（应用数学专业论文）混合气体中声传播的色散关系.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得凼墓古太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 教继界 指导教师签名：丑验钢 日期：型童：! 鱼日期：型垒：三二多 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署丕为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名： 日 日 名： 期： 1 五阻fa b 嵴3 、| b 内蒙古大学硕士学位论文 混合气体中声传播的色散关系 摘要 色散关系，也称频散关系( 即声波在介质中传播时频率与波数之间的关 系) 对研究声的传播问题是及其重要的。对色散关系的讨论多数以宏观的流体 力学即n a v i e r s t o k e s 方程的方法进行研究。在文章【1 】中作者用气体运动论的方 法对单一气体中声传播的色散关系进行了讨论。本文同样用气体运动论的方法 尝试在混合气体中声传播的色散关系。首先给出混合气体线性化b o l t z m a n n 方 程组的特征值与特征函数，然后由特征值与特征函数建立模型方程，最后用 气体动力学的方法在模方程的基础上通过f o u r i e r - l a p l a c e 变换得出方程式，给 出混合气体中声传播的色散关系并进行适当分析。 关键词：混合气体，色散关系，模方程，特征值，特征函数 t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o no f s o u n dp r o p a g a t i o n i ng a s m i x t u r e a b s t r a c t t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n ( n a m e l yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ef r e q u e n c ya n d t h ew a 、伧 n u m b e ro ft h es o u n dw a v ea tt h em e d i a ) i so fi m p o r t a n c ei ns t u d y i n go ft h e s o u n dp r o p - a g a t i o np r o b l e m s m a n yo ft h es t u d i e so ft h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n 趾ec o n t a u c t e d 昕t ht h e m a c l ：on a v i e r - s t o k e sm e t h o d s i np a p e r 【1 】，t h ea u t h o ri n v e s t i g a t e dt h ed i s p e r s i o nr e k t i o ni ns i m p l eg a sw i t hk i n e t i ct h e o r y i nt h i sp a p e r ，w et r yt ot h e d i s p e r s i o nr e l a t i o no f s o u n dp r o p a g a t i o ni ng a s - m i x t u r ew i t hk i n e t i ct h e o r y a tf i r s t ，w eg i v et h ee i g e n 山e 8 a n de i g e n f u n c t i o n so ft h el i n e a r i z e db o l t z m m me q u a t i o n si n g a 争m i ) d l l r e ，t h e n 髑t a 出l i s h t h em o d e le q u a t i o n so ft h el i n e a r i z e db o l t z m m m e q u a t i o n s ，a tl a s tw eg i v et h ee q u a ，t i o n b yt h ef o u r i e r - l a p l a c et r a n s f o r ma n dt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n h e r ew e 幽og i v es o m e a n a l y s i so fi t k e y w o r d s ： e i g e n f u n c t i o n g a s - m i x t u r e ，d i s p e r s i o nr e l a t i o n ，m o d e le q u a t i o n ，e i g e n v a l u e ， 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章引言 波动是自然界中普遍存在的现象，如水波，声波，还有光波等等。我们通常所听到的声 音就是声波在空气中传播的结果。而声的传播，究其本质是分子效应的结果。对声的传播 问题最先以分子的观点进行研究的是王承书( w a n gc h a n g ) 和u h l e n b e c k 6 1 。此前，对声 的传播的研究都是以流体动力学的理论进行的。用分子运动论的方法可以给出更恰当的 解释。而分子运动论的基本方程为b o l t z m a n n 方程。b o l t z m a n n 方程是稀薄气体动力学的 基本方程。m a x w e l l 首先提出了这个基本方程，b o l t z n m a n 把它加以公式化b o l t z m a r m 方 程是分子运动论中非常重要的量速度分布函数所满足的方程。它是一个非线性的微分积 分方程。正是因为如此b o l t z m a n n 方程的求解是非常困难的。 两个或更多的分子十分靠近时，会影响彼此的运动，称其为分子的碰撞。声的传 播就可以看作是分子碰撞的结果，因此对声的传播可从b o l t z m a n n 方程入手进行研究。 对b o l t z m a n n 方程只考虑二体碰撞，即认为三个或三个以上的分子同时碰撞在一起的概 率很小。因此对混合气体一般只考虑二组元混合气体即可。由于b o l t z m m m 方程的求解 非常困难，因此对b o l t z m a a n 方程的求解也成了一个非常重要的课题。h i l b e r t 在一些研 究b o l t z m a n n 方程的文章中指出，求b o l t z m a r m 方程的正规解等价于求解一串第二类积 分方程。而对这样的积分方程有一系列严格的数学理论。他还证明了方程解的存在性 和唯一性。h i l b e r t 的工作将分子运动论的发展和积分理论的发展密切联系起来。这也 是b o l t z m a n n 方程有解的基础。 第一次求得b 0 1 t z m a n n 方程具有物理意义的近似解，是在h i l b e r t 的研究发表以后才 得以实现的。d e n s k o g 和s c h a p m a n 几乎同时而互相独立地进行了这方面的工作。因此 人们也将这种求解b o l t z r a a n n 方程的方法称为e n s k o g - c h a p m a n 方法【n 】。e n s k o g - c h a p - m a n 方法是解决b o l t z m m m 方程的一种有效途径。其基本思想是对b 0 1 t z m a n n 方程或输 运方程进行逐级近似展开从而得出其各级近似解，而且还得出了相应的输运系数。 b o l t z m a n n 方程除了可用e n s k o g - c h a p m a n 方法求得其解外还可以用其它方法。特别需 要指出的是由g r a d 在1 9 4 9 年在他的博士论文中提出的矩方法。他将速度分布函数按 多项式展开，不但可以得到与e n s k o g - c h a p m a n 方法所得近似解相同的结果还能应用于 一些e n s k o g - c h a p m a n 方法无法解的物理问题。在解决实际问题时还有一种以模型方程 式代替b o l t z m a n n 方程的处理方法。本文就采用了模型方程的方法。它的基本思想是 将b 0 1 t z m a n n 方程右端的积分项进行适当简化或近似，从而使整个方程变得相对简单。对 模型方程再进行一系列的处理在实际问题中也是非常有效的。因此在历史上也有许多作 3 引言 者在一些文章中对b o l t z m a n n 方程的模型方程进行了一定的研究，如g r o s s 和j a c k s o n 2 1 ， s i r o v i c h 3 1 ，m o r s e 1 2 和h a a s o n 1 4 等人。 在求解b o l t z m a n n 方程时有时是将其线性化得所谓的线性化b o l t z m m m 方程，然后 在对线性化b o l t z m a n n 方程进行讨论。这样就会使问题得到适当的简化。在求解线性 化b o l t z m a n n 方程时，会遇到求其分离变量型的通解的情况( 即所谓的特征问题) 。这就 涉及到了线性化b o l t z m a n n 积分算子的特征值问题。对混合气体的特征值与特征函数问 题有许多作者都做了一定的研究，如k i h a r a ，王承书( w a n gc h a n g ) 和u h l e n b e c k 6 1 ， w a l d m a n n 1 7 】以及葛根哈斯【1 6 1 等人都得到了一定的结论。本文中，为了建立混合气体 模型方程组，同样需要对线性化b o l t z m a n n 方程组进行特征值和特征函数的讨论。一般， 线性化b o l t z m a n n 方程的解具有如下形式，即 = 9 ( ) e 砒一k e ，其中夕( ) 是分子速度的函 数且满足( i w t 一汰) 夕= l g ，l 是线性化b o l t z m a n n 算子。当u 与k ( u 表示碰撞频率， 而k 的三个分量分别表示x ，y ，z 各空间方向上的波数) 满足一定的关系时方程有解，把满 足( i w t i k ) 夕= l g 的u 与k 之间的关系称为色散关系，而夕( ) 沙扣诹f 称为正规模。从宏 观角度来讲色散关系蕴涵着丰富的物理现象，不同的传播方向，不同的角频率，不同的空 间波数具有不同的物理本质。而从微观角度来讲色散关系对求解b o l t z m a n n 方程也有着 至关重要的作用。由于直接用线性化b o l t z m a n n 方程讨论色散关系因其难度太大似乎是 不太可行的，因此本文从模方程入手给出色散关系。 在本文第二章，首先按文献【5 】中的方法对混合气体线性化b o l t z m a n n 算子进行讨论， 对其进行分解并给出分解算子与核函数，从而得出混合气体线性化b o l t z m a n n 方程的特 征值与特征函数。混合气体的特征值公式还可简化为单一气体的特征值公式，此结论 与w a n gc h a n g 和u h l e n b e c k 6 的结论是一致的。 在第三章，根据文献【2 】的方法由上一章得出的特征值与特征函数给出线性 化b o r z r a a n n 算子的近似公式。这里我们仅考虑一维声传播问题，因此可由近似公 式得出一维模型方程组。 在第四章，对模型方程进行f o u r i e r - l a p l a c e 变换，并以扰动量对宏观的各个矩进行定 义，变换后的方程可以看作是各个矩所满足的方程组，由此方程组有非零解的充分必要 条件即可得色散关系式。然后用渐近的方法得出色散关系的近似公式，并进行简单的讨 论。 最后，总结本文存在的一些问题，并进行分析以便今后加以改进和完善。 4 内蒙古大学硕士学位论文 第二章混合气体线性化b o l t z m a n n 算子的 特征值与特征函数 2 1线性化b o l t z m a n n 方程 式， 考虑二组元混合气体，其控制气体运动的没有外力的b o l t z m a n n 方程组具有如下形 鲁+ 矗丽o f l = 磊1f ( f i f 7 一f l f ) 巩舭必 + 老( 矗疋一 ，2 ) b - 。( 口，h z ) d o d e d 等2 ， 誓+ 已瓦0 2 = 击( 爿矗一f l f 2 ) 啪胁) 撇诞。 + ；1f ( f 以一f f 2 ) b 。z ( 口，k 2 ) d o d e d 车 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中 = ( x ，1 ，t ) 和1 2 = 如( x ，已，t ) 分别是两类气体分子的分布函数，m 1 ，m 2 为两类气 体分子质量，b 巧为微分碰撞截面，f 1 ，已表示碰撞前分子的速度，而i ，g 表示碰撞后分子 的速度，f = f ( x ，7 ，t ) 。 令 = ，f o ( 1 + 咖1 ) ，2 = 蠢o ( 1 + 也) 将上述方程进行线性化后得 瓦0 2 坶篱2 专几* 也二，蚴瓤b 蛐 ( 2 4 ) + 去( 科+ 一1 一纠以b 2 2 ( p ，2 ) 也诞= 以1 ( ) + 也2 ( ) 。 其中 = p p ( 赫) ；e 一簪，。) = ( 器) e 一簪， 分别为两类气体在m a x w e l l 分布下的质量密度分布函数。 下面对碰撞算子进行分解。 5 q 钟，- 2 鹰 彤 血 吨 邢 血 研 k矗六 班 舻 一 增 加 鼬：叫蹦 妒 嘭 卜 一 舛 ，i 一 卜j 必 1 一m + i l 吼 塑微6一他 堕巩 其中 混合气体线性化b o l t z m a n n 算子的特征值与特征函数 先考察互碰撞算子以2 ( ) ，由【5 】知 2 ( 咖) 可写为 以2 ( ) = 七2 一七1 咖一矿1 2 1 ( x ，6 ，t ) ， 七z = 去 t ( ：) + 咖。( 已) ) 符慨) b ，。( 口，k 。) 搠矗螅， 七= 去程0 1 ( f 2 ) b - z ( p ，：) 搠d c 也( 已) d 已， 口- z ( ，) = 去矗m ( f 2 ) b z ( 口，z ) 彬d e 妫 在七2 中将n 旋转专角( 即作替换p 一詈一护，e e 士7 r ) ，则有 其中 = 去矗0 ) ( 咖，( 钏1 ( p ，m z ) d o d e d 2 ， b ；2 ( o ，v x 2 ) = b n ( o ，2 ) + s 一( e 。一p ，v 1 2 ) ， 则( 2 6 ) 式可写为 忌z = 矗( 已) ( ：可塞笔墨潞( m t + m 。) 2 m t m z 6 ( m 1 i + m 2 岛一m 1 l m 2 6 ) 6 ( m x f ? + m 2 管一m 1 酲一仇2 器) i 武：妫 先对积分，再对已沿极坐标i 已一61 ，p ，e 分解得 七z = ( m l 磅+ m 一2 ) 2矗0 ) ( ，+ n l 已一6 i ) t ( g ) b 扎( p ，b 一已i ) ( c o s p ) - 1 已一6 1 z ( 2 1 6 一亭：】陈1 一已】一 m l + m 2 l 一爵1 2 ) d p d e d i d ( i 已一l i ) = 去( 孑) 3 以0 ) ( 针n 丽m l + 丽r r t 2 阻e “渊钳 b 她篆罢旧一洲c o s 口) 司瑚d c 媸， 将( 2 n ) - q ( 2 7 ) 代a ( 2 5 ) 式得 其中 以2 ( ) = 七( i ，- ) ( ) d ：一盯t z ( t ) 西t ， 七( g ，f ) = 后2 ( g ，6 ) 一七1 ( 酯，6 ) ， 6 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 内蒙古大学硕士学位论文 姒汹) = 去( 警) 3 ，0 ) ( 6 + n 杀舄肛钏 b 毛( 口，耋三： 暑丢 吾i - 一：i ) ( c 。s 伊) 一3 搠d e = 去( 竽) 3 烈矗+ n 丽m l 而- t - m 2 卜g 慨 丽m lq 面- m 2 + b - z ( 三一伊，三薏皂墨l ，一：i ) 】( c 。s p ) - 3 以0 ( t + n 三蔷皂署 其中n 是对应于护，e 的单位向量在( 2 7 ) 中作替换已= ；即得 矗锄= 去以0 ) ( 巩 6 一i i ) 1 一矧) 瑚此 l 1 一i l ) 始d e ， 下面求核函数后2 ( i ，1 ) 的具体表示形式。在后2 ( 酯，1 ) 中，由于 蠢。( - + n 罢凳高j f - 一g i ) = 蠢。( g + 一g 】+ n 尝 6 一f i i ) = ( 品) 唧 一品醑+ ( 杀舄) 2 1 6 一酯1 2 + 2 ：( - 一i ) + j 6 一9 1 2 + 2 n 崭f f 一g f 罢昙高+ 2 n ( 6 一g ) 1 6 一g f 舅糯 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 因此( 2 1 4 ) 式可进一步计算得出。此处为了讨论方便，将m a x w e l l 分布的质量速度看作为 零，否则可用特定速度c = 一u 代替即可。 由n ( 1 一f i ) = 一悖l 一酯lc o s 0 ， 和n i 1 6 一g l = g l f l 一g lc o s l 9 c o s o t + g i l g is i n o s i na c 0 8e = 一( l 一：) gc o s 0 + i l g ls i n oc o se ， 可得 烈针n 等舄i 卜；i ) = ( 翥) 唧m 2 一f 一n + 【( 1 m 2 - f m l ) 2 + ( 警) 2 t a n 2 憾一g f 2 + m 2 m l 慨一崭) g + = ( 斋) ；唧 一丽m 2 【器+ 等等一 m l + m 2 ( m 2 t a l l 9 c o se 1 6 m 1 ) ( m l 4 m ； + m 2 ) + ( 罢) 2 2 眯- “1 2 + 警协s e l 6 蚓】) ， 7 g i 】) i 1 一崭1 2 ( 2 1 6 ) 以矗= 去( 警) 3m 2 1 3 _ d o d e 【聊，等舄h 删) 例扣端2 m 2c o s 8 b _ ，矧) 1 c o s - 、3p e x p 一丽m 2 【警髫( 2 1 7 ) + 竺专老? 孑一垒! 生二! 掣i t 一；1 2 + m l 二m + 。m 2 。) 2 t a n p 悟，一i 1 2 。 + 等罢旧i i 协e 】) 以积。) ：譬( 罢) 3 ( 翥) ；弘1 2 ( m 邺l + 刚m 2 瞰i ，：“1 ) + b - 。( 三一p ，面m l + m 2i ，删弦3p e x p 一丽m 2 【等嚣 ( 2 1 8 ) + 1 m lm + 。m 2 c 。1 2 一( m 2 - 、m 1 ) 矿( m l + 一m 2 ) i 卜i 1 2 + ( 警) 2 川l 卜i 1 2 】) i o ( m l z + k m 2i 1 lt e m o ) d o ， 其中而为第一类的零阶b e s s e l 函数，( 2 1 8 ) 即为核函数后2 ( ：，1 ) 的具体表示式。 从而 坳= 以已州印m ( 2 1 9 ) 州已? 去矗( 淝2 ( 啪删撇 ( 2 2 。) ：譬( 品) 唧【一嘉铜既旧圳瑚， 从而 七= k t ( 鑫，t ) 1 ( f i ) 式i ( 2 2 1 ) 这样便得至u t ( 2 1 2 ) 式。 p 的范围为o 口 吾，我们将p 的范围扩张为o p 7 r ，即定义b ( 丌一p ，y ) = b ( 口，y ) ，则8 的积分范围由半球面变为全球面。 我们只考虑m a x w e l l 分子。由于b 1 2 ( p ，v 1 2 ) = k 2 i ( o ，v 1 2 ) s i n 0 ，又由于在m a x w e l l ：分 子中h 2 i ( o ，2 ) 与2 无关，因此可令v x 2 i ( e ，2 ) = f ( p ) ，再将后l ( 酯，- ) 和七2 ( i ，1 ) 合并， 8 内蒙古大学硕士学位论文 进而得 蝎。) ：丝m 2 ( 品) 2 2 碰撞算子的特征值与特征函数 在上一节我们得到了算子式 以z ( ) = 一仃。( c ) + 七( c j ，c ) 咖，( c i ) d c j ， 下面求算子 2 的特征值与特征函数，即使 2 ( 皿) = 入皿的值入与函数皿 令皿咖= j 礴( c 2 ) m m ( ，x ) ， 其中锚( c 2 ) 为s 。n i e n 多项式，而”( ，x ) 为球面调和函数。 下证皿，i m 是 2 的一个特征函数，为此将皿“。代入到( 2 2 9 ) 式得 ( 0 1 州) = 咄：蚧m + 筹丌飞s 鬲i n 2 胁s ( 警) 3 e 碍 如：口( 管) 州“) 吲一罢( 砖+ 砰一 c - - c 肛州川) 】s i i l 兰唧【_ ( m 吼l + m m 。2 ) 2 i c - 删2 尹e t o ( 一i r n lq - m 2 m lc 。s i n ( c ，) t a n 鲁) 础) - 譬丌龟罢应丌 z 霄即) s i n p 棚e 一等砰戤彳锚( 毋) 州“) ) - ( 1 ) + ( 2 ) ， 1 0 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 内蒙古大学硕士学位论文 其中( 1 ) 为负号前所有的部分，( 2 ) 为负号后大括号内的部分。 先考察( 1 ) ，由【6 】有 ( 1 ) = 罂何( 揣) 3 唧【一错鼋】”( 多 肛州) 】s i n 弘卅警釉2 刍 z 蹦唱( 管蚓一哚等彬刍 z 丌d t 8 i n t r ( c 。s ，) 而( 一i m l + m 2 c l c is i n l t a n e x p 2 c ，c i 【案+ 百( m l + m 2 ) 2t 蛆2 批蚰， 其中d c 5 = 砰s i n 1 d 西踯1 d x l ，p t 为l 阶的l e g e n d r e 多项式， 而譬丌d x l m ( ，) = 2 7 r p t ( c o s 咖1 ) y l m ( ，x ) ， 在( 2 。3 1 ) 式中设 z 一掣s e c 2 昙 z2 卅玩茅僦。互 c o s 谚= 1 一黑c o s 2 罢 m 1 + r n 2 z c 1 兰a 西， 则( 2 3 1 ) 式中最后一个积分( 即关于咖1 的积分) 可利用下列公式得出 z 霄螂- s i n ( c 刚) e l z c o s ic o s , p 坼咖m i n 妒) = 记z = q c i ，再利用下面公式 最( c 0 8 妒) 五+ ( z ) ， z 霄斟c ：! + 2 唱( 取瑚蛐班茄( 学) r e 等唱【一 其中9 2 = 曙s e c 2g ， m ( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 可知( 2 3 1 ) 式等于 告0 2 0 ) 2 棚咖f o _ s i n 0 邮州丌叫m c o s 训一啬裔 1 1 q 2 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 4 q 2 ( q 2 1 ) c 。s z 昙一 二 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ，-j 混合气体线性化b o l t z m a n n 算子的特征值与特征函数 由于 又 所以 再考察( 2 ) ， ( 2 ) = 坐m 24 行( 署) ；z 丌f ( 啪i i l 口瑚 坼刚- ) 州蛾) e - 暑砰c ；f + 2 锚( 砰) s i n - 蹦撕， z 亓b 。s - ，s 证九却t = 2 如= 主雪：蓁三筹： 卜擀啪阱一哞嚣一味 ( 2 3 5 ) ( 2 ) = 篙0 2 0 ) 2 丌皿加z 霄f ( p ) s i i l 口瑚如如= 丝m 2 皿“m 山如如， ( 2 3 6 ) a o = 2 丌z 丌删s 枷 ( 2 3 7 ) = 置m 2 s i n0 d 0 山i f ( 篡0 篡1 一晶咖。扣) ( 2 s s ， + 2 7 r 皿r l m ) + f ( 7 r 一伊) 】只( c o s 妒) 【1 7 ：= i 二二南c o s 2 吾】r + 考 ， 即) = 击1 等s 洫气缸 f ( 丌一p ) = 三6 4 v 塾2c o s 一晦 枷壑m 22 丌z 霄即胁p 瑚 【1 丙4 m 研l m 2c o s 2 扩0 + 坼。州 ( 2 3 9 ) + 【1 一篇s i n 2 互0 】+ 只( c 。s 妒7 ) 一( 1 + 6 ，0 6 t o ) ， 、 1 2 其中 c o s 砂= 通过计算可得算子 2 的前几个特征值为 - o 知1 锄而m l - - m i 2 山 。砘糍m 2 ) 凡，m 1 + m 2l m l 十 ) t 0 2 = i 2 蒜m 2 一砌莴( m l m 2 ，l 仇1 +j + j 其中n 2 ：餐为第二类气体分子在平衡态时的数密度， = 2 丌z 霄即) s i n 2 k + 1 0 瑚，七= 0 1 2 ( 2 4 。) 通过以上讨论得出了算子 2 的特征值和特征函数，这对建立模型方程以及后续计算是有 用的。 同理可对算子, 1 2 1 进行讨论，通过一系列类似上述的讨论可知算予以1 可写为 以，( ) = 一c r 2 - ( c ) + 詹( c ：，c z ) z ( c ：) 如：， 其中算子 1 的核后+ ( c ；，c 2 ) 与算子 2 的核后( c i ，c 1 ) 有轮换对称关系，而算子以- 的特征函 数仍为皿r l m = 一( c 2 ) x ”( 咖，x ) ， 特征值为 壮壑m l2 丌z 霄删s ( 【1 - 而4 m l 丽m 2c o s 2 妒扔 ( 2 4 1 ) + 【1 一篇s i i l 2 互0 】+ ；毋( c 。s 移7 ) 一( 1 + 凡。函。) ) ， 、。 其中 c o s 移2 算子 1 和算予以2 是算子 2 当m 1 = m 2 时的特殊情况( 即单一气体中的碰撞) 因此可 令m 1 = m 2 ，即得经典的结论( 即w h g c h 锄g 与i j l l l e n b e c k 的结论【6 】) ，其特征值分别为： 对于算子以1 有 心= 壑m l2 丌z 霄脚证嘶0 8 2 州瓤。s 批i i l 2 州知证互0 ) - ( 1 + 如酬， ( 2 4 2 ) 1 3 混合气体线性化b o l t z m a n n 算子的特征值与特征函数 对于算子如2 有 心= 型m 22 丌z 丌f ( 口) s i i l 口瑚【c o s 2 州昙最( c 。s 互0 ) + s i n 2 州0 2 p 凇i ni 0 ) 一( 1 + 踮如) 】， ( 2 4 3 ) 对于碰撞算子的特征值有如下的性质： a o ，其中入= 入0 1 = a 1 0 = 0 对应的5 个特征函数为5 个碰撞不变量( 或它们的线性 组合) ，而其它的特征值都是负数，且满足l i ma 耐= 一o o 【6 】 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 3 1碰撞算子的近似公式 第三1 章模方程 弟一早 俣力往 前面已经看到了b o l t z m a n n 方程是非常复杂的积分微分方程，求解起来非常困难，因 此我们希望将b o l t z m a n n 方程右端的积分项进行适当的简化，模方程就是以此为目的的。 由上一章得到的碰撞算子的特征值与特征函数，我们可以建立线性化b o l t z m a n n 方 程的模型方程。 我们按g r o s s 和j 地o n 2 给出的方法来建立模型方程。为了方便讨论，先将特征函数 进行标准化( 正交归一化) ，标准化后的特征函数为( 仍记为皿嘲) 皿，l m = n r z m c f 羔( c 2 ) m ( ，x ) = 肼l ( c ) m ”( ，x ) ， 参见【6 】。 其中r f m 为正交归一化系数，缈f ( c ) 为径函数，满足 ，一 l g r l r ( c ) e - c 2 0 d c = 6 r 一6 i l f ， 而m ”( 咖，) ( ) 满足 肼i ( c ) = ( c 2 ) m + m ，s i n p 搠d = 如m ，以n 甲= 掣渊 5 聃硎矽哪， 这样便有 入订= 皿：l m j ( 皿“。) d b 碰撞算子的n 级近似公式为 删= - a 0 ：互( 1 一杀m c ) 等舶( c 1 ) e _ 胁叫c ) ) ( 3 1 ) 这样选取公式就相当于有如下结论 m 4 ) d c 毫坳) d c 协+ f ) 1 5 对于算子 1 由于= k 1 ，? a i 。= o ，a ；2 = 一；a 。譬，a i 。= 一 月2 型m l ， a ；。= 一2 7 r y of ( o ) s i n 3 0 d 0 3 箬：一3 a 2 盟 m l ，得 同理可得 1 u 1 + 乃( 鼋一互3 ，3 2 p v 0 ) _ i 留 ；s 1 ) c 1 ( 1 u 。( c 1 ) ， j + 2 c 2 u 2 + 疋( 奄一互3 ) + ；硌c 勺 u 2 一亏2s 2 ) c 2 ( 1 也( c 2 ) ， j ( 3 2 ) ( 3 3 ) 。尹篡= 一a 0 3 p ljr(，1-aol)2c1，ul+(1_磐)乃(蠢l虿3a03 a 0 3 ) + ( 1 一篱a 0 3 ) ( 3 。4 ) z ，n - 、 【2 背q 勺一( p - + 噩) 】+ ( 1 一等0 3 ) 5 ( u - 一詈s - ) c l ( 1 一詈蠢) 一( c - ) ) ， 一 ooj 珊牡“0 3 纯+ ( 1 _ a 拖o i 、一2 cu ：+ ( 1 一慧) 正( 鼋一孔1 一慧， 【2 露c i 勺一+ 正) 鼋1 一慧) 5 ( u 。一釉锄( 1 一詈鼋) 一绯。) ) 其中 3 2 模方程 u t = 丌 c 也e - c 2 d c ，正= 霄一代c 2 - 1 ) 妒 。如，最= 丌名c c 2 妒江1 2 将( 3 2 ) 和( 3 4 ) 代入到线性化b o l t z m 锄l 方程( 2 3 ) 中得 百g q ( 声l 十l 丽t t 1 ) 一c 1 警= 搿+ 璎 ：8 9 a p m 2 0 1 ) l p 1 + 2 c 1 u 1 + 乃( c i 一虿3 ) + i 2 厂- 巧( 1 ) q 勺 一( p l + 死) 聋+ 萼 + ( 一知3 ) p 1 + ( 1 一 【2 硝c 勺一( p 1 + 正) a 0 2 、 一一j 0 3 一1 ( c 。) ， j ( 3 5 ) 、i j ，砖 2 一i f u 扯 一 + m p 5一，l r 艏可 面“卢rr鼋 a d 9 8 7 = 斗 妨 、，鼋 2 5 见氧 l r 惦可 面“卢r，鼋 a 的 9 矿死 = + 妨 j，、 l l l_ 1 3 3 2噬 一 扼 缸 。 脓 留 蛾， 几 。1 丌 = c c o 0 舻箴 争卜 一 “ 洲瞄 嵋 h 烈 踟 缸熊如上5 2 5 q 0 5 m 内蒙古大学硕士学位论文 其中 c ，= ( 器) t ， 我们只考虑一维问题，并将上式简化得一维模方程为 等+ ( 品) 也- z 瓮= 叩 廿“舢：孔( 鼋一3 ( 3 6 ) + 风p ：( 3 鼋霉一c i ) + 玩趣1 ) c - z ( 言鼋一1 ) 一( c ) ， 其中叩，鼠，i = 1 ，2 ，3 ，4 是- q 算子以l 和 2 特征值的和有关的常数。 同理将( 3 3 ) 和( 3 5 ) 代入到线性化b o l t z r n a n n 方程中并简化得关于2 的模方程为 瓮+ ( 翥) 一；c 2 z 碧：矿 成+ d 1 0 2 x u z4 - 她( 鼋一互3 ) f 3 7 、 + d 3 琏：( 3 鼋霉一鼋) + d 4 管) c 2 ( 鲁鼋一1 ) 一2 ( c 2 ) ， 其中矿，d i ，i = 1 ，2 ，3 ，4 是与算子也2 和以1 特征值的和有关的常数。 1 7 色散关系 4 1 色散关系 第四章色散关系 在上一章得到的( 3 6 ) 式中，令 负= j f f 九舻( 嘉) 一( p p ) _ 1 雪l ，c d l ：鲁专= t 兰( 品) 吗= 圭， 则有 ( 磊0 慨瓦0 + 叩) g z = r w - p 1 + b 。l c l 2 u x + 、酬c ；一尹3 ( 4 1 ) + 岛p ：( 3 聋善一鼋) + 玩s 1 1 ) c - 善( 詈鼋一1 ) ， 其中各个矩可由下式给出定义 1 c k ( ；奄一1 ) ( 砖。一 鼋) ；c 霉( 鼋一；) g l d c l = p 1 t 正z n 砖：) 砖1 ) ( 4 2 ) 对( 4 1 ) 式作用，e x p ( 一剪+ i 露面) 冱玉，即对时间变量进行l a p l a c e 变换，对空间变量进 行f o u r i e r 变换得 ：焉掣3 磊1 p k 争1 ) + 3 ， + 风毫：( 3 聋一鼋) + 玩趣1 ) c l 王( 鲁聋一1 ) i + 一- _ = 竿， 铷= 音，k = 考，则有 9 t = 再尝瓦p + b 1 c - + b z 噩( 鼋一i 3 ) + 岛p ( 3 免一鼋) + 鼠蹬) c ，z ( 吾聋一1 ) + ( 4 4 ) g o 、 l + 盯一i k c h 其中变换后的变量仍用原符号表示，卯为初始条件所对应的初值。由【1 】可知将( 4 4 ) 式代 入( 4 2 ) 式中，贝j j ( 4 2 ) 可表示为矩阵形式 a = c a + 五， ( 4 5 ) 内蒙古大学硕士学位论文 其中 1 c l 零 a = 五= 1 - i - - i k c l , e 。 江i b i c l 土 b 1 4 霉 7 r 一；e 一砖。 1 + 口一i 七c 1 善 d c l z x 1 e l = ( ；c i 一1 ) ( 鼋。一 鼋) 吾c - 。( 鼋一；) b 2 ( 4 王一 ) b 。( 鼋霉一；c - ) b 3 ( 2 鼋。一1 ) 岛( 2 吃一c l ) ；c i 王一b 1 ( 妊1 1 霉一l c l 霉) b ：( c 4 善一聋2 + 丧) 岛( j 2 c 4 t 王一；c ；霉一 ) ；c 霉一b ( ；鼋茁一 c - 王) 岛( i 2 c 王一；砖。一 ) 岛( 屯一；c ；i 。+ ；) ；鼋喾一i c l 善b - ( i 1 。4 k 一；鼋王) b 2 ( 1 c 5 1 。一西$ + ；)岛( 雹害一2 4 + c l 。) b 4 ( ；冒善一；c t 善) 风( 5 2 , 4 一；碍王) 风( 矗鼋善一素c 2 $ + 嘉c - 卫) 风( 畚罐尘一蠢c i 善+ 去5 c 1 ) 鼠( 屯一 c 正+ 嚣鼋王) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 上式中对所有的d c l 可和如1 ：进行了积分，其中d c l = d c l 霉d c l 3 ，d c l ； 方程( 4 5 ) 有非零解的充分必要条件是d e ti c i i = 0 ，其中i 为单位矩阵。将矩阵c 中 的每个元素都计算出来，贝j j d e ti c i i = o l l p 为色散关系式。 1 9 d 善d n 曩砖 色散关系 4 2 色散关系的近似公式 矩阵c 中每个元素都含有如下积分 m = 入仁篆如 江9 ， 其中 a = 半 ( 4 - 1 0 ) 令 螈= a c 篙矿出 ( 4 1 1 ) 则可以证明坛满足如下的递推公式 ，十0 0 厶+ 1 ：入i 7 r 互1e c 2 c p d c 一入i 厶， 仃：0 ，1 ，2 ， j 一 其中 坻= m = 入j i 二警如 由于 + 。o e - e d c = o , 丽；孚，雪：凳翥萋瑟： 从而可得各个螈，n = 0 ，1 ，2 ，的值，这样便得矩阵c 中的各元素的值，见表4 1 。 利用守恒方程组可以将色散关系进行简化。为此我们对( 4 1 ) 式分别作用 - - e x p ( 一万+ i 毒面) 施妨如l ，f e x p ( 一子冲i 穑寥l 霉以据如l ，e x p ( 一剪+ i 露面) ( ；c 萱一1 ) d 云据出l ， 进行变换，并由定义式( 4 2 ) 以及盯= 考，南= ：，得变换后的守恒方程组为： 盯p l i k u 2p i ， ( 仃+ 1 一b 1 ) 一i k ( p 1 + 7 1 ) 一2 i k 琏：) = t 正i ， ( 4 1 2 ) p + 1 一岛) 五一i k u 一吾i 七趣1 ) = 正 其中店，t i ，正分别表示各个矩对应的初值。 内蒙古大学硕士学位论文 由方程组( 4 1 2 ) ，我们可以研究以下色散关系式 仃一i k 000 - i k 0 c 4 1 侥l 口+ 1 一b 1 一i 七 一；i k 矿+ 1 一b 2 q 2 c 5 2既3 2 i k 0 一1 g 4 0 一要i 七 o g 5 1 = d s ( k ，盯) = 0 ，( 4 1 3 ) 上式较d e ti c i i = 0 已经简化了许多。 下面我们只考虑( 4 8 ) 左上角的三阶矩阵，对应的是前三个矩的方程 ( 晏+ c 1 $ 鑫刊舻掣t 时即- 批+ b z 乃( 鼋一孙 ( 4 1 4 ) 变换后得 夕t = 百导丽p 1 4 - b l c l = + b z 乃( 聋一互3 ) + 再尝丽， ( 4 1 5 ) ( 4 1 5 ) 对应的色散关系式为 珑( 七，盯) = c i i 1 c 2 , 岛1 c 1 2 c 2 2 1 伤2 c l s 岛3 1 = 0 ，( 4 1 6 ) 对( 4 1 6 ) 式进行计算可得 詹3 一z l k 2 + 磊七一7 , 3 = 0 ， 历：a ( 1 一m ) b l + a 3 ( m - 1 ) + a ( 2 m - 1 ) + i 5 m 反】b 2 + 了m ， 易：( 1 一m ) b 1 + a 2 ( m - 1 ) + 百m + 孬m 2 】b 2 ( 4 1 7 ) + a 2 ( - 1 ) ，+ 西m + 业半慨岛， 磊： a ( m - 1 ) + 两m + 驾半m ， 对于较大的入可得系数互的近似值为 z 1 一( 去一殍3 + 两1 5 ) b - + ( 去一丽7 + 两1 5 ) 岛+ ( x 1 一两1 + 丽3 ) ， 易一( 去一再3 + 嚣) b 。+ ( 去一碎5 + 丽5 9 ) b 。+ 而1 一丽7 + 丽2 9 ) b ，既 历一( 而1 一两7 + 而2 9 ) b 1 8 2 ( 4 1 8 ) 色散关系 当b 1 = b 2 = 2 时即得单一气体中的色散关系： 此时对( 4 1 7 ) 中的三次方程进行求解得三个根为 妄一嘉 。x 1 十可i v 僵5 - 一评8 。三a 一监a 2 一孬8 ，( 4 1 9 ) 考虑到对入的假设( 入较大) ，因此可设仃和后较小，从而有： 盯l 一一七2 ， 眈。v 售i k - k 2 + 。识 ( 4 2 。) 一居z 一学羽 第一个根表示与热传导有关的衰减频率，而第二和第三个根给出了绝热情况下声传播的 速率，其中相速率由，m 詈= 给出。 对第二类气体分子可用同样