方程的历史发展及其科学价值.doc

.方程发展史 摘要：由于实践的需要方程在古代便已产生了,现在发展成为分支众多的庞大系统，具有悠久的历史。本文概述了方程发展史上上重要概念形成与发展的过程，计算方法与表达形式发展的过程中划时代的事件，介绍了一元方程在中国文化与西方文化中的发展简史,说明了各个时期中西方之间关于一元方程理论的交流与影响。在数学文化的层面上论述了中国古代的一元方程理论会衰落甚至消逝的历史原因,同时,在数学价值观对数学发展推动的意义上,说明了现代高等代数学会在西方产生与发展的历史原因。并论述了在中学的数学教育中让了学生了解关于方程的基本数学史的意义及方程教学应注意的问题。 关键词：方程的发展、九章算术、天元术、韦达、分析方法引论 前言： 中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。让学生了解有关数学史的知识，有助于帮助他们更好的理解数学，数学不是他们认为的只是从定义和公理推导出来的一系列结论，而是有着丰富思想与独特发展规律的人类文化。 我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。对于三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。 十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(17861837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。 在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。 级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。12世纪是欧洲数学的大翻译时期。希腊人的著作从阿拉伯文翻译成拉丁文后，“在惊讶的西方面前展示了一个新的世界”欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学，构成后来欧洲数学发展的基础。3次、4次方程的求解与符号代数的引入使欧洲一大批数学家对方程的研究有了突破。方程的名称的由来及分类 方程是代数史中重要的研究课题之一，是古埃及人，巴比伦人，阿拉伯人，中国人，印度人，西欧人一棒接着一棒而完成的伟大成就。直至十九世纪代数学还被不少人理解为解方程的学问。 人类对方程的研究经历了漫长的岁月，在刘徽的九章算术里已经出现了方程一词。方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。这里当然不会有“方”的含义。清朝初年。中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年（公元 1859 年）才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示含有未知数的等式，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。在初等数学中方程大概可以分为以下几类方程超越方程代数方程有理方程无理方程整式方程分式方程一次方程二次方程高次方程指数方程对数方程三角方程反三角方程 今天我们主要回顾整式方程的发展历程。我准备从以下四个方面进行论述：方程在东方的发展，方程在欧洲的发展，方程的进一步发展，中学数学方程教学。一、方程在东方的发展公元前2000年前后古巴比伦泥板书上记载着这样的问题：我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二得六十分之三十五，求该正方形的边长.这个问题相当于求解方程泥板书上给出的解法是另一部古埃及数学著作柏林纸草书6619上也有类似的问题“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的”。到了公元三世纪古希腊的数学家丢番图在自己的墓志铭上刻了这样一道题过路人！这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须；又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半；儿子死后，老人再活了四年就结束了余生。 丢番图在著作算术中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被后人称为代数学之父（还有韦达）不无道理。以下是人们对丢番图一些不同的看法。中国古代数学著作九章算术中有“方程”章，也包含了很多关于方程的问题。九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源。接下来的几个世纪中国数学家在解方程上做出了突出贡献，公元3世纪 赵爽 勾股圆方图说给出了形如的二次方程的求解步骤，公元5世纪张丘建张丘建算经给出了由三个未知量的两个方程组成的不定方程组的解，公元7世纪 王孝通 缉古算经 解决了不少三次方程求解的实际问题，公元1113世纪在古代开平方、开立方、开带从平方、开带从立方等算法的基础上，创立了一种具有中国古代数学独特风格的新算法，即高次方程的数值解法. 其中张丘建算经的百鸡问题给出三元不定方程组开创“一问多答”的先例，这是过去中国古算当于如今的x、y、z、w，)四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其它各项放在四个象限中。列出四元高次方程后，再联立方程组进行解方程组，方法是用消元方法解答,先择一元为未知数，其它元组成的多项式作为这未知数的系数，然后把四元四式消去一元，变成三元三式，再消去一元变二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求得正根。这是线性方法组解法的重大发展，在西方，较有系书中所没有的。宋代以前，数学家要列出一个方程，往往需要高超的数学技巧、复杂的推导和大量的文字说明，这是一件相当困难的工作。随着宋代创立的增乘开方法的发展，解方程有了完善的方法，这就直接促进了对于列方程方法的研究，于是，又出现了中国数学的又一项杰出创造天元术。1248年，金代数学家李冶在其著作测圆海镜系统地介绍了用天元术建立二次方程，即设未知数并列方程的方法。在天元术的基础上，朱世杰建立了“四元高次方程理论”，他把常数项放在中央（即“太”），然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，“天、地、人、物”这四“元”代表未知数，(即相统地研究多元方程组要等到16世纪。我国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数学发展的高峰，对于方程的研究作出了当时无与伦比的成就，为世界数学史和文明史作出了伟大的贡献.这是中华民族的骄傲。当然，任何事物都是可以一分为二的.我国古代对方程的研究往往局限于解决实际问题，不重视基础理论特别是方程性质的研究，因此，也存在不容忽视的缺点。公元830年，花拉子米了一本有关代数的书Hisab al-jabr wal-muqabalah。史学家一直以来对此书的标题的适当翻译的意见不一，al-jabr 原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡。wal-muqabalah 意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项数运算。所以书名也译为还原与对消的科学，但通常习惯译作积分和方程计算法。这本书转成欧文，书名逐渐简化后，就被直接译成了代数学，代数学(Algebra)一词即由此书而来。花拉子米的代数学一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。印度数学家婆罗摩笈多在公元628年完成的婆罗摩笈多修正体系一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。婆什迦罗列举了各种二次方程的求解，并认为二次方程有两根。二、方程在欧洲的发展16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。1515年，费罗用代数方法求解三次方程。1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如的三次方程代数解法。1545年，意大利的卡当、费拉利在大法中发表了求三次方程一般代数解的公式。 15501572年，意大利的邦别利出版代数学，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。 1591年左右，德国的韦达在分析方法引论中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。 韦达最重要的贡韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法, 被称为代数学之父。 17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的算术一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。 1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿雷夫逊方法。 1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。18世纪人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终。19世纪人们开始研究高于四次的方程的代数求根的方法，但是屡战屡败，而法国数学家拉格朗日发表论文关于代数方程解的思考，他认为次数不低于五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他试图证明这个理论的正确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们的研究工作中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，即抽象代数时代。这两位年轻的数学家分别是阿贝尔 和伽罗瓦。三、方程的进一步发展伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。 在高等代数中，一次方程组 （即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。高次方程组 （即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论代数几何。 四、方程的教学 在初等数学中有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。准确把握方程思想是进行方程课程设计、教科书编写和教学实施的必要前提和重要基础。 方程是从现实生活到数学的一个提炼过程,一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。在开始学习方程时，学生处理代数的结构时，特别是用符号表示数值关系时，面临的一个任务是如何把问题的情景翻译成方程。方程思想的核心在于建模、化归。方程的学习,从一开始就应该让学生接触现实的问题,学习建模,学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言,得到方程,进而解决有关问题;而解方程的设计要点在于再