(彳，f)；，。：f)，jrj(f)：=学， 则 鼍( f ) ；z 墨，f o ) 是鞅 证明啦例1 i e - r ( u ( 1 4 a ) + 一s l ( u 也s ) 卜) - r 咄( s , ( m t ) - s l ( g , s ) ) 忻 刊| v e - 4 s , ( 卜m , 咖o - s i ( m , s ) ) - = 以( s ) 关于( 3 4 ) 在时刻f 以前的破产概率甲m ( 1 + 万) ，m ，f ) = p r ( u 。( m ，s ) 0 ，o s f ) ， 和最终破产概率甲 ( 1 + 万) ，m ) = p r ( u 。( m ，f ) 0 ) 我们有下面的( c 【2 9 - 【3 2 】) ： 定理3 2 4o l u n d b e r 2 不等式1 硕士学位论文第三章带干扰的常利率超额再保险p o i s s o n 风险模型的最优自留额 甲( “( 1 + 占) ，m ) e - 五阻扣1 埘，、王，( “( 1 + 万) ，m ，f ) 脚n f i ( 肘n 厂一删埘+ 留r i 其中r ( m