（数学专业论文）无套利定价与完备市场理论.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 对离散有限时间金融市场，讨论了自筹资策略的若干等价形式，从任意一个d 维适 应过程出发都可以得到一个自筹资策略。对市场套利提出了新的看法，即无套利市场的 价值过程的保号性。等价鞅测度的存在导致市场无套利，反之无套利市场一定存在等价 鞅测度。未定权益可达等价于有可料表出，所有未定权益可达的是完备市场；存在离散 鞅具有可料表示性的市场是完备市场，反之亦然；具有可料表示性的鞅只能取有限多个 不同的值，这导致完备市场的滤子是有限生成的；反之，滤子是有限生成的市场存在具 有可料表示性的鞅，因而是完备市场。这样离散完备市场就有了四个不同的等价描述。 对连续有限时间金融市场尤其是i t 6 市场，讨论了自筹资策略的等价形式，以及从 任意d 维适应过程构出发造自筹资策略。探讨了重对数律的证明过程，利用随机时变讨 论了b r o w n 运动和局部鞅的关系，总结了d o l e a n s d a d e 指数鞅一致可积性的判断准则， 并讨论了g i r s a n o v 定理，指出了经典形式的g i r s a n o v 定理必须限于有限时间区间。连 续时间的b r o w n 运动具有可料表示性，在等价鞅测度下的b r o w n 运动也具有可料表示 性，通过i t 6 公式建立基本折现资本过程与b r o w n 运动的积分关系，证明了在一定条件 下基本折现资本过程也具有可料表示性，得到了i t 6 市场完备性的等价描述。 关键词：b r o w n 运动；连续局部鞅；可料表示性；有限生成滤子；重对数律；d o i e a n s d a d e 指数鞅；市场完备性； 第1 i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t o nd i s c r e t ef i n i t eh o r i z o nf m a n c em a r k e t ，s e v e r a le q u i v a l e n c ef o r m so fs e l f f i n a n c i n gs t r a t e g i e sa r eg i v e n , a n da n yd d i m e n s i o na d a p t e dp r o c e s s e sc a nb e m o d i f i e dt oas e l ff i n a n c i n gs t r a t e g y an e wi d e aa b o u tn o a r b i t r a g ei so b t a i n e d , i e 。ap o s i t i v ep r o c e s sw i l ln e v e rb en e g a t i v e n l em a r k e ti sa r b i t r a g e f r e ei f f e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ee x i s t s a n a t t a i n a b l ec o n t i n g e n tc l a i mc a nb e p r e d i c t a b l er e p r e s e n t e d , a l lc o n t i n g e n tc l a i ma t t a i n a b l ew h e nt h em a r k e ti sc o m p l e t e 1 1 1 em a r k e ti sc o m p l e t ei f ft h e r ee x i s t sam a r t i n g a l ew i t ht h ep r e d i c t a b l e r e p r e s e n t a t i o np r o p e r t y , a n dt h em a r t i n g a l ec a no n l yt a k es e v e r a lv a l u e s ，t h e nt h e f i l t e ri sf i n i t e g e n e r a t e da n df i n i t e g e n e r a t e df i l t e rl e a dt oc o m p l e t em a r k e t t h e r e f o r e w eh a v ef o u rd i f f e r e n tf o r m so fs t a t e m e n t sa b o u tm a r k e tc o m p l e t e n e s s o nc o n t i n u o u sf i n i t eh o r i z o nf i d 皿r l c em a r k e te s p e c i a l l yt h ei t 6 sm a r k 虬a n e q u i v a l e n c ef o r m so fs e l ff i n a n c i n gs t r a t e g y i so b t a i n e d , a n da n yd - d i m e n s i o n a d a p t e dp r o c e s s e sc a r lb em o d i f i e dt oas e l ff i n a n c i n gs t r a t e g y ，t o o a na t t e m p ti s m a d et op r o v et h el a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h m , a n db yt h em e a n so fr a n d o mt i m e c h a n g ew ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eb r o w n i a nm o t i o na n dac o n t i n r o l l s l o c a lm a r t i n g a l ew h i c hr e s u l t i n gi nac r i t e r i o no ft h eu n i f o r m l yi n t e g r a b i l i t yo ft h e d o l e a n s d a d ee x p o n e n t i a lm a r t i n g a l ea n dt ot h ec l a s s i cg i r s a n o vt h e o r e m , a l i m i t a t i o nt of i n i t et i m ei n t e r v a li sn e e d e d 1 1 1 eb r o w n i a nm o t i o ni st h em a r t i n g a l e 、析t ht h ep r e d i c t a b l er e p r e s e n t a t i o np r o p e r t y 、枷t hr e s p e c tt ot h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l e m e a s u r e b yu s i n gt h ei t 6f o r m u l aw ec o n n e c tt h ed e f l a t e db a s i ca s s e tp r o c e s s 、析l t h eq - b r o w n i a nm o t i o nu n d e rt h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，s oi ns o m ec a s e t h ed e f l a t e db a s i ca s s e t p r o c e s s b e c a m et h e p r o c e s s w i t ht h e p r e d i c t a b l e r e p r e s e n t a t i o np r o p e r t y ，f i n a l l y w eg e tas t a t e m e n t e q u i v a l e n t t om a r k e t c o m p l e t e n e s s k 盯w o r d s ：b r o w n i a nm o t i o n ；c o n t i n u o u sl o c a lm a r t i n g a l e ；p r e d i c t a b l e r e p r e s e n t a t i o np r o p e r t y ；f i n i t e g e n e r a t e df i l t e r ；l a wo ft h e i t e r a t e d l o g a r i t h m ；d o l e a n s - d a d ee x p o n e n t i a lm a r t i n g a l e ；c o m p l e t e n e s so ft h e m a r k e t 第1 i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留，使用学位论文的规定。本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文作者签名： 作者指导教师签名： 日期：加) 日期：州 年) 月乡日 年 月乡日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 现代金融学的第一篇文献是阿罗于1 9 5 3 年发表的论文证券在风险承担的最优配 置中的作用，该文将证券理解为在不确定的状态下有不同价值的商品，这就是关于金 融市场最早期的论述。后来人们发现将证券混同于普通商品是不合适的，原因在于这样 做掩盖了金融市场的不确定性的本质，于是引发了对金融学的其他数学框架的探索。后 来诺贝尔经济学奖获得者马科维茨首次在一系列研究公司财务问题的文献中明确提出 了无套利的概念，从此，套利的概念对金融数学产生了深刻的影响。无套利理论体系的 最大亮点就是b l a c k s c h o l e s 公式，该公式首次给出了欧式期权定价的显式解，该公式非 常易于计算，在金融交易实践中被广泛使用，引发了华尔街的金融革命，促进了金融衍 生品交易的长足发展。可以毫不夸张的说b l a c k s c h o l e s 公式是人类有史以来使用最频繁 的一个数学公式。 b l a c k - s c h o l e s 公式是对完备市场中的期权定价，金融数学将完备市场描述为无套利 且所有未定权益可达的市场，这里的“无套利和“未定权益可达构成了套利定价理 论的核心。 1 1 离散完备市场 离散鞅具备若干优良的性质，如可逐项定义递归，便于编程计算等，故金融数学首 先研究离散市场，获得对金融市场的一般性的认识，为研究连续市场做好准备。 自筹资策略是初始资本一旦确定后中途不再追加或撤离资本的一种投资方式，自筹 资的资产价格过程按银行利率折现后是等价鞅测度下的局部鞅。在第三章证明了自筹资 的若干等价形式，即定义3 2 、推论3 3 、推论3 4 及推论3 7 等价。不仅如此，定理3 5 指出在一定条件下，可以将一个d 维的随机过程构造成一个d + 1 种资产的自筹资策略， 该方法来自推论3 4 无套利的投资策略无法获得超过资产本身增值以外的收益，见定义3 8 ，为了研究 无套利市场，需要对套利本身进行研究，定理3 9 、定理3 1 0 指出了有套利市场的特点： 定理3 1 1 、推论3 1 2 及推论3 1 3 给出了无套利的等价描述，特别地，命题3 1 4 指出无 套利市场的价值过程具有保号性，该性质是无套利市场的本质特征。 等价鞅测度提供了对折现价值过程的度量，是未定权益定价的基础。一般地，等价 鞅测度是不同投资者共同认可的对动态的资产价值过程的评价标准，是交易者主观认可 的无风险价值标准，因而存在等价鞅测度意味着投资者对市场公平的认可。即存在等价 鞅测度的市场无套利，见定理3 1 6 ；反之，定理3 1 7 证明了市场无套利则存在等价鞅 测度( 但没有断言其唯一性) 。“鞅”一词源自法语，字面意义是公平赌博，金融数学将 其引入，意为公平交易。定理3 1 6 和3 1 7 构成了资产定价的基本定理。 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 未定权益可达等价于其折现资本过程可按折现基本资产过程可料表出，见定理 3 1 9 ；进一步，定理3 2 0 证明无套利市场的折现资本过程在等价鞅测度下是鞅。当市场 的等价鞅测度不唯一时，未定权益关于等价鞅的条件期望可以在所有的等价鞅之集上取 上确界或下确界，见引理3 2 l 、定理3 2 4 及推论3 2 5 。对取定的未定权益，这个上、下 确界可达时其上确界与下确界必相等，此时等价鞅期望与具体的等价鞅测度无关，此时 未定权益可达，定理3 2 6 指出上述几条等价。 为了描述鞅空间的结构引入可料表示性的概念，所有的鞅都可用一个d 维鞅的鞅变 换表出，称该d 维鞅具有可料表示性，见定义3 2 7 利用具有可料表示性的鞅，可通过 一定的规则构造同样具有可料表示性的鞅，见命题3 3 0 。命题3 3 1 、命题3 3 4 分别给 出了j a e o d 引理和j a c o d 引理的逆命题，指出具有可料表示性的鞅所在的鞅空间的滤子 的有限生成性；反之，鞅空间的滤子是有限生成的则存在具有可料表示性的鞅。由此可 知完备市场存在具有可料表示性的鞅，即折现基本资产过程。命题3 3 5 总结了离散完备 市场的若干等价描述，其中第4 、第5 是新的。 1 2 连续时间金融市场的完备性 连续时间市场的讨论需要的随机分析工具将在第2 章叙述，其中较为重要的是 b r o w n 运动的基本性质及b r o w n 运动与局部鞅的关系。 b r o w n 运动是最常见的随机过程，具备很多良好的性质，例如道路连续、独立增量、 强马氏性等。第2 章介绍了与b r o w n 运动密切相关的三个鞅过程( 命题2 2 ) 、b r o w n 运动的l e v y 特征( 命题2 3 ) 、以及b r o w n 运动的判定准则( 推论2 4 ) 、极大值过程( 命 题2 5 ) 。值得注意的是推论2 4 的( 3 ) 将b r o w n 运动通过i t 6 公式和一个指数鞅联系在 一起，该指数鞅是d o l e a n s d a d e 指数鞅，经典形式的g i r s a n o v 定理用d o l e a n s d a d e 指 数鞅来构造等价鞅测度变换( 定理4 9 ) 。 b r o w n 运动与局部鞅的关系有两个方面，可料表出和随机时变。连续局部鞅的变差 过程满足一定的条件，就可以表示为关于某个b r o w n 运动的i t 6 积分，此即b r o w n 运动 的弱可料表示性( 命题2 6 、推论2 7 ) ；另外，局部鞅通过随机时变等价于某b r o w n 运 动( 命题2 9 ) 。于是可以讨论局部鞅的d o l e a n s d a d e 指数鞅的极限( 命题4 6 ) 。 为了讨论等价鞅测度变换需要重对数律( 定理2 1 0 ) ，它有若干等价形式( 推论2 1 1 ) ， 结合随机时变可用于讨论d o l e a n s d a d e 指数鞅一致可积性，见命题4 5 、命题4 6 、命题 4 7 连续时间金融市场很多概念都取自离散市场，例如套利、自筹资策略( 定理4 1 、 定理4 2 ) 等。经典形式的g i r s a n o v 定理指出等价鞅测度变换是通过d o l e a n s d a d e 指数 鞅作出的( 定理4 9 ) ；反之亦然( 引理4 1 4 ) 。这样我们就可以很方便的讨论i t 6 市场的 完备性，见命题4 1 9 和推论4 2 0 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章随机分析相关理论 2 1b r o w n 运动的定义及性质 b r o w n 运动的研究历史是数学界的一段趣话。显微镜发明之初，植物学家r b r o w n 在研究水中悬浮的花粉运动轨迹过程中，发现花粉粒无序、随机的游走， 后来被称为 b r o w n 运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 。1 9 0 5 年，a e i n s t e i n 用物理学的观点解释了这一现象， 并得到了b r o w n 运动的数学方程。b r o w n 运动严格的数学模型直到1 9 3 1 年才由n w i e n e r 建立，被正式纳入随机分析的理论框架，故b r o w n 运动又称w i e n e r 过程。2 0 世 纪5 0 年代，经济学家萨缪尔森发现，一位几乎被后人遗忘的数学家l b a c h e l i e r 早在1 9 0 0 年就在他的博士论文投机理论中用b r o w n 运动来刻画股票价值的变化并给出其数学 定义。 定义2 1 ( b r o w n 运动【1 1 1 ) b r o w n 运动( 彬，五) 伽是定义在完备概率空间( q ，户，p ) 的随 机过程，满足下列条件： ( b i ) ( 正态增量) v t ，s r + u 0 ) ， s ，有形一形一( 0 ，t s ) ； ( b 2 ) ( 独立增量) v t ，s ，u ，1 ，r + u 0 ) ，t s 材 1 ，形一形与呒一睨独立； ( b 3 ) ( 道路连续) 形( f ) = 形，t 0 是f 的连续函数。 注：一般都假定w o = 0 ，不然令形= 形一w 0 ，研究( 形) 脚即可。 命题2 2 ( 由b r o w n 运动的三个鞅过程圆) 设( 彬，互) 舢是b r o w n 运动，则 ( m 1 ) ( 彬，五) 伽是连续局部鞅； ( m 2 ) ( 彬2 一t ，互) 。 。是连续局部鞅； 似3 ) v q r ，( e 。睨“，五) ；邳是连续局部鞅。 证明：( m 1 ) 对v 亡，s r + 由独立增量性，彬+ 一彬与五独立，从而 e ( 彬+ 。i 五) = e ( 彬+ - w , i z ) + w , = e ( 彬+ ，一彬) + 彬= 彬 ( m 2 ) 由定义2 1 知b ( 彬2 ) = t 0 为连续平方可积鞅，且 吲上彬d s 】 o o ，v t 0 t 】，不然讨论( 丝 l ，扎n ) 即可。 对v n n 令 m 2 只n k 巩1s 叫 矗 上1 1 、， 则日( ”为有界循序过程，且 熙州( 叫2 屯2 1 1 把o ( 2 9 ) 对v 佗n ，t 【o ，t 】令( n ) = 彬的= 厂只哪d 哆，则 。0 ( n 】t = ，( 日( n ) 2 吮2 d s ( 2 1 0 ) 故由( 2 9 ) 知，当佗_ ( 2 0 时彬m 均方收敛到某个连续平方可积的一维鞅彬，且 咿】。= 1 i m 矽n 】。= t ( 2 1 1 ) 。 f l - o o 故由推论2 4 知彬是b r o w n 运动。根据( 2 9 ) 得 ，叱= 。l i m 。j f h ，( 帕吃毗= ! i m f c d w n = f a w ( 2 1 2 ) 此1 1 1 】( 2 7 ) 口 推论2 7 ( d 维b r o w n 运动的弱可料表示1 6 1 ) 设( 哆，五) 伽为d 维连续局部鞅，且存 在d d 矩阵值过程日= ( 日) 侧( 掣 r 4 ) ，对v r + ，d e t 【皿】0 口矗，且 【m 。，m 。】。= ，圣细们- ，歹= 1 ，2 ，d ) ( 2 1 3 ) 其中西= h h ，则存在d 维b r o w n 运动( 彬) 舢使得 国防科学技术大字研冗生阮学位论文 m = 饩+ 。h 。d 形口s t r + ( 2 1 4 ) 这里口b = ：。q 包表示内积。 证明：证明是类似的。利用适当的局部化停时列，不妨设m 为连续三2 鞅及 h 咒h 2 ( r do r d ) ，同时不妨限制于有限区间 0 ，丁】，此时m 是连续平方可积鞅，令 ( 日( 月z9 ，功，= 了一：。，彩) ，m 其a 他x , , l 日。1 2 。，缈) i ，l 则日伽= ( h 伽) i ( ，彩) 鼠鲥为r 8 r 8 值有界过程，且当，z 一时有 j ：e ( 1 j 掣，珥 一州2 卜一o ，o t t ( 2 1 5 ) 令 呒( f ) = j = 研”d 恤，刀n ，o r 丁 ( 2 1 6 ) 则睨是连续平方可积鞅，由( 2 1 3 ) 得 暇，q = j ：( 驴o h o r ) ；出，z 姗f 丁 由( 2 1 5 ) 知呒收敛到某个连续平方可积鞅形，且 【_ 形，形j ，2 屯f ，o t t 根据推论2 4 知，i = 1 ，d 是b r o w n 运动，且 形，形7 ，= o ，_ ，o 0o s ，则映射色：t _ 伍p ) 严格单调增加，对每个u q ，吒还是伍 第6 页 国防科学技术大学研冗生阮字位论文 q ( 卢( ，u ) ，u ) = ，v r + ( 2 2 1 ) 利用时变，我们可以回答随机积分的时变何时是一个扩散过程的问题口，1 8 1 ，此处给出： 命题2 9 ( 局部鞅的随机时变) 设( 哆，互) 伽是连续局部鞅，且满足m o = 0 ， 【m 】。= t 砂= d s ，i 吃l o 口s ，则存在随机时变q ；及满足通常条件的滤子( 亏) t o 使得 ( 心，互) t o 为b r o w n 运动。 证明：由命题2 6 ( b r o w n 运动的弱可料表示) 知存在b r o w n 运动( 彬，互) 舢，使 得( 2 7 ) 式成立，在( 2 1 8 ) 式中取气= 晚2 ，利用i t 5 同构不难计算 e ( 孵一色l 互v 互形) = e i ，吮d 睨】2 一，吮2 d u i 互v 互l + 矿一色= 矿一色 于是( 哆，五v 互) 。邳，( 矿一4 ，王v 互) ； 。均是鞅，令亏= 气v 气，由q 非负严格 非降，知( 亏) 伽满足通常条件( 单调上升，右连续) 。于是( ，乒) t 0 ，( 吆一，亏) 伽同 、，) n、“，、u o ， 时是鞅，由命题2 3 ( b r o w n 运动的l e v y 特征) 知( ，乒) 伽为b r o w n 运动。口 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 即 2 3 重对数律 定理2 1 0 ( 重对数律冽) 设( 彬，巧) 舢是b r o w n 运动，则 w l i m s u p 一；= = = = 兰= 一= l a 8 m 4 2 t l o g l o g t 证明：注意到当牡一o o 有 歹e 一譬如丢于z e 一手出= 丢e 一手 1 一圣( u ) 压 这里a ( u ) b ) 表示当“j 时a ( u ) 与b ( u ) 是等价无穷大量。 由命题2 5 ( 极大值过程) ，v r + 尸 岭让以) 一岫以) ：2 ( 一删j j 令吃= 2 t l o g l o g t ，对协 1 ，c o ，n n ，有 注意到 p k c h 。- - i ) = 2 p 以 c 啊) 斗圣 。辱芒e 睾 广 jr 2 吖i c 故当n c 固定，礼- 时存在常数a 0 使得 一兰 p 悔 c a 怎 取任意固定的c 1 ，取1 r c 一。) 一0 0 4 c 2 礼7 c i o ) = 0 于是1 1 3 i p h 翟p c ) c 一叫去】 注意到 p 町一 c 小磊1 厅 一上c 2 故当r c 固定，扎一c o 时存在常数b 0 使得 ( 批gr ) _ r - - 1 辱：1一_ p 町- w , 一。 c l 。) 一b 一c 2 佗7 1 喜p 町一k 一- c ) “喜b 吞嘉2 n = lb 忑1 = o 。 由b o r e l - c a n t e l i 引理得 尸 一哆，。 c l 。i o ) = 1 即 l i r as u p 毕正了帆 ”。 7 0 n 故 l i r as u p _ w t - w t r 1 i m8 u p _ n - - w n - i 万。s ( 2 2 4 ) t - - + 以 n - - - o o 另一方面，- - 彬) 伽与( 彬) t o 同为b r o w n 运动，故 第9 面 国防科学技术大学研究生院学位论文 注意到 卟”c 一吖鲁卜 故当r ，c 固定，当礼_ 时存在常数c 0 使得 取c ：，厚， v ， 得 p 一彬州 1 ( 扎l o g r ) _ 喜ph c k ) 妻n = lc 丽n2 = 妻n = l 。忑1 = p 一- i c k 卜c 忌= d 嘉= 由b o r e l - c a n t e l i 引理得 即 故 h 翟p 睾h = p 等扣 令r _ o o 即得l i m 8 u p 鲁芝1 叫口 n - - - * o o 。 一h 竺p ( 睾) 厅一肛s n _ n ”。 推论2 1 1 ( 重对数律的等价形式 1 0 , 1 1 ) 设( 彬，五) 伽是实数域上的b r o w n 运动，则 l i m s u p 墨：1 h ” 2 “o g ，o g ； l i m i n f 皇：一1 抛 t - - - * 。、 2 tl o g l o gt 证明：注意到( 。，五) o 也是b r o w n 运动，令乱= lit ，则 t 訾p 矗= ；竺p 丽u w v = t 竺p 丽w = h s ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 第l o 页 一他一 一g 一兰0 辱一 生。一b 一 = 卜 _ 一 = 一2 一rl 厂辱 o = k = ，=_1， 忽， 尘k 防 等 p 蓦 o m 铲 p 一一竿 q 得訾 ， 八| 苈堡吃 0 眦m ， m p 4 u 2互 厶口综 国防科学技术大学研究生院学位论文 注意到( 一彬，互) 御也是b r o w n 运动，故 l i m i l l f 卫= 一l i r a s u p 当：一l i r as u p 墨：一1 口s 口 t - - * o o 4 2 t l o g l o g t t _ m 4 2 t l o g l o g t t m 4 2 t l o g l o g t 注：( 2 2 6 ) 的直接证明见 1 0 】，p 3 8 0 本章小结 本章介绍了b r o w n 运动的定义和基本性质。b r o w n 运动是随机分析的重点之一，它 具有两个重要的性质，即鞅性质和m a r k o v 性，在金融数学中b r o w n 运动的鞅性质具有 重要的作用。这里着重强调了b r o w n 运动的两个鞅性质，一是将局部鞅可料表出( 命题 2 6 ) ，二是局部鞅的随机时变等价于b r o w n 运动( 命题2 9 ) 。此外，我们将看到重对数 律( 定理2 1 0 ) 是研究d o l e a n s d a d e 指数鞅一致可积性的重要工具( 命题4 5 ) 。 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章有限离散时间金融市场的完备性 1 9 9 9 年，何声武1 5 l 系统地介绍了有限离散时间金融市场的理论。把股票价格看作 随时间推移而变化的，将时间离散化，取值佗= 1 ，2 ，n ，此假设下的金融市场即有限 离散时间金融市场。 3 1 基本概念 定义3 1 ( 有限离散时间金融市场【2 1 ) 所谓有限离散时间金融市场由下列要素构成 ( 1 ) 带滤的完备概论空间( q ，丁，( 互) 。n ，p ) ，其中气= ，q ； ( 2 ) d + 1 种资产价格过程：s = ( 最) 晌 - 1 ，歹= 1 , 2 ，d ，1 礼n 定义3 2 ( 投资策略、价值过程、自筹资策略、可取策略、盈利过程【2 】) 投资策略是 一个d + 1 维的( 五) 可料过程 口= ( 巳) 蝰。，巳= ( 0 。0 ，0 。1 ，) ，o 礼 投资策略的全体记为e ，相应的价值过程( 或称资本过程) 为 哪) - ( 删哑孵髋絮曼， ) 其中( n ，6 ) 表示内积。 称投资策略0 为自筹资策略( s e l f - f i n a n c i n g ) ，如果 a v 。= ( 巳，a s )(32n ) n、n ， 、 简记为0 s f 其中只= 一s _ l 亿= 1 ，n ，瓯= s o ，k 的定义类似。若还 + - v ( o ) c o ，礼= 1 ，n ，称p 为可取策略，记为0 咒，特别当c = 0 时称p 为零 可取策略，记为0 s f o 一般地，投资者采用自筹资策略时需要在礼一1 时刻做出佗时刻的投资决定，即 k 一。( 口) = ( 吃，& 一。) ( 3 3 ) 称下面的q ( p ) 为盈利过程 q ( 口) = e ( o ，最) ( 3 4 ) 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 推论3 31 2 j 口s f 当且仅当 ( 巳+ 1 s ) = o ，佗= 1 2 一，n - i ( 3 5 ) 证明：由 矿 o , s ) - ( o 卅s 一。) ( o9 最) 一( 6 l l ，s 一。) 】+ s 一。) 一( s 一，) 】 o ，a s ) + ( a o ，鼠一。) ，亿= 1 ，2 ，n ( 3 6 ) 利用( 3 2 ) 得所欲证。口 推论3 4 嘲0 艘甘k ( 9 ) 一( p ) = q ( 口) ，佗= 1 2 ， 证明：“辛 ，当0 s f ，利用( 3 5 ) 及( 3 6 ) 式得 k ( 日) 一v o ( o ) = 【k ( 口) 一k 一。( 口) 】 = 【( 吃，只) + ( q ，s 一，) 】 = ( 皖，引= q ( 口) “乍，当k ( 口) 一v o ( o ) = q ( p ) ，死= 1 , 2 ，n ，有k = ( 0 。，a s ) ，佗= 1 2 ，n ， 由( 3 6 ) 得( 巳，s 1 ) = o ，佗= 1 , 2 ，n ，即0 s i c 口 定理3 5 ( 自筹资策略的构造【2 】) 在有限离散时间金融市场任给常数c 及d 维可料过 程慷) 。 0 ；否则，称该市场为无套利市场。 定理3 9 ( 有套利市场【2 】) 市场有套利的充要条件是存在p s f 使得 k ( p ) = o ，k ( p ) o ，尸嘛( 口) 0 ) 0 ( 3 8 ) 证明：必要性是显然的，往证充分性，只需寻找策略妒踊如果p s r o 成立，不 用另找，不然令 仇= i n f 礼1 ：v o ，p ( v 0 ) o , l = 佗，礼+ 1 ， ( 3 9 ) 由( 3 8 ) 知( 3 9 ) 式有意义，且圪( 口) o ，v n m 。 记a = k ( p ) 0 ) ，则( 口) 0 。定义妒= ( ) 。 m , w a 易见 f 0 ，死m k ) 2 1 ( k ( 口) 一吒( p ) ) ，n m 又g n ( 妒) = 0 嚣m ，当扎 m 时 qp ) = ( 吆，置儿 = h ，s i 儿一( 1 7 ：，l ( p ) ，只儿 i = t n + 1 、 7 i = m + 1 = 化( 秒) 一k ( 9 ) ) l 一吃( p ) ( 一) = ( k ( 口) 一吒( p ) ) l 吒( 口) ( 一) = ( k ( 口) 一吃( 目) ) 故k ) 一k ( 妒) = q ( 妒) ，由推论3 4 知妒s f 于是当扎 m 时k ) = ( k ( p ) 一吒( 目) ) o ，n m 时k ) = o ，故妒s r o 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 注意到和) ， o ，p ( a ) 0 ，即妒是有套利策略，市场有套利。口 注：也可以令 历= s u p 疗l ：尸( k ( 臼) o ) ( 3 1 0 ) i r a = k ( p ) 0 ) ，定义妒= ( ) l m ，u a ，根据定理3 5 可以选取适当的使得妒s f 。当 缈a ，有= ( ，瓯) = ( + p 最) ，故 o = 醒+ 。磷+ 眈+ 砩0 + 。碟+ ( 口) 一0 2 。s 。oj 碟。= 0 2 。- - v ( o ) p m 我们断言群= 0 2 一圪( 们尾，n m 时妒8 f 用数学归纳法，设群成立，往求以。，由圪= ( ，最) = ( + ”瓯) 得 圪( 乡) 一圪( 秒) 尾钟= 圪( p ) + 娃，s o 一殴。s o ，解出0 + 。即可。 当1 n m 时q ( 卯= 0 ，当扎 m 时 q 0 ) = 以，盈儿= ( k ( p ) 一吒( 口) 舅) o 定理3 1 0 圈市场有套利甘3 1 m n ，q 露( 磊一。) 使得 ( q ，最) o ，p ( ( q ，最) 0 ) 0 ( 3 1 1 ) 证明：“号 由定理3 9 知，存在p 职，使得 v o ( o ) = o ，( p ) o ，p 嘛( 目) o ) 0 ， 令 m = 斌 佗：p ( v o ) 0 ) 若m = 1 ，取a 2 商气h i 卸) 巧( 五) ，则 ( 口，鼋) = ( q ，鼋) = ( q ，鼋- s o ) = 玩p ) 一v o ( o ) = ( p ) 0 于是p ( ( q ，鼋) o ) = p ( k ( p ) o ) 0 若m 2 ，取q = 1 a m i ) 譬( 一。) ，则kp ) = o ，佗= l ，m 一1 ，且 ( q ，最) = ( o ，最) = ( o ，最一最一。) = 吒( p ) 一吒一。( p ) = 吒( p ) 0 于是p ( ( q ，最) 0 ) = p ( ) 0 ) 0 “仁一设( 3 1 1 ) 成立，定义妒= ( ) 。s 。s 如下： 眈= o ，佗 1 ) fo t i ，歹= 1 ，d 2 卜( 啦最一。) ，歹= o 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 往证妒s f 且( 3 i i ) 成立。 而 事实上，当1 佗 m g m ( 妒) = j = 1 l0 ，歹= 1 ，d 2 他最) ，7 “。m 仇一1 时qp ) = k ( 妒) 一kp ) = 0 ，铊= m 时， ，t ) = ( ，) = 喜q ，s 。j 一( q ，最一。) ：壹( s 。i 一一。) 一( 口，最一。) = ( 。一一。) 一( 口，最一。) ddd a ，一一。一 j = i j = 1j = 1 j1 i s o ，m 一1 、m 妻一dq ，s 州j 一壹q ，一。s m o j = l d i = 1 d 一 一3m j i = ii = i ( q ，兔) d ( 妒) = ( ，s ) = j = 1 3 = i d q 雪，s o ：f jm lmu j = 1 s 州o ) d + i = i qs j m - - i ( 一影一。) 一o r ，最一。) = ( q ，最) 砩一( q ，最一。) = ( q ，免) 当死 m 时， q ) ：q ( 妒) + 妻( q ，最) 秽 j = m + l ：( q ，最) + 妻( q ，最) j = m + 1 = ( q ，最) 碟 综上qp ) = kp ) 一kp ) ，由推论3 4 知妒卵 当m = 1 时k ( 妒) = ( 竹，s o ) - 一( q ，雪o ) s o + q ，岛 j = l 当m 1 ，佗m 一1 时，kp ) = 0 ； 当佗= mb c ，扣) = ( q ，最) 0 ； 当佗 仇时，kp ) = ( q ，最) 故y ( 妒) 0 ，k ( 功= 0 p ( k ( 妒) 0 ) o = p ( ( q 最) = 0o 0 1 o ，即( 3 1 1 ) 成立。口 注：如果我们不关心妒卵的具体表达式，可以简化充分性的证明，设( 3 i i ) 成 f 0 ，n 1 ) 立，令= ( a ，0 1 ，吲) ，n = 仇 ，的后d 个分量已知，由定理3 5 可选取适当的 【( ，o ，o ) ， n m 口，o t 使得妒s f ，当m = 1 时由( 魄，瓯) = 0 得k ) = ( 竹，s o ) = 0 ；当仇 1 ， 第1 6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 竹 m ，k ) = l ( q ，最) + ( 竹，童) i 畿= ( a ，最) 【 r = m + l j 定理3 1 1 2 市场无套利的充要条件是 ( ，最) 0 号p ( ( q ，最) 0 ) = o ，v m = l ，n ( 3 1 2 ) 证明：“号 设市场无套利，若| m ，( q ，最) 0 号p ( ( q ，最)