《基本不等式》PPT课件.ppt

一、基本不等式,a0，b0ab,二、常用的几个重要不等式(1)a2b2(a，bR)(2)Ab()2(a，bR)(3)()2(a，bR)(4)(a，b同号且不为零),2ab,2,上述四个不等式等号成立的条件是什么？,提示：上述四个不等式等号成立的条件都是ab.,三、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：.,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,四、利用基本不等式求最值设x，y都是正数.(1)如果积xy是定值P，那么当时，和xy有最小值.(2)如果和xy是定值S，那么当时积xy有最大值.,xy,xy,1.下列函数中，最小值为4的函数是()A.yxB.ysinx(0x)C.yex4exD.ylog3xlogx81,答案：C,2.设a、bR，已知命题p：a2b22ab；命题q：()2，则p是q成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,解析：命题p：(ab)20ab；命题q：(ab)20.显然，pq，但qp，则p是q的充分不必要条件.,答案：B,3.当x1时，关于函数f(x)x，下列叙述正确的是()A.函数f(x)有最小值2B.函数f(x)有最大值2C.函数f(x)有最小值3D.函数f(x)有最大值3,解析：x1，x10，,答案：C,+1=3,4.已知2(x0，y0)，则xy的最小值是.,解析：2，所以xy15，当且仅当时等号成立.所以xy的最小值是15.,答案：15,5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x.,解析：每年购买次数为.总费用44x2160，当且仅当4x，即x20时等号成立，故x20.,答案：20,1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”.2.证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变形形式.,(1)已知a0，b0，ab1，求证：4.(2)证明：a4b4c4d44abcd.,(1)利用ab1将要证不等式中的1代换，即可得证.(2)利用a2b22ab两两结合即可求证.但需两次利用不等式，注意等号成立的条件.,【证明】(1)a0，b0，ab1，4(当且仅当ab时等号成立).4.原不等式成立.(2)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c2d2)22abcd4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2b2且c2d2且abcd.,1.已知a、b、cR且abc1，求证：,证明：a、b、cR且abc1，当且仅当abc时取等号.,1.利用基本不等式求最值需注意的问题(1)各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.2.合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值.,3.当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.,4.基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：,求下列各题的最值.(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z的最小值.(2)x0，求f(x)3x的最小值.(3)x3，求f(x)x的最大值.,(1)由条件lgxlgy1得定值xy10，故可用基本不等式.(2)由x0，3x36是常数，故可直接利用基本不等式.(3)因x不是常数，故需变形.f(x)x33，又x30，故需变号.,【解】(1)由已知条件lgxlgy1，可得xy10.则2.()min2.当且仅当2y5x，即x2，y5时等号成立.,(2)x0，f(x)等号成立的条件是3x，即x2，f(x)的最小值是12.,(3)x3，x30，3x0，f(x)x(x3)3(3x)3231，当且仅当3x，即x1时，等号成立.故f(x)的最大值为1.,2.解下列问题：(1)已知a0，b0，且4ab1，求ab的最大值；(2)已知x2，求x的最小值；(3)已知x0，y0，且xy1，求的最小值.,解：(1)法一：a0，b0,4ab1，14ab2当且仅当4a时，等号成立.所以ab的最大值为法二：a0，b0,4ab1，当且仅当4ab=时，等号成立.所以ab的最大值为,(2)x2，x20，当且仅当x2即x4时，等号成立.所以x的最小值为6.,+2=6,(3)x0，y0，xy1，当且仅当时等号成立，由当时取等号.所以的最小值为25.,在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案.,某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.,根据已知条件建立“购买天数x”与“平均每天支付的总费用”之间的函数关系式，然后利用基本不等式或函数的单调性解决.,【解】(1)设该厂每x(xN*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，x天饲料的保管与其他费用共是6x6(x1)6(x2)63x23x(元).从而有y1(3x23x300)2001.83x363423.当且仅当3x，即x10时，y1有最小值.即每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.,(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每x天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2(3x23x300)2001.80.853x309(x25).y23，当x25时，y20，即函数y2在25，)上是增函数，当x25时，y2取得最小值为396.而396423，该厂可以接受此优惠条件.,3.经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？,解：,当散即v40(千米/小时)时，车流量最大，最大值为11.08(千辆/小量).,(1)y=,(2)根题意有化简得v289v16000，即(v25)(v64)0，所以25v64.所以汽车的平均速度应控制在25,64这个范围内.,从近几年的高考试题看，基本不等式的应用一直是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.2009年湖北卷第17题考查了基本不等式的实际应用，代表了一个重要的高考方向.,(2009湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).,(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.,解(1)如图，设矩形的另一边长为am，,则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a所以y225x360(x0).x0225x（8分）(2)y22