平面向量知识点总结

1 / 71 平面向量知识点总结 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别 .向量常用有向线段来表示 . 注意 ：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移 . ? 举例 1 已知 A(1,2)， B(4,2)，则把向量 AB按向量 a?(?1,3)平移后得到的向量是 _. 结果： (3,0) 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0，规定：零向量的方向是任意的； ? ? 2 / 71 ?AB ） 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量：方向相同或相反的非零向量 a、 b 叫做平行向量，记作： a?b ， 规定：零向量和任何向量平行 . 注： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ? 平行向量无传递性！若 |a|?|b|，则 a?b. 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . 若AB?DC，则 ABCD是平行四边形 . 3 / 71 若 ABCD是平行四边形，则 AB?DC. ? 若 a?b， b?c，则 a?c. ? (转载于 : 海 达 范 文网 : 平 面 向 量 知 识 点 总 结 ) 若 a/b， b/c则 a/c.其中正确的是 . 结果： ? ? ? ? ? ? 4 / 71 ? 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如 AB，注意起点在前，终点在后； ? 2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如 a， b， c等； ? 3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i,j为 )为向量 a 的坐标， a?(x,y)叫基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a?xi?yj?(x,y)，称 (x,y? 做向量 a 的坐标表示 . 5 / 71 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 . ? ? ? ? ? 三、平面向量的基本定理 ? 定理 设 e1,e2 同一平面内的一组基底向量， a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对 ? 6 / 71 (?1,?2)，使 a?1e1?2e2. ? 定理核心： a?1e1?2e2 ；从左向右看，是对向量 a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 a的合成 . ? 向量的正交分解：当 e1,e2时，就说 a?1e1?2e2 为对向量 a 的正交分解 ?1?3? 举例 3 若 a?(1,1)， b?(1,?1)， c?(?1,2)，则 c? . 结果： a?b. 22 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B ?24? ? 7 / 71 已知 AD,BE分别是 ABC 的边 BC， AC上的中线 ,且 AD?a， BE?b,则 BC可用向量 a,b表示为 . 结果： ?13? ?(0,0) ， e2?(1,?2) ?(?1,2) ，e2?(5,7) ?(3,5)， e2?(6,10) ?(2,?3)， e2?,? 2?4?a?b. 33 ? 已 知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD?2DB， CD?rAB?sAC，则 r?s?的值是 . 结果： 0. 四、实数与向量的积 ? 实数 ?与向量 a 的积是一个向量，记作 ?a，它的长度和方向规定如下： ? 8 / 71 模： |?a|?|?|?|a|； ? 方向：当 ?0 时， ?a 的方向与 a 的方向相同，当 ?0 时， ?a的方向与 a的方向相 ? 反，当 ?0 时， ?a?0， 注意： ?a?0. ? 五、平面向量的数量积 ? ?a为向量， b的夹角 . 9 / 71 ? 当 ?0 时， a， b 同向；当 ?时， a， b 反向；当 ?时， a， b垂直 . 2? 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量 a， b，它们的夹角为 ?，我们把数量 |a|b|cos? ? 叫做 a 与 b的数量积，记作 ： a?b，即 a?b?|a|?|b|cos?. 1.两个向量的夹角：对于非零向量 a， b，作 OA?a， OB?b，则把 ?AOB?(0?)称 ? ? ? 10 / 71 规定：零向量与任一向量的数量积是 0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量 . ? 举例 4 ABC 中， |AB|?3 ， |AC|?4 ， |BC|?5 ，则AB?BC?_. 结果： ?9. ?1?1? 已知 a?1,?， b?0,?， c?a?kb， d?a?b， c与 d 的夹角为，则 k? _. 结果： 1. 2?4 ? 已知 |a|?2， |b|?5， a?b?3，则 |a?b|?_. 11 / 71 ? 已知 a,b 是两个非零向量，且 |a|?|b|?|a?b|，则 a 与 a?b的夹角为 _. 结果： 30?. ?2? ? a3.向量 b在向量上 的投影： |b|cos?，它是一个实数，但不一定大于 0. ?12 举例 5 已知 |a|?3， |b|?5，且 a?b?12，则向量 a 在向量 b上的投影为 _. 结果： . ? ?b的几何意义：数量积 a?b等于 a 的模 |a|与 b 在 a上的投影的积 . 12 / 71 ? 5.向量数量积的性质：设两个非零向量 a， b，其夹角为 ?，则： ?a?b?a?b?0； ? ?当 a、 b 同向时， a?b?|a|?|b|，特别地，a2?a?a?|a|2?|a|； ? a?b?|a|?|b|是 a、 b 同向的充要分条件； ?aa 当、 b 反向时， a?b?|a|?|b|，a?b?|a|?|b|是、 b 反向的充要分条件； 13 / 71 ? 当 ?为锐角时， a?b?0，且 a、 b 不同向， a?b?0 是 ?为锐角的必要不充分条件； ? 当 ?为钝角时， a?b?0，且 a、 b 不反向； a?b?0 是 ?为钝角的必要不充分条件 . ?a?b? 非零向量 a， b夹角 ?的计算公式： cos?； a?b?|a|b|. |a|b| ?14b?(3?,2)，举例 6 已知 a?(?,2?)，如果 a与 b的夹角为锐角，则 ?的取值范围是 _. 结果： ?或 ?0且 ?； 5 14 / 71 33 ?1? ?S，则 OF， FQ夹角 ?的取值范围是 _. 结果： ?,?； 2?43? ? ? 已知 a?(cosx,sinx)， b?(cosy,siny)，且满足 |ka?b|a?kb|. 已知 OFQ 的面积为 S，且 OF?FQ?1，若 ? ?k2?11 15 / 71 用 k 表示 a?b； 求 a?b 的最小值， 并求此时 a 与 b 的夹角 ?的大小 . 结果： a?b?(k?0) ； 最小值为， 24k ?60?. 六、向量的运算 1.几何运算 向量加法 运算法则： 平行四边形法则； 三角形法则 . 作图：略 . 注：平行四边形法则只适用于不共 线的向量 . ? 运算形式：若 AB?a， BC?b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即a?b?AB?BC?AC； 向量的减 法 16 / 71 运算法则：三角形法则 . ? 运算形式：若 AB?a， AC?b，则 a?b?AB?AC?CA，即由减向量的终点指向被减向量的终 点 . 作图：略 . ? 举例 7 化简： AB?BC?CD? ； AB?AD? DC? ；(AB?CD)?(AC?BD)? . 结果： AD ； ?CB ；0 ； ? 若正方形 ABCD 的边长为 1， AB?a， BC?b， AC?c，则|a?b?c|? . 结果： 17 / 71 注：减向量与被减向量的起点相同 . 若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 OB?OC?OC?2OA，则ABC 的形状为 . 结果：直角三角形； ? ?|AP| 若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 P，满足 PA?BP?CP?0，设 ?，则 ?的值为 . |PD| ? 结果： 2； ? 若点 O 是 ABC 的外心，且 OA?OB?CO?0，则 ABC 的内角 C18 / 71 为 . 结果： 120?. 2.坐标运算 ：设 a?(x1,y1)， b?(x2,y2)，则 ? 向 量 的 加 减 法 运 算 ： a?b?(x1?x2,y1?y2) ，a?b?(x1?x2,y1?y2). 举例 8 已知点 A(2,3) ， B(5,4) ， C(7,10) ，若AP?AB?AC(?R)，则当 ?_时，点 P在第一、三象限的角平分线上 . 结果： 1； 2 ?1?AB?(sinx,cosy) ， x,y?(?,) ，则x?y? .结果：或 ?； 22262? ? ? 19 / 71 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知 A(2,3)， B(1,4)，且 已知作用在点 A(1,1)的三个力 F1?(3,4)， F2?(2,?5)，F3?(3,1)，则合力 F?F1?F2?F3 的终点坐标是 . 结果：20 / 71 (9,1). 实数与向量的积： ?a?(x1,y1)?(?x1,?y1). ? 若 A(x1,y1)， B(x2,y2)，则 AB?(x2?x1,y2?y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 . ?1?11 举例 9 设 A(2,3)， B(?1,5)，且 AC?AB， AD?3AB，则 C,D的坐标分别是 _. 结果： (1,),(?7,9). ? ? 平面向量数量积： a?b?x1x2?y1y2. 若 x? 21 / 71 33 ? 举例 10 已知向量 a?(sinx,cosx)， b?(sinx,sinx)，c?(?1,0). ? 3 ，求向量 a、 c的夹角； ?3?11 150?；或 1. ,，函数 f(x)?a?b 的最大值为，求 ?的值 .结果： 8422 22 / 71 ? 若 x? ? 向量的模 ： a2?|a|2?x2?y2?|a|?举例 11 已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为 60?，那么 |a?3b|? . ? 两点间的距离：若 A(x1,y1)， B(x2,y 2)，则 |AB|举例 12 如图，在平面斜坐标系 xOy中， ?xOy?60?，23 / 71 平面上任一点 P关于斜坐标系 ? 的斜坐标是这样定义的：若 OP?xe1?ye2，其中 e1,e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单 位向量，则 P点斜坐标为 (x,y). 若点 P 的斜坐 标为 (2,?2)，求 P 到 O 的距离 |PO|； 求以 O为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程 . 结果： 2；x?y?xy?1?0. 2 2 七、向量的运算律 ? 1.交换律： a?b?b?a， ?(?a)?(?)a， a?b?b?a； ? 24 / 71 2. 结 合 律 ： a?b?c?(a?b)?c ， a?b?c?a?(b?c) ，(?a)b?(a?b)?a?(?b)； ? 3.分配律： (?)a?a?a， ?(a?b)?a?b， (a?b)?c?a?c?b?c. 举例 13 给出 下列命题 ： a?(b?c)?a?b?a?c ； a?(b?c)?(a?b)?c； (a?b)2?|a|2?2|a|b|?|b|2 ； ?2?2?a?bb? 若 a?b?0，则 a?0或 b?0； 若 a?b?c?b 则 a?c； |a|?a ；? ； (a?b)2?a2?b2 ； (a?b)2?a2 ?2a?b?b2. a a ? 25 / 71 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26 / 71 ? ? 其中正确的是 . 结果： . 说明：向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 (相约 )； 向量的 “ 乘法 ” 不满足结合律，即 a?(b?c)?(a?b)?c，为什么？ ? ? ? ? 27 / 71 八、向量平行 (共线 )的充要条件 ? a/b?a?b?(a?b)2?(|a|b|)2?x1y2?y1x2?0. ? ? ? ? 举例 14 (1)若向量 a?(x,1)， b?(4,x)，当 x?_时， a与 b 共线且方向相同 . 结果： 2. ? 已知 a?(1,1)， b?(4,x)， u?a?2b， v?2a?b，且 u/v，则 x? . 结果： 4. 设 PA?(k,12)， PB?(4,5)， PC?(10,k)，则 k? _时， A,B,C28 / 71 共线 . 结果： ?2或 11. 九、向量垂直的充要条件 ? a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?x1x2?y1y2?0. ?ABAC?ABAC?. 特别地 ?|AB|AC|?|AB|AC|? ?3 举例 15 (1)已知 OA?(?1,2)， OB?(3,m)，若 OA?OB，则m? .结果： m?； 2 以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， ?B?90?，则点 B 的坐标是 .结果： (1,3)或）； ? 29 / 71 已知 n?(a,b)向量 n?m，且 |n|?|m|，则 m?的坐标是 .结果： (b,?a)或 (?b,a). 十、线段的定比分点 ? 1.定义：设点 P是直线 P1P2 上异于 P1、 P2的任意一点，若存在一个实数 ? ，使 PP?PP2， 1 ? 则实数 ?叫做点 P分有向线段 P1P2所成的比 ?， P 点叫做有向线段 P1P2的以定比为 ?的定比分 点 . 2.?的符号与分点 P 的位置之间的关系 ? 30 / 71 P 内分线段 P1P2，即点 P 在线段 P1P2上 ?0； ? P 外分线段 P1P2时， 点 P在线段 P1P2的延长线上 ?1， 点 P在线段 P1P2 的反向延长线上 ?1?0. ? 注：若点 P分有向线段 PP所成的比为 ?，则点 P分有向线段PP所成的比为 1. 12 21 ? ?37 举例 16 若点 P 分 AB 所成的比为，则 A 分 BP 所成的比为 . 结果： ?. 31 / 71 43 3.线段的定比分点坐标公式： 设 P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，点 P(x,y)分有向线段 P1P2所成的比为 ?，则定比分点坐标公式为 ? x?y? ? x1?x2 ,1?(?1). y1?y2 .1? x1?x2?x?,?2 32 / 71 特别地，当 ?1时，就得到线段 P1P2的中点坐标公式 ? y?y12?y?.?2 说明：在使用定比分点的坐标公式时，应明确 (x,y)，(x1,y1)、 (x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 . 在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的 定比 ?. 举例 17 若M(?3,?2)， N(6,?1)，且 MP?MN，则点 P 的坐标为 . 结果： (?6,?)； ?1 已知 A(a,0)， B(3,2?a)，直线 y?ax 与线段 AB 交于 M，且AM?2MB，则 a? . 结果：或 ?4. 2? ?1? 3 33 / 71 73 十一、平移公式 ?x?xh?, 如果点 P(x,y)按向量 a?(h,k)平移至 P(x?,y?)，则 ?；曲线f(x,y)?0按向量 a?(h,k)? ?y?yk?. 平移得曲线 f(x?h,y?k)?0. 说明：函数按向量平移与平常 “ 左加右减 ” 有何联系？向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 举例 18 按向量 a 把(2,?3)平移到 (1,?2)，则按向量 a 把点 (?7,2)平移到点_. 结果： (?8,3)； ?函数 y?sin2x的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是 y?cos2x?1，则 a?_. 结果： (?,1). ? 34 / 71 ? 4 十二、向量中一些常用的结论 1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； ? 2.模的性质： |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|. ? a、 ba、 b0右边等号成立条件：同向或中有 ?|a?b|?|a|?|b|； ? b 反向或 a、 b中有 0?|a?b|?|a|?|b|； 左边等号成立条件：a、 ? 35 / 71 b 不共线 ?|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|. 当 a、 3.三角形重心公式 在 ABC 中，若 A(x1,y1)， B(x2,y2)， C(x3,y3)，则其重心的坐标为 G( x1?x2?x 3 3 y?y1?y2 .) 3 3 ? 36 / 71 举例 19 若 ABC 的三边的中点分别为 A(2,1)、 B(?3,4)、C(?1,?1)，则 ABC 的重心的坐标为 .结果： ?,?. 33 ? ? 24 5.三角形 “ 三心 ” 的向量表示 ?1? PG?(PA?PB?PC)?G 为 ABC 的重心，特别地 PA?PB?PC?0?G 为ABC 的 3 重心 . ? 37 / 71 PA?PB?PB?PC?PC?PA?P 为 ABC 的垂心 . ? ?ABAC? ?(?0)所 |AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P为 ABC 的内心；向量 ?|AB|AC|? 在直线过 ABC 的内心 . ? 6.点 P分有向线段 P1P2所成的比 ?向量形式 ?MP?MP?2 设点 P分有向线段 P1P2所成的比为 ?，若 M 为平面内的任一点，则 MP?1， 1? 38 / 71 ? ?MP?MP 2 特别地 P 为有向线段 P1P2的中点 ?MP?1. 2 第五章 平面向量 一、向量的相关概念： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意： 1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 2、向量的表示方法：几何表示法：用有向线段表示；用字母 a、 b 等表示；用有向线段的起点与终点字母： AB；坐标表示法： a?xi?yj?(x,y? ? 39 / 71 ? 3、向量的模：向量 AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|. 4、特殊的向量：长度为 0的向量叫零向量，记作 01个单位 长度的向量，叫单位向量 .说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向 . 5、相反向量：与 a ?a ? 6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 .向量 a 与 b 相等，记作 a?b； 7、平行向量 (共线向量 )： a/b? ? ? 40 / 71 8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量 a 与 b，作 a，OB b，则 ?AOB?0?叫 a 与 b? ? ? ? ? ? 说明：当 ?0时， a 与 b同向；当 ?时， a 与 b反向；当 ? ? ? 41 / 71 ? ? ? ? 2 时， a与 b ? ? 垂直，记 a b；规定零向量和任意向量都垂直。注意在两向量的夹角定义，两向量必须 0? ? 180? ? 9、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记42 / 71 作 ?a，它的长度与方向规定如 下： 1 ? ? ?a?a； 当 ?0时， ?a的方向与 a的方向相同；当 ?0时， ?a的方向与 a 的方向相反；当 ?0时， ?a?0? ? ? ? ? 43 / 71 10、两个向量的数量积： 已 知两 个非零向量 a 与 b， 它们 的夹角为 ?，则a?b?|a|?|b|cos? ? ? ? ? 叫做 a 与 b的数量积规定 0?a?0 ? 11、向量的投影：定义： |b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影，投影也是一个数量，不是 向量；当 ?为锐角时投影为正值；当 ?为钝角时投影为负值；当 ?为直角时投影为 0；当 ? = 0?时投影为 |b|；当 ? = 180?44 / 71 时投影为 ?|b? ? ? ? ? bcos? a?b|a| ? ?R，称为向量 b 在 a方向上的投影 ? ? 二、重要定理、公式： 45 / 71 1、平面向量基本定理： e1， e2 是同一平面内两个不共 线的向量，那么，对于这个平面内任 一向量，有且仅有一对实数 ?1,?2，使 a?1e1?2e2 ? ? ? ? ? 平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i、 j作为基 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、 y，使得 ? 46 / 71 ? ? 1 a?xi?yj ? ? 我们把 (x,y)叫做向量 a的坐标，记作 ? 2 a?(x,y) ? ? 2 其中 x叫做 a在 x 轴上的坐标， y 叫做 a在 y轴上的坐标，47 / 71 2 a 与相等的向量的坐标也为 (x,y? 特别地， i?(1,0)， j?(0,1)， 0?(0,0? 若 A(x1,y1)， B(x2,y2)，则 ?x2?x1,y2?y1? 2 向量共线定理：向量 b与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 b?a? ? ? 设 a?(x1,y1)， b?(x2,y2)，则 a/b?a?b?x1y2?x2y1?0 ? 48 / 71 ? 3 设 a?(x1,y1)， b?(x2,y2)，则 a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 ? ? ? 4、平面内两点间的距离公式 设 a?(x,y)，则 |a|2?x2?y2 或 |a|? ? 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐 标分别为49 / 71 A(x1,y1)、 B(x2,y2)，那么 ? |AB|? ? x1?x22?y1?y22(平面内两点间的距离公式 ) ? ? 5、两向量夹角的余弦 cos?a?b ? ? x1x2?y1y2x1?y1?x2?y2 50 / 71 2 2 2 2 |a|?|b| 三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量及其各运算的坐标表示和性质 ? a?(x1,y1)， b?(x2,y2) 3 特别注意：结合律不成立： a?(b?c)?(a?b)?c ； ? 4 51 / 71 消去律不成立 a?b?a?c ? ? 不能 ? b?c ? a?b?0不能得到 a=0 或 b=0乘法公式成立： (a?b)(a?b)?a?b?|a|2?|b|2 (a?b)?a?2a?b?b?|a|?2a?b?|b|2 ? 52 / 71 ? 2 ?2 ? ?2 ? 2 ? ? ? ? 53 / 71 ? ? ?2 ?2 ? ? 线段的定比分点公式 : 设点 P分有向线段 P1 PP2 1P2所成的比为，即 P ?x?y? x1?x2 ,1? 54 / 71 (线段定比分点的坐标公式 ) y1?y2 .1? x1?x2?x?,?1?2 当 1时，得中点公式：或 ?2?y?y1?y2. ?2? ? 平移公式： 设点 P(x， y)按向量 a平移后得到点 P， ?x?x?h, 则 OP +a或 ? ?y?y?k. 55 / 71 曲线 y f 按向量 a平移后所得的曲线的函数解析式为： y f： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA? abc ?2R sinAsinBsinC abc,sinAB?,sinC?, 2R2R2R 2 2 余弦定理 b=a?c?2accosB b2?c2?a2 cosA? 2bc 56 / 71 2 S? 1111 a?ha； S?bcsinA?absinC?acsinB； 2222 5 高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为 0 的向量 单位向量：长度等于 1 个单位的向量 平行向量：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量 57 / 71 17、向量加法运算： 三角形法则的特点：首尾相连 平行四边形法则的特点： 共起点 三角形不等式： ?a?b?a?b?a?b ? 运算性质：交换律： a?b?b?a； ? 结合律： a?b?c?a?b?c； a?0?0?a?a ? C ? 坐 标 运 算 ： 设 a?x1,y1? ，则a?b?x1?x2,y1?y2? b?x2,y2?， 18、向量减法运算： 58 / 71 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 ? 坐 标 运 算 ： 设 a?x1,y1? ，则a?b?x1?x2,y1?y2? b?x2,y2?，设 ?、 ?两点的坐标分别为 ? a b ? ? 59 / 71 ?x1,y1? ， ?x2,y2? ，则 ? a?b?C?C ? ?x1?x2,y1?y2? 19、向量数乘运算： ? 60 / 71 实数 ?与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ?a ? ?a?a； ? 当 ?0时， ?a的方向与 a的方向相同；当 ?0时， ?a的方向与 a的方向相 ? ?0反；当时， ?a?0 ? 运算律： ?a?a； ?a?a?a； ?a?b?a?b ? ? 61 / 71 坐标运算：设 a?x,y?，则 ?a?x,y?x,?y? ? ?aa?020、向量共线定理：向量与 b共线，当且仅当有唯一一个实数，使 b?a ? ? 设 a?x1,y1?， b?x2,y2?，其中 b?0，则当且仅当 x1y2?x2y1?0时，向 量 a、 b?b?0?共线 ? 21、平面向量基本定理：如果 e1、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 ? 62 / 71 面内的任意向量 a，有且只有一对实数 ?1、 ?2，使a?1e1?2e2 22、分点坐标公式：设点 ?是线段 ?1?2上的一点， ?1、 ?2的坐标分别是 ?x1,y1?， ?x2,y2?， ? ? ?x?x2y1?y2? 时，就为中点公式。）当 ?1?2 时，点 ?的坐标是 ?1：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的 向 量 ?2 、 向 量 加 法 ： 设AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合律； ? ? AB?BC?CD?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连” 63 / 71 ?3、向量的减法： 相反向量：与 a长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 ?向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，作图法： a?b可以表示为从 b的终点指向 a的终点 ?的向量 4、实数与向量的积：实数与向量 a的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下： ?a?a； 当 ?0时， a的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a的方向与 a的方向 ? ?相反；当 ?0时， ?a?0，方向是任意的 ?5、两个向量共线定理：向量 b与非零向量 a 共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a6、平面向量的基本定理：如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1,?2 使：a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ? 二 .平面向量的坐标表示 ?1a 可表示 成 a?xi?yj，记作a=(x,y)。 2 64 / 71 ?(1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则a?b?x1?x2,y1?y2? ?(2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2? ，则AB?x2?x1,y2?y1? (3) 若 a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) ? ?(4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则a/b?x1y2?x2y1?0 ?(5) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则a?b?x1?x2?y1?y2 ?若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 三平面向量的数量积 1 ?已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ?，则 a b= a b cos? ?叫做 a与 b的数量积规定 0?a?0?a?b2 向量65 / 71 的投影： b cos?= R，称为向量 b 在 a 方向上的投影|a|?3 a b等于 a的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4a?a?a2?|a|2? 5 ? ?a?b?a?2a?b?b22?2?2?2?2a?b?a?b?a?b?a?b； 2?2?2?a?2a?b?b 6 ?交换律成立： a?b?b?a ? 对 实 数 的 结 合 律 成立： ?a?b?a?b?a?b?R? ? ? 分 配 律 成立： ?a?b?c?a?c?b?c?c?a?b? ?特别注意：结合律不成立： a?b?c?a?b?c； ?消去律不成立 a?b?a?c 不能 66 / 71 ?a?b=0 不能 ?b?c? ?a=0 或 b=07 ? 已 知 两 个 向 量 a?(x1,y1),b?(x2,y2) ，则a b=x1x2?y1y?008 已知两个非零向量 a与 b，作 OA=a, OB=b,则 AOB=? 叫做向量 a 与 b的 夹角 ?x1x2?y1y2?a?bcos?=cos?a,b?=2222a?bx1?y1?x2?y2 ?00 当且仅当两个非零向量 a 与 b同方向时，=0，当且仅当 a与 b 反方向时 =180，同时 0 与其它任何非零向量 之间不谈夹角这一问题 ?09a 与 b 的夹角为 90 则称 a与 b 垂直，记作 a b?： a b?a b O?x1x2?y1y2? 高中数学必修 4之平面向量 知识点归纳 一 .向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量向量不能67 / 71 比较大小，但向量的模可以比较大小 ?零向量：长度为 0的向量，记为 0，其方向是任意的， 0与任意向量平行 单位向量：模为 1平行向量：方向相同或相反的非零向量 相 等 向 量 ： 长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向量 ?2、向量加法：设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC0?a?a?0?a；向量加