高一数学初等函数知识点与题型总结

1 / 106 高一数学初等函数知识点与题型总结 基本初等函数 一、知识导学 1. 二次函数的概念、图像和性质 . 注意解题中灵活运用二次函数的一般式二次函数的顶点式二 次函数的坐标式 f(x)?ax2?bx?c f(x)?a(x?m)2?n(a?0)和 f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0) (a?0) 解二次函数的问题要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解 . f(x)?ax2?bx?c(a?0)，当 ?b2?4ac?0 时图像与 x 轴有两个交2 / 106 点 . MN(x2,0),|MN|=| x1- x2 |= . |a| 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得 . 2.指数函数 a m y?ax(a?0,a?1)和对数函数 y?logax(a?0,a?1)的概念和性质 . 有理指数幂的意义、幂的运算法则： ?an?am?n； (am) n?amn； (ab)n?anbn M 3 / 106 ?logaM? logaN N logcb1 ?logaM； logab? nlogcaloga 对数的概念及其运算性质、换底公式 . loga(M?N)?logaM?logaN;logaMn?nlogaM; loga 指数函数的图像、单调性与特殊点 .对数函数的图像、单调性与特殊点 . 指数函数图像永远在 x 轴上方，当 a 1 时，图像越接近 y轴，底数 a 越大；当 0 当 a1 时，图像越接近 x 轴，4 / 106 底数 a越大 ; 当 0 y?x?的概念、图像和性质 . 2 3 结合函数 y=x,y=x,y=x,y= y?x,y?x ?1?2 ,y=x的图像，了解它们的变化情况 . 12 ? 0 时，图像都过、点，在区间上是增函数； 注意 ? 1与 0 ? 0时，图像都过点，在 区间上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近 y轴，向右无限接近 x 轴 . 当 x1 时，指数大的图像在上方 . 二、疑难知识导析 5 / 106 1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像 .二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：定义域区间在对称轴的右侧；定义域区间在对称轴的左 侧；对称轴的位置在定义域区间内 2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用 .会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误： a， loga(M?N)?logaM?logaN; 当 ?时，幂函数是奇函数；当 ?时，幂函数是偶函数；当 ?时，定义域不关于原点对称， 奇奇偶 6.幂函数 幂函数为非奇非偶函数 . 三、经典例题导讲 例 1已知 log189? 6 / 106 a,18b?5,求 log3645 错解： 18 ?5,log185?b log1845log185?log189b?a log3645? ? log1836log184?log189log184?a?5,log185?b log1845log185?log189 ?log3645? log1836log184?log189 b b 7 / 106 错因：因对性质不熟而导致题目没解完 . 正解： 18 b?ab?ab?a ? 182182?alog18()?a2log18()?a 99 2 例 2分析方程 f(x)?ax?bx?c?0的两个根都大于 1的 充要条件 . 2 错解：由于方程 f(x)?ax?bx?c?0 对应的二次函数为 f(x)?ax2?bx?c 的图像与 x轴交点的横坐标都大于 1 即可 . 8 / 106 ?f(1)?0?f(1)?0? 故需满足 ?b，所以充要条件是 ?b ?1?1?2a?2a 错因：上述解法中，只考虑到二次函数与 x轴交点坐标要大于 1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x 轴有 交点才行，即满足 0 ，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件 . ?f(1)?0?b? 正解：充要条件是 ? ?1 2a? 2 ?b?4ac?0? 9 / 106 y?36x?12?6x?5 的单调区间 . x2xx 错解：令 6?t，则 y?36?12?6?5 t?12?t?5 例 3求函数 当 t6, 即 x1 时， y为关于 t的增函数，当 t6, 即 x1时， y为关于 t的减函数 函数 y?36x?12?6x?5 的单调递减区间是 (?,6，单调递增区间为6,?) x 错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围 . 正解：令 6 函数 ?t，则 t?6x 为增函数， y?36x?12?6x?5 t2?12?t?5 (t?6)2?41 10 / 106 当 t6, 即 x1 时， y为关于 t的增函数，当 t6, 即 x1时， y为关于 t的减函数 y?36x?12?6x?5 的单调递减区间是 (?,1，单调递增区间为1,?) 例 4已知 y?loga(2?ax)在 0， 1上是 x的减函数，则 a的取值范围是 错解： y?loga(2?ax) 是由 y?logau，u?2?ax 复合而成，又 a 0 u?2?ax 在 0， 1上是 x 的减函数，由复合函数关系知， y?logau 应为增函数， a 1 错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在 0， 1上有意义 . y?loga(2?ax)是由 y?logau， u?2?ax 复合而成，又 a 0 u?2?ax 在 0， 1上是 x 的减函数， 由复合函数关系知， y?logau应为增函数， a 1 又由于 x 在 0， 1上时 y?loga(2?ax)有意义， u?2?ax又是11 / 106 减函数， x 1时， u?2?ax取最小值是 正解： umin?2?a 0 即可， a 2，综上可知所求的取值范围是1 a 2 例 5已知函数 f(x)?loga(3?ax). 当 x?0,2时 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围 . 是否存在这样的实数 a使得函数 f(x)在区间 1， 2上为减函数，并且最大值为 存在，请说明理由 . 分析：函数 1，如果存在，试求出 a的值；如果不 f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一 ?0,a?1 般先假设存在后再证明 . 12 / 106 解：由假设， 3?ax 0，对一切 x?0,2恒成立， a 显然，函数 g(x)= 3?ax 在 0， 2上为减函数，从而 g(2)3?2a 0 得到 a (2)假设存在这样的实数 a，由题设知 a 32 a 的取值范围是 f(1)?1，即 f(1)?loga(3?a) 1 3 2 此时 f(x)?loga(3? 3 13 / 106 x)当 x?2 时， f(x)没有意义，故这样的实数不存在 . 2， 1?2x?4x?a 例 6已知函数 f(x)=lg, 其中 a为常数，若当 x( , 1 时 , f(x)有意义，求实数 a的取值范围 . a2?a?1 xx3111xx 解： 1?2?4?a0, 且 a a+1=(a )+0, 1 +2+4a0, a?(1?1),当 x( , 1 时 , y=x 与 y=x都 24424x2xa2?a?1 333 是减函数， y=?(1?1) 在 ( , 1 上是 增函数， ?(1?1)max= , a , 故 a 的取值范围是 ( , +). 14 / 106 4444x2x42 2 2 xx 例 7若 (a?1)解： 幂函数 ? 1 3? ?(3?2a) 13 ? 15 / 106 13 ，试求 a的取值范围 . y?x有两个单调区间， 根据 a?1 和 3?2a 的 正 、 负 情 况 ， 有 以 下 关系 ?a?1?0?a?1?0? ?3?2a?0. ?3?2a?0. ?a?1?3?2a?a?1?3?2a? 解三个不等式组： 得 ?a?1?0 . ? 3?2a?0? 2 16 / 106 3 ， 23 a 32 ， 无解， a 1， a 的取值范围是 例 8 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = a1 (x xa2?1 ) 17 / 106 (1)求 f(x)； (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性； 2 (3)对于 f(x) ,当 x ( 1 , 1)时 , 有 f( 1 m ) +f (1 m ) 分析：先用换元法求出 f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问 . 解： (1)令 t=logax(tR) ，则 x ?at,f(t)? aat?t (a?a),?f(x)?(ax?a?x),(x?R). 22 a?1a?1 aa (a?x?ax)?f(x),且 x?R,?f(x)为奇函数 .当 a?1 时 ,2?0, a?1a?1 18 / 106 u(x)?ax?a?x 为增函数 ,当 0?a?1时 ,类似可判断 f(x)为增函数 .综上 ,无论 a?1 或 0?a?1,f(x)在 R 上都是增函数 . (3)?f(1?m)?f(1?m2)?0,f(x)是奇函数且在 R 上是增函数 ,?f(1?m)?f(m2?1).又 ?x?(?1,1)(2)?f(?x)? 2 ?1?1?m?1 ? ?1?m2?1?1?1?m?2.?1?m?m2?1? 四、典型习题导练 1. 函数 f(x)?ax?b 的图像如图，其中 a、 b 为常数，则下列结论正确的是 ?1,b?0 ?1,b?0 ?a?1,b?0 ?a?1,b?0 x 的值为 19 / 106 y 或 4 2 2、已知 2lg(x 2y)=lgx+lgy,则 3、方程loga(x?1)?x 4、函数 f(x)与 g(x)=( 2 x 或 8 ( ） ?2 (0 12 20 / 106 )的图像关于直线 y=x对称 ,则 f(4 x)的单调递增区间是 A. ?0,? n B. ?,0? C. ?0,2? D. ?2,0? 21 / 106 5、图中曲线是幂函数 y x在第一象限的图像，已知 n 可取2 ， 1 四个值 ,则相应于曲线 c1、 c2、 c3、 c4的 n依次为 ( ) 2 11111111 A. 2， 2 B 2， 2 C. ， 2,2， D. 2， 2, 2222226. 求函数 y = log 2 2 (x 5x+6) 的定义域、值域、单调区间 . 7. 若 x 满足2(log21 x)?14log4x?3?0 ,求 f(x)=logxx2 2 2 22 / 106 log2 2 最大值和最小值 . 8.已知定义在 R上的函数 f(x)?2x? a 2x ,a为常数 如果 f(x) f(?x)，求 a的值； 当 f(x)满足时，用单调性定义讨论 f(x)的单调性 . 基本初等函数 综合训练 B组 一、选择题 23 / 106 1若函数 f(x)?logax(0?a?1)在区间 a,2a上的最大值 是最小值的 3倍，则 a 的值为 ( ) A 214 B 2 2 C 4 D 12 2若函数 y?loga(x?b)(a?0,a?1)的图象过两点 (?1,0) 和 (0,1)，则 ( ) A a?2,b?2 B ab?2 24 / 106 C a ?2,b?1 D a?b3已 知 f(x6 )?log2x，那么 f(8)等于 A 43 B 8 C 18 D 12 4函数 y?lgx( ) A 是偶函数，在区间 (?,0) 上单调递增 B 是偶函数，在区间 (?,0)上单调递减 C 是奇函数，在区间 (0,?) 上单调递增 D是奇函数，在区间 (0,?)上单调递减 5已知函数 f(x)?lg 25 / 106 1?x 1?x .若 f(a)?b.则 f(?a)? A b B ?b C 11 b D ?b 6函数 f(x)?logax?在 (0,1)上递减，那么 f(x)在 (1,?)上 A递增且无最大值 B递减且无最小值 C递增且有最大值 D递减且有最小值 二、填空题 1若 f(x)?2x?2?xlga 是奇函数，则实数 a=_。 2函数 f(x)?log1?x2?2x?5?的值域是 _. 2 26 / 106 3 已 知 log147?a,log145?b, 则用 a,b 表示log3528? 。 4设 A?1,y,lg?xy?, B?0,x,y?,且 A?B，则 x?y?。 22 5计算： 3?2 ? 2log? ? 。 ex?1 27 / 106 6函数 y?的值域是 _. x e?1 三 、解答题 1比较下列各组数值的大小： 2解方程： 9 3已知 4已知函数 参考答案 一、选择题 ?x 28 / 106 和 ； 和 ； 3 ,log827,log925 2 ?2?31?x?27 6x?4x?9x y?4x?3?2x?3,当其值域为 1,7时，求 x的取值范围。 f(x)?loga(a?ax)(a?1)，求 f(x)的定义域和值域； 29 / 106 11132 1. A logaa?3loga(2a),loga(2a)?,a3?2a,a?8a,a?,a?382. A loga(b?1)?0,且 logab?1,a?b?2 3. D 令 x4. B 令令 u 6 ?8(x?0),x?8?f(8)?f(x6)?log2x?log216 f(x)?lgx,f(?x)?lg?x?lgx?f(x)，即为偶函 数 ?x,x?0时， u 是 x的减函数，即 y?lgx在区间 (?,0)上单调递减 1?x1?x 30 / 106 ?lg?f(x). 则 f(?a)?f(a)?b. 5. B f(?x)?lg1?x1?x 6 A 令 u?x?， (0,1)是 u 的递减区间，即 a?1， (1,?)是 u 的 递增区间，即 f(x)递增且无最大值。 二、填空题 1 1x?x?xx f(x)?f(?x)?2?2lga?2?2lga 10 x ?(lga?1)(2： x?R，由 2. ?2?x)?0,lga?1?0,a? 1 10 31 / 106 1 10 f(?x)?f(x)得 f(0)?0，即 lga?1?0,a? ?,?2? x2?2x?5?(x?1)2?4?4, 而 0? 1 ?1,log1x2?2x?5?log14?2 222 2?alog14283. log147?log145?log1435?a?b,log3528? a?blog1435 14 1?log14 log14(2?14)1?log142?1?(1?log147)?2?a 32 / 106 ? ? log1435log1435log1435log1435a?b ? 基本初等函数 一、知识导学 1. 二次函数的概念、图像和性质 . 注意解题中灵活运用二次函数的一般式二次函数的顶点式二次函数的坐标式 f(x)?ax2?bx?c f(x)?a(x?m)2?n(a?0)和 f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0) (a?0) 解二次函数的问题要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解 . 33 / 106 f(x)?ax2?bx?c(a?0)，当 ?b2?4ac?0 时图像与 x 轴有两个交点 . MN(x2,0),|MN|=| x1- x2 |= . |a| 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值 ，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得 . 2.指数函数 a m y?ax(a?0,a?1)和对数函数 y?logax(a?0,a?1)的概念和性质 . 有理指数幂的意义、幂的运算法则： 34 / 106 ?an?am?n； (am)n?amn ； (ab)n?anbn M ?logaM? logaN N logcb1 ?logaM； logab? nlogcaloga 对数的概念及其运算性质、换底公式 . loga(M?N)?logaM?logaN; logaMn?nlogaM; loga 35 / 106 指数函数的图像、单调性与特殊点 .对数函数的图像、单调性与特殊点 . 指数函数图像永远在 x 轴上方，当 a 1 时，图像越接近 y轴，底数 a 越大；当 0 当 a1 时，图像越接近 x 轴，底数 a越大 ; 当 0 y?x?的概念、图像和性质 . 2 3 结合函数 y=x,y=x,y=x,y= y?x,y?x ?1?2 ,y=x的图像，了解它们的变化情况 . 12 ? 0 时，图像都过、点，在区间上是增函数； 注意 ? 136 / 106 与 0 ? 0时，图像都过点，在区间上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近 y轴，向右无限接近 x 轴 . 当 x1时，指数大的图像在上方 . 二、疑难知识导析 1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像 .二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：定义域区间在对称轴的右侧；定义域区间在对称轴的左侧；对称轴的位置在定义域区间内 2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用 .会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误： a， loga(M?N)?logaM?logaN; 当 ?时，幂函数是奇函数；当 ?时，幂函数是偶函数；当 ?时，定义域不关于原点对称，幂函数 奇奇偶 6.幂函数 37 / 106 为非奇非偶函数 . 三、经典例题导讲 例 1已知 log189?错解： 18 b a,18b?5,求 log3645 ?5,log185?b log1845log185?log189b?a log3645? ? log1836log184?log189log184?a 错因：因对性质不熟而导致题目没解完 . 正解： 18 b?ab?ab?a ? 38 / 106 182182?alog18()?a2log18()?a 99 2 例 2分析方程 f(x)?ax?bx?c?0的两个根都大于 1的充要条件 . 2 错解：由于方程 f(x)?ax?bx?c?0 对应的二次函数为 ?5,log185?b log1845log185?log189 ?log3645? log1836log184?log189 39 / 106 b f(x)?ax2?bx?c 的图像与 x轴交点的横坐标都大于 1 即可 . ?f(1)?0?f(1)?0? 故需满足 ?b，所以充要 条件是 ?b ?1?1?2a?2a 错因：上述解法中，只考虑到二次函数与 x轴交点坐标要大于 1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x 轴有交点才 行，即满足 0 ，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件 . ?f(1)?0?b? 正解：充要条件是 ? ?1 ?2a 40 / 106 2 ?b?4ac?0 y?36x?12?6x?5 的单调区间 . x2xx 错解：令 6?t，则 y?36?12?6?5 t?12?t?5 例 3求函数 当 t6, 即 x1 时， y为关于 t的增函数，当 t6, 即 x1时， y为关于 t的减函数 函数 y?36x?12?6x?5 的单调递减区间是 (?,6，单调递增区间为6,?) x 错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围 . 41 / 106 正解：令 6 函数 ?t，则 t?6x 为增函数， y?36x?12?6x?5 t2?12?t?5 (t?6)2?41 当 t6, 即 x1 时， y为关于 t的增函数，当 t6, 即 x1时， y为关于 t的减函数 y?36x?12?6x?5 的 单调递减区间是 (?,1，单调递增区间为1,?) 例 4已知 y?loga(2?ax)在 0， 1上是 x的减函数，则 a的取值范围是 错解： y?loga(2?ax) 是由 y?logau， u?2?ax复合而成，又a 0 u?2?ax 在 0， 1上是 x 的减函数，由复合函数关系知， y?logau应为增函数， a 1 错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在 0， 1上有意义 . 42 / 106 y?loga(2?ax)是由 y?logau， u?2?ax 复合而成，又 a 0 u?2?ax 在 0， 1上是 x 的减函数，由复 合函数关系知， y?logau 应为增函数， a 1 又由于 x 在0， 1上时 y?loga(2?ax)有意义， u?2?ax又是减函数， x 1 时， u?2?ax取最小值是 umin?2?a 0即可， a 2，综上可知所求的取值范围是 1 a 2 例 5已知函数f(x)?loga(3?ax). 当 x?0,2时 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围 . 是否存在这样的实数 a使得函数 f(x)在区间 1， 2上为减函数，并且最大值为 1，如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请 正解： 说明理由 . 分析：函数 f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假 ?0,a?1 43 / 106 32 a 的取值范围是 由假设， 3?ax 0，对一切 x?0,2恒成立， a 显然，函数 g(x)= 3?ax 在 0， 2上为减函数，从而 g(2)3?2a 0 得到 a (2)假设存在这样的实数 a，由题设知 a 3 2 ） f(1)?1，即 f(1)?loga(3?a) 1 32 此时 f(x)?loga(3? 44 / 106 3 x)当 x?2 时， f(x)没有意义，故这样的实数不存在 . 2， 1?2x?4x?a 例 6已知函数 f(x)=lg, 其中 a为常数，若当 x( , 1 时 , f(x)有意义，求实数 a的取值范围 . 2 a?a?1 xx12 2 解： 1?2?4?a0, 且 a a+1=(a )+ a?a?1 4 45 / 106 2 2 2 34 xx 0, 1+2+ 4a0, a?(1?1), 当 x( , 1 时 , y= xx 42 1 4x 与 y= 46 / 106 12x 都是减 函 数， y=?(1?1) 在 ( , 1 上是增函数， ?(1?1)max= xxxx 42 3 4 , a 34 , 故 a的取值范围是 ( 34 47 / 106 , +). 例 7若 (a?1)解： 幂函数 ? 13? ?(3?2a) 13 ? 13 ，试求 a的取值范围 . y?x有两个单调区间， 根据 a?1 和 3?2a 的 正 、 负 情 况 ， 有 以 下 关48 / 106 系 ?a?1?0?a?1?0? ?3?2a?0. ?3?2a?0. ?a?1?3?2a?a?1?3?2a? 解三个不等式组： 得 ?a?1?0 . ? ?3?2a?0 23 ， 23 a 49 / 106 32 ， 无解， a 1， a 的取值范围是 例 8 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = a1 (x xa2?1 ) (1)求 f(x)； (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性； 2 (3)对于 f(x) ,当 x ( 1 , 1)时 , 有 f( 1 m ) +f (1 m ) 分析：先用换元法求出 f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问 . 解： (1)令 t=logax(tR) ，则 x 50 / 106 ?at,f(t)? aat?tx?x (a?a),?f(x)?(a?a),(x?R). 22 a?1a?1 aa?xx (a?a)?f(x), 且 x?R,?f(x) 为 奇 函 数 . 当 a?1 时 ,?0, a2?1a2?1 u(x)?ax?a?x 为增函数 ,当 0?a?1时 ,类似可判断 f(x)为增函数 .综上 ,无论 a?1 或 0?a?1,f(x)在 R 上都是增函数 . (3)?f(1?m)?f(1?m2)?0,f(x)是奇函数且在 R 上是增函数 ,?f(1?m)?f(m2?1).又 ?x?(?1,1)(2)?f(?x)? ?1?1?m?1 51 / 106 ? ?1?m2?1?1?1?m?2.?1?m?m2?1? 四、典型习题导练 1. 函数 f(x)?ax?b 的图像如图，其中 a、 b 为常数，则下列结论正确的是 ?1,b?0 ?1,b?0 ?a?1,b?0 ?a?1,b?0 x 的值为 y 或 4 2 2、已知 2lg(x 2y)=lgx+lgy,则 3、方程loga(x?1)?x 4、函数 f(x)与 g(x)=( A. 2 52 / 106 x 或 8 ( ） ?2 (0 ?0,? 12 )的图像关于直线 y=x对称 ,则 f(4 x)的单调递增区间是 B. n ?,0? C. 53 / 106 ?0,2? D. ?2,0? 5、图中曲线是幂函数 y x在第一象限的图像，已知 n 可取2 ， 1 四个值 ,则相应于曲线 c1、 c2、 c3、 c4的 n依次为 ( ) 2 11111111 A. 2， 2 B 2， 2 C. ， 2,2， D. 2， 2, 22222222 2 54 / 106 6. 求函数 y = log 2 (x 5x+6) 的定义域、值域、单调区间 . 7. 若 x 满足 2(log1 2 x)2?14log4x?3?0 ,求 f(x)=log2 f(x)?2x? a ,a为常数 2x xlog2 x2 最大值和最小值 . 8.已知定义在 R上的函数如果 f(x) f(?x)，求 a的值； 当 55 / 106 f(x)满足时，用单调性定义讨论 f(x)的单调性 . 基本初等函数 综合训练 B组 一、选择题 f(x)?logax(0?a?1)在区间 a,2a上的最大值 是最小值的 3倍，则 a 的值为 ( ) 1122 A B C D 4242 2若函数 y?loga(x?b)(a?0,a?1)的图象过两点 (?1,0) 和 (0,1)，则 ( ) 1若函数 56 / 106 A a?2,b?2 B aC a b?2 ?2,b?1 D a?b6 3已知 f(x)?log2x，那么 f(8)等于 41A B 8 C 18 D 32 57 / 106 4函数 y?lgx( ) A 是偶函数，在区间 (?,0) 上单调递增 B 是偶函数，在区间 (?,0)上单调递减 C 是奇函数，在区间 (0,?) 上单调递增 D是奇函数，在区间 (0,?)上单调递减 1?x .若 f(a)?b.则 f(?a)? 5已知函数 f(x)?lg 1?x 11 A b B ?b C D ? bb 6函数 f(x)?logax?在 (0,1)上递减，那么 f(x)在 (1,?)上 A递增且无最大值 B递减且无最小值 C递增且有最大值 D递减且有最小值 58 / 106 二、填 空题 1若 f(x)?2x?2?xlga 是奇函数，则实数 a=_。 2函数 f(x)?log1?x2?2x?5?的值域是 _. 2 3 已 知 log147?a,log145?b, 则用 a,b 表示log3528? 。 4设 A?1,y,lg?xy?, B?0,x,y?,且 A?B，则 x?y?。 5计算： 3?2 ? 59 / 106 2log? ? 。 ex?1 6函数 y?的值域是 _. ex?1 三、解答题 1比较下列各组数值的大小： 2解方程 ： 9 3已知 4已知函数 ?x 60 / 106 和 ； 和 ； 3 ,log827,log925 2 ?2?31?x?27 6x?4x?9x y?4x?3?2x?3,当其值域为 1,7时，求 x的取值范围。 f(x)?loga(a?ax)(a?1)，求 f(x)的定义域和值域； 61 / 106 参考答案 一、选择题 11132 1. A logaa?3loga(2a),loga(2a)?,a3?2a,a?8a,a?,a?382. A loga(b?1)?0,且 logab?1,a?b?2 3. D 令 x4. B 令令 u 6 ?8(x?0),x?8?f(8)?f(x6)?log2x?log216 f(x)?lgx,f(?x)?lg?x?lgx?f(x)，即为偶函数 ?x,x?0时， u 是 x的减函数，即 y?lgx在 区间 (?,0)62 / 106 上单调递减 1?x1?x ?lg?f(x). 则 f(?a)?f(a)?b. 5. B f(?x)?lg1?x1?x 6 A 令 u?x?， (0,1)是 u 的递减区间，即 a?1， (1,?)是 u 的 递增区间，即 f(x)递增且无最大值。 二、填空题 1 1x?x?xx f(x)?f(?x)?2?2lga?2?2lga 10 x ?(lga?1)(2： x?R，由 2. ?2?x)?0,lga?1?0,a? 63 / 106 1 10 1 10 f(?x)?f(x)得 f(0)?0，即 lga?1?0,a? ?,?2? x2?2x?5?(x?1)2?4?4, 而 0? 1 ?1,log1x2?2x?5?log14?2 222 2?alog14283. log147?log145?log1435?a?b,log3528? a?blog1435 14 64 / 106 1?log14 log14(2?14)1?log142?1?(1?log147)?2?a ? ? log1435log1435log1435log1435a?b 4. ?1,?1 0?A,y?0,lg(xy)?0,xy?1 ? 又 1?B,y?1,x?1, 而 x?1， x?1, 且 y?1 15. 5 65 / 106 ? 5 ? ? 1 5 ex?11?y6. (?1,1) y?， ex?0,?1?y?1 x e?11?y 三、解答题 1解： ?1,?1， ? ?,? ， ? log827?log23,log925? 66 / 106 log35, 33 33 ?log222?log2?log23,?log332?log3?log35, 22 3 log925?log827. 2?x2?x?x?x?x 2解： (3)?6?3?27?0,(3?3)(3?9)?0,而 3?3?0 3?x?9?0,3?x?32, x?2 67 / 106 对数函数 【】对数与对数运算 对数的定义 若 a x ?N(a?0,且 a?1)，则 x叫做以 a为底 N的对数，记作x ?logaN，其中 a叫做底数， N 叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化： x ?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0) 几个重要的对数恒等式 : loga1?0， logaa?1， logaab?b 68 / 106 N；自然对数： lnN ，即 loge 常用对数与自然对数：常用对数： lgN，即 log10 ） e? 对数的运算性质 如果 a?0,a?1,M 加法： loga N 对数函数 (6)反函数的概念 设函数果对于 y?f(x)的定义域为 A，值域为 C，从式子 y?f(x)中解出 x，得式子 x?(y)如 69 / 106 y 在 C 中的任何一个值，通过式子 x?(y)， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x?(y)表示 x 是 y 的函数，函数 x?(y)叫做函数 y?f(x)的反函数，记作 x?f?1(y)，习惯 上改写成 y?f?1(x) 反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域； 从原函数式 将 x y?f(x)中反解出 x?f?1(y)； ?f?1(y)改写成 y?f?1(x)， 并注明反函数的定义域 反函数的性质 原函数 函数 70 / 106 y?f(x)与反函数 y?f?1(x)的图象关于直线 y?x对称 y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数 y?f?1(x)的值域、定义域 y?f(x)的图象上，则 P(b,a)在反函数 y?f?1(x)的图象上 若 P(a,b)在原函数 一般地，函数 y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数 一、选择题： 1 log89 的值是 log23 A 2 3 71 / 106 B 1 C 3 2 D 2 2已知 x=2+1,则 log4(x3 x 6)等于 A. D. 3 2 B. 5 41 2 3已知 lg2=a， lg3=b，则 72 / 106 lg12 等于 lg15 A 2a?b 1?a?b B a?2b 1?a?b C 2a?b 1?a?b 73 / 106 D a?2b 1?a?b 4已知 2lg(x 2y)=lgx lgy，则 x 的值为 yA 1 B 4 C 1 或 4 C ( C ln5 D 4或 -1 5.函数 y=1(2x?1)的定义域为 2 A ( 74 / 106 1 ， ) B 1， ) 2 B 5e 1 ， 1 2 D ( ， 1) D log5e 6.已知 f(ex)=x，则 f(5)等于 A e5 7若 f(x)?logax(a?0 且 a?1),且 f?1(2)?1,则 f(x)的图像是 8设集合 ?2x?0|,则 A?B 等于 75 / 106 A x|x?1 C x|x?1 B x|x?0 D x|x?1 或 x?1 9函数 y?ln x?1 ,x?(1,?)的反函数为 x?1 ex?1 ,x?(0,?) B y?x e?1ex?1 ,x?(?,0) D y?x e?1 ex?1 76 / 106 ,x?(0,?) A y?x e?1ex?1 ,x?(?,0) C y?x e?1 二、填空题： 10计算： lg 11?log23 ln 2 100 11函数 y=log4(x 1)2(x 1 的反函 数为 12函数y=(log1x)2 log1x2 5 在 2x4 时的值域为 _ 4 77 / 106 4 三、解答题： 13已知 y=loga(2 ax)在区间 0， 1上是 x 的减函数，求a 的取值范围 14已知函数 f(x)=lg(a2 1)x2 (a 1)x 1，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围 15已知 f(x)=x2 (lga 2)x lgb， f( 1)= 2，当 xR时 f(x)2x 恒成立，求实数 a 的值，并求此时 f(x)的最小值？ 一、选择题： (lgm)(lgm) ， 16. 25 ?y?84 13 78 / 106 ， =1 2x(xR) ， 2 17.解析：因为 a是底，所以其必须满足 a0 且 a 不等于 1 a0 所以 2-ax 为减函数，要是 Y=loga(2-ax)为减函数，则Y=loga 为增函数，得 a1 又知减函数区间为 0,1， a 必须满足 2-a*00 2-a*10 即得 a 18、解：依题意 (a2 1)x2 (a 1)x 1 0 对一切 xR 恒成立 2?a?1?05?2 当 a 10 时，其充要条件是： ?解得 a 1 或 a 22 3?(a?1)?4(a?1)?0 又 a= 1， f(x)=0 满足题意， a=1，不合题意 所以 a 的取值范围是： ( ， 1( 5 ， ) 3 79 / 106 19、解析：由 f( 1)= 2，得： f( 1)=1 (lga 2) lgb= 2，解之 lga lgb=1， a =10， a=10b又由 xR ， f(x)2x 恒成立知： x2 (lga 2)x lgb2x ，即 x2 xlgab lgb 0，对 xR 恒成立，由 =lg2a 4lgb0 ，整理得(1 lgb)2 4lgb0 即 (lgb 1)20 ，只有 lgb=1，不等式成立即 b=10， a=100 f(x)=x2 4x 1=(2 x)2 3当 x= 2 时， f(x)min= 3 函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结 函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。 80 / 106 一、命题热点 分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题 .在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识 .其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新 .以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 2016年高考热点主要有： 考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象 . 函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点 .考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想 . 二、知识点总结 81 / 106 1映射：注意 : 第一个集合中的元素必须有象； 一对一或多对一 . 2函数值域的求法： 分析法 ； 配方法 ； 判别式法 ； 利用函数单调性 ； 换元法 ； a?ba2?b2 利用均值不等式 ab?； 利用数形结合或几何意义； ?22 利用函数有界性； 平方法； 导数法 3复合函数的有关问题 : 复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为 a， b ,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 a g(x) b 解出 若 fg(x)的定义域为 a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b 时，求 g(x)的值域 . 82 / 106 复合函数单调性的判定： 首先将原函数 y?fg(x)分解为基本函数：内函数 u?g(x)与外函数 y?f(u) 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 根据 “ 同性则增，异性则减 ” 来判断原函数在其定义域内的单调性 . 4分段函数：值域、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5函数的奇偶性 : ?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ?f(x) 是奇函数 ?f(?x)?f(x) ； f(x) 是偶函数 ?f(?x)?f(x). ?奇函数 f(x)在 0 处有定