（概率论与数理统计专业论文）利率影响下的风险模型的若干问题研究.pdf

摘要 风险理论是金融学和精算学的基础，而其核心问题是破产理论的 研究本文中，主要研究利率存在情况下与破产有关的一类问题，得到 了与破产相关的一些变量的表达式或性质 本文主要由五部分组成 在第一章中，我们简单的介绍了风险理论的历史、现状与主要成 果，其中重点阐述的是有关古典风险模型的问题而且给出了本文研 究的主要内容与结果 在第二章中，我们简单的介绍了与本文有关的基础知识，如：期 望、点过程、鞅等等 在第三章中，我们对马氏利率的情况给予讨论主要讨论了利率 为两个状态的情况首先得到了生存概率满足的方程，然后对方程的 解法进行了研究 在第四章中，我们讨论了有投资收益的风险模型对经典风险模 型考虑其累计投资收益率为线性函数，复合p o i s s o n 过程与b r o w n i a n 运 动叠加的情况得到了破产时刻折现惩罚函数的期望满足的方程特 别，当破产时刻惩罚函数和累积投资收益率为某些特殊情况时得到了 一些与破产有关的量，如破产概率，破产前赢余与破产时赤字的分布， 破产前赢余与破产时赤字的刀阶矩等 在第五章中，我们在第四章模型的基础上讨论有红利发放且红利 界为线性函数的情况得到了红利现值的期望函数和折现惩罚函数的 期望满足的方程 第六章是附录、 关键词利息力，积分一微分方程，随机投资收益，折现惩罚函数，红利 a bs t r a c t t h er i s kt h e o r yi st h ef o u n d a t i o no ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa n dt h e a c t u a r i a lm a t h e m a t i c so fi n s u r a n c e a n dt h es t u d yo ft h er u i nt h e o r yi si t s c o r e i nt h i sp a p e r , w es t u d yac l a s so fp r o b l e m sa b o u tr u i nu n d e ri n t e r e s t f o r c e s o m ee x p r e s s i o n so rc h a r a c t e r so ft h ev a r i a b l e sa b o u tr u i na r e o b t a i n e d f i v ec h a p t e r sa r ec o n c l u d e di nt h i sw h o l ep a p e r i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ec o n c i s e l yi n t r o d u c et h eh i s t o r y , t h ec u r r e n t s i t u a t i o na n dt h em a i nr e s u l t so ft h er i s kt h e o r y e s p e c i a l l y ，w ep a ym o r e a t t e n t i o nt ot h ec l a s s i c a lr i s km o d e l f i n a l l yw ep r e s e n tt h em a i nc o n t e n t o ft h i sp a p e ra n dt h es o m er e s u l t so fo u rr e s e a r c h i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eo u t l i n e t h eb a s i ck n o w l e d g e ，s u c ha s e x p e c t a t i o n ，p o i n tp r o c e s s ，m a r t i n g a l e ，a n ds oo n ，w h i c hi st h ef o u n d a t i o n o ft h i sp a p e r i nt h et h i r dc h a p t e r , w ed i s c u s st h er i s km o d e lw i t hm a r k o vc h a i n i n t e r e s t s p r i n c i p a l l y , w es t u d yt h ec a s eo ft w os t a t e s f i r s t l y ，w ea b t a i n t h ee q u a t i o n so ft h es u r v i v a lp r o b a b i l i t y t h e nh o wt os o l v et h ee q u a t i o n s i si n t r o d u c e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h ec l a s s i c a lr i s kp r o c e s sw i t h r e t u r no nt h ei n v e s t m e n tg e n e r a t i n gp r o c e s si sac o m p o u n dp o i s s o n p r o c e s sp l u s ab r o w n i a nm o t i o nw i t l lp o s i t i v ed r i r w r eo b t a i nt h e e q u a t i o no f d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i n e s p e c i a l l y , s o m eq u a n t i f i e s ， s u c ha s r u i np r o b a b i l i t y ，t h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h e s u r p l u sb e f o r e r u i nu ( t _ ) a n dt h ed e f i c i ta tr u i nu ( d ，t h ent hm o m e n t so ft h e m , a n ds o o i l ，r e l a t i n gt h et i m eo fr u i n ，a r eo b t a i n e dw h e nt h ed i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o na tr u i na n dr a t eo fi n v e s t m e n ti n t e r e s ta r es o m es p e c i a lf u n c t i o n s i nt h ef i f t hc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h ep r e s e n c eo fal i n e a rd i v i d e n d f o l l o w i n gt ot h em o d e lo ft h ef o u r t hc h a p t e r w ed e r i v et h ee q u a t i o no ft h e e x p e c t e dv a l u eo fd i s c o u n t e dd i v i d e n dp a y m e n t sa n dd i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o na tr u i n t h es i s t hc h a p t e ri sa p p e n d i x k e y w o r d si n t e r e s t f o r c e ，i n t e g r o d i f f e r e n t i a l ，d i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o n ，s t o c h a s t i cr e t u mo ni n v e s t m e n t s ，d i v i d e n d i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献己在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名： 硷盛型 日期： 丝生年! l - 月王日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文，允许学位论文被查阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学 位论文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 储躲拙啤导师躲弹吼衅卫月阜日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 风险理论的发展历程 第一章绪论 风险理论较为系统的理论形成于上世纪初叶早期的代表作有l u n d b e r g ( 1 9 0 3 1 9 2 6 ) c r a m e r ( 1 9 3 0 ，1 9 4 5 。1 9 5 5 ) 等从内容的系统性、完整性和涉及面的 广度来看，g e r b e r ( 1 9 7 9 ) l 拘著作是很有权威和代表性的风险理论研究所关注的焦 点问题一直是破产概率的计算与估计也就是破产理论。而现在公认的破产理论的 研究起源于瑞典精算师f l i pl u n d b e r g 于19 0 3 年发表的博士论文，至今已经有一 百多年的历史 风险理论的发展已经有很长的时间了对其做出贡献的最初有e d m u n d h a l l e y 和d a n i e lb e m o u l l i 而在上世纪初和中叶h a r a l dg r a m e r 和f i l l i p l u n d b e r g 建立了风险理论与一般随机过程之间的联系随之人们应用随机过程 的标准结果来研究风险理论不仅大大简化了经典结果的证明而且可以解决许多 问题。尤其是随着随机过程研究的深入，极大的促进了风险理论的发展，最终使得 风险理论取得了突破性的进展 随着保险业本身发展的需要，许多破产以外与破产有关的问题开始被关注八 十年代末开始，一些与估算经营期间财产数额、赤字、续保及兼并的可行性的数 学理论及内容开始出现例如对破产瞬间前后财产余额分布。对引起破产的赔偿金 数额的分布，以及破产到恢复期间最大亏损程度的分布的研究，代表性的文献有 d u f r e s n e 和g e r b e r ( 19 8 8 ) ，d i c k s o n ( 19 9 2 。19 9 3 ) ，d i c k s o n 和w a t e r s ( 19 9 2 ) ， p i c a r d ( 19 9 4 ) 。p i c a r d - 和l e f e v e r ( 19 9 4 ) 等另外d u f r e s n e 和g e r b e r ( 19 9 1 ) 对带干 扰的复合p o i s s o n 过程的研究首次把破产概率分解为摆动和跳跃有关的分量形 式，令人耳目一新，这项研究为理论与实际问题的研究开拓了新领域 1 2 经典风险模型及其推广 关于风险理论的研究，可以依据风险模型的不同提法，针对保险公司运作中遇 到的种种问题，通过对风险模型进行修正，附加各种条件，使得模型更加接近保险 公司的实际运作，这使得风险理论的研究变得非常富有挑战性 一般地，我们可以用以下随机过程来描述保险公司在t 时刻的余额： 硕士学位论文第一章绪论 u ( f ) = “4 - 尺o ) 一s ( f ) 其中，u ( u o ) 表示保险公司的初始准备金；r ( f ) 表示( o ，t 】时间段内的总体保 费收入；s ( f ) 表示( o ，f 】时间段内的总索赔量 这里，我们只考虑了保费和索赔这两个随机因素对余额的影响随着时间，的 变化，盈余可能在某一时刻为负当首次出现这种情况时，我们说保险公司发生了 破产当然，这里所说的破产并不是保险公司要面临倒闭，这样做只是为了数学上 的处理方便而已如果把财务上其它影响盈余的因素都考虑在内的话，当保险公司 出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，盈余u ( f ) 仍然可能为正的或者可能恢复为 正的 我们所研究的破产概率y 似) 仍是衡量一个保险公司或者所经营的某个险种 的金融风险的极其重要的尺度，它可以为保险公司决策者提供一个早期风险的警 示手段，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提供依据因此，破产 概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管有着非常重要的指导意义 下面将简要回顾经典风险模型及其推广 1 - 2 1 经典风险模型 令( q f ，p ) 为一个完备概率空间，下文中所有的随机变量和过程均在其上面 定义 定义1 1 若 ( 1 ) 过程 ( ，) ，f - 0 是一个强度为名的p d 泌d n 过程，其中( o ) = o ( 2 ) 五，f = l ，2 是相互独立同分布的随机变量序列，设其分布函数为f ( 工) ， 均值为材，方差为2 ( 3 ) ( f ) ，t 0 与 五，i = l ，2 j 彼此相互独立 令 | “、 u ( t ) = u + c t - 赛_ , x i f l l 其中“0 为初始准备金，c 0 为常数，称为保费收取率 则该风险模型称为复合p o i s s o n 风险模型 从盈余的角度看过程，过程一方面有连续不断的保费收入，另一方面又有理赔 需要支付形成的跳跃，因此风险过程成为一个跳跃过程，在两次理赔发生时刻 车。，霉之间的时问( 霉中互) 内，过程随着时间在线性的增加，增加的速度为保费收取 率，在理赔发生时刻z 过程跳跃性的减少了与理赔相同的量，从图1 1 中可以看出， u ( f ) 可能出现小于0 的情况，我们把这个事件称为破产，虽然在实际中，这并不说 明保险公司真的发生破产也不能说明其财务状况很差，但是在简化的数学模型中， 对破产事件的研究无疑是重要的 2 硕士学位论文 第一章绪论 定义1 2 瓦= h l f f i f o ，u ( ，) o ( 名= 佃也是可能的) ，当，个名时，满足 ( ，) 个佃 v ( t ： 刀 ， u m 石 五互乙7 图1 - 1 ( 赢余过程的一个典型样本轨道) 定义1 3 在复合p o i s s o n 过程中，令其强度参数为a ，理赔额置的矩母函数为 峨( ，) = e ( p 瞄) = l + f 矿( 1 一，( 工) ) 出，则方程州略( ，) = ，c + 名的非零解r 称为 调节系数 定理1 1 在复合而锄捧过程中，个别理赔额置的矩母函数峨( 厂) 定义在 ( o , r ) l - _ ，其中厂佃在c 2 u 的假设下方程名+ r c = a , m x ( ，) 有唯一的正根 r ( o ，) 下面是在复合凡舾d 刀过程条件下的一些重要的研究结论： ( 1 ) 破产概率满足如下积分一微分方程 甲( 越) = 詈甲( ) 一詈r y ( 扰一x 沙( x ) 出一詈( 1 一f ( ”) ) 其中厂( 工) 为分毫函数f ( ：) 的密度函数 ( 2 ) ( 材) 2 詈中( ) 一兰cr ( 越一z 矽( z ) ； ( 3 ) 西( 材) = ( o ) + 詈r ( 材一z ) ( 1 一f ( z ) ) 出； ( 4 ) 若p 0 则甲( o ) = - i 一，其中p = 一l 称为相对安全负荷； l + pa u ( 5 ) 嘶h d b e r g 删l i m p m 甲( 甜) 5 丽p 砺u _ 上- j jlc 从下面图1 - 2 中，我们不难看出调节系数是存在的关于具体证明可见成世学 ( 2 0 0 2 ) 3 硕士学位论文 第一章绪论 性质1 1 ( 1 ) 调节系数r 满足不等式 尺 h mg ( 三2 u ) 。 v lj ( 3 ) e - r v ( , ) 是一个鞅 j 么 名 o rr 1 2 2 经典风险模型的推广 从经典风险模型的假设中，我们可以看到它的局限性，正是由于它的局限性使 的它与实际不能很好的相符合，因此自从它被提出以来，人们从各个方面对其进行 了推广，从而让它更好地与实际相符合，人们主要从以下几个方面对其进行推广： ( 1 ) 经典风险模型索赔到达过程是齐次p o i s s o n 过程，推广为不再是齐次 p o i s s o n 过程，例如推广为更新过程，如吴荣和杜勇宏( 2 0 0 2 ) ，或广义p o i s s o n 过程， 如何树红。马丽娟赵金娥( 2 0 0 5 ) ( 2 ) 改变保费收入，在经典风险模型中，保险公司在单位时间内收取的保费 为一常数c ，很多学者在这方面做了推广把保费收取过程用随机变量来描述 ( 3 ) 建立多险种风险模型，如刘东海，刘再明( 2 0 0 5 ) ，用不f 哥分布的随机序列 来描述不同险种的索赔额分布，并用不同的点过程来描述不同险种的索赔到达过 程 ( 4 考虑保险公司经营过程中可能存在各种不确定因素，g e r b e r 于1 9 7 0 年 提出盈余有随机扰动的风险模型其后有很多带随机扰动的风险模型出现，如 4 硕士学位论文第一章绪论 w a n gg - w ur ( 2 0 0 0 ) ( 5 ) 考虑实际经营过程中利率，通货膨胀的影响，把利率因素考虑进去，研究 利率为常数和随机变量等情况如林庆敏，汪荣明( 2 0 0 5 ) ，s u n d tb ，j o z e fl t e u g e l s ( 19 9 5 ) ，r u u db r e k e l m a n s 。a n j ad ew a e g e n a e r e ( 2 0 0 1 ) j u nc a i ，d a v i d c m d i c k s o n ( 2 0 0 3 ) ，r u i m r c a r d o s o h o w a r dr ( 2 0 0 3 ) 等研究的是常利率的情 况：p a u l s e n ，j 09 9 3 19 9 7 ) ，w a n g ，g w u ，r ( 19 9 8 ，2 0 0 1 ) ，k a mc y u e n ，g u oj i n g w a n g k a iwn g ( 2 0 0 4 ) 等研究的就是随机利率的情况 ( 6 ) 考虑投资回报，并把投资的回报率考虑为某些特殊的随机变量的情况， 如为l e v y 过程或跳过程，或为几种的组合的情况如p a u l s e n 。j ( 1 9 9 3 。1 9 9 7 ) 。 w a n g ，g w u ，r ( 1 9 9 8 ，2 0 0 1 ) 。k a mc y u e n 。g u o j i n gw a n g 。k a iwn g ( 2 0 0 4 ) ( 7 ) 考虑红利发放，研究红利界为常数、为线性函数或为非线性函数等情况 如j p a u l s e n ，h g j e s s i n g ( 1 9 9 7 ) ，h a l b r e c h e r ，r k a i n h o f e r 【2 0 0 2 ) h u g e r b e r ( 19 8 1 ) 1 3 本文的主要内容与结果 本篇文章主要研究经典风险模型中引入随机利率的情况其主要内容分为三 部分： 第一部分讨论利率变化为马氏链的情况，得到了破产概率满足的方程，主要对 利率为两状态的马氏链的情况的方程的解给予了研究 第二部分讨论有投资收益的情况，考虑其累积投资收益率为线性函数，复合 p o i s s o n 过程与b r o w n i a n 运动叠加的情况得到了破产时刻折现惩罚函数的期望 满足的方程特别，当破产时刻惩罚函数和累积投资收益率为某些特殊情况时得到 了一些与破产有关的量，如破产概率，破产前赢余与破产时赤字的分布，破产前赢 余与破产时赤字的，z 阶矩等 第三部分讨论有红利发放的情况得到了红利现值和折现惩罚函数的期望满 足的偏微分方程 5 硕士学位论文第二章预备知识 2 1条件期望与方差 第二章预备知识 概率空间记为( q ，f ，p ) ，g 是f 的某一子仃代数，gcf 告( 缈) 是满足 e 眵 对任意彳g 有：e 善i g 】尸( d 缈) = 孝p ( d 国) 定义2 2 设c f 为任一事件，则它的示性函数，即：( 国) = 1 , 如果c o c ， 否则t ( 国) = o ，关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为p ( c i g ) 尸( c l g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 p ( c i g ) y g g 的可测函数； ( 2 ) 对任意彳g ；f f ：i a p ( c i g ) p ( d c 抄) = p ( a c ) 注：在本文中，如无特殊说明，所有l 表示示性函数，即：l ( 缈) = 1 ，如果缈c ， 否则l ( 国) = 0 条件期望的性质：以下等式、不等式或极限关系都是以概率i 成立的，孝，专，矽 都是随机变量且e 眵 7 7 ，则点【善i g 】 e 【7 7 i g 】； 6 硕士学位论文第二章预备知识 ( 3 ) l e 【孝l g i 研圳g 】； ( 4 ) 设o 毒个孝，e 眵i o o ，则e 毒i g 】个e 孝i g 】； ( 5 ) 设缶寸孝，i 参i 7 7 ，e r o o ，则e 【专l g 】一e 孝l g 】； ( 6 ) 如刁对g 可测，e i 孝 7 1 0 ，当j i i _ 0 时 p ( m 2 ) - d ( 厅) ； 有独立增量 ( 3 ) p ( o = 0 ) - 1 ； 有平稳增量； 几乎处处有序； 有独立增量 ( 4 尸( o = o ) - 1 对任意的h 0 ，当j i i 专0 时 尸( m 。，+ 。= 1 ) = 名i ，+ d ( 办) ，p ( m 2 ) = d ( ) ； 有独立增量 ( 5 ) p ( o = 0 ) - 1 ； 对于任意正整数k ，实数0 t z 0 ，f o p ( m m = 1 ) = a ( f ) + d ( 向) ， 尸( m “2 ) = d ( 办) ； ( 3 ) 有独立增量 这里的旯( ，) 是足上的非负函数，它在任意有限区间是可积的，我们把由 人( f ) = f 名( s p 定义的函数称作过程的累积强度函数 定义2 6 有限值计数过程 m ：f o 称作非齐次泊松过程，如果它满足以下 条件： ( 1 ) p ( o = 0 ) = l ； ( 2 ) 对任意的h 0 f o p ( m 肿2 ) = d ( j 1 ) ； ( 3 ) 有独立增量 定义2 7 随机过程 s ；f 0 称作复合p o i s s o n 过程，如果它可以表示为如下 的形式：对任意的t 0 ， s = ，二 n = l 其中： m ；f o 是带时倚强度五( ，) 的p o i s s o n 过程， k ，n = l ，2 ，) 是独立同分布的 随机变量序列，并且过程 m ；f o 和序列 艺，n = 1 ，2 ， 是相互独立的 特别地，若 m ；f 0 的强度为常数名，那么 m ；f o 就是齐次p o i s s o n 过 程对于这样的复合p o i s s o n 过程，有如下重要定理： 。 定义2 8 ( 更新过程) 设 乙，n = 1 ，2 ， 是一串相互独立同分布的非负随机变量， 它们的共同分布函数是r ( x ) ，如果我们把看作是一个点过程的第万一1 个和第 n 个点事件之间的时间间距，则第刀个点事件的发生时间是 鼠= 石， 玎1 i = 1 再定义s o = 0 ，我们把由 川= s u p n ：瓯5 t 定义的计数过程 m ：f 0 称作更新过程 更新过程大体分为普通更新过程，延迟更新过程和平衡更新过程三类普通 9 硕士学位论文第二章预备知识 更新过程也就是我们上面的定义，其它两类更新过程的定义如下： 定义2 9 设 乙，刀= l ，2 ， 是一串相互独：立的点间间距，其中第一个点间间 距五有分布g ，其余的 乇，刀 2 9 * o l 有共同分布函数是f ( 工) ，我们令： 最= 乃( 以1 ) ，小乞= 鲫p 疗：瓯f 1 = 1 其中= o ，则我们称= s u p n ：最， 为延迟更新过程- 定义2 1 0 在上面的定义中若g ( f ) = 一1 ( 1 - ，b ) 协其中材为分布函数 、， n 、 、， f ( _ x ) 的数学期望则这样的延迟更新过程就称为平衡更新过程 2 3 l a p ia c e 变换、逆变换、卷积 定义2 1 1 设厂( 工) 是定义在【o ，0 0 ) 上的任意函数，我们把由 夕( s ) = f p 叫( f ) 出定义的函数称为它的l a p l a c e 变换如果知道某函数o ) 的 l a p i a 变换于( s ) ，把由厂( 工) = 历i 万：于( s ) e 盯出，f o ，定义的函数称为l a p l a c e 逆变换右端的积分称为l a p l a c e 反演变换 定理2 1 ( l a p l a c e 变换的存在定理) 若函数厂( 工) 满足下列条件： ( 1 ) 在t 0 的任意一有限区间上分段连续； ( 2 ) 当r 一佃时，( x ) 的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数 m c 上一定存在，右端的积分在r e ( s ) q c 上绝对收敛而且一致收敛，并 在r e ( s ) c 的半平面内厂( s ) 为解析函数 定理2 2 ( 反演积分的计算) 若焉，屯s 。是函数f o ) 的所有奇点( 适当的选 取使这些奇点全在r e ( s ) ( 2 设五置是一串相互独立同分布的非负随机变量序歹i j ，它们共同的 l a p l a c e 变换是夕( s ) ，又设n 是一个独立于 工，f = l ，2 ， 的非负随机变量，它的 概率母函数是g ( s ) ，则随机变量z = 五的l a p l a c e 变换z ( s ) 是： 1 0 硕士学位论文 第二章预备知识 z ( j ) = e 夕( j ) = g ( 夕( s ) ) 我们令甲( ”) 表示破产概率，则o ( u ) = l - 、：f ( u ) 为生存概率令面( s ) 代表 ) 的l a p l a c e 变换，则我们利用其定义以及分步积分公式，我们可以得到： ( 1 ) 面( j ) = f p 一“( “) 幽； ( 2 ) j c o 旷“( ”) a , - - 一面( j ) ； ( 3 ) f p 一“d ( “( 材) ) = 一面( s ) ； ( 4 ) j c o p 一“d ( 2 ( s ) ) = 占面。( s ) ； ( 5 ) p “d ( 材i f ( v ) 咖) 毋七西( s ) ； ( 6 ) 户( s ) = - m f ( ”) 幽； ( 7 ) f p 一“d ( r ( “一y ) r ( y ) a y ) = ( o ) 户( s ) 定义2 1 2 设x ，y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 f ( x ) ，g ( 工) 则z = x + y 的分布函数是 日( z ) = 尸( z z ) = d f ( x ) 粥( j ，) = z g ( z z ) 叩( x ) = ，g 称为f ( x ) ，g ( x ) 的卷积 2 4 随机和 设置，置，以是独立同分布的随机变量，并且有相同的分布函数f 和相同 的矩母函数m ( ，) = e q 口) = p 肛d f ( 工) 它们的和的分布是，“，其中，”在本文中 表示f 的刀重卷积似( ，) ) 。则是它们和的矩母函数 设是一个仅取非负整数值的随机变量，记 朋( s ) = 二p ? 见 其中凡= p ( n = 甩) ，刀= o ，1 ，2 ，它是的矩母函数再假定诸五和也是相互 独立的，并记 s = x l + x 2 + + x n 当n = o 时，约定s = 0 以下称s 为随机和，并称为求和次数，而诸置为s 的加项 s 的分布函数计算如下： 硕士学位论文 第二章预备知识 c 0 ) = p 岱g s ) = e p ( ss s i 册1 = 二尸岱s s l = 刀城= 二p o 溉 ( 2 1 ) 类似地，可得到矩母函数的表达式： 托( r ) - - e e 疗】= e e e 腮f 】= 昧膨( ，炉 = r e ( 1 0 9m ( r ) ) 其中臃是由前面定义的的矩母函数这样， 蟛护臃( 1 0 9 m ( r ) ) ”豁 ( 2 - 2 ) 特别的，彰( o ) = 册( o ) m ( 0 ) 这表明 研s 】= e i n i l r x 】 ( 2 - 3 将( 2 2 ) 式再微分一次，并置，= o ，可得 m ：( o ) = 册。( o 彤( o ) 2 + 棚( o ) 似。( o ) - m ( o ) 2 ) 即有，研s 2 】- 研2 】 研x 】2 + e n v a r x 最后，在上式两端再减去( 2 3 式两端的平方，便得： v a r s = v a r n i e x 】2 + e n v a r x 】 当求和次数n 服从非齐次泊松分布时，假设其参数为允( f ) ，这样由方程( 2 1 ) 知 f a s ) = 二。邝) 等p 喇) 这便是非齐次复合泊松分布 注：，。) 表示f ( 力的刀重卷积，f 吣( 力= o ，三主：，f 叼( 力f ( 曲= f ( x ) ， 在本文中，如果无特殊说明，“事一均表示函数的卷积 定理2 3 ( d o o b 停时定理 设m = m ，t o 为一右连续的f 一鞅，s ，t 为两 个停时，则可鸩i f a = m r 心) ，p a s 1 2 硕士学位论文 第二章预备知识 2 5 鞅 定义2 1 3 设在概率空间( q ，f ，p ) 上有一个非降盯代数族 e ；f t 以及 实随机过程 磊；fet ，若随机过程 专；f 丁) 对( q ，f ，p ) 适应，则称为 当；f 丁) 鞅， 如果满足e 旧i 而且对于任意s t ，有e ( 毒i e ) = 岳成立 定义2 1 4 设在概率空间( q ，p ) 上有一个非降_ 代数族 e ；f t ，一个 取值于t u ( o o ) 的随机变量r ( 国) 称为一个相对于它的停时，如果对于任意t t ， 有 彩，f 佃) f e 成立 引理2 1 如果m ( f ) 为一个鞅，f 是一个停时，那么过程 m ( r f ) 是一个鞅， 尤其是对于任意的f ，我们有e m ( t f ) = 删( o ) 引理2 2 若肘( f ) ，o f t 是一个平方可积鞅，那么存在一个可料过程日( f ) 满足：e fh 2 ( j ) 凼 ，m ( f ) = m ( o ) + 工日( s ) 凼 引理2 3 若u ( t ) 为一个可料过程，满足e 【h 2 ( s ) 凼 o o ，则 j ，( f ) = ef ：日2 ( s ) 扭( j ) o t 丁是一个平方可积鞅 引理2 4 若m ( f ) 为一个鞅，则 ( 1 ) 若f k s ，b ( f ) 一曰( s ) 具有期望为o ，方差 为( r s ) 的正态分布，显然对于s = o ，b ( f ) 具有n ( 0 ，f ) 分布； ( 2 ) 独立增量性即：曰( r ) 一曰( s ) 独立于 口( “) ，o “j ； ( 3 ) 轨道的连续性b ( f ) 是，的连续函数 性质2 3 若曰( f ) 是布朗运动，则 ( 1 ) b ( t ) 是一个鞅 ( 2 ) 召( ，) 2 一，是一个鞅 ( 3 ) 对于任何“，e 叫。卜是一个鞅 定义2 1 6 过程y ( f ) 被称作伊藤过程，如果对于任意的o s f s r ，有： 】，( f ) = 】，( o ) + f ”( s 炒+ f 仃( j 矽( s ) 其中b ( t ) 为布朗运动，而“( f ) ，盯( ，) 满足： ( 1 ) “( f ) 是一个适应过程，而且上i “( s ) 陋 口j ； 1 3 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 2 ) 仃( f ) 是一个可料过程，而且rl 盯( s ) 陋 口j ， 它的微分表示为： d y ( t ) = u ( t ) d t + c r ( t ) d b ( t ) o t 盯( ，) 如( f ) ， 也就是 厂( x ( ，) ) = ( o ) + f 厂( x ( s ) 弘w ( s ) + 吾f 厂。( x ( s ) p 2 ( s ) 凼 2 7 马尔可夫性、转移函数，转移矩阵 定义2 1 7 设 x ( f ) ，【o ，栩) ) 是概率空间( q ，f ，p ) 上的随机变量，在可数的 状态集e 上取值，如果对有限的时间o a t , t 2 = 以l = i = 磅为马尔可夫性 记弓= p k = - i = f ) ，称弓为转移函数，( 弓) 为转移矩阵 1 4 硕士学位论文 第三章马氏调制利率下的连续风险模型 第三章马氏调制利率下的连续风险模型 在经典风险模型中，通常假设没有投资收入，而事实上，保险公司的大部分赢 余来自于投资收入。这样息力下的风险模型能够更准确更客观的反映风险企业 的经营状况，近些年来利率下的破产问题越来越受到保险界人士的关注有固定 利率的风险模型有林庆敏汪荣明( 2 0 0 5 ) ，s u n d tb ，j o z e flt e u g e l s ( 1 9 9 5 ) ，r u u d b r e k e l m a n s ，a n j ad ew a e g e n a e r e ( 2 0 0 1 ) j u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n ( 2 0 0 3 ) ， r u i m r c a r d o s o 。h o w a r dr ( 2 0 0 3 ) 而现实生活中利率不一定是一直不变的，譬 如为了减少货币的需求和货币的发行之间的矛盾，必须对利率进行调整如利率 是时间的一个非负的阶梯函数又由于金融市场的变化又会呈现某些规律，这样使 得利率函数的跳动时刻和取值也呈现一定的统计规律在此可以用马尔可夫过程 j u nc a i ，d v a i dc m ，d v i dc m d i c k s o n ( 2 0 0 4 ) 来描述利率的变化本章就是马氏 调制利率下的风险模型 3 1 模型的描述 常利率的模型为 即) = u e 8 t + c 了e s - 1 一弘”m ( 3 1 ) 其中：u ( f ) 是f 时刻的盈余；”是初始准备金，为一常数；万是利率强度，为一常 数；c 是单位时间收取的保费；置是第i 次的个体索赔量；石是第i 次的索赔到达时 刻；o ) 是( o ，t 】时间段内的索赔次数 。 假设：( 1 ) 五( 汪l ，2 ，3 ，刀) 是独立同分布的随机变量，与x 同分布，有共同的 分布，( 曲= p ( x 工) ，不失一般性可设f ( o ) = 0 为简便起见，假定f ( x ) 是可微的， 即，( j ) = 厂o ) ，f ( x ) 是个体索赔额的密度函数，并且假定是连续的，个体索赔额的 七阶矩= f x k f ( 工) a x ，k = l ，2 ，；( 2 ) ( f ) 是参数为元的齐次p o i s s 伽过程，且 ( o ) = o ：( 3 ) 以，刀 与过程 ( f ) ，t 0 ) 相互独立；( 4 ) c 旯p ，则 ：骢等法= 竺萼! 。( 推广的大数定律) ) x i i i l ，i m 。u ( f ) = ，保证o ) ) 有向上的跳 硕士学位论文 第三章马氏调制利率下的连续风险模型 跃 我们假定利率口( f ) 是齐次r t 状态马尔可夫过程，其状态空间为 e = 慨，嘞，) ，在每取定某_ 状态时就是一常利率的情况设在状态 嘶o = 1 ，2 ，3 ，刀 停留的时间所服从参数为r h = 功( 嘶) ( i = l ，, 3 , - - - , 刀) 的指数分布 册是利率从状态嘶转移到状态q 时的概率若口( f 的所有状态是可通的( 即：对所 有的f 种，存在而如使风a 如儿i 凡， o 且胁= o ) 这样从嘶转移到状态嘶 的强度珊为 i 喙i j 。 协2 1 嘞 浯_ ， 记口 鲁q 2 劬q 3 q t ，设g = ( 纺，仍吼) 是一初始分布由所有的状态可通， 可得 纺功= 艺q j r b p a ， 则q 是一平稳的初始分布 定义3 1 t = i n f t l t o ，u ( ，) 专l ( u 一) ( 3 3 证明 在初始利率为时，考虑在( o ，h 】这个小区间内的几种情形： ( 1 ) 在( o 乃】内，利率强度口和均无跳； ( 2 ) 在( 0 ，h 】内，利率强度口无跳，有一个跳； ( 3 ) 在( 0 ，h 】内，利率强度口有一个跳，无跳； 1 6 硕士学位论文 第三章马氏调制利率下的连续风险模型 ( 4 ) 在( o ，h 】内利率强度口和n 均有跳； 则，由p o i s s o n 过程具有平稳，独立增量以及全概率公式有 仍( “) = 矿a k - r h h i q 丐( u e a + c 丝兰)仍( “) = 矿 + c 二二) “f 椭g 哪r 宰咖 c 等叫似) 出 + 仍h e y 岛纺( 孵咖+ c 竺与+ o ( 办) ( 3 - 4 ) ( 3 - 4 ) 作相应整理后两边同时除以h ，并令h 寸o ，得